TD de physique ASINSA 1

(1)

ASINSA 1

^ère

année

TD de physique ASINSA 1 ^ère année Edition 2000-2001

B

x ’ x

y ’

y

z ’ z

' F

F A

C

D

J

J ’ I

I ’ i

r k

r

i r

' F

F

x ’ x

y ’ y

α j

r

J

J ’

Textes sélectionnés par P. MASSON, N. GODIN, A. DELMAS

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON ASINSA – 1^ère année

(2)

ASINSA – 1^ère année TD de Physique

(3)

Références bibliographiques

Electricité partie I : Electrostatique – polycopié de cours du département du premier cycle, 1^ère année. M Lambinet

Electromagnétisme, collection H prépa, édition Hachette, ISBN 2.01.14.5078.0, J.M. Brébec, P.

Denevé

Electromagnétisme I, Collection j’intègre, édition Dunod, ISBN 2.10.003101.5, J.P. Faroux, J.

Renault

Electromagnétisme, fondement et applications, édition Masson, ISBN 2.225.83037.1, J.P.

Pérez, R. carles, R. Fleckinger

(4)

(5)

Sommaire

Calculs vectoriels N°1... 14

Calculs vectoriels N°2... 16

Unités – Equations aux dimensions N°1 ... 17

Unités – Equations aux dimensions N°2 ... 19

Unités – Petites variations, Incertitudes N°1... 20

Géométrie des masses (intégrales simples) N°1 ... 24

Géométrie des masses (Moments et centre d’inertie) N°2... 25

Statique des fluides N°1 ... 27

Statique des fluides N°2 ... 29

Statique du solide N°1... 31

Statique du solide N°2... 33

Energie et travail N°1 ... 34

Energie et travail N°2 ... 36

Optique géométrique N°1... 37

Système centré N°1 ... 44

Système centré N°2 ... 46

Lentilles minces N°1 ... 48

Lentilles minces N°2 ... 50

Doublets N°1... 51

Doublets N°2... 53

Doublets N°3... 54

Electrostatique N°1 ... 55

(6)

Electrocinétique N°2... 72

MODULE ″GRANDEUR PHYSIQUES″... 77

Interrogation n°1 ... 77

MODULE ″ELECTROMAGNETISME″... 83

Devoir de synthèse n°1 ... 85

(7)

Unités de mesures

UNITES SI MULTIPLES SI ou autres unités usuelles Grandeur Nom Sym-

bole

Valeur en unité de base Nom Symbole Valeur en SI Unités énergétiques

degré Celsius °C 1° = 1 K (yK = 273,15 + x°C) Température

degré Fahrenheit

°F (zK = 273,15 + 5/9 [x°F – 32])

erg erg 10 ⁻⁷J

calorie (thermo- chimique)

cal 4,1840 J

calorie IT cal 4,1868 J kilocalorie kcal 4184 J

wattheure Wh 3600 J

kilowattheure kWh 3,6 10⁶ J thermie th 4,18 10⁶ J chevalheure cvh 2,648 10⁶ J British

Thermal Unit

BTU 1,055 10³ J électronvolt ev 1,602 10⁻¹⁹ J Energie

(travail ou chaleur)

joule J m².kg.s ⁻² (newton mètre)

frigorie 4180 J

(enlevés) Quantité de

rayonnement ionisant absorbé par unité de masse

rad 10⁻² J.kg⁻¹

cheval-vapeur cv 735,5 W Puissance watt W m².kg.s⁻³

(joule par seconde) frigorie par heure

1,161 W (enlevés) Entropie m².kg.s⁻².K⁻¹

(joule par kelvin)

clausius Cl 4,18 J.K⁻¹ Capacité

calorifique

m².kg.s⁻².K⁻¹ (joule par kelvin)

Unités optiques

Luminance m⁻².cd (candela par

mètre carré)

stilb sb 10⁴ cd.m⁻² Flux

lumineux

lumen lm cd.sr

Eclairement lux lx m⁻².cd.sr phot ph 10⁴ lx

Vergence des systèmes optiques

dioptrie δ m⁻¹ (vergence d’un système de distance focale de 1 m dans un milieu d’indice de réfraction égale à 1)

(8)

bole

Valeur en unité de base

Nom Symbole Valeur en SI Unités géométriques

angström Å (ou A) 10 ⁻¹⁰ m micron µ (ou µm) 10 ⁻⁶ m

inch = pouce in 0,0254 m

foot = pied ft 0,3048 m

yard yd 0,9144

mille marin 1852 m

année lumière al 9,461 10 ⁻¹⁵ m Longueur

unité astronomique UA 1,496 10 ⁻¹¹ m

barn b 10 ⁻²⁸ m²

are a 100 m²

Surface mètre carré

m² Surface d’un carré de 1 m de côté

hectare ha 10000 m²

litre l 10 ⁻³ m³

tonneau de mer 1,44 m³

tonneau de jauge 2,832m³ gallon US gal 3,785 10 ⁻³ m³ Volume mètre

cube

m³ Volume d’un cube de 1 m d’arête

barril US bbl 0,159 m³

degré d ou ° 0,01745 rad

minute sexagésimale

‘ 2,91 10 ⁻⁴ rad (360° → 2π rad) seconde

sexagésimal

‘’ 4,85 10 ⁻⁶ rad (60’ → 1°) Angle plan radian Rad Angle au centre

interceptant un arc de cercle égal à la longueur du rayon

grade gr 0,0157 rad

(60’’ → 1’) Angle solide stéradian sr Angle solide

interceptant un arc de cercle égale à la longueur du rayon

Unités mécaniques

Fréquence hertz Hz curie Ci 3,7 10¹⁰ s⁻¹

(désintégration d’un nucléide par seconde)

carat 2 10 ⁻⁴

Masse

unité de masse atomique

u 1,66053 10 ⁻²⁷ kg (1/12 de la masse du carbone 12)

Accélération gal Gal 10 ⁻² ms⁻²

kilogramme- force

kgf 9,80665 N

Force newton N

dyne dyn 10 ⁻⁵ N

bar bar 10⁵ Pa

kilogramme- kgf.cm⁻² 0,98066510⁵ Pa Contrainte et

pression

pascal Pa

(9)

bole

Valeur en unité de base

Nom Symbole Valeur en SI Unités mécaniques (suite)

