Centre Universitaire Ain Temouchent IST 2009-2010
Physique 2 K.Demmouche
Électricité et Magnétisme
Contenu du cours EM : (24)
Chapitre 0 : Rappels de notions mathématiques (1) Chapitre 1 : Electrostatique (2)
Chapitre 2 : Champ électrique (3) Chapitre 3 : Potentiel électrique (3)
Chapitre 4 : Conducteurs en équilibres (3) Chapitre 5 : Conduction électrique (3) Chapitre 6 : Circuits électriques (3) Chapitre 7 : Champ magnétique (3) Chapitre 8 : Induction magnétique (3)
Référence :
- Toute Réf. Electricité & Magnétisme (voir OPU).
- EM, Abdallah Moussa, Tome1, OPU 1989
- Physique générale 2. Alonso-Finn, inter editions1986 - Open course MIT (voir internet)
Cours 1
Chapitre 0 : Introduction et rappels mathématiques 0.1. Introduction
En physique moderne, on distingue principalement quatre types de forces d´interaction pour décrire les phénomènes de la nature :
• Les forces gravitationnelles : ce sont les forces agissant entre différentes masses, elles deviennent importantes pour des masses considérables, par exemple : dans le mouvement des planètes et des astres.
• Les phénomènes de désintégration sont liés á l´interaction faible responsable de la radioactivité et la désintégration des particules.
• L´interaction forte entre les constituants du nucléon (les quarks) est responsable de la stabilité du noyau et elle garanti sa cohésion.
• En enfin la stabilité des atomes est dû aux interactions électromagnétiques entre les protons (de charge électrique positive) et les électrons (charge négative). Cette interaction, comme la force gravitationnelle, s´écrit en mais peut être attractive ou répulsive á cause de l´existence de deux types de charges électriques.
/ 2
1 r
Dans ce cours on va accorder une attention particulière pour l´étude de l´électricité et magnétisme et les lois qui leurs régissent. Ainsi l´étude de l´électromagnétisme est un des domaines les plus formateurs en physique.
Les applications de l´électromagnétisme se retrouve dans tous les domaines tel que la physique atomique, l´électrotechnique, la médecine, le transport, l´industrie, la radio, l´électroménager, etc.
On procède dans ce cours par faire un rappel des notions mathématiques qui seront utiles le long du parcours de ce cours.
0.2. Rappels mathématiques : 0.2.1. Fonction de Dirac δ :
Rappelons-nous qu´on a vu dans le cours de la mécanique classique que le mouvement d´un système de points matériels revient á l´étude du mouvement de son centre de gravité. Ce centre se comporte comme si toute la masse du système est concentré sur lui et
∑
=
i
mi
M
que les forces extérieures s´appliquent00 seulement sur ce point. La masse totale du système s´exprime par une intégrale de volume sur la densité massique ρ :
∫
=
V
r d M 3 ρ(r)
Pour le cas d´un point matériel la densité s´annule sauf en un seul point où se point se trouve : r0.
Ceci peut être symbolisé par la fonction-δ de Dirac par : ) ( )
(r =Mδ r−r0 ρ
Avec les conditions :
0 0
0 0
3
0 ) (
sinon , 0
, ) 1 (
r r r
r
V r r
r r d
V
≠
∀
=
−
⎩⎨
⎧ ∈
=
∫
− δδ
Cette fonction est souvent considérée comme une distribution, ce n´est pas une fonction ordinaire tel qu´on a l´habitude en mathématique.
Propriétés :
∫
β − =⎩⎨⎧ 〈 〈α
β δ α
sinon , 0
), ) (
( )
( f a a
dx a x x f
[ ]
( ),avec ( ) 0et ( ) 0) ( ) 1
( ´
´ − = ≠
=
∑
i ii
i i
x f x
f x
x x f x
f δ
δ
0.2.2. Développement de Tylor :
Il est souvent dans la résolution du problème en physique de simplifier les fonctions mathématiques dans des domaines bien déterminé. Cependant cette simplification ne doit pas produire une grosse erreur. Dans le cas de ces simplifications il est très souhaité d´avoir une estimation de l´erreur.
