2021 – 2022 1/12
REGIME LIBRE EN ELECTRICITE
I On se propose de mesurer la résistance R, très élevée, d'un conducteur ohmique, en exploitant le phénomène d'oscillations de relaxation d'une lampe au néon.
Le montage
Le circuit comprend un générateur de tension continue de f.e.m. e (et de résistance interne négligeable), le résistor de résistance R, une capacité C, un interrupteur K et une lampe au néon L.
La lampe L
Cette lampe se comporte comme un résistor :
- de résistance RL constante lorsqu'elle est allumée (donc lorsqu'un courant la traverse);
- de résistance infinie lorsqu'elle ne brille pas.
La tension entre ses bornes est u = uAB = VA - VB.
- à partir de la valeur nulle, on fait croître u : la lampe L s'allume pour u ≥ U1 (U1 valeur constante);
- la lampe est allumée : en faisant décroître u, elle s'éteint pour u ≤ Uo (Uo valeur constante);
- ces valeurs sont telles que : Uo ≤ U1 ≤ e.
Les mesures
Le condensateur est déchargé. A t = 0, on ferme l'interrupteur.
Assez rapidement, la lampe se met à clignoter : soient u la fréquence des éclairs et T l'intervalle entre deux éclairs successifs.
1) Étude théorique de u(t) a) Avant le premier allumage Déterminer u(t).
Déterminer, littéralement, la date t1 de premier allumage, en fonction des données de l'énoncé.
b) Entre le premier allumage et la première extinction
Dans la suite du problème, et pour simplifier les calculs, on posera : 𝜆 =!"#/#!
!. Déterminer u(t).
Déterminer la date t'1 de première extinction (on exprimera t'1 en fonction de R, C, e, Uo, U1 et l).
c) Entre la première extinction et le second allumage Déterminer u(t).
Déterminer la date t2 de second allumage (on exprimera t2 en fonction de R, C, e, Uo, U1 et l).
2) Période des oscillations de relaxation
a) Déduire des calculs précédents la période T de ces oscillations (on exprimera T en fonction de R, C, e, Uo, U1 et l).
b) Tracer, qualitativement, u(t) pour t Î [0, t1 + 2 T].
3) Mesure de la résistance
a) Que devient l'expression de T si RL « R ?
b) Calculer la valeur de la résistance R (avec R » RL) à l'aide des données numériques suivantes : u = 40 min-1 ; C = 0,2 µF; Uo = 80 V; U1 = 100 V; e = 130 V.
4) Remplacement de la lampe par un dispositif équivalent
2021 – 2022 2/12
La lampe au néon a été choisie, dans ce problème, dans le seul but de simplifier la démarche...
Décrire un dispositif, plus "moderne", susceptible d'assurer les mêmes fonctions.
Réponse : 𝑢 = 𝑒 %1 − 𝑒%#$"( ; 𝑡!= 𝑅𝐶𝐿𝑛&%'&
% ; 𝑢 = (𝑈!− 𝜆𝑒)𝑒"%&"
'#$+ 𝜆𝑒 ; 𝑡′!= 𝑅𝐶𝐿𝑛 4&%'&
%%''%%(&
(%(&((5 ; 𝑢 = (𝑈)− 𝑒)𝑒")%&"
#$ + 𝑒 ; 𝑡*= 𝑅𝐶𝐿𝑛 4&(&%'() (&%'%)*%''%%(&
(%(&((5 ;𝑇 = 𝑅𝐶𝐿𝑛 4&%'&%'(
%%''%%(&
(%(&((5 ≈ 𝑅𝐶𝐿𝑛&%'&%'(
% ; R = 14,68 MW.
II On considère le circuit ci-contre composé de deux branches de même résistance R comportant en outre l'une une self pure L et l'autre un condensateur de capacité C. Elles sont alimentées par un générateur de tension continue de f.e.m. E et de résistance interne négligeable.
1) Le condensateur étant déchargé, on ferme à l'instant t = 0 l'interrupteur K.
