Exercice I :
L’objectif d’un appareil photographique est assimilé à une lentille mince convergente de distance focale f’ = 12 cm et de 5 cm de diamètre. Pour effectuer la mise au point, on fait varier la distance de la lentille au plan du film de telle façon qu’une image nette se forme sur la pellicule.
I.1. On photographie un objet A situé à très grande distance. Où doit être placée la pellicule ? I.2. Sur le même cliché apparaît l’image d’un motif B placé sur l’axe de la lentille à une distance de 3 m. Son image nette est-elle sur le cliché ?
I.3. Les rayons qui proviennent de B et qui rentrent dans l’appareil forment sur la pellicule une tache de rayon x. Déterminer la taille de cette tache en examinant les rayons passant par le bord de l’objectif. La photo est acceptable si x < 0,2 mm. La photo sera-t-elle nette ? Que peut-on faire pour améliorer la qualité de la photo ?
I.4. On déplace la pellicule de manière à ce que l’image de B soit nette sur cette pellicule.
Déterminer les distances maximales et minimales correspondantes de p1 et p2. Déterminer la profondeur de champ p1 – p2.
Exercice II :
On appelle d = AA la distance objet-image où l’image est donnée par une lentille mince de ' distance focale f’.
II.1. Etudier le comportement de la distance d en fonction de p.
II.2. On forme l’image A’B’ avec une lentille et on cherche à la placer sur un écran pour lequel d est constant. L’image est nette sur l’écran pour deux positions de l’objet décalées d’une distance ∆p. En déduire la distance focale de la lentille en fonction de L et de ∆p. Calculer cette distance focale pour L = 1,8 m et ∆p = 1,2 m. Déterminer les positions de l’image et de l’objet.
II.3. On considère maintenant une lentille convergente de distance focale 10 cm. Montrer qu’il y a deux configurations possibles. Dans chaque cas, déterminer les positions de l’objet et de l’image avec d = 1 m. Les deux situations sont-elles réalisables ?
Doublets N°1
Exercice I : Doublets de lentilles minces et aberrations chromatiques
L1 et L2 désignent deux lentilles minces de même axe, baignant dans l’air, traversées, dans les conditions de l’approximation de Gauss, par une lumière monochromatique dans l’ordre L1, L2
et formant un système centré (Σ) non afocal. Les notations seront les suivantes :
Plans principaux Foyers principaux Distances focales Système
Objet Image Objet Image Objet Image
Lentille mince L1 O1 O1 F1 F’1 f1 f’1
Lentille mince L2 O2 O2 F2 F’2 f2 f’2
Doublet (Σ) H H’ F F’ f f’
On pose enfin O1O2 =e.
I.1. Déterminer O1F en fonction de f1, f2 et e et O2F' en fonction de f1’, f2’ et e.
I.2. Soit A∞ le point objet à l’infini dans la direction de l’axe et soit B∞ un autre objet à l’infini dans la direction inclinée sur l’axe de α. Déterminer les dimensions (algébriques) des images successives de l’objet étendu A∞B∞. En déduire la relation suivante :
e f f
f f f
2 1
2 1
+
= + (I.1)
Ecrire une expression analogue pour f’.
I.3. Exprimer O1H en fonction de f1, f2 et e et O2H' en fonction de f1’, f2’ et e.
On particularise le système décrit dans la partie I en prenant deux lentilles de même verre, L1
étant plan-convexe, L2 étant plan-concave, les rayons de courbure des faces sphériques ayant même valeur absolue R. Le sens positif sur l’axe du doublet (Σ) sera le sens O1O2.
I.4. On utilise d’abord une lumière monochromatique pour laquelle l’indice par rapport à l’air du verre des deux lentilles est n.
I.4.1. Utiliser les résultats de la partie I. pour exprimer O1F, O2F', f et f’ en fonction de n, R, e. Le doublet est-il convergent, divergent ou afocal ?
I.4.2. Déterminer les points principaux H et H’ de (Σ) par deux méthodes :
• En utilisant les résultats de la partie I.3.
• En étudiant la marche d’un rayon particulier.