On considère une fonction différentiable á une variable . Cette fonction admet souvent un développement en série de puissance :
) (x f
∑
∞=
=
0
) (
n n nx a x
f
Où les coefficients ansont déterminés par le comportement de la fonction en point x=0 par : )
0
! ( 1 (n)
n f
a = n
On parle ici d´un développement de Taylor au voisinage du point . Dans une série convergente tendent les contributions des termes de puissance qui augmente vers zéro. Ceci
=0 x
permet une approximation de par un développement limité avec un nombre fini de termes
) (x f
) ( )
(
0
x R x a x
f m
m
n n
n +
=
∑
=
Où Rest e reste ou bien souvent appelé l´erreur. Cette fonction tend vers zéro lorsqu´on prend une infinité de termes.
Exemple : Ex fiche TD 0
Etablir le développement en série de Taylor de la fonction sin(x) et ex.
Dans l´électromagnétisme le développement de Taylor des champs est souvent important.
0.2.3. Champ scalaires :
Un champ scalaire ϕ(r) est une fonction qui prend une valeur déterminée en tout point M de l´espace localisé par le vecteur r. Comme exemple le champ de la chaleur, le potentiel électrostatique, etc.
Lorsque le champ ϕ dépendra que de la distance r on dit que le champ est central comme le cas du champ de gravitation qu´on a vu en cours de la mécanique.
Les points de l´espace où ϕ=constforment ce qu´on appel les surfaces équipotentielles.
Exemple : champ central ϕ =1/r /
/ / / / / / //
Développons un champ scalaire ϕ au voisinage de r. Cela veut dire calculerϕ(r+Δr). On définit
) (
)
(t t
F =ϕ r+Δr c.á.d qu´on aϕ(r+Δr)=F(1).
Celon Taylor on a:
∑
∞=
=
0
) ( ) ( (0)
! ) 1
(
n
n
n t
n F t
F
Procédons au calcul des facteurs F(n)(0) :
{
1 1 2 2 3 3}
0{
1 2 3}
0´(0) ( , , ) = (~ +~ +~ ) =
∂
= ∂ Δ
+ Δ
+ Δ
∂ +
= ∂ t x x x t
x t x x x x t x
F ϕ ϕ
∑
=∂ Δ
= ∂
′ 3
1
) 0 (
j
j j
x x
F ϕ
De la même façon on obtient
∑
=Δ
∂ Δ
∂
= ∂
′′
1 ,
2
) 0 (
k j
k j k j
x x x
F x ϕ
. . .
. )
0 (
1 )
( ϕ
n
j j
j n
x x
F ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂ Δ ∂
=
∑
=
On troue á la fin pour le développement de Taylor du champ scalaire l´expression suivante :
( )
( )
( ).exp
)
! ( 1
)
! ( ) 1
(
0 1 0
r r
r r
r r
r
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∇
⋅ Δ
=
∇
⋅ Δ
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂ Δ ∂
= Δ +
∑
∑
∑
∞
=
=
∞
=
n n
n
j j
j n
n
x x n
Exercice : Voir fiche TD 0
Etant donné le potentiel scalaire de Coulomb d´une charge ponctuelle par
r0
- r = rα
) ( V
Donner le développement de ce potentiel au voisinage de r=0.
0.2.4. Champ vectoriel : Toute grandeur vectoriel Ar
qui prenne une valeur bien déterminée en tout point de l´espace est appelée un champ vectorielAr Ar(r)
= . Exemple : le champ électrique, le champ magnétique sont des champs vectoriels.
Souvent en physique on rencontre un cas spécial du champ vectoriel qui est le champ central.
Ce champ s´écrit de facon général comme
r r f
A r
)
= ( r
Comme exemple de ce champ on trouve la loi de Coulomb pour deux charges ponctuelles statiques qui est donnée par
r r
q k q
F e r
2 2
= 1
r
Les lignes du champ :
Les lignes dont le champ vectoriel est tangent en chaque point sont appelées les lignes du champ.
