--+-=- n , ‡˛" nuNn nu ‡‡ 0 n ‡ nu

1) Pour tout entier naturel

n

, on définit la propriété P : « _n

u

_n

≥ n

^» Montrons cette propriété par récurrence.

• Initialisation : P est vraie par hypothèse. ₀

• Hérédité : Soit n∈N. Si P_n est vraie, alors

u

_n

≥ n ≥ 0

. Ainsi, u_n+1 = n+1+u_n ≥ n+1donc P_n+1est vraie.

L’axiome de récurrence nous permet de conclure que

∀ n ∈ N , u

_n

≥ n

. 2) a) ∀x∈R₊,1+x−2 x =(1− x)² ≥0 d’où le résultat.

b) Pour tout entier naturel

n

, on définit la propriété P : « _{n n} u_n n

u 2

+ 0

≤ »

Montrons cette propriété par récurrence.

• Initialisation : P est vraie car _{0 0 0}⁰ 0 2u u ≤ +

• Hérédité : Soit n∈N. Si P est vraie, alors _n )

1 2 2 2( ) 1 1 2(

1 ₀

1 n n n

n

n u u

n u

n

u ₊ = + ≤ + + ≤ + + (hypothèse de

récurrence)

On en déduit que ₁ ⁰₁ ⁰₁

1 2 2 2

1

+

+ ≤ + + _n+ ≤ + + _n

n

n u n u

u donc P_n+1est vraie.

L’axiome de récurrence nous permet de conclure que _n u_n n u N

n∈ , ≤ +2⁰

∀ .

D’après les résultats précédents, on a ₂

1 0

2 1 2

1 2 0 1

n n u

n u n

n _n− − + ⁿ⁻

≤

− ≤

≤ . Par passage à la limite, on en déduit que

0 lim ₂⁻¹ =

+∞

→ n

u_n

n

c) Toujours d’après les résultats précédents, on a 1 .

0 ¹ ₂¹

n u n n

u n n u n

n n + n− = + _n−

=

≤

≤ Par passage à la

limite, on en déduit que lim =0

+∞

→ n

u_n

n

Pour n∈N^*,on a

1 1 1

1 ^{1 1}

+ −

≤ +

=

≤ ^{− −}

n u n

u n

u_{n n n}

. Par passage à la limite, on en déduit que lim =1

+∞

→ n

u_n

n .

Ainsi,

u

_n

n

∞ +

~

. 3)

) 1 1

( ¹

1 1

+ +

=

− +

=

−

−

− −

n n u

n u u

n n u

n n n

n . En utilisant le fait que

u

_n

n

∞

+

~

, on obtient :

2 lim = 1

+∞

→ n

n w .

4) 0

1 lim 1

1

lim =

−

= +

−

− →+∞

+∞

→ n n n n

n

n .

On a

u

_n

− u

_n−1

= w

_n

− w

_n−1

+ n − n − 1

donc 0 0 2

1 2

lim − ₋₁ = 1− + =

+∞

→ n n

n u u .

Cette limite se traduit par :

ε

ε > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ − ≤

∀ 0 , N

0

N / n N , n N

0

u

_n

u

_n−1 .

Or

u

n

− u

n₋1

≤ ε ⇔ u

n₋1

− ε ≤ u

n

≤ u

n₋1

+ ε

. Le résultat s’en déduit en prenant 2

= 1

ε

^. On a

1 1 1

1 1

1 1

−

− −

− + + + +

−

= + +

− + +

=

−

n n

n n n

n n

n n u n u

u u u

n u n u

u . u_n+1−u_n est donc du signe de 1+u_n −u_n−1.

Or pour 0

2 1 1 1

, ₁

0 + − ≥ − >

≥N u_n u_n−

n donc u_n+1−u_n >0.La suite (u_n)est donc croissante à partir de N₀. 5) suite :=proc(n)

local s,i ; s :=1 ;

for i to n do s :=sqrt(i+s);od;

print(s);

end;