Tension superficielle

kg.s ⁻² (newton par mètre, ou joule par m²)

dyne par cm 10 ⁻³ kg.s ⁻² Viscosité

dynamique

m ⁻¹.kg.s ⁻¹ (pascal par seconde)

poise Po 10 ⁻¹ Pl Viscosité

cinématique

poiseuille Pl

m².s ⁻¹ stokes St 10 ⁻⁴ m².s ⁻¹ Unités électriques

Quantité d’électricité

coulomb C s.A Tension ou

différence de potentiel

volt V m⁻².kg⁻.s⁻³.A⁻¹

(watt par ampère ou joule par coulomb) Capacité

électrique

farad F m⁻².kg⁻¹.s⁴.A² (coulomb par volt) Résistance

électrique

ohm Ω m².kg.s⁻³.A⁻² (volt par ampère) Conductance siemens S m⁻².kg⁻¹.s³.A²

(ampère par volt ou Ω⁻¹)

mho 1S

Champ électrique

m.kg.s⁻³.A⁻¹ (volt par mètre) Déplacement

électrique

m⁻².s.A

(coulomb par m²) Permittivité m⁻³.kg⁻¹.s⁴.A² Champ

magnétique

m⁻¹.A

(ampère par mètre) Induction

magnétique

Tesla T kg.s⁻².A⁻¹ (wéber par m²) Flux

d’induction magnétique

wéber Wb m².kg.s⁻².A⁻¹ (voltseconde)

maxwell Mx 10⁻⁸ Wb

Inductance henry H m².kg.s⁻².A⁻² (wéber par ampère) Perméabilité

magnétique

m.kg.s⁻².A⁻² (henry par mètre)

(10)

Coordonnées

Coordonnées cartésiennes de M : x, y, z

x

y z

M

i rk

r

j O r

ur K

θx

θz

θy

Oxyz est un trièdre orthonormé direct : la plus petite rotation qui amène Ox sur Oy se fait dans le sens trigonométrique direct autour de Oz :

k z j y i x OM

r r r

+ +

=

si OM fait avec les axes, les angles θx, θy, θz, les cosinus directeurs de OM sont α=cos

( )

θ_x , β=cos

( )

θy , γ=cos

( )

θ_z . Ce sont les composantes du vecteur unitaire ur

.

2 1

2 2 +β +γ = α

Coordonnées cylindriques de M : ρρρ, θρ θθ, z θ

x

y z

M

k O r

K

ρ r

ϕ

H _n^r mr

≥0

ρ , 0≤ϕ≤2π, −∞<z<+∞

Relations avec les coordonnées cartésiennes :

( )

ϕ ρ

= cos x

( )

ϕ ρ

= sin y

z z=

Coordonnées sphériques de M : r, θθθθ, ϕϕϕ ϕ

x

y z

M wr vr

O

ur K

θ

ϕ r

H wr

0

r≥ , 0≤θ≤π, 0≤ϕ≤2π

Relations avec les coordonnées cartésiennes :

( )

θ

( )

ϕ

=rsin cos x

( ) ( )

θ ϕ

=rsin sin y

( )

θ

=rcos z

(11)

Primitives particulière de quelques fonctions courantes

Fonctions Primitives Fonctions Primitives

1 m , x^m ≠−

1 m x^m ¹

+

x

1 lnx

x

cos sinx sinx −cosx

ex e^x a^x,a>0

a ln

a^x

chx shx shx chx

x cos

1

2

x tan

x sin

1

2

anx

−cot

x ch

1

2

thx

x sh

1

2

x

−coth

x sin

1

2 tanx

ln cosx

1 )

4 2 tan(x

ln π

+

x2

1 1

− 1 x

x ln1 2 1

− +

x2

1 1 +

x arctan

x2

1 1

−

x arcsin

x2

1 1 +

shx arg

1 x

1

2 −

x ch arg ) x ( signe

M est un paramètre réel

(12)

Fonctions trigonométriques

Valeurs particulières

x 0

6 π

4 π

3 π

2 π

sin x 0

2 1

2 2

2

3 1

cos x 1

2 3

2 2

2

1 0

tan x 0

3

3 1 3 ∞

1 1

sin(x)

cos(x)

x tan(x) 0

Relations

x cos

x x sin

tan = cos²x+sin²x=1

x tan 1 x cos

1 ₂

2 = +

x tan 1 1 x sin

1

2

2 = +

-x π−x

2−x π

x π2

+ x+nπ

sin -sin(x) sin(x) cos(x) cos(x) (-1)ⁿ sin(x) cos cos(x) -cos(x) sin(x) -sin(x) (-1)ⁿ cos(x) Formules d’additions

b tan a tan 1

b tan a ) tan b a tan(

b sin a sin b cos a cos ) b a cos(

a cos b sin b cos a sin ) b a sin(

−

= + +

−

= +

+

= +

(13)

Relations avec l’arc double

a tan 1

a tan a 2

tan2 a

tan 1

a tan cos2a 1

a tan 1

a tan a 2

2 sin

) a 2 cos 1 2( a 1 cos

) a 2 cos 1 2( a 1 sin

a sin 2 1 1 a cos 2 a sin a cos a 2 cos

a cos a sin 2 a 2 sin

2 2

−

= +

= − +

= +

=

−

=

−

=

−

=

−

=

Transformation de produits en sommes

2 q sinp 2

q sinp 2 q cos p cos

2 q cosp 2

q sinp 2 q sin p sin

2 q cosp 2

q cosp 2 q cos p cos

2 q cosp 2

q sinp 2 q sin p sin

+

− −

=

−

+

= −

−

= + +

−

= + +

(14)

Calculs vectoriels N°1

Exercice I : Opérations élémentaires

On considère dans le repère (O,i,j,k) r r r

les vecteurs :





























+ + + +

−

=

+ ++ +

−

−−

−

=

==

=

−−−

− ++ ++

==

k 3 j 3 i 4 V

k 2 j 2 i 3 V

k j 3 i 2 V

3 2 1

r r r

(I.1)

I.1. Calculer la norme des vecteurs V , ₁ V et₂ V . ₃

I.2. Calculer les composantes et les normes des vecteurs A et B définis par :



















−

− + ++ +

=

++ ++ ++ ++

==

3 2 1

V V V B

V V V

A (I.2)

I.3. Déterminer l’unitaire ur

du vecteur C défini par :

2 1 3V V

C==== ++++ (I.3)

I.4. Calculer le produit V₁.V₂

I.5. Déterminer les composantes du produit V₁∧∧∧∧V₂ Exercice II : Angle de deux vecteurs

Soient les points A1 (1, 1, 1), A2 (2, 2, 1) et A3 (2, 1, 0). Calculer l’angle (A₁A₂,A₁A₃) compris entre 0 et π.

