Formation d'ingénieurs ENGEES Janvier 2016

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Surface libre dans un puits de chute par la modélisation 3D (J. VAZQUEZ et M. DUFRESNE)

Formation d'ingénieurs ENGEES

Janvier 2016

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José VAZQUEZ

Professeur en hydraulique à l'ENGEES

Responsable de l'équipe MécaFlu au laboratoire Icube Cofondateur de la Startup 3DEau

[email protected]

Matthieu DUFRESNE

Maître de Conférences en hydraulique à l'ENGEES Chercheur à l'équipe MécaFlu au laboratoire Icube Cofondateur de la Startup 3DEau

[email protected]

Ce cours est la propriété exclusive de ses auteurs. Toute diffusion par un tiers sans accord écrit et préalable de ses auteurs est interdite.

Le lecteur trouvera sur le site :

http://hydraulique-des-reseaux.engees.eu/

des outils informatiques et des documents de synthèse correspondant à ce cours.

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AVANT PROPOS

L’hydraulique est très présente dans le domaine de l’environnement. En effet, elle a une place déterminante dans la compréhension, l’analyse et le diagnostic des réseaux d’adduction d’eau potable, des stations de traitement, d’irrigation, des réseaux d’assainissement et des rivières.

De plus, le contrôle de ces systèmes nécessite une instrumentation qui oblige le concepteur et l’exploitant à une connaissance poussée du fonctionnement hydraulique de ces ouvrages.

D’un point de vue réglementaire, la directive 2000/60/CE du Parlement européen établit un cadre pour une politique communautaire dans le domaine de l’eau. Elle incite les Etats membres (dont évidemment la France) à protéger et restaurer la qualité de leurs ressources en eau afin de parvenir à un bon état chimique et écologique. L’eau est donc une préoccupation majeure dans notre civilisation.

L’objectif de cet ouvrage destiné aux techniciens et ingénieurs est de fournir les bases nécessaires à la compréhension physique et au calcul des phénomènes présents en hydraulique appliquée au génie de l’eau et de l’environnement. Chaque notion d’hydraulique est ponctuée par une série d’exercices permettant d’illustrer les concepts présentés. Les exemples sont issus d’ouvrages hydrauliques existant. Les techniques de calcul qui sont associées à la résolution des équations mises en œuvre sont élaborées dans un souci d’efficacité.

Cet ouvrage est composé de plusieurs chapitres qui s’intéressent à l’hydraulique à surface libre. Ce type de comportement hydraulique se rencontre essentiellement en assainissement et surtout en rivière.

Après une description des différentes géométries de canaux et de tuyaux, une description détaillée de l’écoulement fluvial et torrentiel permet de comprendre physiquement le phénomène d’ondes qui lui est associé.

On traite ensuite les écoulements uniforme et permanent. Dans ce contexte, on fournit les équations ainsi que les techniques de calcul permettant de dimensionner les canalisations.

Le diagnostic d’un réseau en régime permanent est réalisé dans le cas des écoulements dits non-uniformes. On s’intéresse dans ce chapitre à la détermination des courbes de remous ainsi qu’à leur technique de calcul. Un chapitre est ensuite consacré aux ouvrages tels que les seuils, les déversoirs latéraux et les vannes de régulation.

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BIBLIOGRAPHIE

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Ministère des Transports, de l’Equipement, du Tourisme et de la Mer.

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VIOLET P.L., CHABARD J.P., Mécanique des fluides appliquée, Presses des ponts et chaussées, ed. 1998.

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SOMMAIRE

CHAPITRE I : CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS... 9

1.-TYPES D’ECOULEMENT ... 10

2.-GEOMETRIE DES CANAUX ... 13

3.-REGIME D'ECOULEMENT ET SECTION DE CONTROLE ... 15

4.-LA TURBULENCE DANS UN CANAL ... 20

5.-DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES PRESSIONS ... 26

CHAPITRE II : ECOULEMENT PERMANENT ET UNIFORME ... 37

1.-DESCRIPTION DE L'ECOULEMENT UNIFORME ... 38

2.-CALCUL DES PERTES DE CHARGE ... 40

3.-FORMULES DU TYPE CHEZY ... 42

4.-LA HAUTEUR NORMALE H_N ... 44

5.-SECTION DE DEBIT MAXIMAL ... 46

6.-SECTIONS DE RUGOSITE COMPOSEE ... 46

7.-MARGE DE SECURITE ... 47

8.-LIMITES DE DIMENSIONNEMENT ... 47

CHAPITRE III : ECOULEMENT PERMANENT GRADUELLEMENT VARIE ... 49

1.-CHARGE SPECIFIQUE ... 50

2.-REGIME CRITIQUE ET CHARGE SPECIFIQUE ... 51

3.-EQUATION DE LA COURBE DE REMOUS ... 52

4.-FORMES DES COURBES DE REMOUS ... 55

5.-SECTION DE CONTROLE ... 66

6.-METHODES DE RESOLUTION ... 66

CHAPITRE IV : ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LE RESSAUT HYDRAULIQUE ... 69

1.-LES DIFFERENTS TYPES DE RESSAUT ... 70

2.-DETERMINATION DES PROFONDEURS CONJUGUEES ... 72

3.-DETERMINATION DE LA PERTE D’ENERGIE ... 74

4.-LONGUEUR DU RESSAUT ... 74

CHAPITRE V : ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LES DEVERSOIRS FRONTAUX ... 77

1.-ECOULEMENTS NOYE ET DENOYE ... 78

2.-ECOULEMENTS AERE ET NON-AERE ... 80

3.-SEUIL MINCE ET SEUIL EPAIS ... 81

4.-MISE EN EQUATION POUR UN SEUIL RECTANGULAIRE ... 82

CHAPITRE VI : ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LES CHUTES ... 85

CHAPITRE VII : ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LES VANNES ... 87

1.-DESCRIPTION DE L’ECOULEMENT AU NIVEAU D’UNE VANNE ... 88

2.-LOIS DE VANNE RECTANGULAIRE ... 90

3.-UTILISATIONS PRATIQUES ... 92

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CHAPITRE VIII : ECOULEMENT RAPIDEMENT VARIE : LES CANAUX VENTURIS ... 93