On désignera respectivement par i1 et i2 les intensités dans la branche contenant la self et dans la branche contenant le condensateur.
a) Déterminer en fonction du temps le régime transitoire i1(t) et tracer l'allure de la courbe correspondante.
b) Déterminer de même le régime transitoire i2(t) et tracer l'allure de la courbe correspondante.
c) A quel instant aura-t-on i1 = i2 si les deux constantes de temps sont identiques ? Application numérique : L = 1 H ; C = 1 µF ; R = 103 W.
2) On considère toujours le même circuit alimenté par le même générateur. K étant fermé, le régime permanent est établi. A un instant que l'on choisira comme nouvelle origine des temps, on ouvre l'interrupteur K.
a) Établir les équations différentielles du second ordre relatives à la charge q du condensateur d'une part, à l'intensité i du courant d'autre part.
b) Indiquer quelles sont à l'ouverture de K les expressions initiales de q et de i.
c) En déduire en fonction du temps les expressions, en régime transitoire, de la charge q(t) et de l'intensité i(t). On discutera des différents cas possibles suivant les valeurs de R, L et C mais on ne cherchera pas à déterminer les constantes d'intégration.
d) Application numérique : L = 1 H ; C = 1 µF ; R = 103 W ; E = 10 V.
Déterminer complètement q(t) et i(t).
Réponse : 𝑖!=-#%1 − 𝑒%#!.( ; 𝑖*=-#𝑒%#$" ; t = 0,69 ms ; 𝑞̈ + 2#/𝑞̇ +/0! 𝑞 = 0 ; 𝚤̈ + 2#/𝚤̇ +/0!𝑖 = 0 ; 𝑞 = 𝐴𝑒%#!.𝑐𝑜𝑠 CD/0! −#/**𝑡 + 𝜑F si 𝑅 < D0/ ; 𝑞 = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒%#!. si 𝑅 = D/0 ;
𝑞 = 𝑒%#!.C𝐴𝑒1#*!*%!$%.+ 𝐵𝑒%1#*!*%!$%.F si 𝑅 > D0/ ; 𝑞 = 10%2𝑒%!))). et 𝑖 = −10%*𝑒%!)))..
III Dans le circuit représenté ci-contre, le condensateur est déchargé à l'instant t = 0 où on ferme l'interrupteur K. La résistance du générateur de tension est négligeable.
Déterminer l'équation différentielle en i2(t) puis la loi d'évolution du courant i2(t) dans la résistance R, pour les valeurs L = 1 H, C = 10 µF, r = 100 W, R = 1000 W et E = 200 V.
Réponse : LRC 33.*4**+ (L + rRC) 343.*+ (r + R) i2 = 0; i2 = 0,2 e-100t cos 100 t.
IV Soit le montage suivant comportant une bobine d'auto-inductance L et de résistance interne R, en série avec un conducteur ohmique de résistance Ro = 470 Ω.
Un ordinateur permet de mesurer simultanément les tensions UAB (voie 1) et UBD (voie 2) à intervalles de temps réguliers (ici 100 µs). Ces mesures ne se déclenchent que si UBD est supérieure à un seuil fixé ici à 0,5 V.
Le tableau ci-dessous donne les résultats des mesures obtenues après avoir abaissé l'interrupteur. Sur un même graphique on a tracé UAB = f(t) et UBD
= g(t) en ayant pris t = 0 à la date de la première mesure.
2021 – 2022 3/12
1) Que peut-on dire de la somme UAB+UBD à chaque instant ?
2) La trentième mesure montre que l'on atteint pratiquement un régime stationnaire.
Préciser la signification de ce terme. En déduire la valeur de R.
3) En utilisant une des courbes et en justifiant les calculs, déterminer la valeur de l'intensité du courant i circulant dans le circuit, à la date correspondant au point n°5.
4) Déterminer di/dtà la même date par une méthode que l'on explicitera.
5) En déduire la valeur de L.
Réponse : R = 122 W; i = 3,66 mA ; di/dt = 4,26 A/s ; L = 0,5 H.