/ / / / / / /
Les équations donnant les lignes du champ sont obtenu par la solution des équations différentielle provenant de la condition Tr Ar
// où Tr
est la tangente dl
dr. Ce qui donne :
z y
x A
dz A dy A
dx = =
0.2.5. Intégrale de surface : /
//
/ / / / / / /
On considère une surface S qu´puisse être paramétrées par deux variables (u,v) . Donc chaque point de la surface est donné par r(u,v) . On divise la surface en petit éléments de surface
orientée notée par . Ce vecteur est perpendiculaire á l´élément de surface. On a donc (voir figure)
S dr
, )
, ( ) , (
, )
, ( ) ,
(
oú ,
udu v
u v du u b d
vdv v
u dv v u a d
b d a d S d
∂
≈ ∂
− +
=
∂
≈ ∂
− +
=
×
=
r r r
r r r
r r
r r r
On a utilisé le développement de Taylor à l’ordre linéaire de la série. Maintenant on a
u v
u dudv S v
d
u
v ∂
= ∂
∂
= ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
×∂
∂
= ∂
r r r r
r r
, avec
r
Génère le plan tangent á la surface S en pointr(u,v). La normale á la surface est donnée donc par
v u
v
n u
r r
r r r
×
= × ) r( Pour l´élément de surface :
) (r n dS S
dr r
= .
Exemple : l´aire d´une sphère : Para métrisation :
{
= ( = ,θ,ϕ);0≤θ ≤π,0≤ϕ ≤2π}
= r R
S r r
/ / / / / / / / /
En utilisant les transformations vers les coordonnées sphériques, on peut calculer rθ,rϕ
. sin )
0 , cos sin , sin sin (
) sin , sin cos , cos (cos
ϕ θ
θ ϕ
θ ϕ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ θ θ
e R R
e R R
r r
=
−
∂ =
∂
=
−
∂ =
∂ r r
L´élément de la surface s´écrit donc :
(
R d d)
erS
dr = 2sinθ θ ϕ r Qui est radial vers l´extérieur.
L´aire totale de la sphère est obtenue par
∫
∫
== π θ θ2π ϕ π
0
2 0
2 sin d d 4 R .
R A
Exercice : voir fiche TD 0
En utilisant l´intégrale de surface trouver l´aire d´un cylindre d´hauteur L.
Le flux d´un champ vectoriel Ar :
En électromagnétisme on s´intéresse souvent á l´intensité avec laquelle un champ vectoriel passe á travers une surface S(V) délimitant un volume V. Ainsi on définit le flux par l´intégrale de surface :
∫
⋅= Φ
S
S Ar Ar dSr
) ( )
( r
/ / / / / / /
Pour calculer cette intégrale on divise la surface S en petit éléments de surface tel que le champ
ΔS Ar
soit homogène sur l´élément de la surface et l´élément de surface peut être considéré comme plan. Le calcul du flux Φ revient donc á une somme de Riemann les flux élémentairesdΦi = A(ri)⋅ΔS(ri).
Il est souvent demandé de calculer le flux á travers une surface fermée
∫
→∫
S S
.
Exemple : Flux d´un champ homogène á travers un cube.
/ / / / / / / / / / / On a
const a
a
ax y z =
=( , , ) a
Donc
. 0 ..
..
) (
0 0
=
− +
− +
−
=
+
=
+
− +
=
⋅
∫
∫
∫
∫
∫
ba a ba a ac a ac a bc a bc a
dz dy a
dS a dS a d
z z
y y
x x
c b x
x x x x S
S a
Ainsi le flux d´un champ homogène á travers une surface fermée est nul.
Exercice : voir fiche TD 0
- Calculer le flux d´un champ central á travers une sphère de rayon R centrée en O.
- Quelle est la valeur de ce flux pour le champ électrique
r r k e
E r
= 2
r crée par une charge positive e.
0.2.6. Théorème de Gauss-Ostrogradsky :
Ce théorème relie l´intégrale de surface á l´intégrale de volume est donné par
∫
⋅ =∫
) (
3 . ) (
V
S V
r d A div S
d
Ar r r
Le flux du champ vectoriel Ar
sortant de la surface fermée S est égal á l´intégrale de volume de sa divergence.
En coordonnées cartésiennes en l´applique au volume élémentaire dxdydz.