1.-DESCRIPTION DE L’ECOULEMENT DANS UN CANAL VENTURI ... 94

2.-LOIS HAUTEUR-DEBIT DES CANAUX VENTURI ... 97

CHAPITRE IX : ECOULEMENT VARIE : LES DEVERSOIRS LATERAUX ... 103

1.-APPROCHE DU FONCTIONNEMENT HYDRAULIQUE ... 104

2.-FORMULES EMPIRIQUES ... 105

3.-RAISONNEMENT A ENERGIE SPECIFIQUE CONSTANTE ... 106

4.-RAISONNEMENT BASE SUR L’EQUATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT ... 109

CHAPITRE X : ANNEXES ... 111

1.-GEOMETRIES DES SECTIONS... 112

2.-DETERMINATION DE LA CELERITE DE L’ONDE DE GRAVITE ... 115

3.-APPROXIMATION DU NOMBRE DE FROUDE ET DE LA HAUTEUR CRITIQUE ... 117

4.- TABLEAU DES RUGOSITES KS ... 118

5.-CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION CIRCULAIRE ... 120

6.-CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION OVOÏDE ... 122

7.-CALCUL DE LA HAUTEUR NORMALE POUR UNE SECTION FER A CHEVAL ... 124

8.-DEMONSTRATION DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION ... 125

9.-ABAQUES DE LA METHODE PAR SUBSTITUTION POUR LE CALCUL DE LA COURBE DE REMOUS ... 127

10.-HAUTEURS CONJUGUEES DE QUELQUES SECTIONS ... 131

11.-LOIS DE QUELQUES DEVERSOIRS FRONTAUX ... 132

12.-EXPRESSION DU DEBIT DEVERSE ... 140

13.-EQUATION DES DEVERSOIRS LATERAUX ... 144

14.-ABAQUES POUR LE CALCUL DES DEVERSOIRS LATERAUX ... 147

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Chapitre I :

CARACTERISTIQUES DES ECOULEMENTS

I-1 : Aménagement d’une évacuation : du pilote en laboratoire à la construction sur site

Ce chapitre constitue un résumé des bases hydrodynamiques des écoulements à surface libre.

L’accent n’est pas mis sur l’approche théorique (pour l’instant) mais plutôt sur l’application des concepts de l’hydrodynamique aux écoulements à surface libre.

Nous verrons, dans un premier temps, le vocabulaire couramment utilisé dans le domaine de l’hydraulique à surface libre en définissant physiquement les notions d’écoulement uniforme, non-uniforme, de ressaut hydraulique, etc... Dans un deuxième temps, on s’attachera à définir les différentes caractéristiques géométriques utiles pour un calcul hydraulique. Ensuite, un paragraphe complet est consacré à la notion fondamentale d’écoulement fluvial et torrentiel.

La compréhension de ces caractéristiques est déterminante pour le calcul de l’évolution de la hauteur d’eau dans un canal en fonction des conditions aux limites. Un chapitre est ensuite consacré à la turbulence. Celle-ci joue un rôle prépondérant dans le calcul des pertes d’énergie le long des canaux. Le dernier chapitre s’intéressera à la forme de la distribution des vitesses et des pressions suivant la hauteur de l’eau.

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Chapitre I : Caractéristiques des écoulements

Les écoulements dans les canaux naturels (rivière) et artificiels (irrigation, assainissement) sont, dans la plupart des cas, des écoulements à surface libre. La surface libre est l’interface entre l’air et l’eau. La pression y est égale le plus souvent à la pression atmosphérique.

Surface libre

Ligne de courant

I-2 : Surface libre et lignes de courant

1. - TYPES D’ECOULEMENT

On peut définir les écoulements suivants la variabilité des caractéristiques hydrauliques tels que le tirant d’eau et la vitesse en fonction du temps et de l’espace.

1.1. - Variabilité dans le temps

Le mouvement est permanent (ou stationnaire) si les vitesses U et la profondeur h restent invariables dans le temps en grandeur et en direction. Le mouvement est non-permanent dans le cas contraire.

Ecoulement permanent Ecoulement non-permanent

I-3 : Ecoulement permanent et non-permanent

Au sens strict, l’écoulement dans les canaux est rarement permanent. Néanmoins les variations temporelles sont, dans certains cas, suffisamment lentes pour que l’écoulement puisse être considéré comme une succession de régime permanent. On peut alors définir ainsi le régime quasi-permanent.

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Types d’écoulement

1.2. - Variabilité dans l’espace

I-4 : Variabilité de l'écoulement dans l'espace

Le mouvement est uniforme si les paramètres caractérisant l’écoulement restent invariables dans les diverses sections du canal. La ligne de la pente du fond est donc parallèle à la ligne de la surface libre.

Le mouvement est non-uniforme ou varié si les paramètres caractérisant l’écoulement changent d’une section à l’autre. La pente de la surface libre diffère de celle du fond.

Un écoulement non-uniforme peut être accéléré ou décéléré suivant que la vitesse croît ou décroît dans le sens du mouvement.

Lorsque le mouvement est graduellement varié, la profondeur ainsi que les autres paramètres varient lentement d’une section à l’autre.

Lorsque le mouvement est rapidement varié, les paramètres caractérisant l’écoulement changent brusquement, parfois avec des discontinuités. Cela se manifeste en général au voisinage d’une singularité, telle qu’un seuil, un rétrécissement, un ressaut hydraulique ou une chute brusque.

Au régime permanent, dans un canal au régime uniforme ou non, le débit est conservé.

Uniforme

Graduellement varié

Stationnaire Non uniforme

Rapidement varié ECOULEMENT

Graduellement varié Non stationnaire Non uniforme

Rapidement varié I-5 : Les différents types d'écoulement

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Applications : Les écoulements stationnaires et transitoires (A faire avant le cours, la correction sera faite en cours)

• Pourquoi au régime permanent, dans un canal au régime uniforme ou non, le débit est-il conservé ?

• Habituellement en hydraulique en charge, le remplissage d'un bassin peut être modélisé par une succession de calcul en régime permanent. Peut-on faire la même démarche en hydraulique à surface libre ?

•

Le mascaret est une vague qui remonte un fleuve à contre courant. Dans quel type d'écoulement (permanent/transitoire) peut-on modéliser le mascaret ?