V Une bobine, d’inductance propre L = 0,2 H et de résistance R = 0,1 W, est alimentée par un générateur de f.e.m. E = 120 V et de résistance interne r = 40 W. On branche à ses bornes, à un instant que l’on prendra comme origine des temps, un condensateur non chargé de capacité C = 100 µF.
1) Quelle est l’équation différentielle du deuxième ordre satisfaite par i(t), intensité du courant circulant dans la bobine ?
2) Donner les valeurs i(0+) et di/dt(0+).
3) Donner l’expression numérique de i(t) avec t en seconde et i en ampère.
On précisera la nature du régime.
Réponse : 3.3**4+ %#/+50!(3.34+/0! %1 +#5( 𝑖 =5/0- ; i(0+) = 3 A ; di/dt(0+) = - 1,5 A.s-1; i(t) = 3-8.10-3 e-125t sin(186t).
E
r
L, R i
t = 0
C
2021 – 2022 4/12
VI Défibrillateur
Certains accidents cardiaques se traduisent par une désynchronisation des contractions du muscle cardiaque, pouvant amener un arrêt cardiaque (fibrillation). Le seul moyen d’obtenir une resynchronisation consiste en un choc électrique appliqué au patient au moyen d’un appareil nommé défibrillateur.
La situation est modélisée par le circuit suivant.
Un dispositif, non représenté sur le schéma, permet d’obtenir une tension électrique d’alimentation de f.é.m. E = 2,5 kV. Le circuit constitué du défibrillateur, des électrodes de contact et du corps du patient est représenté par un condensateur de capacité C = 80 µF, une bobine idéale d’inductance L = 40 mH et un résistor de résistance R = 45 Ω.
A t < 0, le condensateur a été connecté au générateur, et la tension uc existant à ses bornes est supposée avoir atteint la valeur uc(0
-
) =E = 2,5 kV. A l’instant t = 0, l’interrupteur K bascule de façon à connecter le condensateur sur la branche contenant la bobine d’inductance L et la résistance R.
1. Déterminer les valeurs initiales imposées par le fonctionnement de l’appareil pour la tension uc(t), pour sa dérivée temporelle duc/dt, ainsi que pour la tension uR(t) aux bornes du résistor et sa dérivée temporelle duR/dt.
2. Établir une équation différentielle déterminant uc(t) et faisant intervenir les paramètres R, L et C. En déduire l’équation différentielle dont uR(t) est solution.
3. On met l’équation sur uR(t) sous la forme : 𝑢̈#+ 2𝛼𝜔)𝑢̇#+ 𝜔)*𝑢#= 0.
3.1 Expliciter les quantités ωo et α en fonction de R, L et C. Calculer numériquement α et ωo. 3.2 Quelle sera la nature du régime d’évolution de la tension uR(t) ? Justifier.
3.3 La tension uR(t) est supposée s’écrire sous la forme générale :
𝑢#(𝑡) = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒%6(. où A et B sont des constantes d’intégration.
Déterminer A et B en fonction des paramètres du circuit.
3.4 Proposer une allure du graphe uR(t).
3.5 Déterminer l’instant tmax où uR(t) va passer par un maximum. Calculer la valeur uRmax atteinte à cet instant.
Réponse : uC(0)=E ; duC/dt(0)=0 ; duR/dt(0) = RE/L ; 𝑢̈0+#/𝑢̇0+/0! 𝑢0 = 0 ; 𝑢̈/+#/𝑢̇#+/0! 𝑢# = 0 ; 𝜔)= !
√/0 ; 𝛼 =#*D0/ ; régime critique ; 𝑢#(𝑡) =#-
/ 𝑡𝑒%6(. ; tmax = 1/w0 ; 𝑢#89: = 𝑅𝐸D0/𝑒%!.
VII Oscillateur à portes logiques
Les oscillations de relaxation d’un système sont obtenues par une succession de régimes transitoires, interrompus par la modification des contraintes déterminant l’état de repos final du système. Il en résulte une évolution cyclique du système, générant ainsi des oscillations de fréquence déterminée par les caractéristiques du système.