/ / / / / / / / /
On considère le volume élémentaire dxdydz et on calcule le flux du champ Ar
, ceci donne :
[ ] [ ]
[ ]
[
( , , ) ( , , )]
...: ) (
...
) , , ( ) , ,
( : ) (
) , , ( ) , , ) (
, , ( ) , , ( : ) (
=
− +
=
− +
−
= +
− +
dxdy z y x A dz z y x A Oz
dxdz z y x A z dy y x A Oy
dxdydz dx
z y x A z y dx x dydz A
z y x A z y dx x A Ox
z z
y y
x x
x x
Et lorsque le nombre des volumes élémentaires tend vers l´infini chaque volume élémentaire tend vers zéro ( ). La somme des trois termes dans l´expression précédente donne :
, 0 ,
0 ,
0 → →
→ dy dz
dx
. ) (A dV div
dxdydz z
A y A x
Ax y z r
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
Exemple : soit le champ vectoriel
k z j y i x
Fr r 2r 2r
2 + +
=
Calculer son flux á travers a sphère unité S1 (x2+y2+z2 =0).
( )
∫ ∫
∫
⋅ = = + += Φ
V V
S
dxdydz z
y dV
F div S
d
F ( ) 21
1
r r r
En utilisant les coordonnées sphériques
( )
∫∫∫
+ +=
Φ 21 sinϑsinϕ cosϑ r2sinθdθdϕ
Exercice : voir fiche TD 0 Montrer les formules suivantes :
∫ ∫
∫
∫
∫
=
×
=
=
=
Σ Σ
S V
V
dV A rot S
d A
dV U grad S
Ud S d S
. ) (
) ( . 0
r r
r r
r r r
0.2.7. Théorème de Stokes :
Le théorème de Stokes est donné par
∫
⋅ =∫
⋅C S
S d A rot l
d
Ar r r r
) ( La circulation du vecteur Ar
sur le contour fermé orienté C est égale au flux de son rotationnel á travers une surface S quelconque s´appuyant sur C.
/ / / / / / / / /
Pour trouver la composante sur ex on applique á la surface élémentaire dydz.
La circulation du champ Ar
s´écrit, en regroupant les termes de cotés opposés par :
[ ] [ ]
[ ] [ ]
dz dydz dz z A z dydz A
dy
y A dy y A
dy dz z y x A z y x A dz z y x A z dy y x A C
y z y
z
y y
z z
x
) ( ) ) (
( ) (
) , , ( ) , , ( )
, , ( ) , , (
+ + −
−
= +
+
− +
− +
=
Et lorsque le nombre des surfaces élémentaires tend vers l´infini chaque surface élémentaire tend vers zéro (dy→0,dz→0,).
[
rot(A) e]
dydz.z dydz A y
Cx Az y r rx
⋅
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
∂
−∂
∂
= ∂
Les autres composantes s´en déduisent par permutation circulaire.
Exemple : Calculer la circulation du champ vectoriel
(
y x y x x y xyz)
Ar = − ( 2+ 2), ( 2+ 2), Le long du cercle S1 centré en O et de rayon R sur le plan xOy.
∫ ∫
Σ
⋅
=
⋅
1
) (
S
S d A rot r
d
Ar r r r
)).
( 4 , , ( )
(A xz yz x2 y2
rot r = − +
On paramétrise la surface Σen utilisant les coordonnées cylindriques :
( )
{
= ρcosϕ,ρsinϕ,0;0≤ρ ≤ ,0≤ϕ≤2π}
=
Σ r R
Ainsi
( ) ( )
( )
4 0
2
0 3
3
2 4
4 )
(
0 , cos , sin
; 0 , sin , cos
R d
d C
d d S
d A rot
d d d d S
d
R
z
π ϕ ρ ρ
ϕ ρ ρ
ϕ ρ ρ ϕ ρ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
π ϕ ρ
ϕ ρ
=
=
⇒
=
⋅
⇒
=
×
=
⇒
−
=
=
∫ ∫
r r
r r r e
r r
Exercice :
-Démontrer la formule de Kelvin-Stokes :
∫
=−∫
×C S
S d U grad l
Udr ( ) r.
Utiliser par exemple:
a grad a
rot a
rot(rϕ)=ϕ (r)+ (ϕ)×r