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Géométrie des canaux

2. - GEOMETRIE DES CANAUX

Dans ce chapitre nous allons définir les grandeurs géométriques les plus utilisées permettant de caractériser l’écoulement.

I-6 : Géométrie des canaux

• La section transversale d’un canal est la section plane normale à la direction de l’écoulement.

• La surface mouillée, S, est la portion de la section occupée par le fluide dans la section du canal.

• Un canal dont la section, la pente et la rugosité ne varient pas suivant le sens de l’écoulement est appelé canal prismatique (Les caractéristiques hydrauliques peuvent varier!!).

• Le périmètre mouillé, P, est formé par la longueur de la ligne de contact entre la surface mouillée et les parois de la section (la largeur de la surface libre n’entre pas en compte).

• Le rayon hydraulique est donné par :

P R_h =S

• La largeur superficielle ou largeur au miroir, B, est la largeur du canal au niveau de la surface libre.

dh B= dS

• La profondeur hydraulique est donnée par :

B D_h =S

• La pente, I, varie environ de quelque %.

• La position du centre de gravité yG par rapport à la surface libre.

( )

h G

0

Moment statique : S.y =

∫

h−z B(z)dz

Un catalogue de quelques sections courantes est fourni en ANNEXE 1 : Géométries des sections p.112.

h

P

y

G

S D

h

B

A savoir !!!

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Applications : Géométrie des canaux

(A faire avant le cours, la correction sera faite en cours)

•

Dans le cas d'une section rectangulaire, déterminer : S, P, Rh, Dh et yG.

•

Calculer le Rh d'une conduite circulaire pleine :

• Parmi les trois conduites suivantes et pour le tirant d'eau défini, sans faire de calcul, quelle est la conduite ayant le Rh le plus important ? Le plus petit ?

I-7 : Comparaison de sections

• Quel intérêt peut représenter le Rh vis à vis des pertes de charges ?

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Régime d'écoulement et section de contrôle

3. - REGIME D'ECOULEMENT ET SECTION DE CONTROLE

3.1. - Le phénomène physique

Supposons un canal à section constante, à pente constante et avec une hauteur h et un débit constant Q. On crée une perturbation grâce à une vanne que l’on ferme et que l’on ouvre très rapidement.

Q

h

Fermeture et ouverture rapides

I-8 : Fermeture rapide d'une vanne

Au niveau de la surface libre, il se crée deux ondes (ondes de gravité). L’une se propage toujours vers l’aval et l’autre se propage vers l’amont si la vitesse dans le canal est inférieure à la vitesse de l’onde de gravité ; elle s’oriente vers l’aval dans le cas contraire.

Q

U = c

c’ = 0 c’’ > 0

I-9 : Régime critique

Q

U < c

c’ < 0

c’’ > 0

I-10 : Régime fluvial

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Q

U > c

c’ > 0

c’’ > 0

I-11 : Régime torrentiel

U : vitesse de l’écoulement c : célérité des ondes c’ : vitesse de l’onde amont c’’ : vitesse de l’onde aval

Dans le cas où la vitesse du fluide est supérieure à la vitesse de l’onde c, l’amont n’est pas influencé par les conditions hydrauliques à l’aval (régime torrentiel) ; alors que, dans le cas contraire, on a une remontée de l’onde qui va perturber l’amont (régime fluvial), ce phénomène est appelé influence aval.

3.2. - Les équations

La démonstration de la relation permettant de calculer la célérité est disponible en ANNEXE 2 : Détermination de la célérité de l’onde de gravité p.115.

La célérité de l’onde de gravité est donnée par la relation :

c

²

= gD

_h

3.3. - Régimes d’écoulement et nombre de Froude

On définit le nombre de Froude comme le rapport de la vitesse de l’écoulement sur la célérité des ondes de surface.

c Fr=U Soit, compte tenu de la partie précédente :

gDh

= U Fr

Dans le cas d’un canal de forme rectangulaire, cette expression devient : gh

= U Fr

3.3.1. - Régime critique et hauteur critique

L’écoulement est critique lorsque le nombre de Froude est égal à 1.

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On parle d’écoulement critique lorsque la vitesse de l’écoulement est égale à la célérité des ondes de surface. On parle alors de « hauteur critique ».

La détermination de la hauteur critique hc d’un écoulement s’effectue en considérant un nombre de Froude égal à 1.

(

^, ^,^caractéris^tiques^de^la^section^{en travers}

)

¹

Fr Q hc =

Le nombre de Froude dépend du débit, de la hauteur d’eau ainsi que des caractéristiques de la section en travers. Il est en revanche indépendant de la pente.

( )

²

( )

¹

2 =

c h

c gD h

h S

Q

L’expression précédente aboutit à une équation simple en hc (parfois implicite néanmoins) dans le cas des sections classiques : rectangulaire, triangulaire, trapézoïdale, etc. L’exemple de la section rectangulaire est donné ci-dessous.

Dans le cas de sections complexes, les formulations exactes peuvent être fastidieuses à utiliser. Pour des formes couramment utilisées en réseau, des formulations simplifiées existent.

3.3.2. - Régime torrentiel ou sur-critique

Lorsque la hauteur d’eau est inférieure à la hauteur critique, c’est-à-dire que le nombre de Froude est supérieur à 1, l’écoulement est trop rapide pour que les ondes de gravité ne remontent vers l’amont. Les ondes sont seulement générées vers l’aval. On parle de régime torrentiel, sur-critique ou supercritique.

3.3.3. - Régime fluvial ou sous-critique

Lorsque la hauteur d’eau est supérieure à la hauteur critique, c’est-à-dire que le nombre de Froude est inférieur à 1, les ondes de gravité se déplacent aussi bien vers l’aval (à la vitesse U + c, où U est la vitesse de l’écoulement et c la célérité propre des ondes) que vers l’amont (à la vitesse U - c). On parle de régime fluvial ou sous-critique.

3.4. - Point de contrôle des écoulements fluviaux et des écoulements torrentiels

Un écoulement torrentiel étant complètement indépendant de ce qui se passe à l’aval (les ondes de gravité ne remontent pas l’écoulement), cela signifie qu’il est entièrement contrôlé par l’amont. On parle de contrôle amont. En revanche, un écoulement fluvial est affecté par ce qui se passe à l’aval (les ondes de gravité remontent l’écoulement). On parle de contrôle aval.