Exercice III : Produit scalaire

III.1. Démontrer que dans un triangle quelconque ABC on a la relation suivante : )

Bˆ cos(

BC . AB . 2 BC AB

AC² ==== ²++++ ²−−−− (III.1)

III.2. Démontrer la relation suivante :

) sin(

).

sin(

) cos(

).

cos(

)

cos(α−−−−β ==== α β ++++ α β (III.2)

III.3. Démonter que deux vecteurs de norme V faisant un angle θ vérifient ces deux relations :











V₁++++V₂ ====2Vcos(θ/2)

(III.3)

(15)

Exercice IV :

L’espace est rapporté au repère orthonormé (O,i,j,k) r r r

et on donne les vecteurs :

















−−−

−

==

−−

−− ++ ++

−−−

−

==

== k j v

k 2 j i ur r r

r r r r

(III.4) On recherche les vecteurs e , ₁ e , ₂ e (″unitaires″ de norme égale à 1) de la base ₃ (e₁,e₂,e₃) orthonormée directe.

IV.1. On pose e₁ ur λ

==

== (λ est un réel positif). Comparer les directions et sens de e et u₁ r . Calculer λ et en déduire e₁ dans la base (i,j,k)

r r r

. IV.2. On pose e₂ aur bvr

+ + + +

=

= (a et b sont des réels). e est orthogonal à ₂ ur

et e₂.vr

>0. Que peut- on dire des vecteurs e , u₂ r

, vr

? Calculer a et b. En déduire e dans la base ₂ (i,j,k) r r r

. IV.3. Exprimer e dans la base ₃ (i,j,k)

r r r

.

(16)

Calculs vectoriels N°2

Exercice I :

Z

X

Y M

M₀ O

i r

j k r r

ϕ λ

Figure I.1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé (O,i,j,k) r r r

. I.1. Un point M situé sur la sphère (S) de centre O et de rayon R est repéré par les angles ϕ et λ. Soit M0 la projection orthogonale de M sur le plan (xOy). On note :

















=

==

== λ ϕ ) OM , OM (

) OM , Ox (

0 0

Exprimer, en vous aidant de la figure (I.1.), OM dans la base (i,j,k)

r r r

.

I.2. On considère deux points M1(λ1, ϕ1) et M2(λ2, ϕ2) situés sur la sphère (S). Montre que : )

sin(

).

sin(

) cos(

).

cos(

).

cos(

) OM , OM

cos( ₁ ₂ ==== λ₁ λ₂ ϕ₁−−−−ϕ₂ ++++ λ₁ λ₂ Exercice II : Produit mixte

Dans une base orthonormée (e₁,e₂,e₃), on considère les trois vecteurs :































−−

−−−

−

==

+ + + +

−

−−

−

=

−−

−− ++ ++

===

=

3 2 1

e e 2 e w

e e e 2 v

e e e u

Calculer le produit mixte (u,v,w). Quelle est sa signification géométrique ? Exercice III : Moment d’un vecteur

Dans un repère orthonormé (O,i,j,k) v r r

, on considère les trois vecteurs liés (A,ur) , (B,vr)

, (C,wr) avec A(2, 1, 0), B(-1, 1, 2), C(3, 0, 2) et ur

(1, 1, 1), vr

(1, -1, 0), wr

(-2, -3, 1).

III.1. Calculer les moments des trois vecteurs liés par rapport à O.

III.2. Calculer la résultante générale des trois vecteurs et le moment résultant en O

III.3. Soit un axe ∆ passant par les deux points P(2, 1, 2) et Q(5, -3, 2) et dirigé par le vecteur PQ . Calculer les moments par rapport à ∆ des trois vecteurs liés.

Rappel 1 : Moment par rapport à un point

Soit un vecteur lié (A,U) et P un point quelconque. On appelle moment du vecteur lié par

(17)

Unités – Equations aux dimensions N°1

Exercice I : Unités

I.1. Dans le système SI, les grandeurs fondamentales sont : L, M, T, I et θ (longueur, masse, temps, intensité de courant, température thermodynamique).

Système SI Système CGS

Unité de longueur : m Unité de masse : kg

Unité de temps : s

Unité de longueur : cm Unité de masse : g

Unité de temps : s I.1.1. Quel est le rapport des unités de forces du système CGS et SI ? I.1.2. Même question pour la pression.

I.2. Dans le système MKpS, les grandeurs fondamentales sont : L, F, T) soit (longueur, force, temps).

I.2.1. L’unité de force est le kgf dans le système MKpS. Le kgf correspond à une force agissant sur une masse de 1 kg placée dans le champ de l pesanteur. Combien vaut-il de newton (N) et de dyne (dyn) ? Un dyne correspond à 10^-5 N.

I.2.2. L’unité de masse du système MKpS est une unité dérivée. Quelles sont dans ce système les dimensions de la masse ?

I.2.3. L’unité de travail est le kgm. Quelles sont, dans ce système, les dimensions de travail ?

I.2.4. Etablir la correspondance entre le kgm, le joule (N.m) et l’erg (dyn.cm).

Exercice II : Analyse dimensionnelle

On considère des systèmes cohérents d’unités électriques admettant la base L, M, T, I (longueur, masse, temps, intensité de courant) pour l’écriture des équations aux dimensions.

II.1. En utilisant des définitions ou des relations vues dans les années antérieures, former les équations aux dimensions des grandeurs électriques suivantes :

• Quantité d’électricité (ou charge électrique), Q

• Différence de potentiel (ou tension ou force électromotrice), U

• Résistance, R

• Capacité d’un condensateur, C

• Inductance propre, L II.2. Former les équations aux dimensions :

• Du produit

[[[[ ]]]]

^RC

• Du rapport 



 





R L

II.3. Déterminer l’équation aux dimensions de la grandeur ε0 (permittivité du vide). ε0 est introduit en électrostatique dans la loi de coulomb :

0 r2

' qq 4 f 1

= πε

==

= (II.1)

(18)

Chercher la dimension du rapport 



 





0

C

ε . Est ce que ce résultat était prévisible d’une autre manière ?

II.4. Un condensateur de capacité C, préalablement chargé, est réuni à une bobine d’inductance propre L et résistance négligeable. Il apparaît alors, au niveau du circuit, des oscillations électriques de période T0. On admet une relation de la forme :

β αC kL

T₀ ==== (II.2)

où k, α et β sont des constantes (sans dimensions). Déterminer la valeur des exposants rationnels α et β.

Exercice III : Analyse dimensionnelle

Soit l’expression :

λ π ρ π

λ 2

A. g2

V==== ++++ (III.1)

o

ù V est la vitesse, λ une longueur d’onde, g l’accélération de la pesanteur, ρ la masse volumique et A une tension superficielle. Donner l’équation aux dimensions fondamentales (L, M, T) de la tension superficielle.

(19)

Unités – Equations aux dimensions N°2

Exercice I : Définition d’unités nouvelles

On considère un système cohérent d’unités mécaniques (S) dans lequel les unités de base sont : l’unité de temps égale à la seconde, l’unité de masse égale au gramme, l’unité d’accélération mesurée en unités SI par le nombre 9,81 (g)

I.1. Définir l’unité de force de ce système (S) et donner sa valeur en newtons.