I.5. On utilise maintenant une lumière complexe, l’indice n variant un peu autour de la valeur moyenne n0.
I.5.1. n0 et R étant donnés, montrer qu’en choisissant convenablement e on pourra rendre F’ sensiblement indépendant de la radiation (dans l’étendue du spectre utilisé). Pour cette valeur de e, exprimer O1F' en fonction de R et de n0.
ASINSA – 1ère année TD de Physique
I.5.2. La condition du II.2.1. étant satisfaite, calculer les déplacements H0H, H'0H' et F
F0 subis par les points principaux et le foyer principal objet de (Σ) lorsque l’indice du verre par rapport à l’air passe de n0 à n = n0 + δn.
I.5.3. Application numérique : R = 90 mm, le verre de L1 et L2 a pour indice moyen n0 = 1,75 et pour constringence ν = 30.
La condition du II.2.1. est satisfaite
Calculer e, puis sur une épure (à une échelle convenable) dessiner les lentilles et, pour l’indice n0 = 1,75, placer les foyers principaux L1, L2 et (Σ), ainsi que les plans principaux du doublet.
Construire l’image définitive A’0B’0 que le doublet donne d’un objet A∞B∞ rejeté à l’infini (A∞ dans la direction de l’axe). Tracer la marche ultérieur complète d’un pinceau de rayons incidents définissant B∞.
Lorsque l’on passe de la radiation (C) à la radiation (F) de l’hydrogène, les points cardinaux H, H’ et F subissent des déplacements HCHF , H'CH'F, et FCFF . Calculer les mesures algébriques de ces déplacements.
Comparer les dimensions A’CB’C et A’FB’F des images que (Σ) donne de l’objet A∞B∞ lorsqu’on utilise les radiations (C) et (F).
Doublets N°2
Exercice I :
Les systèmes considérés sont utilisés en lumière monochromatique et dans les conditions de Gauss. Le sens positif de leur axe est le sens de propagation de la lumière.
I.1. Soit (L1) une lentille épaisse plan-convexe. La face d’entrée sphérique a pour sommet S1
et pour centre C1 tels que S1C1 =R, la face de sortie plane passe par C1. Les milieux extérieurs sont l’air et l’indice du matériaux constituant la lentille est n par rapport à l’air.
Exprimer en fonction de n et R les abscisses :
• S1F1 du foyer principal objet.
• S1H1 du plan principal objet.
• C1H'1 du plan principal image.
• C1F'1 du foyer principal image.
I.2. Soit (L2) une lentille mince plan-concave de centre O2 et d’indice n. La face de sortie sphérique a pour centre C2 tel que O2C2 =R
(
=S1C1)
. Déterminer en fonction de n et de R le foyer principal objet F2 et le foyer principal image F’2 de (L2).I.3. On associe (L1) et (L2) pour former un système (S). Ce système est traversé par la lumière dans l’ordre (L1, L2), et il est de telle sorte que O2 soit confondu avec le foyer image F’
du système.
I.3.1. Exprimer C1O2 en fonction de R et n pour que le foyer principal image F’ du système (S) soit confondu avec O2. Cette condition F’ ≡ O2 sera réalisée par la suite.
I.3.2. A.N. : pour n = 1,6 et R = 24 mm tracer l’épure du système en plaçant tous les éléments de (L1), (L2) et F’.
I.3.3. A l’aide du tracé complet d’un rayon incident passant par F1, déterminer pour le système (S) les points principaux (objet H et image H’). En déduire la position du foyer principal objet F.
I.4. Construire l’image A’B’ que donne (S) d’un objet AB collé contre la face d’entrée (L1), A étant en S1. On représentera AB par un segment de 20 mm. Déterminer le grandissement transversal γ correspondant.
I.5. Tracer ensuite la marche ultérieure complète d’un rayon incident de support BO2, justifier le tracé.