Un exemple classique en est l'expérience du vase de Tantale, où la variable est le niveau d'eau lors du remplissage d’un récipient. Ce niveau augmente continûment grâce à l'arrivée d'eau, puis baisse brutalement lorsque le siphon se déclenche.
E
C
L
uC R uR
K i
2021 – 2022 5/12
Le niveau d’eau dans le récipient varie donc cycliquement entre les hauteurs hminet hmax.
Le système évolue donc vers des états d’équilibre qu’il n’atteindra jamais, de même que le personnage mythologique Tantale, qui ne peut atteindre l’eau et les fruits dont il veut se nourrir…
Un oscillateur de relaxation permet donc de générer des oscillations de fréquence réglable ; c’est un élément de base pour un certain nombre d’applications en électronique (générateur de signaux, capteurs…)
1. Circuit RC
On souhaite déterminer la capacité C d’un condensateur en observant sa réponse indicielle. Le condensateur est inséré en série avec un résistor de résistance Ro connue, Ro = 1,0.103Ω.
L’ensemble est soumis à un échelon de tension : la tension d’entrée e(t) passe instantanément de la valeur nulle à une tension E = 5,0 V. On suppose que le condensateur était totalement déchargé à t < 0.
1.1 Établir l’équation différentielle dont u(t) est solution.
1.2 Déterminer l’expression u(t).
1.3 L’enregistrement expérimental au moyen d’une acquisition numérique est fourni ci-dessous. En déduire la valeur de la capacité C.
La tension est portée en ordonnée (en volts V) le temps en abscisse (en secondes s), la notation 2.50 E-03 signifie 2,50.10-3 s.
2. Portes logiques
Les portes logiques sont utilisées en électronique numérique. Elles donnent en sortie un signal binaire 1 ou 0 suivant la valeur de la tension d’entrée. Le 1 correspond à une tension +VD et le 0 à une tension nulle. Parmi ces portes logiques, la porte NON donne un signal s opposé au signal d’entrée e : si e est proche de zéro, la sortie vaut VD et si e est proche de VD alors la sortie vaut 0. On idéalise la caractéristique avec une séparation à VD/2 pour e (voir figure (2)).
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03
u(t)
e(t) C
R
ou(t)
2021 – 2022 6/12
On réalise le montage ci-dessous avec deux portes NON, une résistance R et un condensateur C. La résistance d’entrée de ces portes est supposée très grande, ce qui fait qu’aucun courant n’est présent en entrée de ces cellules. Par ailleurs, l’alimentation électrique de ces cellules leur permet cependant de délivrer un courant en sortie (cette alimentation est non représentée sur le schéma).
2.1 On suppose qu’à t = 0, la porte 1 vient de basculer à s1 = 0 et la porte 2 à s2 = VD.
Le déclenchement de ce basculement est lié au fait que e2(t) aura atteint la valeur VD/2. A t = 0, e2 passe brutalement à une valeur négative que l’on déterminera plus loin.
Décrire qualitativement l’évolution ultérieure de s1(t), e2(t) et s2(t) jusqu’au basculement suivant.
2.2 On note t1 l’instant suivant t = 0 pour lequel un nouveau basculement sera obtenu.
Tracer en concordance de temps s1(t) et s2(t) sur l’intervalle [0, t1]. Que dire de la tension d’entrée e1(t) ?
3. Oscillations de relaxation
3.1 On note uc la tension aux bornes du condensateur et i l’intensité le traversant. Justifier que sur l’intervalle [0, t1] ce courant répond à :
𝑖(𝑡) = 𝐶𝑑𝑒* 𝑑𝑡
3.2 Établir l’équation différentielle portant sur la tension e2(t), en fonction de s2, R et C.
3.3 En vous appuyant sur la continuité de la tension uC, déterminer la valeur e2(0+) de la tension e2(t) juste après le basculement ayant lieu à l’instant t = 0.