Nous retiendrons :

• Point de contrôle amont pour l’écoulement torrentiel,

• Point de contrôle aval pour l’écoulement fluvial.

De façon générale, l’hydraulique s’intéresse à deux variables : le débit et la hauteur d’eau.

Pour reproduire ces informations partout dans un canal, nous avons besoin de deux informations au niveau des limites de ce canal. L’endroit où ces informations sont nécessaires dépend du régime d’écoulement. En régime torrentiel, il faut connaître le débit et la hauteur d’eau à l’amont pour les déterminer partout dans le canal. En régime fluvial, il faut une information à l’amont (le débit ou la hauteur d’eau) et une information à l’aval (idem).

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3.5. - Section de contrôle double : Amont et Aval

Une « section de contrôle double » est une section dans laquelle l’écoulement est critique.

Cela implique que la vitesse de l’écoulement est égale à la célérité des ondes.

gDh

U =

Le débit qui s’écrit de façon générale

Q = US

peut alors s’écrire comme suit.

gDh

S Q=

La surface S comme le diamètre hydraulique Dh étant des fonctions croissantes avec la hauteur d’eau h, il apparaît un lien bijectif entre la hauteur d’eau et le débit au régime critique.

Ceci est d’une grande utilité en débitmétrie (mesure du débit) des écoulements à surface libre.

En effet, dans le cas où l’écoulement est critique, il est possible de s’affranchir de la mesure de vitesse pour évaluer le débit, ce qui, en plus de ne nécessiter qu’un seul capteur de mesure, présente deux autres avantages :

• Le fait de ne pas nécessiter de capteur immergé, ce qui facilite grandement la maintenance du point de mesure (problèmes de nettoyage ou de détérioration du capteur).

• Une précision en général meilleure, les techniques nécessitant la mesure de la vitesse nécessitant un passage, parfois incertain, entre la vitesse mesurée localement par le capteur et la vitesse moyenne de l’écoulement, notamment si la mesure est effectuée à proximité d’une singularité hydraulique (coude, jonction, chute, etc.).

L’annexe suivant donne les formulations approchées pour différentes sections : (ANNEXE 3 : Approximation du nombre de Froude et de la hauteur critique p.117) Applications : Régime d'écoulement et point de contrôle

• Calculer la hauteur critique dans un canal rectangulaire et montrer qu’il est possible de calculer le débit en mesurant la hauteur critique.

• Quel effet sur le régime d'écoulement peut avoir une élévation brutale de la profondeur dans un canal (exemple d'un seuil) ?

• Quel effet sur le régime d'écoulement peut avoir une diminution brutale de la largeur dans un canal (exemple d'un venturi) ?

A ne savoir pas !!!

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• Identifier le régime fluvial, torrentiel et identifier les points de contrôle sur le profil en long suivant. La droite Nc représente la hauteur critique.

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4. - LA TURBULENCE DANS UN CANAL

4.1. - Le phénomène physique

La turbulence est un mouvement tourbillonnaire qui présente une large étendue de dimensions de tourbillons et de vitesse de rotation. Ce mouvement toujours rotationnel peut être conçu comme un enchevêtrement de structures tourbillonnaires dont les vecteurs rotationnels sont orientés dans toutes les directions et sont fortement instationnaires (même en régime dit : « permanent »). La différence entre les plus gros et les plus petits tourbillons, augmente avec l’intensité de la turbulence. Les structures turbulentes peuvent être considérées comme des éléments tourbillonnaires qui s’étirent les uns les autres. Cet allongement des filets tourbillons est un aspect essentiel du mouvement turbulent. Il produit le passage de l’énergie à des échelles de plus en plus petites jusqu’à ce que les forces visqueuses deviennent actives et dissipent l’énergie : c’est la cascade d’énergie.

Richardson 1922 :

Les gros tourbillons ont des petits tourbillons, Qui se nourrissent de leur vitesse,

Et les petits tourbillons en ont de plus petits, Et c’est ainsi jusqu’à la viscosité.

I-12 : La cascade d’énergie

(21)

La turbulence dans un canal

Les gros tourbillons qui sont associés aux basses fréquences du spectre, sont déterminés par les conditions aux limites de l’écoulement et leur dimension est de l’ordre de grandeur du domaine occupé par l’écoulement. Les gros tourbillons interagissent avec l’écoulement moyen car leur échelle est du même ordre de grandeur, ils extraient de l’énergie cinétique du mouvement moyen et la fournissent aux agitations à grande échelle. C’est surtout les mouvements à grande échelle qui transportent la quantité de mouvement et la chaleur.

Ainsi le taux de dissipation d’énergie est déterminé par les mouvements à grandes échelles bien que la dissipation soit un processus visqueux dont les petits tourbillons sont le siège.

La viscosité du fluide ne détermine pas le taux de dissipation mais seulement l’échelle à laquelle cette dissipation se produit.

I-13 : Schéma du spectre d’énergie turbulent

E(k) : spectre d’énergie ou densité d’énergie cinétique turbulente.

κ : 2 r

κ = π avec r longueur de l’onde.

Vr

Vr r

I-14 : Définition des caractéristiques d’un tourbillon

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Une solution turbulente est toujours une solution compliquée non stationnaire des équations du mouvement, présentant des fluctuations irrégulières dans l’espace et dans le temps.

Henri Poincarré d’après J.L. Chabert et A.D. Dalmedico 1991 :

Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissons exactement les lois de la nature et la situation de …« l’écoulement » à l’instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même « écoulement » à un instant ultérieur.

Mais, lors même que les lois naturelles n’auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu’approximativement (…) ; il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux.

I-15 : Phénomènes d’aspiration et de rejet

I-16 : Tourbillon en épingle à cheveux

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I-17 : Vue de dessus et profil en long d’un tourbillon en épingle à cheveux

I-18 : dissipation d’un tourbillon

4.2. - Approche statistique de la turbulence

Devant cet aspect désordonné de l’évolution turbulente et cette apparente complexité du phénomène, l’attitude naturelle et la plus utilisée a été d’introduire des méthodes statistiques.

Dans ce cas, les méthodes statistiques alimentées par des modèles de turbulence ne décrivent pas le détail du mouvement turbulent mais uniquement les effets que ce mouvement produit sur l’écoulement moyen.