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Doublets N°3
Exercice I : Le téléobjectif
Un objectif photographique travaillant dans les conditions de Gauss, est constitué de deux lentilles minces (L1) et (L2) en verre de même indice n = 1,5 par rapport à l’air. La lentille (L1), de centre optique O1, est plan-convexe, sa face sphérique a pour rayon R1 = 4 cm. La lentille (L2), a pour centre optique O2. (L1) et (L2) constituent un doublet de symbole [2, 1, -2].
I.1. Lentille (L1).
I.1.1. Exprimer sa distance focale image f ‘1 en fonction de n et R1. I.1.2. Calculer numériquement f ‘1.
I.2. Lentille (L2).
I.2.1. Quelle est la nature de la deuxième lentille ? I.2.2. Donner la valeur de sa distance focale image f ‘2.
I.2.3. Quelle est la distance e=O1O2 séparant les deux lentilles ? I.3. Doublet constitué par les lentilles (L1) et (L2).
I.3.1. Calculer F'2F' et F1F (où F’ et F désignent respectivement les foyers image et objet du doublet).
I.3.2. Déterminer graphiquement la position du point principal image H’ du doublet.
I.3.3. En déduire la position du point principal objet H.
I.3.4. Le système est-il convergent ou divergent ? Donner la valeur numérique de sa distance focale image f ‘.
I.3.5. Construire à l’échelle 1/2, l’image A'B' d’un objet AB très éloigné. Un rayon issu de B sera représenté sur la figure par une droite faisant un angle de l’ordre de 20° avec l’axe optique.
I.3.6. Calculer la dimension de A'B' si le diamètre apparent de AB est α = 1°
I.3.7. On utilise le doublet précédent comme téléobjectif pour photographier des objets éloignés. On appelle ‘’ encombrement ‘’ la distance entre la face d’entrée de l’objectif et la plaque photographique. Quel est alors l’encombrement de l’appareil ? Quel aurait été celui d’un appareil donnant la même grandeur de l’image, mais dont l’objectif aurait été une simple lentille mince ?
Electrostatique N°1
Exercice I : Distribution isotrope de charge
La densité volumique de charge électrique ρ dans une sphère de rayon R a pour expression :
Calculer la charge totale de la sphère. En déduire la charge volumique moyenne.
Exercice II : Distribution linéique de charge
Un segment porte une charge non uniforme dont la charge linéique varie spatialement selon :
Exercice III : Calotte sphérique de distribution surfacique en cos(θθθθ)
Une calotte sphérique de rayon R est chargée électriquement avec une charge
θ étant l’angle que fait un rayon de la calotte avec son axe.
III.1. Calculer la charge de la calotte
III.2. En déduire la charge surfacique moyenne d’une calotte demi-sphérique
ASINSA – 1ère année TD de Physique
Electrostatique N°2
Exercice I : Charges ponctuelles
I.1. Sur un axe X’OX, d’origine O, sont placées :
• Une charge ponctuelle (+3q) en O.
• Une charge ponctuelle (-q) en A, d’abscisse x = a (a > 0)
Déterminer le potentiel V(x) et le champ électrique E(x) aux divers points de l’axe X’OX.
I.2. Quelle est la force électrostatique qui s’exerce sur une charge positive unité placée au centre O d’un carré de côté b qui porte les charges q, 2q, -4q et 2q placées dans cet ordre sur ses quatre coins.
I.3. Soient trois charges q positives et égales formant un triangle équilatéral de côté a. On place une charge q’ négative au centre C de ce triangle.
I.3.1. Calculer la force F à laquelle est soumise q’ si r est la distance qui la sépare de chaque charge q.
I.3.2. Quel est le potentiel V créé en C par les charges q ?
I.3.3. Quelle est l’énergie potentielle ou l’énergie électrostatique de l’ensemble des quatre charges ?
Electrostatique N°3
Exercice I : Champ et potentiel d'un segment électrisé
Un fil rectiligne FF' = 2c, de milieu O, placé dans le vide, porte la charge électrique Q uniformément répartie avec une charge linéique. On appelle O le milieu de FF'.
I.1. Montrer qu'un élément NN' du fil produit en un point M donné (n'appartenant pas à la droite F'F) un champ dont le module est proportionnel à l'angle dθ sous lequel on voit NN' de M.