I.2. Définir l’unité de longueur de (S) et donner sa valeur en mètres.

I.3. Déterminer la valeur de l’atmosphère (pression atmosphérique normale) en unité (S) avec trois chiffres significatifs.

Exercice II : Quelques autres unités

II.1. La trajectoire de la terre autour du soleil a un rayon a = 1,49.10¹¹ m = 1 Unité Astronomique (UA). Pour repérer la distance r = SE (figure (II.1)) d’une étoile au soleil, on mesure l’angle

∩∩

∩∩ 2 1ET

T = 2θ. En fait on mesure les angles α et β puis on calcul θ====(π−−−−α−−−−β) 2. L’angle θ est la parallaxe stellaire et l’on a θ = a/r (θ en radians). On définit le parsec (contraction de parallaxe-seconde) comme la distance r0 correspondant à θ0 = 1’’.

T₁ S T₂

α β

2θ

E

Figure II.1.

II.1.1. Calculer la valeur de 1 parsec en mètres, années lumière et en unités astronomique.

II.1.2. L’étoile la plus proche de nous (Proxima Centauris) a pour parallaxe θ = 0,82’’.

Calculer sa distance au soleil.

II.1.3. Quelle forme prend la relation liant θ et r lorsque θ est exprimé en secondes d’angle et r en parsec ?

II.2. L’unité de masse atomique (uma) est définie de la façon suivante : l’isotope du carbone

12C

6 est un atome dont la masse est égale à 12 uma. Calculer en kg la valeur de 1 uma. On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro : N = 6,022.10²³.

(20)

Unités – Petites variations, Incertitudes N°1

Exercice I : Effet de couche mince sphérique, cylindrique ou conique

On rappelle les expressions des volumes suivants :

• La sphère : R³ 3

V====4π (R est le rayon)

• Le cylindre : V====πR²L (R est le rayon et L la longueur)

• Le cône :

(((( ))))

R h 3 h 1 R 12 2

V π ² π ²

==

== (R est le rayon et h la hauteur)

I.1. En appliquant d’abord la notion d’accroissement fini, déterminer le volume d’une couche sphérique de rayon R et d’épaisseur δR. Retrouver ce résultat en appliquant la notion de différentielle.

I.2. Un solide a la forme d’un cylindre d’une longueur L et de rayon R.

I.2.1. Déterminer le volume d’une couche cylindrique de rayon R et d’épaisseur δR, constituant un manchon cylindrique de rayons R et R + δR (avec R >> δR).

I.2.2. Sachant que le coefficient de dilatation linéaire du matériau est α, exprimer la variation relative du volume de ce solide lorsque la température augmente de δθ.

I.3. Un cône a pour rayon du cercle de base R, pour hauteur h. Déterminer la variation relative de son volume lorsque R varie de δR et h de δh.

Exercice II : Variation de la capacité d’un condensateur cylindrique avec la température

La capacité d’un condensateur cylindrique est donnée par la formule suivante :











= 

=

1 2 0

R log R

h C 2πε

>0 (II.1)

où h est la longueur de ce condensateur. R1 et R2 sont respectivement les rayons des cylindres coaxiaux constituant les armatures internes R1 et externe R2. Ces armatures sont réalisées en matériaux conducteurs de même nature (même coefficient de dilatation linéaire).

II.1. Montrer que si R2 = R1 + e avec e << R1, l’expression de la capacité peut se mettre sous la forme :

e

C====ε₀S (II.2)

où S est la surface de l’armature interne.

II.2. Une variation de la température, δθ, provoque une variation des dimensions.

Déterminer la variation correspondante de la capacité.

(21)

Unités – Petites variations, Incertitudes N°2

Exercice I : Indice de réfraction

L’indice de réfraction n d’une substance, déterminée à l’aide du réfractomètre de Pulfrich (figure (I.1.)), est donné par la relation :

2 2 sin( ) N

n==== −−−− α (I.1)

N est l’indice de réfraction du prisme rectangulaire du réfractomètre. α est l’angle d’émergence Calculer l’incertitude relative et absolue sachant que : N = 1,626 ± 0,001 et α = 60°00’ ± 1’

N n

α

Figure I.1. Réfractomètre de Pulfrich

Exercice II : Indice de réfraction de l’air

Une détermination de l’indice de réfraction n de l’air utilise la relation suivante :

(((( ))))

λ 1 l n

p==== −−−− (II.1)

p est le nombre d’interfranges, l est une certaine longueur et λ désigne la longueur d’onde de la lumière utilisée. Soit une expérience donnant les résultats suivants :

• = 0,6104 µm (connue sans erreur appréciable)

• p = 96 ± 1

• l = 200 ± 1 mm

Calculer l’indice n, la précision avec laquelle il est déterminé ainsi que les limites entres lesquelles il est compris.

Exercice III : La tour Eiffel

La tour Eiffel (figure (III.1.)), de hauteur h, supporte un mât vertical de hauteur l qui se projette en H sur le plan horizontal du pied de la tour.

D’un point A de ce plan, situé à la distance a de H, on voit le mât sous l’angle θ.

l

h

H A

α θ

Figure III.1. Schéma de la Tour Eiffel.

(22)

III.1. Exprimer l en fonction de a, h et θ. Il sera utile d’introduire puis d’éliminer l’angle α indiqué sur la figure (III.1.).

III.2. On connaît a et h sans erreur appréciable et plus généralement on néglige toute erreur autre que celle commise sur θ que l’on évalue avec l’incertitude relative ∆θ/ . Calculer θ l’incertitude relative et absolue commise dans le mesurage indirect de l.

III.3. Vérifier que l’on peut écrire :

( )

_∆_θ











 +

+

=

∆ a

l a h l

2

(III.1) On fixe ∆θ. Exprimer en fonction de h et de l la valeur qu’il faut prendre pour a, afin que le mesurage indirect de l décrit précédemment soit le moins imprécis possible.

III.4. On donne h = 20 m et ∆θ = 0,5 degré. On réalise trois mesurages pour a = 10 m, a = 32 m et a = 75 m. L’expérience donne respectivement θ =9°, θ = 13 ° et θ = 8°.

III.4.1. Dans chacun de ces trois cas, déterminer le domaine d’incertitude. Quelle est la compatibilité des 3 domaines obtenus ?

III.4.2. Les résultats sont-ils conformes à la réponse finale de la question III.2. ?

(23)

Unités – Petites variations, Incertitudes N°3

Exercice I : Indice de réfraction

Sur une sphère de diamètre D, on a tracé un cercle de diamètre C (C<D) qui partage la sphère en deux. On appelle h la hauteur de la plus petite calotte sphérique (figure (I.1)).

