13 13

13 13

I ^NTÉGRATION I ^NTÉGRATION

Qu'est-ce-qu'une année sinon le volume inni d'une pincée de secondes ?

Dominique Rolin, Extrait de Journal amoureux

1 I

Nous savons aisément calculer l'aire d'un rectangle, d'un parallélogramme, d'un trapèze, voire même d'un disque. Mais qu'en est-il lorsqu'il s'agit d'obtenir l'aire d'un domaine plus compliqué ? Par exemple, un repère orthogonal étant choisi (et par conséquent une unité d'aire), combien vaut l'aireA du domaine délimité par la courbe de la fonction carréf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x= 0 etx= 1?

On peut facilement donner des encadrements de cette aire à l'aide d'aires de rectangles construits en-dessous, et au-dessus de la courbe de f comme l'illustrent les schémas ci-après.

On subdivise l'intervalle 0 ; 1

en nintervalles de longueur 1/n.

On note u_n la somme des aires des n rectangles inférieurs, et v_n la somme des aires des n rectangles supérieurs.

1 1

0

un= 0.24 vn= 0.44 n = 5

1 1

0

un= 0.3088 vn= 0.3587 n = 20

1 1

0

un= 0.3284 vn= 0.3383

n = 100

Par exemple pour n= 5, on obtient0,246A 60,44. Plus généralement, pour n∈N^∗ on a :u_n6A 6v_n.

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

S.DELOBEL M.LUITAUD

La suite (u_n)n∈N^∗ est croissante et la suite(v_n)n∈N^∗ est décroissante.

Ainsi, plus les valeurs den augmentent, plus l'encadrement obtenu sera n.

Le calcul de u_netv_n à la main reste simple mais devient vite fastidieux. Heureusement nous arrivons à exprimer directementu_netv_nen fonction den. Après calculs, on a pour toutn∈N^∗ :

un= (n−1)(2n−1)

6n² et vn= (n+ 1)(2n+ 1)

6n² .

La suite (u_n)n∈N^∗ est croissante et majorée (par A), donc elle converge. La suite (v_n)n∈N^∗ est décroissante et minorée, donc elle converge aussi. Comme, de plus, on a vn−un = _n¹ qui tend vers 0, alors ces deux suites ont la même limite qui ne peut donc être queA.

La précision de l'encadrement de A paru_n etv_n peut être contrôlée puisqu'on sait quev_n−u_n vaut _n¹. Par exemple si on souhaite donner un encadrement de A d'amplitude 10⁻², il sut d'avoir _n¹ 610⁻² c'est-à-diren>10².

Pour n= 100:0,328356A 60,33835.

Mieux : on obtient la valeur exacte de A en calculant la limite de un (ou de vn). Un calcul classique de limite montre que limun= ¹₃. Ainsi, on peut armer :

A = 1 3.

Le raisonnement eectué sur cet exemple se généralise et fait l'objet de ce chapitre.

Les mathématiciens des siècles passés ont consacré beaucoup d'eorts à calculer les aires de domaines de plus en plus compliqués. Le développement du calcul intégral a permis des avancées dans ce domaine à partir de la n du xvii^esiècle.

La notion d'intégrale poursuit encore son évolution ; en 1960 apparaît l'intégrale de Kurzweil- Henstock qui allie la simplicité de l'intégrale de Riemann et la puissance de celle de Lebesgue.

2 N

’

:

’

OI ,−→

OJ) du plan, et on notera C la courbe de la fonction f dans ce repère. On prend comme unité d'aire l'aire du rectangle engendré par OIJ.

2.1 Aire sous la courbe et intégrale

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle

a;b

L'intégrale de aà b de la fonction. f est l'aire (exprimée en unités d'aire u.a. ) du domaineDdélimité par la courbeC, l'axe des abscisses, et les droites d'équa- tions x=aetx=b.

Elle est notée¹ Z b

a

f(x)dx . Dénition 1.

1 1

0

D

1 u.a.

a b

C

1. Le symboleR

a été introduit par Leibniz au xvii^esiècle, et la notationRb

a est due à Fourier au xix^esiècle.

Z b a

f(x)dx est un nombre réel.

Le symbole R

est un S stylisé (initiale du mot somme ) rappelant le fait que l'intégrale peut être obtenue comme limite d'une somme d'aires de rectangles². Il est au continu ce que le symboleP est au discret.

Dans le cas d'une somme discrète, lorsqu'on écritP3

k=1k², cela signie 1²+ 2²+ 3². Le calcul est le même si on écrit P3

n=1n² et le résultat aussi : la variable est dite muette.

De même dans le cas d'une somme continue (une intégrale...), la variablexest muette : on peut la remplacer par n'importe quelle autre lettre (tant qu'il n'y a pas d'ambiguïté), le calcul et le résultat ne changent pas.

Ainsi :Z b a

f(x)dx= Z b

a

f(t)dt= Z b

a

f(u)du...

Exemple 1

Comme on l'a vu dans le paragraphe1d'in- troduction, Z 1

0

x²dx= 1 3.

Exemple 2 Z 3

0

2dx= 3×2 = 6.