I.2. Montrer que le champ électrique E en un point M est dirigé suivant la bissectrice de l'angle F'MF.
I.3. Calculer la norme E du vecteur champ en M en fonction de εo, de θo =FMF'/2 et de la distance h de M à la droite F'F.
Déterminer directement le champ E sur les demi droites Fx et F'x ne contenant pas le segment électrisé.
Exercice II : Disque
Déterminer le champ électrique en un point M sur l'axe d'un disque circulaire uniformément chargé (densité surfacique σ).
Exercice III : Potentiels de sphères creuses et de sphères pleines
III.1. Sphère creuse
Soit une sphère creuse de rayon R, portant une charge répartie uniformément avec une densité superficielle σ.
III.1.1. Calculer directement le potentiel crée par cette sphère en un point M à la distance r du centre de la sphère (r>R) et en déduire le champ électrique en M. Conclusion ?
III.1.2. Retrouver ces résultats par application du théorème de Gauss. Que devient le champ électrique lorsque r<R.
III.2. Demi – sphère
Calculer le champ électrique au centre O d'une demi-sphère creuse de rayon R, caractérisée par sa densité superficielle de charge σ constante.
III.3. Sphère pleine
On considère maintenant la sphère non-conductrice de centre O, de rayon R, uniformément chargée avec une densité volumique ϕ positive. Déterminer le champ électrique E(r) crée par la sphère pleine, en un point M (OM = r) :
III.3.1. à l'aide des résultats de la question 1) dans le cas où r>R ;
III.3.2. à l'aide du théorème de Gauss dans les deux cas (r>R et r<R). En déduire le potentiel électrique au point M. Tracer les courbes E(r) et V(r) pour r>O.
ASINSA – 1ère année TD de Physique
Exercice IV : Conducteur filiforme et ruban infini
IV.1. Un conducteur filiforme rectiligne infini porte des charges électriques uniformément réparties avec une densité linéaire λ. En appliquent le théorème de Gauss donner l'expression du champ électrique en un point M à la distance r du conducteur.
Retrouver cette expression par le calcul direct.
IV.2. Calculer le champ électrique résultant en un point M à la distance z d'un ruban infini uniformément chargé avec une densité superficielle σ.
Electrostatique N°4
Exercice I : Champ d’un demi-cercle et d’un demi-disque chargés
I.1. Un arc de cercle
∩
'
CC , de centre O et de rayon R, d’angle au sommet 2α, situé dans le plan xOy, porte une charge λ par unité de longueur, répartie uniformément. Soit Ox la bissectrice de
∩
'
COC , et Oz l’axe perpendiculaire au plan COC’.
Calculer les composantes du champ électrique E : I.1.1. En un point M de l’axe Oz, de cote z = OM.
I.1.2. Au centre O. En déduire les composantes de E en M en fonction de α, du module E0 du champ en O et du rapport u = z/R.
I.2. Déduire des résultats précédents le module du champ E(z) et le potentiel électrique V(z) au point M de cote z, dans le cas d’un demi-cercle.
I.3. En déduire :
I.3.1. Les composantes du champ créé par un demi-disque de centre O, de rayon R chargé uniformément avec une densité superficielle σ, en un point M (OM = z) sur la normale au plan du disque.
I.3.2. Le potentiel en M créé par cette répartition de charges.
Remarque : on donne : ln x a x constante
x a
dx 2 2
2
2 +
+ +
=
∫
+Exercice II : Fils rectilignes parallèles
On considère deux fils rectilignes parallèles AA’ et BB’ infiniment longs, distants de 2a et portant une charge linéique -λ sur AA’ et +λ sur BB’ (figure II.1).
II.1. A l’aide du théorème de Gauss, déterminer en tout point M de l’espace distinct de AA’ et BB’ le champ Ea créé par AA’ et le champ Eb créé par BB’. Préciser les directions, sens et intensités de ces champs en fonction de ε0, λ, ra et respectivement rb.