I.1. Monter que h peut s’exprimer selon l’expression suivant :



 



 −−−− −−−−

==

== D D² C² 2

h 1 (I.1)

I.2. D et C sont mesurés directement avec le même pied à coulisse. L’incertitude absolue sur D et C est notée ε = ∆D = ∆C. En supposant qu’il n’y a pas d’autres erreurs que celles qui proviennent des mesurages de D et C, exprimer l’incertitude absolue ∆h.

I.3. Donner l’expression de l’incertitude relative sur h

I.4. Application numérique : On prend D = 120,0 mm, C = 80,0 mm et ε = 0,1 mm. Calculer

∆h et h.

I.5. Si on avait coupé la sphère suivant le cercle C de façon extrêmement soignée et mesuré directement h avec le même pied à coulisse que précédemment, aurait-on eu une meilleure précision que par le calcul précédent ?

h

P

O C

D

Figure I.1.

Exercice II : L’ellipse

Une ellipse a pour centre O, pour grand axe (A’A) tel que (A’A) = 2a et pour petit axe (B’B) = 2b. Etant donné un point M quelconque de l’ellipse, on note :

r OM

OM= = et =θ

∩

AOM

II.1. Rappeler l’équation cartésienne de l’ellipse et démonter que :

) ( tg a b

) ( tg ab 1

r 2 2 2

2

θ +

θ

= + (II.1)

II.2. On mesure la longueur des deux axes avec la même incertitude relative ε, et on connaît θ avec une incertitude absolue ∆θ. Exprimer l’incertitude qui en résulte sur r en fonction de a, b, θ, ∆θ et ε.

A.N. : 2a = 400 ± 2 mm, 2b = 200 ± 1 mm, ∆θ = 30’ pour θ = 45°

(24)

Géométrie des masses (intégrales simples) N°1

Remarque :

Si, lorsqu’on coupe un solide par un plan z = constante, on sait calculer la surface S(z) de cette intersection, le volume du solide est donné par :

∫∫∫∫

=

max

min

Z

dz ) z ( S

V (R.1)

Cette formule permet, pour tous les solides de révolution (où S(z) = πr²(z)), de ramener les calculs de volume à des intégrales simples.

Exercice I : Volume d’un cône

Retrouver l’expression du volume V d’un cône de révolution plein et homogène de hauteur h, le rayon de la base étant R. L’expression de ce volume est :

3 h V R

π 2

==

== (I.1)

On cherchera à calculer ce volume à partir de deux méthodes différentes, c’est-à-dire deux volumes élémentaires différents.

Exercice II : Volume d’une sphère

Calculer le volume d’une sphère de rayon R. On donnera les différents volumes élémentaires d’intégration.

Exercice III : Application de l’exercice II au calcul de la masse de la terre

La terre est considérée comme une sphère (S) de circonférence 40 000 km. Sa masse volumique ρ dépend de la distance r au centre par la relation :













−−

==

2 2

0 R

1 α r ρ

ρ (III.1)

avec α = 0,723 et ρ0 = 9,75 gcm^-3.

Exercice IV : Calculs sur une sphère

Calculer la surface d’une sphère de rayon R. Calculer l’aire d’une zone sphérique comprise entre θ = θ1 et θ = θ2.

(25)

Géométrie des masses (Moments et centre d’inertie) N°2

Exercice I :

I.1. Calculer le moment d’inertie d’un cylindre plein et homogène par rapport à son axe I.2. On considère un cylindre de hauteur h et de rayon R dont la masse volumique ρ est une fonction de la distance au plan de base z = 0 par la relation :













−−

===

= 2

2

0 h

kz 1 ρ

ρ (I.1)

où k est une constante.

I.2.1. Calculer la masse M du cylindre

I.2.2. Calculer son moment d’inertie J par rapport à son axe(z’oz) I.2.3. Calculer la position du centre d’inertie G par rapport à z = 0 Exercice II :

On considère un cône plein homogène de masse volumique ρ, de hauteur h et de rayon de base R. Montrer que le moment d’inertie de ce cône par rapport à son axe de révolution ∆ est :

hR4

10

J_∆ ==== 1 ρπ (II.1)

Exercice III :

Soit une sphère pleine homogène de rayon R et de masse M.

III.1. Montrer que le moment d’inertie J_∆ de la sphère par rapport à un des axes de révolution est :

MR2

5

J_∆ ====2 (III.1)

III.2. Montrer que le moment d’inertie J∆ de la sphère par rapport à un des plans médians est : J∆

2 1 5 J MR

2

P ==== ==== (III.2)

Exercice IV :

Une plaque homogène, d’épaisseur constante a, a la forme d’un demi disque de centre O de rayon R. Déterminer la position de son centre d’inertie G et en déduire la position de celui des centres d’inertie G1 et G2 des deux ¼ de disque.

Exercice V :

Un arc

∩

∩∩

∩

AB , pris sur un cercle de centre O et de rayon R, a pour angle au centre

∩

∩∩

∩

AOB = 2α (figure (V.1)). On appelle Oy la bissectrice (intérieur) de ( OA , OB ). On considère les quatres solides suivants :

(26)

• (S1) est un fil homogène très fin dont la section est constante et qui épouse la forme de l’arc

∩∩∩

∩

AB . La masse du fil est M1.

• (S2) est une plaque homogène plane d’épaisseur constante est très faible délimitée par l’arc

∩

AB et les rayon OA et OB. Sa masse est M2.

• (S3) est une plaque homogène plane d’épaisseur constante est très faible et qui a la forme de la calotte sphérique engendrée par la rotation de l’arc

∩

∩∩

∩

AB autour de Oy.

Sa masse est M3.

• (S4) est un segment sphérique homogène ayant une base limité par la calotte sphérique précédente. Sa masse est M4.

Les données étant α, R et les masses (M1, M2, M3 et M4), déterminer pour chacun des solides : IV.1. La position du centre d’inertie (G1, G2, G3 et G4).

IV.2. Le moment d’inertie par rapport à Oy (J1, J2, J3 et J4).

(27)

Statique des fluides N°1

Exercice I : Forces de pression s’exerçant sur la porte d’une écluse

Une porte d’une écluse de largeur l retient de l’eau, supposée incompressible, de masse volumique ρ. On appelle g l’accélération de la pesanteur en ce lieu. La hauteur de l’eau en amont est égale à H et celle en aval h (Figure (I.1.a et b)).

I.1. Calculer à l’équilibre la résultante des forces de pression s’exerçant sur cette porte.

I.2. Déterminer la position du centre de poussée.