Pour un écoulement turbulent, la vitesse en un point, u, indique que des fluctuations aléatoires de haute fréquence, u’, se superposent à des vitesses moyennes temporelles u. Ainsi, on considère que la vitesse instantanée, u, est la somme d’une vitesse moyenne, u, et d’une vitesse due aux fluctuations, u’, on l’écrit :

u ' u u= +

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La valeur moyenne de la vitesse est définie par : udt T u 1

T t

t +

∫

=

L’intervalle de temps, T, doit être suffisamment important pour englober un grand nombre de fluctuations de vitesse et la vitesse moyenne doit conserver une valeur fixe quel que soit cet intervalle.

u ' dt 0

T ' 1 u

T t

t

=

⁺

∫

Les valeurs moyennes u' sont donc nulles, mais il n’en est pas de même des valeurs moyennes de u’².

Les expériences montrent que la distribution des fluctuations de vitesse, u’ est quasi gaussienne.

( )

2 2

2 u u

' u

2 e ) 1

' u ( f

2 2

= σ

π

= σ ^











 σ

−

L’intensité de la turbulence ou degré de turbulence est défini par : u

' I u

= 2 , pour un écoulement unidirectionnel, l’intensité de turbulence dépasse rarement la

valeur : 0.1 u

' I u

2 ≤

=

I-19 : L’expérience de Reynolds

(25)

4.3. - Le nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds caractérise la turbulence. C’est le rapport entre les forces inerties et les forces de viscosité. Dans le cas des écoulements en canaux à surface libre Re est donné par :

ν U R_e R^h.

= U : Vitesse moyenne de l’écoulement, Rh : Rayon hydraulique,

ν : Viscosité cinématique.

Les expériences avec différents canaux à surface libre de grandeurs comparables à ceux utilisés pour l’assainissement et en rivière montrent que l’écoulement est turbulent dès que le nombre de Reynolds atteint des valeurs de 1000.

Les limites :

• Ecoulement laminaire : Re < 500

• Transition 500 < Re < 1000

• Ecoulement turbulent : Re > 1000

Dans les écoulements à surface libre, le régime visqueux existe pour des valeurs du nombre de Reynolds inférieur à 500. Ce régime ne se produit que dans des canaux extrêmement petits (≈ mm) ou avec des vitesses très faibles (≈ mm/s). Dans ce cas, ces applications techniques se limitent presque exclusivement à la théorie du graissage.

On rappelle que dans le cas des écoulements en charge on a : ν

U R_e D.

=

• Ecoulement laminaire : Re < 2000

• Transition 2000 < Re < 4000

• Ecoulement turbulent : Re > 4000 Pour les conduites circulaires en charge on a : _h D

R = 4 .

Applications : Le nombre de Reynold

• Expliquer la différence entre de valeur entre le Re en charge et le Re à surface libre.

(26)

5. - DISTRIBUTION DES VITESSES ET DES PRESSIONS

5.1. - Répartition des vitesses 5.1.1. - Représentation 1D, 2D et 3D

Un écoulement permanent dépend généralement de trois variables x, y et z. On l’appelle écoulement tridimensionnel. Pour un canal, l’écoulement est représenté par la figure suivante :

I-20 : Champ de vitesse 3D

Si le canal a une largeur B, importante par rapport à la profondeur h, l’écoulement est considéré bidimensionnel, sauf sur une petite distance proche des parois verticales.

I-21 : Champ de vitesse 2D

Les calculs en hydraulique sont considérablement facilités si on admet que l’écoulement est unidimensionnel. On utilise donc la vitesse moyenne. Dans les canaux de géométrie simple, on ne rencontre généralement que des écoulements turbulents où la vitesse ponctuelle diffère peu de la vitesse moyenne.

(27)

Distribution des vitesses et des pressions

I-22 : Champ de vitesse 1D 5.1.2. - Distribution des contraintes de cisaillement

Dans un écoulement turbulent, on a les forces de viscosité et les forces de turbulence. La contrainte de cisaillement peut donc s’écrire :

e turbulenc de

force viscosité

de force

xz

= τ + τ

τ

Pour l’écoulement dans un canal, la répartition verticale des contraintes tangentielles est donnée par la figure suivante :

I-23 : Evolution de la contrainte de cisaillement dans un canal à surface libre

A la paroi et tout près de la paroi, les contraintes se confondent avec les tensions de viscosité. Les tensions dues à la turbulence tendent vers zéro. Le gradient de vitesse est important.

En s’éloignant légèrement de la paroi, l’écoulement turbulent génère des tensions dues à la turbulence qui deviennent importantes par rapport aux tensions dues à la viscosité.

Loin de la paroi, les tensions dues à la turbulence deviennent prépondérantes. On appelle zone intérieure la zone pour laquelle la tension est constante.

La tension totale atteint une valeur maximale τ₀ près de la paroi et une valeur nulle en surface.

(28)

5.1.3. - Calcul de la contrainte de cisaillement au fond du canal

La contrainte de cisaillement τ₀ est obtenue en faisant l’équilibre des forces d’un canal prismatique en régime permanent et uniforme :

I-24 : Représentation de la contrainte de cisaillement dans un canal à surface libre

Appliquons l’équation de la quantité de mouvement au volume de contrôle encadré en gris sur la figure précédente. Le volume de contrôle est soumis à une force de volume : son poids, et à deux forces de contact, à savoir les forces dues à la pression sur les faces amont et aval ainsi que la force de frottement sur la surface de contact entre les parois du canal et l’écoulement. Il vient donc l’équation suivante.

( )

^V ⁿ ^S ^F ^F ^W

V = + +

∑

ρ. . . . pression frottement

Dans cette équation, le terme de gauche correspond aux forces d’inertie. Le débit (conservation de la masse) et la vitesse (écoulement ni accéléré ni décéléré) étant conservés entre les sections S1 et S2, ce terme est égal à 0.

Concernant les forces de pression, les lignes de courant étant rectilignes et parallèles pour un écoulement uniforme, la pression est hydrostatique sur les faces amont et aval du volume de contrôle. Les aires des faces amont et aval étant les mêmes (canal prismatique et hauteur d’eau constante), il vient alors que les forces de pression, si elles existent bel et bien, se compensent. Les forces de pression agissant sur le volume de contrôle sont donc nulles.