3.4 Déduire l’expression de e2(t) sur l’intervalle ]0, t1[.
3.5 Déterminer l’instant t1 pour lequel la tension e2(t) atteint la valeur VD/2en fonction des paramètres R et C.
3.6 Déterminer la valeur e2(t1+)qu’aura la tension e2(t) juste après le basculement déclenché à l’instant t1.
3.7 On note t2 l’instant suivant t1 pour lequel on observera un nouveau basculement. Quelle est l’équation différentielle régissant e2(t) sur l’intervalle : ]t1 , t2[ ? Expliciter e2(t) sur cet intervalle.
3.8 Exprimer l’instant t2 en fonction de t1, R et C.
4. Signaux obtenus
2021 – 2022 7/12
Tracer les allures des tensions s1(t), e2(t) et s2(t) lors des deux phases.
5. Périodicité, fréquence d’oscillation
5.1 Montrer que la période T s’exprime par : T = 2RC.ln3.
5.2 Calculer numériquement la fréquence f pour C = 1,2 µF et R = 470 Ω.
Réponse : 𝑅;𝐶𝑢̇ + 𝑢 = 𝐸 ; 𝑢 = 𝐸N1 − 𝑒%./<O avec t = RoC ; t = 1,2 ms ; C = 1,2 µF ; 𝑅𝐶𝑒̇*+ 𝑒*= 𝑉= ; 𝑒*(𝑂 +) = −𝑉=/2 ; 𝑒*= −>*𝑉=𝑒%./<+ 𝑉= ; t1 = RC Ln3 ; 𝑒*(𝑡!+) = 3𝑉=/2 ; 𝑅𝐶𝑒̇*+ 𝑒*= 0 ; 𝑒*=>*𝑉=𝑒%(.%.%)/< ; t2 = t1 +RC Ln3 ; T = t2.
VIII Détecteur de métaux
Les détecteurs de métaux sont des instruments électroniques capables d’indiquer la présence de masses métalliques de nature et de taille différentes. Les détecteurs fixes sont utilisés dans les aéroports, dans l’industrie agro-alimentaire ou pharmaceutique, sur les réseaux routiers, etc. Les détecteurs mobiles peuvent servir à localiser et suivre le cheminement de canalisations enterrées ou de fils électriques, à aider aux fouilles archéologiques, à repérer des engins dangereux, etc.
Figure 1 – Diverses utilisations de détecteurs de métaux
Les détecteurs de métaux fonctionnent selon des principes variés dépendant de l’utilisation souhaitée.
Nous allons nous intéresser ici aux détecteurs de métaux basés sur le battement de fréquence dont le principe est expliqué dans le document 1.
Document 1 - Principe du détecteur à battement de fréquence
Le principe de fonctionnement d’un détecteur de métaux repose sur l’induction électromagnétique.
Une bobine parcourue par un courant électrique variable génère un champ magnétique variable auquel sont soumis les objets situés dans la zone de détection. En réponse, les objets conducteurs, et en particulier les métaux, sont le siège de courants induits par ce champ magnétique variable, appelés courants de Foucault. Ces courants induits dans la matière engendrent à leur tour un champ magnétique qui est perçu par un circuit de détection.
Plus précisément, un détecteur à battement de fréquence utilise deux oscillateurs dont les fréquences d’oscillations sont identiques en l’absence d’objets à détecter. Chacun d’eux contient notamment une bobine dont le rôle sera différent selon le circuit.
L’un des deux oscillateurs fonctionne comme émetteur. Sa fréquence d’oscillations sert de référence et ne doit pas varier au cours de l’expérience. La bobine qu’il contient doit être tenue loin des objets à détecter.
L’autre oscillateur fonctionne comme récepteur. La bobine qu’il contient réagit au champ magnétique induit par les courants de Foucault, ce qui provoque une variation de sa fréquence d’oscillations par rapport au circuit de référence.
La comparaison des fréquences des deux oscillateurs renseigne sur la détection d’un objet métallique.
Une variation de la fréquence de travail et une analyse fine des réponses obtenues permet de cibler la détection de métaux particuliers.