A.N. : H = 6 m, h = 2 m, g = 9.81 ms^-2, ρ = 10³ kg m^-3 I.3. Calculer F et OP.

H h

z

0

(ρ) (ρ)

a

x g

y A

B

C D

amont aval b

z

l/2 l/2

H

0

e^z

ex

ey

A B

C D

écluse

Figure I.1.a Figure I.1.b

Exercice II : Résultante des forces de pression sur une sphère complètement immergée

Une sphère solide, de rayon R, est totalement immergée dans un liquide de masse volumique ρ (Figure (II.1)). Exprimer la résultante des forces de pression qui s’exercent sur la surface de ce solide.

H_o (ρ)

0 ez

ex

ey

R x

z

y g

Figure II.1

Exercice III : Résultante des forces de pression sur une demi-sphère

Un récipient demi-sphérique d’axe vertical et de rayon R (Figure (III.1)) est rempli d’un liquide incompressible de masse volumique ρ. Calculer la résultante des forces s’exerçant sur le récipient.

(28)

R

z

(ρ) g Figure III.1

Exercice IV : Résultante des forces de pression sur un récipient tronconique de révolution

Un récipient mince, tronconique de révolution, a pour fond un disque horizontal de rayon R, l’ouverture est circulaire et de rayon R0, la hauteur du récipient est h. Il est rempli complètement d’un liquide de masse volumique ρ. Le récipient est suspendu de telle sorte que l’air baigne toute la surface extérieure et la surface du liquide.

On appelle g l’accélération de la pesanteur due à la pesanteur et on néglige les variations de la pression atmosphérique avec l’altitude.

IV.1. Déterminer le support, le sens et le module F de la force pressante F subie par le fond horizontal du récipient.

IV.2. Déterminer le support, le sens et le module M de la résultante M des forces pressantes sur l’ensemble des parois du récipient.

IV.3. Déterminer le support, le sens et le module F’ de la résultantes 'F des forces pressantes subies par la paroi latérale tronconique du récipient

IV.3.1. En utilisant les résultats des questions précédentes.

IV.3.2. Par intégration directe des forces élémentaires.

A.N. : calculer F, R, F’ pour B = 10 cm, b = 5 cm, h = 20 cm, ρ = 1 gcm^-3 et g = 9.8 ms^-2

(29)

Statique des fluides N°2

Exercice I : Transmission des pressions

Une presse hydraulique est un amplificateur hydraulique de force basée sur l’application du théorème de Pascal. Son principe de fonctionnement est illustré par la figure (I.1).

I.1. Déterminer la rapport des forces f et F en présence.

I.2. Calculer le travail effectué par la force f lors d’un déplacement l.

I.3. En déduire le déplacement L du piston.

S

Piston de commande

Piston F

Piston piloté f

s

Figure I.1.

Exercice II : Equilibre d’un sous-marin

Un sous marin (figure II.2) est essentiellement une coque en acier creuse. Aux profondeurs où il opère (de 0 à environ 300 mètres), un sous-marin ne peut pas être considéré comme totalement incompressible (déformation de la coque). La compressibilité de la coque est définie par :

) pression (

) coque la de volume (

∆

= ∆

α (II.1)

Profondeur : h

Figure II.2.

II.1. Déterminer la relation entre la poussée d’Archimède s’exerçant sur le sous-marin et la profondeur à laquelle il se trouve.

II.2. Tracer sur un même graphique le poids du sous-marin et la poussée d’Archimède en fonction de la profondeur atteinte.

II.3. Déterminer la profondeur d’équilibre. Cet équilibre est-il stable ?

(30)

Exercice III : Oscillations d’un corps flottant

Un cylindre en bois (figure III.1) de masse volumique ϕ, de rayon R et de hauteur h est partiellement immergé dans une bassine d’eau de masse volumique ρ.

III.1. Déterminer sa position d’équilibre

III.2. On enfonce le cylindre dans l’eau jusqu’à une profondeur x (x < h) puis en le relâche.

Calculer la fréquence des premières oscillations du cylindre en supposant qu’il reste vertical pendant son mouvement.

A.N. : ϕ = 0,5 g cm^-3, h = 10 cm, R = 5 cm, ρ = 1 g cm^-3. R

h

x

Figure III.1.

(31)

Statique du solide N°1

Exercice I : Réduction d’un système de forces coplanaires

L’espace est rapporté au repère cartésien orthonormé direct (O,i,j,k) r r r

. Des forces F , ₁ F , ₂ F , ₃

…F , formant un système (_n Σ), sont appliquées à un solide, les supports de ces forces étant contenus dans un même plan (P) défini par (O,i,j)

r r

. Le système (Σ) a pour somme géométrique S , et pour moment résultant par rapport au point O, Γ₀ tels que :







+ +

= Γ

+ +

=

k N j M i L

k Z j Y i X S

0

r r r

(I.1) I.1. Parmi les six coordonnées cartésiennes X, Y, Z ; L, M, N, lesquelles sont certainement nulles ?

I.2. S et N sont connus. Réduire le système (Σ) dans chacun des cas suivants : I.2.1. S=0 et N = 0

I.2.2. S=0 et N ≠ 0 I.2.3. S≠0

Dans le cas précédant (question I.2.3), montrer qu’il existe une infinité de points O’(x,y) du plan (P), par rapport auxquels le moment résultant Γ₀ du système (Σ) est nul et donner l’équation cartésienne de l’ensemble (E) de ces points O’ ; on montrera alors que (Σ) se réduit à une force unique que l’on précisera.

Exercice II :

Les axes horizontaux Ox et Oy et l’axe vertical ascendant Oz forment un trièdre trirectangle. Une fine tige rectiligne OA peut tourner sans frottement autour de l’axe Oy auquel elle est perpendiculaire, son centre de masse G est au milieu de OA et l’intensité de son poids est P.

Un fil AB souple inextensible et de masse négligeable, dont la longueur AB est égale à OA, relie l’extrémité A de la tige au point B de l’axe Oz , au dessus de O, comme l’indique la figure (II.1). A l’équilibre, l’angle zOA a pour valeur α.

B z

x O

A α

Figure II.1.

Les données étant P et α, exprimer : II.1. La tension T du fil AB.

II.2. Les mesures algébriques Rx, Ry, Rz des composantes cartésiennes de la réaction d’axe R subie en O par la tige OA.

(32)

Exercice III :

Une tige homogène AB a pour longueur 2r et pour poids P. Elle repose par son extrémité A sur la surface inférieure d’une coupe hémisphérique d’axe vertical et de diamètre 2r. La tige située dans un plan vertical repose d’autre part en C sur le bord de la coupe. Les deux contacts sont sans frottements, c’est-à-dire que les réactions des surfaces de contact sont perpendiculaires à ces surfaces.