Les seules forces non nulles sont donc le poids et les frottements. Un écoulement uniforme peut donc être vu comme un équilibre entre le poids et les frottements.

Projetons ces deux forces selon la direction principale de l’écoulement. Concernant le poids, il s’exprime comme suit, où ρ est la masse volumique du fluide, g l’accélération gravitationnelle, S la surface de passage de l’écoulement, dx la longueur du volume de contrôle et θ l’angle du canal.

( )

θ ρ ^sin .e gSdx W _x =

Concernant les frottements, ils agissent au niveau de la surface de contact entre les parois du canal et l’écoulement. Cette surface peut s’exprimer comme le produit du périmètre mouillé P par la longueur dx du volume de contrôle. La force de frottement peut alors s’exprimer comme suit, où τ0 est la contrainte de cisaillement moyenne sur la surface de contact entre les parois et l’écoulement.

Pdx e

F_frottement. _x =−τ₀

En combinant les deux équations précédentes, il vient l’expression suivante pour la contrainte de cisaillement.

A savoir !!!

(29)

( )

θ ρ

τ₀ sin P g S

=

Pour les angles θ « petits », tangente et sinus sont quasiment identiques. Dans l’équation précédente, sin(θ) peut donc être remplacé par I, pente du canal.

( ) ^θ

^≈^tan

( ) ^θ

⁼^I

sin

De façon plus quantitative, un calcul rapide permet de se rendre compte que l’écart relatif entre la pente et le sinus de l’angle est limité à 0,1% jusqu’à une pente de 5,4% et limité à 1%

jusqu’à une pente de 14,5%. Les pentes couramment rencontrées en pratique étant en général de quelques dixièmes à quelques pourcents, guère plus, on comprend aisément que l’approximation précédente est tout à fait cohérente. En effet, en procédant ainsi, l’erreur effectuée sur la contrainte de cisaillement est absolument minime.

En intégrant ce résultat et en remarquant que le rapport de la surface mouillée sur le périmètre mouillé a été défini dans un chapitre précédent comme le rayon hydraulique, il vient alors l’expression suivante pour la contrainte de cisaillement moyenne, valable au régime permanent uniforme dans le cas d’un canal avec pente.

I gR

_h

ρ τ

₀

=

La contrainte de cisaillement au fond du canal est ainsi le paramètre le plus représentatif des pertes de charge dans un canal.

Applications : Le La contrainte de cisaillement

• Exprimer la contrainte de cisaillement dans le cas d'un canal rectangulaire très large.

5.1.4. - Détermination du profil de vitesse

Afin de pouvoir déterminer la distribution des vitesses suivant la verticale, il est nécessaire de prendre en compte un modèle de turbulence pour déterminer la contrainte de cisaillement générée par les forces de frottement. Dans ce cas, le modèle de turbulence ne décrit pas le détail du mouvement turbulent mais uniquement les effets que ce mouvement produit sur l’écoulement moyen.

(30)

I-25 : Profil de vitesse dans un canal à surface libre

La contrainte de viscosité s’écrit en fonction de la loi de comportement du fluide newtonien : z

u

viscosité de

force ∂

ρν∂

= τ

Le modèle de turbulence de Boussinesq considère que les forces de turbulence agissent comme les forces de viscosité :

z u

e turbulenc de

force ∂

ρε∂

= τ

On appelle ε le coefficient de mélange. Il a la dimension de la viscosité cinématique, c’est pourquoi il est souvent appelé viscosité turbulence. Les deux viscosités ε et ν sont fondamentalement différentes ; ν est une propriété du fluide et ε est une caractéristique de l’écoulement.

Prandt considère que la viscosité turbulente ε est proportionnelle à la variation de la vitesse suivant la verticale.

z l² u

∂

= ∂

ε ou l est appelée longueur de mélange. Les hypothèses de Prandt sont des approximations qui ne sont justifiées que par une bonne concordance avec les données expérimentales.

On a donc :

( )

z u

xz

e turbulenc de force viscosité

de force xz

∂ ε ∂ + ν ρ

= τ

τ + τ

= τ

Compte tenu des remarques précédentes, il est ainsi justifié d’admettre que pour un écoulement le long d’une surface les tensions totales sont souvent exprimées par les tensions dues à la turbulence :

( )

2 2 xz

e turbulenc de force viscosité

de force xz

z l u z u

0









∂ ρ ∂

∂ = ρε∂

= τ

τ +

≈ τ

= τ

(31)

I-26 : Détail du profil de vitesse

En admettant que la longueur de mélange l peut s’écrire suivant Prandt de la façon suivante : z

.

l= κ ou κ est la constante de Karman valable près de la paroi (dans la zone dite interne).

On a près de la paroi :

2 2 2

0 dz

u z d 





 ρκ 

= τ

Après intégration, on a : u(z)=A.ln(z)+B

Bien que la relation précédente ne soit valable que dans la zone interne, les expériences montrent une assez bonne concordance sur toute la profondeur d’eau du canal. La distribution de la vitesse suivant la verticale pour un écoulement turbulent est logarithmique : u(z)=A.ln(z)+B. Les constantes numériques sont obtenues par de nombreuses expériences pour les écoulements uniformes. Pour les écoulements non- uniformes, ces constantes sont légèrement différentes.

5.1.5. - Mesure des champs de vitesse

Dans une section normale à la direction de l’écoulement, si l’on connaît la distribution des vitesses ponctuelles dans la section, la vitesse moyenne dans cette section est donnée par : U= 1

S V dS

∫

S

On applique parfois des règles empiriques qui permettent de mesurer la vitesse en un certain nombre de points seulement. Ainsi pour les canaux rectangulaires, on recommande le procédé suivant :

Vn : la vitesse moyenne sur une verticale n :

(

n,1 n,2 n,3 n,4 n,5 n,6

)

n V 2.V 3.V 3.V 2.V V

12

V = 1 + + + + +

La vitesse dans la section à la valeur :

(

V1 2.V2 3.V3 3.V4 2.V5 V6

)

12

U= 1 + + + + +

(32)

I-27 : Points de mesure pour le calcul de la vitesse moyenne

Pour déterminer la vitesse moyenne, U, dans une section, on donne les relations approximatives suivantes :

U = (0.8 à 0.9) Usurface de l’eau

(formule de Prony)

U = 0.5 (u0.2 + u0.8)

U = u0.4

I-28 : Méthodes simplifiées pour le calcul de la vitesse moyenne

(33)

I-29 : Recirculations dans un canal à surface libre

Distribution de la vitesse dans le plan longitudinale.