2021 – 2022 8/12
Oscillations libres d’un circuit RLC série
L’élément déterminant du détecteur de métal est la bobine, indispensable à la détection, qui est utilisée dans un montage oscillateur.
L’étude du fonctionnement de l’oscillateur va nous permettre de déterminer les caractéristiques de la bobine.
On réalise un circuit RLC série dont le schéma de principe est donné sur la figure 2. Il est constitué : - d’un générateur basse fréquence (GBF), de résistance interne Rg et de force électromotrice e (t) ; - d’une résistance variable R, de valeur comprise entre 0 Ω et 10,0 kΩ ;
- d’un condensateur de capacité variable C, de valeur comprise entre 0,01μF et 1,00 μF ; - d’une bobine réelle d’inductance L et de résistance r inconnues.
Figure 2 – Circuit RLC série
On pose :
* R'= R + Rg + r la résistance totale du circuit ;
* 𝜔)= !
√/0 sa pulsation propre ;
* 𝑄 =/6#)(=#!)D/0 le facteur de qualité correspondant.
Un extrait des caractéristiques techniques du GBF est donné dans le document 1.
Document 1 - Extrait des caractéristiques techniques du GBF Sortie du signal MAIN OUT
- Amplitude réglable en circuit ouvert : de 0 à 20 V (amplitude crête à crête) Précision : de 0,1 à 20 V < 5 % de 1 mHz à 10 MHz
± 1,5 dB pour f > 10MHz (± 0,5 dB typique) - Impédance : 50 Ω ± 3%
- Tension continue de décalage : réglable de – 10 V à + 10 V en circuit ouvert (OFFSET) Précision : ± 5 % de l’amplitude (offset résiduel < ± 5mV)
Source 2018 : notice Metrix GX 320 Q1. Montrer que l’équation différentielle satisfaite par la tension vc aux bornes du condensateur se met sous la forme :
𝑑*𝑣? 𝑑𝑡* +𝜔)
𝑄 𝑑𝑣?
𝑑𝑡 + 𝜔)*𝑣?= 𝜔)*𝑒(𝑡) .
On suppose que Q > 1/2.
Q2. En régime libre e(t) = 0, montrer que la pseudo-période T des oscillations peut s’écrire : 𝑇 = 𝑇)
D1 − 14𝑄* et déterminer l’expression littérale de T0.
2021 – 2022 9/12
Q3. En déduire que l’on peut écrire :
𝑇*= 𝑎𝐶 1 − 𝑏𝐶 et exprimer a et b en fonction des caractéristiques du circuit.
Q4. La pseudo-période a été mesurée pour différentes valeurs de la capacité C ; la fonction T2 a été tracée en fonction de C. Une modélisation affine a été superposée à ces données.
Modélisation affine :
- coefficient de corrélation : 0,999 ; - ordonnée à l’origine : −3,0⋅10−9 SI ; - pente : 3,3 SI.
Figure 2 – Carré de la pseudo-période en fonction de la capacité
En déduire la valeur de l’inductance de la bobine en expliquant la démarche et en justifiant d’éventuelles approximations.
On appelle résistance critique totale, R’c = Rc +Rg +r, la valeur de la résistance totale du circuit permettant d’atteindre le régime critique, la résistance Rc étant simplement appelée résistance critique.
Aucune hypothèse n’est faite sur la valeur de Q.
Q5. Montrer que la résistance critique totale vaut : 𝑅′? = 2D/0. Q6. Tous les autres paramètres étant fixés, la réponse du circuit à un échelon de tension donne lieu à différents régimes selon la valeur de la résistance variable R.
Identifier et nommer les trois régimes associés aux courbes 1, 2 et 3 de la figure 3 (en voie 1 de l’oscilloscope, l’échelon de tension ; en voie 2, la superposition des réponses du circuit).
Figure 3 – Superposition des réponses du circuit soumis à un échelon de tension, pour trois valeurs différentes de R
2021 – 2022 10/12
Q7. La résistance critique R’c = Rc + Rg + r a été mesurée pour différentes valeurs de C. Déduire du tracé de Rc en fonction de !