Calculer l’angle α de la tige avec l’horizontale à l’équilibre et les intensités N et R des réactions de la coupe sur la tige en A et C respectivement.

A

B α C

r O r

Figure III

(33)

Statique du solide N°2

Exercice I : Equilibre sur un câble

On considère un câble inextensible mais très souple accroché en deux points situés au même niveau à une distance d l’un de l’autre. La longueur de ce câble est L > d. On place une poulie sur ce câble et on y suspend un objet pesant (comme une cabine de téléphérique par exemple).

I.1. Déterminer le seul point d’équilibre possible pour la poulie abandonnée à elle même avec son fardeau.

I.2. Si P est le point où se situe la poulie, déterminer le lieu du point P lorsque la poulie est déplacée tout au long du câble.

Exercice II : Equilibre d’une poutre

Une poutre AB de poids P repose contre un mur BC, et un fil inextensible AC empêche la poutre de glisser (figure II.1.). En supposant tous les contacts sans frottement, déterminer le module de toutes les forces de liaison.

A

B

C α

Figure II.1.

Exercice III : Equilibre d’une échelle double

Une échelle double comporte deux parties rectilignes OA et OA’ articulées sans frottement en O et reliées par une corde en B et B’ (figure III.1.). Chaque élément a un poids P appliqué au milieu des demi- échelles, la corde a une masse négligeable.

L’échelle repose sur un plan horizontal et l’on a : OB = OB’ = 2/3 OA ; AA’ = a

A A ’

B B ’

O

h

Figure III.1.

III.1. Calculer l’intensité des forces suivantes : N0 = réaction du sol sur chacun des pieds, T0 = tension de la corde, R0 = interaction en O des deux parties de l’échelle.

III.2. Un homme de poids Q est supposé juché en C tel que OC = OA/3. Calculer les intensités des mêmes forces qu’à la question III.1.

(34)

Energie et travail N°1

Exercice I :

Un ressort (R), à spires non jointives, a pour raideur k et pour longueur à vide l0. On fixe en A une de ses extrémités et on accroche l’autre en B sur un solide (S) de masse m (devant laquelle la masse du ressort est négligeable). (S) peut glisser sans frottements appréciables le long d’une tige horizontale d’axe xOx (c.f. figure (I)). A l’équilibre l’abscisse du solide est zéro, B et au-dessous de A sur une même verticale et la longueur AB est l.

A

B

l (R), k

O x

S(m) x ’ x

Figure I.

I.1. A quelle condition l’équilibre précédent est-il stable ? Cette condition est supposée réalisée dans ce qui suit.

I.2. On place le solide à l’abscisse x. Les forces qui lui sont appliquées admettent la résultante X dont la mesure algébrique suivant x'x est X.

I.2.1. Exprimer X en fonction de k, l, l0 et x

I.2.2. Exprimer également la mesure algébrique Y, suivant la verticale ascendante, de la réaction de la tige sur (S), en fonction de k, l, l0, x, m et de l’intensité g du champ de pesanteur

I.2.3. Monter que, pour le système (solide, tige, ressort support A, Terre), la force X permet de définir une énergie potentielle Ep.

Exprimer Ep en fonction de k, l0, l et x en postulant Ep = 0 pour x = 0.

I.2.4. Que deviennent les expressions de X et de Ep lorsque |x| << l ? Exercice II :

Un barreau rectiligne et homogène AB, de longueur l et de masse M est mobile dans un plan vertical autour de son extrémité A formant une charnière sans frottements. Ce barreau porte à son extrémité B un couteau d’acier dont la masse m est considérée comme centrée en B.

L’accélération de la pesanteur au lieu considéré est g et on néglige la résistance de l’air.

(35)

II.3. A.N. : calculer T, R et l’inclinaison θ de R sur l’horizontale.

II.4. On coupe le fil. Calculer l’énergie cinétique Ek et la vitesse angulaire θ’ du système constitué par la tige AB et le couteau lorsqu’ils passent par la verticale en fonction de M, m, g et l. Application numérique.

II.5. L’appareil est utilisé comme mouton-pendule pour étudier la résistance à la rupture par choc d’une éprouvette d’acier.

Le couteau brise l’éprouvette lors du passage de AB à la verticale et on mesure l’angle α dont AB dépasse cette verticale. S étant la section de l’éprouvette et W le travail nécessaire pour casser l’éprouvette, exprimer la résilience Q (= W/S) de l’acier en fonction de M, m, l, S et α.

A.N. : l’éprouvette a une section rectangulaire de cotés 16 mm et 5 mm, α = 28°, calculer Q.

A

B O

α

Eprouvette

Figure II

(36)

Energie et travail N°2

Exercice I :

Un cadre rigide (ABCD) est constitué de quatre tiges métalliques homogènes, de même longueur et de même masse m. Elles sont soudées et forment un cadre rigide ayant la forme d’un carré de coté a. Ce cadre est maintenu par deux fils de torsion identiques (OI), (O’I’) dont les constantes de torsion sont CT. Le premier fil est fixé en un point O et en I milieu du coté (AB), le second en un point O’ et en I’ milieu de (CD). Les fils sont tendus. Un champ de forces exerce sur le cadre deux forces F et 'F constituant un couple intérieur au système (terre, cadre, fils, source de champ). F s’applique en J milieu de (BC) et 'F en J’ milieu de (AD). Ces forces gardent constamment la même direction (y’y). Le seul mouvement possible du cadre est une rotation sans frottement autour de (z’z).

B

x ’ x

y ’

y

z ’ z

' F

F A

C

D

J J ’

I

I ’ i

r k

r i

r

' F

F

x ’ x

y ’ y

Vue de dessus α j

r

J

J ’

Figure I.1.

I.1. On constate que le cadre est en équilibre lorsque (x'x) et ( DC ) forment un angle α.

Exprimer la norme F de la force F en fonction de CT, α et a.

I.2. Le cadre (ABCD) tourne autour de l’axe (z’z) de sorte que l’angle (x'x,DC) varie alors de θ à θ + dθ.

I.2.1. Exprimer le travail élémentaire des forces intérieures au système en fonction de F, a, CT, θ et dθ.

I.2.2. Montrer qu’il est possible de définir une énergie potentielle Ep. Exprimer Ep en fonction de F, a, CT et θ. On prendra Ep = 0 pour θ = 0.

I.3. Energie mécanique.

I.3.1. Les quatre cotés du cadre ont la même masse m et la même longueur a. Calculer

(37)

Optique géométrique N°1

Exercice I : Thermomètre à mercure

Un tube de verre cylindrique d’indice n = 3/2 par rapport à l’air, de diamètre extérieur 2R, contient du mercure remplissant un cylindre coaxial au tube. Un observateur placé très loin du tube vise suivant une perpendiculaire à l’axe de celui-ci

I.1. Quel doit être le rayon minimal du cylindre contenant le mercure pour que l’observateur ait l’impression que le mercure remplit tout le tube.