II.2. Exprimer le potentiel V créé en M par ces deux distributions en fonction de ra et rb puis en fonction de λ, ε0, a, r et θ tels que r = OM et θ=
(
O1O2,OM)
et sachant que le potentiel en O est V0.Remarque : on utilisera la relation existant entre les cotés d’un triangle quelconque.
ASINSA – 1ère année TD de Physique
Figure II.1 Figure II.2
II.3. En déduire les composantes Er et Eθ du champ résultant E
II.5. Montrer que pour toute région de l’espace ne contenant pas d’éléments de AA’ et /ou BB’, le champ électrostatique E
r
est un champ à flux conservatif.
Remarque : z’Oz et Ox étant deux axes fixes perpendiculaires, la définition des coordonnées cylindriques r, θ, z d’un point M de l’espace est rappelée sur la figure (II.2). On rappelle aussi les relations suivantes :
• d
( )
OM =dr.ur +r.dθ.uθ+dz.uzElectrostatique N°5
Exercice I : Champ créé par un segment chargé
I.1. Calculer en un point M (c.f. figure (I.1))de coordonnées cylindriques (r, θ, z) le champ créé par un segment de l’axe (Oz), de charge linéique uniforme λ, compris entre les points P1 et P2 d’abscisses z1 et z2, repérés par les angles β1 et β2.
I.2. Discuter le cas du fil rectiligne infini uniformément chargé.
Exercice II : Potentiel d’un fil rectiligne infini
Déterminer le potentiel associé à un fil rectiligne infini portant la charge linéique uniforme λ en utilisant les résultats de l’exercice I.
Exercice III : Equation d’une ligne de champ pour un ensemble de charges
N charges q1, …, qN sont réparties sur l’axe (Oz). Montrer que l’équation d’une ligne de champ est de la forme :
∑ ( )
=
= θ
N
1 i
i
icos constante
q (1)
où les angles θi sont définis à la figure (III.1).
q1 r
qi qN
M
θi
Ligne de champ z
α P1
P2 dz
β1
β2 α P
d
r
M dEr
Ez d
E d ez
er
Figure I.1. Figure III.1.
ASINSA – 1ère année TD de Physique
Electrostatique N°6
Exercice I : Loi de Gauss – Potentiel Electrostatique
On considère une répartition d’électricité entre deux sphères de centre O et rayon a et b (b > a), la charge volumique ρ étant proportionnelle à la distance r au centre O et la charge totale étant Q. La permittivité est partout égale à celle du vide ε0.
I.1. Exprimer ρ en fonction de Q, b, a, r pour a < r < b.
I.2. M étant un point de l’espace situé à la distance r de O (r ≠ 0), On pose OM rnr
= .
Déterminer le vecteur champ électrostatique E en M, les données étant prises parmi Q, ε0, a, b, r et nr
. On distinguera les trois régions r > b (E ), a < r < b (+ E ) et 0 < r < a (i E ) et on − traitera à part le cas r = 0.
Y-a_t_il des discontinuités de E à la traversée des sphère r = a et r = b ?
I.3. Le champ E dérive d’un potentiel scalaire V que l’on déterminera dans les trois régions précédentes (notation V+, Vi et V−) en postulant que V → 0 si r → ∞ et en admettant la continuité du potentiel à la traversée des sphères r = a et r = b.
Contrôler l’expression de V− en calculant directement le potentiel absolu au centre O.
I.4. Application numérique : Q = 6,15 nC, a = 4 cm, b = 5 cm, ε0 = 10-9/36π Fm-1. On appelle E la mesure algébrique de E suivant nr
.
I.4.1. Représenter graphiquement les fonctions x → ρ, x → E, x → V.
I.4.2. Que deviendraient les courbes représentant E et V en fonction de x si on faisait tendre a vers b = 5 cm, la charge Q = 6,15 nC étant alors uniformément repartie sur une couche sphérique infiniment mince de rayon 5 cm ?.
Quelles seraient alors la charge surfacique σ et la discontinuité du champ à la traversée de la couche électrisée ?
0 2 4 6 8 10 2
4 6 8 10
ρ ( µ C m
-3)
x (cm)