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DU CALCUL MENTAL, ENCORE ET ENCORE !
La nécessité d’entraîner les élèves au calcul mental est mentionnée dans la plupart des programmes.
Au collège :
« Poursuivre l'apprentissage du calcul sous toutes ses formes : mental, posé, instrumenté... » En seconde :
« Le calcul est un outil essentiel pour la pratique des mathématiques dans la résolution de problème. Il est important en classe de seconde de poursuivre l’entraînement des élèves dans ce domaine par la pratique régulière du calcul mental... »
En seconde professionnelle :
« ... veiller à entretenir le calcul mental... » En filière STAV :
« Effectuer de manière autonome des calculs numériques et algébriques... » En filière S :
« ... acquérir la maîtrise de techniques de calcul... » (document d'accompagnement)
Nous avons bien souvent un a priori sur le calcul mental en tant que simple Calcul Mental Automatique (CMA) alors que, dans la plupart des cas, il s'agit d'une véritable Activité Mentale (AM). Et vous, qu’en pensez-vous ?
Pour le savoir, testez-vous !
Parmi ces dix calculs, à faire de tête sans papier, ni crayon, lesquels vous apparaissent comme du calcul mental automatique, comme une activité mentale ou aucun des deux ?
CMA AM Aucun
des deux 1. Calculer : 37+73.
2. Calculer : 99×27.
3. Calculer : 0,248×0,5.
4. Convertir une vitesse de 10 m/s, en km/h.
5. Calculer : 1−13.
6. Donner la valeur de x telle que : x+7=4.
7. Quel est le périmètre de ce rectangle ? 30 cm
70 cm
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CMA AM Aucun
des deux
8. Le triangle ci-contre est-il un triangle rectangle ?
9. Que vaut arg(1+i) ?
10. Donner la forme algébrique de 1 i.
Pour nous, seule la question 1. relève du calcul mental automatique et toutes les autres nous apparaissent comme une activité mentale. Encore que le premier calcul puisse être effectué de la façon suivante : (30+70)+(7+3), ce qui en fait alors une activité mentale.
Il est intéressant de noter que, dans la plupart des cas, la réponse donnée par les élèves de collège est 100, ceux qui donnent la bonne réponse ont réalisé que le résultat est supérieur à 100 et ont donc, de façon intuitive, fait la décomposition précédente.
Pour les autres questions, on peut utiliser :
Une stratégie de calcul
- Question 2 : (100−1)×27=100×27−27 (décomposition de 99 en 100−1 suivie d'un développement).
- Question 3 : Multiplier par 0,5 revient à diviser par 2.
- Question 4 : Transformer d’abord en m/h, puis en km/h sachant qu’une heure est égale à 3600 s et 1 km à 1000 m.
Une visualisation à l’aide d’un graphique
- Question 5 : Visualisation du partage en 3 parts d’un camembert ou autre fromage.
- Question 9 : Représentation géométrique d’un nombre complexe et des angles remarquables.
La notion de complément
- Question 6 : Quel nombre ajouté à 7 donne 4 ?
Les connaissances et une application directe du cours
- Question 7 : (30+70)×2=100×2=200 formule du périmètre du rectangle et calcul.
- Question 8 : 49+16=65 donc le triangle n’est pas rectangle (théorème de Pythagore).
- Question 10 : 1
i = −i
i×(−i)=−i multiplication par le conjugué
À travers ces exemples, il apparaît que dans la grande majorité des cas, voire dans tous les cas, les élèves pratiquent une véritable activité mentale. Aussi, sommes-nous convaincus de l’intérêt de mettre en place de telles séances dans nos classes, même jusqu’en terminale.
Certains d’entre nous pratiquent régulièrement ce genre d’activité avec leurs élèves et ce, dans différentes classes. Ils procèdent ainsi et n’y voient que des points positifs.
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Organisation des séances :
- Ces séances sont courtes (10 à 15 minutes).
- Elles peuvent être menées sous forme d’une interrogation orale ou à l’aide d’un support visuel (diaporama, transparent).
- Les questions sont données une à une ; l’élève ne peut donc pas revenir sur les questions précédentes.
- Les élèves répondent sur papier ou, pour les nostalgiques, sur une ardoise.
- Pour l’efficacité de la séance, il nous paraît essentiel de corriger à l’issue de l’interrogation.
Intérêts de ces séances :
- Elles apparaissent ludiques aux élèves et sont accessibles à tous.
- Elles peuvent être menées tout au long de l’année et sur toutes les parties du programme.
- Elles peuvent être utilisées dans différentes situations : correction de devoirs (les perles !), interrogations de cours...
- On évalue d’autres compétences.
- Elles sont une autre méthode d’apprentissage et d’évaluation.
- Elles permettent de développer des automatismes, des réflexes et la rapidité de l’élève.
- Elles peuvent avoir un caractère pluridisciplinaire (avec la physique, l’économie...) - Dans certaines classes, le fait de mener régulièrement ces séances est un repère et un
moment de travail privilégié.
Liste non exhaustive, de questions posées lors de telles séances :
- Comparer les nombres suivants à 1, puis entre eux : 35 et 5 3. - Donner la fraction irréductible égale à 28
48.
- Quelle est la fraction coloriée dans le dessin ci-contre ? - Écrire avec le même dénominateur 8
5 et 7 4. - Calculer 3 + 2 × 5 ou encore 14−(6+8).
- Donner la valeur de x qui rend l’égalité vraie : 2x+7=10.
- À l’aide des 4 opérations et de parenthèses, écrire une seule ligne de calculs permettant d’obtenir le résultat suivant avec les nombres donnés.
- Que vaut 5² ? 23 ?
- Écrire littéralement le nombre 10−2.
- Donner l’écriture scientifique du nombre 25000.
- Calculer l’image de −1 par la fonction f, définie par f(x)= 5 x2−x.
Sur le principe du jeu Mathador, à l’aide d’un tableur, les nombres ainsi que le résultat peuvent être donnés au hasard.
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- Quelques questions où le vidéoprojecteur s’impose… :
Combien l'équation f(x) = 0 a-t-elle de solutions ?
Quelles fonctions sont représentées par les droites d1 et d2 ?
Quel est le plus grand de ces 4 nombres ?
a) b) c) d)
31 × 10− 2 3,1 × 10− 3 0,31 × 106 31 000
ABCD est un tétraèdre régulier (ses quatre faces sont des triangles équilatéraux)
I est le milieu de [AB], J celui de [AC] et K celui de [AD]
B
C D A
I J
K
Le triangle ICD est équilatéral.
Le triangle IJK est équilatéral.
Quelle est la mesure de l'angle ? EFDB est un carré. Quelle est la longueur des côtés de carré ABCD ?
Et enfin, quelques questions pour nos élèves de première et terminale : - Quelle est la dérivée de la fonction f : x →3
x ? - Donner une primitive de la fonction f : x → 4x.
- Que vaut |3+i| ?
Les idées ne manquent pas… Nous vous souhaitons, ainsi qu’à vos élèves, de bonnes séances d’activités mentales !