I.2. Quel est le rayon apparent de cette colonne de mercure si son rayon réel est h = R/2.

Exercice II : L’arc en ciel

Une goutte d’eau, supposée parfaitement sphérique, d’indice n = 4/3 par rapport à l’air est éclairée par un faisceau parallèle de lumière monochromatique. On s’intéresse aux rayons qui subissent une réflexion à l’intérieur de la goutte avant de ressortir.

II.1. Calculer la déviation D du rayon émergent en fonction de l’angle d’incidence i.

Montrer que cette déviation D passe par un extremum quand i varie.

II.2. On suppose maintenant que le faisceau incident est formé de plusieurs radiations.

Sachant que les variations de l’indice de l’eau pour ces différentes radiations sont petites devant la valeur moyenne n de l’indice, calculer la variation dD de la déviation D correspondant à une variation dn de l’indice n.

A.N. : Calculer l’écart angulaire à l’émergence entre les radiations rouge et violette pour D minimum, sachant que nv – nr = 0.014.

Exercice III : Fibre optique à saut d’indice

Une fibre optique cylindrique (figure III.1) placée dans l’air (indice n0) est constituée d’un cœur cylindrique transparent d’axe Ox, de rayon R1 et d’indice constant n1, entouré d’une gaine transparente d’indice constant n2 (n2 < n1). Un rayon lumineux (R) monochromatique dans l’air atteint la face d’entrée de la fibre optique en O, sous l’angle d’incidence θ.

i x x

R₁ R₂ r

O

I₁

I₂

I₃

A₁ A₂

i

gaine n₂

cœur n₁ air n₀

(R) θ

O Figure III.1.

On donne : n0 = 1, n1 = 1,515, n2 = 1,49, R1 = 40 µm et la célérité de la lumière dans le vide C0 = 3.10⁸ ms^-1.

III.1. Montrer que le rayon (R) ne peut pas se propager à l’intérieur de la fibre (guidage du rayon dans le cœur) que si l’angle d’incidence θ est inférieur à une valeur limite θ0 qu’on exprimera en fonction des indices n0, n1, n2. Calculer cet angle θ0 appelé angle d’acceptance de la fibre.

(38)

III.2. Exprimer les chemins optiques [L1] et [L] suivis par R, en fonction de θ, n0, n1, R1, l, respectivement :

• Entre le point O et le premier point A1 où (R) coupe l’axe Ox.

• Entre le point O et la sortie de la fibre de longueur l >> OA.

III.3. Un détecteur placé dans le cœur de la fibre, dans le plan d’équation x = constante, perçoit à l’instant τ le signal lumineux émis en O (x = 0) à l’instant t = 0. Exprimer τ en fonction de n0, n1, θ, x et C0.

III.4. L’angle d’incidence θ pouvant prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et θ0, la durée t est comprise entre τ0 et τ0 + ∆τ. Calculer τ0 et ∆τ si le détecteur est situé à x = 2 km de l’entrée O.

(39)

Optique géométrique N°2

Exercice I : Lames à faces parallèles

Sur le trajet d’un pinceau de rayons parallèles, dans un milieu homogène d’indice n1, on interpose une lame à faces parallèles d’indices n2 (n2 > n1) et d’épaisseur e. On désignera par i1

et i2 respectivement les angles d’incidence et de réfraction sur la face plane d’entrée de la lame (c.f. figure I.1).

T I

Incident i₁

e

n₁ n₂ n₁

Transmis i₂

J

Figure I.1.

I.1. Justifier le parallélisme entre rayons incidents et transmis. Calculer la translation T subie par un rayon au cours de la traversée de la lame, en fonction de e, i1, i2 puis en fonction de e, i1, n = n1/n2.

I.2. Montrer que la traversée de la lame augmente le chemin optique du trajet lumineux d’une quantité L qu’on exprimera en fonction de e, n1 cos(i1) et n2 cos(i2).

I.3. Monter qu’une petite variation di1 de l’angle d’incidence du rayon provoque une variation du trajet optique supplémentaire dL = n1 T di1.

Exercice II : Le mirage

On considère un empilement de dioptres plans parallèles séparant des milieux homogènes n0, n1, n2… On note ij l’angle d’incidence du rayon correspondant au j^ième dioptre.

II.1. Quelle relation entre les angles d’incidence et les indices peut-on en déduire ?

II.2. On suppose qu’un milieux non homogène a un indice optique qui varie continûment suivant l’altitude z. Que peut-on dire de n(z) sin(i(z)) où i(z) est l’angle entre l’axe des z et la tangente au rayon à l’altitude z ?

II.3. Représenter un rayon lumineux dans le milieux précédent si l’indice croit ou décroit avec l’altitude.

On peut observer sur les routes goudronnées chauffées par le soleil un reflet du ciel qui peut faire penser à une flaque d’eau. Dans la suite on suppose la route horizontale.

II.4. Comment peut-on expliquer ce phénomène ?

II.5. L’indice de l’air est relié à sa masse volumique ρ par la loi de Gladstone : ρ

+

=1 k

n avec k ≥ 0 (II.1)

Si on assimile l’air à un gaz parfait, la relation liant la pression P, la température T et la masse volumique est l’équation des gaz parfait :

TD de physique ASINSA 1

ASINSA 1

année

TD de physique ASINSA 1 ère année Edition 2000-2001

B

x ’ x

y ’

y

z ’ z

' F

F A

C

D

J

J ’ I

I ’ i

r k

r

i r

' F

F

x ’ x

y ’ y

α j

r

J

J ’

Références bibliographiques

Sommaire

Unités de mesures

Coordonnées

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Primitives particulière de quelques fonctions courantes

Fonctions trigonométriques

Calculs vectoriels N°1

Calculs vectoriels N°2

Unités – Equations aux dimensions N°1

[[[[ ]]]]

Unités – Equations aux dimensions N°2

Unités – Petites variations, Incertitudes N°1

(((( ))))

Unités – Petites variations, Incertitudes N°2

(((( ))))

( )

Unités – Petites variations, Incertitudes N°3

Géométrie des masses (intégrales simples) N°1

∫∫∫∫

Géométrie des masses (Moments et centre d’inertie) N°2

Statique des fluides N°1

Statique des fluides N°2

Statique du solide N°1

Statique du solide N°2

Energie et travail N°1

Energie et travail N°2

Optique géométrique N°1

Optique géométrique N°2

TD de physique ASINSA 1 ^ère année Edition 2000-2001