√0
(figure 4) et du document 1 une estimation de la valeur de r.
Pourquoi cette mesure est-elle peu précise ?
Modélisation affine :
- coefficient de corrélation : 0,999 ; - ordonnée à l’origine : −81 SI ; - pente : 0,58 SI.
Figure 4 – Résistance critique en fonction de l’inverse de la racine carré de la capacité
Q8. Déterminer la valeur de l’inductance L du circuit au moyen de la figure 4 et des informations fournies en Q7. Commenter.
Q9. Un dispositif électronique, non étudié ici, permet de réaliser des oscillations électriques non amorties sur le circuit à une fréquence égale à sa fréquence propre. On peut montrer que la présence d’une masse métallique à proximité de la bobine amène un effet électromagnétique revenant à modifier l’inductance propre du bobinage pour une valeur L’.
L’appareil comporte deux circuits identiques, l’un restant éloigné de la masse métallique à détecter, et l’autre pouvant être placé à proximité.
Déterminer la fréquence propre f0 des circuits pour L = 85 mH et C = 5,3 nF
Relier la fréquence fB des battements obtenus lorsque l’on additionne les signaux produits par chacun des bobinages aux valeurs L, L’
et C.
Application numérique pour L = 85 mH, L’ = 92 mH et C = 5,3 nF.
Réponse : 𝑇)= 2𝜋√𝐿𝐶 ; a = 4p2L et 𝑏 =#@A/* ; L = 84 mH si bC << 1 ; r = 31 W ± 1,5 W ; L = 84 mH ; f0 = 7,5 kHz ; fB = 2,9.102 Hz.
IX Réponse d’un circuit RC à une impulsion.
On applique à l’entrée d’un circuit RC série un échelon de tension e(t) décrit par :
- pour t < 0 ; e(t) = -E - pour 0 ≤ t ≤ to ; e(t) = +E - pour t > to ; e(t) = -E
Données : R = 10 kΩ ; C = 10 µF.
R u(t)
i(t)
C e(t)
e(t)
t t
o0 +E
-E
2021 – 2022 11/12
1) Établir l’équation différentielle reliant la tension u(t) aux bornes du condensateur à la tension e(t) appliquée sur le circuit.
2) On suppose qu’à l’instant t = 0, la tension e(t) était depuis longtemps à la valeur -E, et qu’elle passe quasi-instantanément à la valeur +E. Donner, en justifiant vos réponses, la valeur de l’intensité i(t) et de la tension u(t) à l’instant t = 0- juste précédent t = 0.
3) Déterminer u(t) pour 0 ≤ t ≤ to.
4) On suppose que la durée to de l’impulsion est telle que u(t) atteigne la valeur E/2 à l’instant t0. Exprimer t0 en fonction de R et C et calculer sa valeur numérique.
5) Établir l’expression de u(t) pour t > t0 en exploitant notamment la condition de continuité sur u(t) à l’instant t = t0. 6) Tracer une allure du graphe u(t). Justifier la valeur vers laquelle tend u(t) pour une durée grande.
Réponse : 𝑅𝐶𝑢̇ + 𝑢 = 𝑒 ; i(0-) = 0 et u(0-) = - E ; 𝑢(𝑡) = 𝐸N1 − 2𝑒%./(#0)O ; t0 = 2RCLn2 ; 𝑢(𝑡) =>-* 𝑒%"&"(
#$ − 𝐸.
X Guirlandes électriques de Noël
Dans cet exercice, on cherche à optimiser l’alimentation électrique d’un système comportant deux guirlandes électriques numérotées 1 et 2 et modélisées par des résistors de résistances identiques R1 = R et R2 = R.
La première guirlande est dédiée à un fonctionnement continu. La seconde est associée avec un interrupteur K en série qui bascule de manière périodique afin de produire un clignotement.
On supposera dans cet exercice que la puissance lumineuse fournie par ces guirlandes est proportionnelle à la puissance électrique qu’elles reçoivent.