I-30 : Distribution de la vitesse dans une conduite rectangulaire haute

(34)

I-31 : Distribution de la vitesse dans une conduite rectangulaire basse

I-32 : Distribution de la vitesse dans une conduite en assainissement

(35)

5.2. - Répartition de la pression

Le système d’équations intrinsèques consiste à écrire les équations d’Euler en régime permanent (∂ ∂t=0) dans un repère particulier. Ce repère est constitué par les lignes de courant pour le vecteur t et par le vecteur n tel que v ⊥ n.

I-33 : Ligne de courant dans un canal à surface libre, représentation des variables

en appelant sr

le vecteur unitaire de la tangente à la trajectoire, on a : s

V Vr r

= ^et

dt s Vd dt s dV dt

V

d r

r r

+

=

avec : V

R n dt .ds ds

s d dt

s

dr r r

=

R : rayon de courbure et nr

le vecteur perpendiculaire à sr .

n suivant

) p z . g . n( 1 R .V V

s suivant

) p z . g . s( 1 s V V

r r

+

∂ ρ

∂

−ρ

=

+

∂ ρ

∂

−ρ

∂ =

∂

Pour un écoulement uniforme, lorsque la vitesse moyenne U est constante et les lignes de courant sensiblement rectilignes, la répartition de la pression est hydrostatique dans la section droite du canal.

I-34 : Distribution de la pression dans une conduite à surface libre

Pour un écoulement non uniforme, à courbure convergente ou divergente, il existe une accélération qui provoque une force d’inertie. La répartition de la pression n’est plus hydrostatique.

(36)

g z p n R . g

V²



 



 +ρ

∂

= ∂

−



 



 +ρ

g

z p augmente toujours quand on s’éloigne du centre de courbure de la trajectoire.

h

h n

I-35 : Distribution de la pression non hydrostatique

Pour un courant extérieurement concave, la force centrifuge augmente les pressions ; pour un courant convexe, cette force diminue les pressions. Dans le dernier cas, elle peut même les rendre inférieures à la pression atmosphérique, provoquant un décollement du liquide du fond du canal et une pression négative par rapport à la pression atmosphérique.

I-36 : Distribution de la pression non hydrostatique sur un seuil

Applications : Répartition de la pression

• En supposant un écoulement dans un canal de rayon de courbure 1m, de vitesse uniforme 2m/s et de tirant d'eau 0.5m, calculer la variation de pression en mCE due à la courbure par rapport à celle qu'on aurait obtenue en hydrostatique.

(37)

Chapitre II :

ECOULEMENT PERMANENT ET UNIFORME

II-1 : Régime permanent uniforme

Sous certaines conditions, la hauteur d’eau d’un écoulement à surface libre peut demeurer constante quelle que soit la position considérée : on parle alors d’écoulement uniforme. Si ces conditions sont peu rencontrées en pratique, l’écoulement uniforme présente néanmoins un grand intérêt en hydraulique puisque le dimensionnement des canaux se fait généralement au régime permanent et uniforme.

(38)

Chapitre II : Ecoulement permanent et uniforme

1. - DESCRIPTION DE L'ECOULEMENT UNIFORME

Un écoulement uniforme, tel qu’illustré sur la figure suivante, peut être décrit de plusieurs façons (Hager 1999) :

• Hauteur d’eau constante : h1 = h2,

• Vitesse moyenne sur la section constante : U1 = U2,

• Surface libre parallèle au fond,

• Egalité entre la pente énergétique J (-dH/dz), la pente de la surface libre et la pente du canal I (-dz/dx).

II-2 : Evolution de la charge dans un écoulement permanent uniforme

Pour se produire, un certain nombre de conditions doivent être nécessairement rencontrées :

• Pente (I) du fond constante,

• Rugosité des parois constante,

• Débit constant à la fois dans le temps et dans l’espace : pas d’apports ou de prélèvements latéraux,

• Section prismatique : la section en travers ne varie pas le long du canal ou de la canalisation,

• Canal (canalisation) droit(e) : pas de coudes,

• Loin des conditions aux limites,

• Pression constante au-dessus de la surface libre.

L’écoulement uniforme et permanent se caractérise ainsi par une constance des paramètres hydrauliques. Ainsi la vitesse moyenne, le tirant d’eau et donc le débit restent invariables dans les différentes sections du canal le long de l’écoulement. Les lignes de courants sont rectilignes et parallèles et la pression verticale peut donc être considérée comme hydrostatique. La pente de fond, la pente de la surface libre et la pente de la ligne d’énergie sont parallèles.

Si elles sont nécessaires, les conditions précédentes ne sont cependant pas suffisantes. En effet, l’écoulement uniforme est un phénomène asymptotique qui pourra seulement s’établir

Plan de référence z

1

h

1

U

12

/2g

H

1

U

₂²

/2g

h

₂

z

₂

H

₂

(39)

Calcul de la hauteur normale

après une longueur d’écoulement « suffisamment » importante (Hager 1999). Dit autrement, l’écoulement uniforme ne peut s’établir qu’à une distance suffisamment grande d’une section de contrôle ; le chapitre sur les courbes de remous donnera le moyen de quantifier cette distance.

II-3 : Différences entre écoulement non uniforme et uniforme

Dans le cas d'un écoulement uniforme et permanent, un état d’équilibre peut ainsi apparaître entre les forces de pesanteur et les forces de frottement. La hauteur d’eau résultante s’appelle hauteur normale et ne dépend que du débit, du fluide, de la forme de la section ainsi que de la rugosité.

Applications : Régime permanent uniforme

• Localiser les zones en uniforme et non uniforme.

(40)

Chapitre II : Ecoulement uniforme et permanent

2. - CALCUL DES PERTES DE CHARGE

2.1. - A partir des écoulements en charge

Dans le cas des conduites circulaires en charge rectilignes prismatiques à rugosité de paroi uniforme, la perte de charge par unité de longueur s’écrit :

g V J D

2 λ 2

=

λ : Coefficient de perte de charge, V : Vitesse,

D : Diamètre.

Le coefficient de perte de charge peut être exprimé par la relation de Colebrook et White :



 



 + λ

− ε

λ = Re

51 , 2 7 , log 3 1 2

avec : Re > 4000 Re nombre de Reynolds,

ε : Rugosité relative de paroi (sans dimension) D

=ks ε

ks : rugosité équivalente de sable ou rugosité standard (m).

L’idée d’appliquer ces équations par similitude aux écoulements à surface libre est évidente.

Le rayon hydraulique étant le paramètre le plus représentatif des pertes de charge, en introduisant le rayon hydraulique Rh=D/4 dans les relations précédentes, on établit une relation qui permet d’exprimer la hauteur uniforme.

En reprenant les notations déjà utilisées précédemment : I

J =

La pente du canal I est une caractéristique géométrique. La pente énergétique J peut quant à elle être déterminée au moyen d’une formulation de perte de charge, où λ est le coefficient de perte de charge linéaire.

g U J R

h 2 4

λ 2

=

Par transposition directe de la relation de Colebrook et White établie aux écoulements en charge dans des canalisations circulaires, les équations suivantes peuvent être utilisées pour calculer le coefficient adimensionnel λ de perte de charge. k est la rugosité équivalente.

µ ρUR_h Re= 4











 + ×

= k

R_h 4 71 . 3 51 , 2 log Re 1 2

10

λ λ

L’approximation est d’autant plus juste que la section de passage de l’écoulement est proche d’une forme circulaire.

Dans le cas de canalisations d’assainissement, Hager propose les valeurs du tableau précédent (Hager 1999). Ces valeurs tiennent compte de façon globale à la fois des pertes par frottement mais aussi des pertes locales, très souvent difficiles à évaluer.

(41)

Calcul des pertes de charge

Application k (mm)

Valeur minimale 0,1

Conduite sous pression, siphon inversé, canalisation sans regard 0,25 Canalisation sans apports latéraux avec regard 0,50 Canalisation avec apports latéraux et avec regards ; canalisations sans

apports latéraux avec regards spéciaux 0,75

Canalisation avec apports latéraux et avec regards spéciaux ; canaux

en maçonnerie ; égouts non standards sans information sur la rugosité¹ 1,50

Valeurs de rugosité opérationnelle proposées par Hager (1999).

2.2. - A partir de l'analyse dimensionnelle

Nous allons déterminer la perte de charge à partir de l’analyse dimensionnelle. Les variables qui interviennent sont les suivantes :

Variables Symboles Dimensions

Perte de charge par unité de longueur

l p

∆

∆ ML^-2T^-2

Rayon hydraulique Rh L

Vitesse moyenne de l’écoulement U LT^-1

Masse volumique ρ ML^-3

On suppose que la relation est un produit de puissance :

c a b h .U . R l .

p =ξ ρ

∆

ξ est une constante adimensionnelle. La relation dimensionnelle est alors :

( )

^a

( ) ( )

¹ ^b ³ ^c

2

2T L LT ML

ML⁻ ⁻ = ⁻ ⁻

Ce qui donne : L : -2 = a+b-3c M : 1 = c T : -2 = -b D’où en regroupant :







ρ ξ

∆ =

∆

h 2

R . U l p

En régime uniforme on a :

g . 1 l I p

J  ρ



 





∆

= ∆

=





 ξ 

=







ρ ρ

= ξ

=

h 2

R . U g R

. U J g

I

1 Majoration de la rugosité pour aller dans le sens de la sécurité dans un contexte de dimensionnement.

(42)

Chapitre II : Ecoulement uniforme et permanent

3. - FORMULES DU TYPE CHEZY

Cette expression développée par l’ingénieur français Antoine Chézy en 1769 (Chow 1959) fait le lien entre l’hydrodynamique à travers la vitesse moyenne U de l’écoulement et les caractéristiques géométriques du canal : son rayon hydraulique Rh et sa pente I.

Elle provient directement de l'analyse dimensionnelle précédente :







= 





 ξ 

=

= ⁻

h 2 2 h

2

R . U R C

. U J g I

I R C

U = _h

Dans cette équation, C, est un coefficient, appelé le coefficient de Chézy, devant être déterminé par l’expérience. Plusieurs auteurs ont proposé des quantifications de C, parmi lesquels Kutter, Bazin, Manning-Strickler, etc. (Chow 1959).

3.1. - Approche de Bazin et Kutter

C : coefficient donné par diverses formules, dont les plus utilisées sont :

Bazin

C R

K R

h

B h

= +

87

Kutter

C R

K R

h

K h

= +

100 Ces relations ne sont valables qu’en régime turbulent rugueux.

KB et KK dépendent de la rugosité des parois et sont donnés par les tableaux suivants : Caractéristiques KB (m^1/2)

(43)

Formules de type Chézy

3.2. - Approche de Manning-Strickler

Quand l’écoulement est turbulent, ce qui est le cas le plus courant en hydraulique, de nombreuses formules expérimentales ont été proposées pour tenir compte de l’écoulement turbulent pour des canaux rugueux.

La formule de Manning-Strickler est considérée comme une bonne approximation de la réalité valable en turbulent rugueux.

16

h s

R K

C =

ce qui donne : I U

K_S R_h

= ₂ ² _{4 3}_/

U : vitesse moyenne, Rh : rayon hydraulique, Ks : coefficient de Strickler (m^1/3s^-1) et n

K_S

= 1 le coefficient de Manning.

Cette relation est valable pour une rugosité relative ε :

2

4 7.10

10 .

7 ⁻ <ε< ⁻

En reprenant l’équation de Colebrook en turbulent rugueux :

6 / 1

301 . 2 7 , log 3 2 Re

51 , 2 7 , log 3 1 2

≈ ε



 



 ε

−

≈







 + λ

− ε λ =

En utilisant la relation :

h 2

R 4 g 2

J=V λ , ainsi que : ₄_/₃

h 2 S

2

R K I= U

On a :

K

_S

. ks

¹^/⁶

= 25 . 68

Avec : 7.10⁻⁴ <ε<7.10⁻²

La limite de validité est ainsi donnée par la relation suivante :

4 . 68 R

K 8 .

31 <

_S _h¹^/⁶

<

Le tableau des rugosités est disponible en ANNEXE 4 : tableau des rugosités Ks p.118.

Caractéristiques KK (m^1/2)