A. Système de base
On considère dans un premier temps le circuit ci-contre alimenté par un générateur réel de f.e.m. E et de résistance interne r.
1) Lorsque l’interrupteur K est ouvert, établir l’expression du courant iouvert puis l’expression de la puissance électrique P1,ouvert reçue par la guirlande R1. Quelle est dans cette configuration la puissance reçue P2,ouvert par la seconde guirlande R2 ?
2) On considère maintenant le cas où l’interrupteur K est fermé.
Quelle est alors la nouvelle expression pour le courant ifermé ? En déduire les courants i1 et i2 circulant dans les deux guirlandes.
3) Quelles sont alors les puissances P1,fermé et P2,fermé reçues par les deux guirlandes ?
4) La puissance reçue par la première guirlande (celle qui ne doit pas clignoter) est-elle identique lors les deux régimes étudiés ? Interpréter ce résultat.
5) Comment doit-on choisir r par rapport à R pour limiter cet effet ? Cette condition est-elle vérifiée pour r = 1 W et R = 2 W ? B. Système amélioré
On considère maintenant le circuit ci-contre afin de limiter la variation de puissance électrique reçue par la première guirlande donc la variation du courant i1.
Une bobine d’inductance L a donc été ajoutée en série avec la première guirlande.
L’interrupteur K est ouvert de manière périodique pour t ∈ [0, T/2[ et fermé pour t
∈ [T/2, T[.
1) Établir l’équation différentielle dont i1 est solution sur l’intervalle [0, T/2[.
On fera apparaitre un temps caractéristique τo.
2) Vérifier ensuite que l’ajout de la bobine ne va pas modifier la valeur du
2021 – 2022 12/12
courant i en régime permanent en le comparant à celui trouvé à la question A 1).
3) On s’intéresse maintenant à l’intervalle [T/2, T[, lorsque l’interrupteur est fermé. Montrer que i1 est alors solution de l’équation suivante :
34% 3. +<!
+𝑖!=-//
!"#,, avec 𝜏B =/C!"
,
#D
#"*5
4) Vérifier ensuite que l’ajout de la bobine ne va pas modifier la valeur du courant i1 en régime permanent en le comparant à celui trouvé à la question A 2).
C. Étude expérimentale
On étudie ensuite expérimentalement les variations du courant i1 en mesurant la tension aux bornes de la guirlande R1 à l’aide d’un oscilloscope et on obtient le résultat suivant pour deux valeurs différentes de l’inductance L.
1) Retrouver la valeur de L1 à partir de l’étude graphique (on rappelle que r = 1 W et R = 2 W) en expliquant votre démarche.
Justifiez ensuite brièvement que L2 ≫ L1 sans chercher à déterminer sa valeur.
2) Quelle est la valeur de l’inductance à retenir parmi L1 et L2 pour minimiser les variations du courant passant dans la première guirlande ? Justifier soigneusement votre réponse.
Réponse : 𝑖;EF&5.=5"#-
% ; 𝑃!;EF&5.=(5"##%-
%)* ; P2ouvert = 0 ; 𝑖*= 𝑖*=4+-,.é* =*5"#- ; 𝑃!B&58é= 𝑃*B&58é=(*5"#)#-* * ; il faut r << R ;
34% 3. +<!
(𝑖!=-/ avec 𝜏)=5"#/ ; L1 = 80 mH.
XI La figure ci-contre représente un circuit comprenant un générateur de tension de force électromotrice E, une résistance R et une bobine d'inductance L, sans résistance, aux bornes de laquelle est placée une résistance R1.
On demande de déterminer les intensités i(t), i1(t), i2(t) dans les trois branches du circuit sachant qu'elles sont toutes nulles avant la fermeture de l'interrupteur K.
Réponse : 𝑖*=-#N1 − 𝑒%./<O ; 𝑖!=#"#-
%𝑒%./< ; 𝑖 =-#%1 −#"##%
%𝑒%./<( avec 𝜏 =
#"#%
##% 𝐿.