Exercice 1

1. Tracer la représentation graphique de la fonction f dénie sur Rparf(t) = 2t+ 1. 2. Calculer³

Z 3 1

(2t+ 1)dt.

2.2 Dérivabilité d’une fonction « aire »

On s'intéresse à la fonction aire sous la courbe de f (f fonction positive) entre les bornesa etx (x variable, x>a). On noteF cette fonction.

Exemple 3

Par exemple pour f(t) = 1 t sur

1 ; +∞

, on obtient :

2. f(x)dxest l'aire du rectangle de dimensionsf(x)etdx.

3. Le résultat d'un calcul intégral peut être vérié à l'aide de la calculatrice.

1 3.5

F(3.5) = Z 3.5

1

f(t)dt

0 1 2 3

1 2

3.5

Courbe deF en fonction de x. Quelle fonction reconnaît-on ?

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle a;b

. Alors, la fonction F :x7→

Z x a

f(t)dt est dérivable sur a;b

etF⁰ =f. Théorème 2 (Théorème fondamental).

On se contentera de la démonstration dans le cas oùf est croissante surh a;b

i. À rédiger absolument ! On admet le cas général.

Piste : encadrerF(x0+h)−F(x0)par les aires de deux rectangles convenablement choisis, puis se souvenir de la dénition de dérivabilité deF enx0...

Preuve

Exercice 2

Soit F la fonction dénie sur

0 ; +∞

parF(x) = Z x

0

1 1 +t²dt. Déterminer le sens de variation deF sur

0 ; +∞

.

3 P

’

On dit que la fonction F du théorème fondamental est une primitive de f. Ce théorème laisse présager un lien étroit entre la notion de primitive et celle d'intégrale. Nous allons voir que c'est eectivement le cas. Avant cela, arrêtons-nous donc un instant sur la notion de primitive.

3.1 Notion de primitive

Soit f une fonction dénie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dénie et dérivable sur I dont la dérivée F⁰ est f.

Dénition 3.

Exemple 4

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) = 3x+ 1. La fonction F dénie sur RparF(x) =3

2x²+x est une primitive def sur R.

La fonction Gdénie sur RparG(x) = 3

2x²+x+ 12est une autre primitive def sur R.

Plus généralement, toute fonction x 7→ 3

2x² +x+C, où C est une constante réelle, est une primitive de f surR.

Soit f une fonction dénie sur un intervalle⁴I et qui possède une primitiveF surI. Alorsf admet une innité de primitives surI : l'ensemble des fonctions dénies sur I parx7→F(x) +C où C est une constante réelle.

Proposition 4.

Autrement dit, deux primitives F etGde f surI ne dièrent que d'une constante.

Considérer deux primitivesGetF def surI et démontrer queG−F est une constante...

Preuve

On vient ainsi de voir qu'une fonction f qui possède une primitive sur I en possède alors une innité. Si de plus on s'impose une condition initiale, il y a unicité de la primitive. Plus précisé- ment :

Soit f une fonction dénie sur un intervalle I et admettant des primitives sur I. Soit x₀ un réel dansI ety₀ un réel donné.

Il existe une unique primitive Gde f sur I telle que G(x0) =y0. Proposition 5.

Facile.

Preuve

Exercice 3

Soit F la fonction dénie sur

0 ; +∞

parF(x) =xlnx−x. 1. Vérier que F est une primitive de la fonctionlnsur

0 ; +∞

. 2. Déterminer la primitive delnqui s'annule en 1.

3.2 Calculs de primitives

Pour déterminer les primitives d'une fonction, en premier lieu on procède par lecture inverse du tableau des formules de dérivation⁵.

Exercice 4

Dans chacun des cas suivants, déterminer les primitives de la fonctionf : 1. f(x) =x⁴−4x³−5x²+7

3x+ 2sur R 2. f(x) = 2x−4 + 3

x² sur

0 ; +∞

3. f(x) =−sinx+2 cosx− 1 x² sur

0 ; +∞

4. f(x) = 2 x+ 1

x−3 sur

3 ; +∞

5. f(x) = 5x

√

x²+ 4 surR

6. f(x) = 1

x²e^1x sur

0 ; +∞

7. f(x) = 2x−3

(x²−3x+ 10)⁴ surR 8. f(x) = sin 3x−^π₄

surR 9. f(x) =e^−12x sur R

10. f(x) =xe^x2 surR

Il n'est pas toujours facile/possible de trouver les primitives d'une fonction même si elle en possède avec cette méthode : par exemple, autant il est aisé de trouver les primitives de x7→xcos(x²+ 1) qu'il n'est pas immédiat de trouver les primitives dex7→x²cos(x²+ 1) ou dex7→cos(x²+ 1).

4. Le fait queIsoit un intervalle est essentiel. Sans quoi, la proposition4devient fausse !

5. La recherche de primitives nécessite donc une excellente connaissance des formules de dérivation, et un très bon entraînement : on reconnaît d'abord la forme générale, puis on ajuste les constantes.

À ce propos : comment être sur qu'une fonction possède des primitives ? Le paragraphe suivant donne une réponse à cette question.

3.3 Existence de primitives

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives surI. Théorème 6 (Condition susante d'existence de primitives).

On démontre ce théorème dans le cas oùI est un intervalle ferméh a;b

iet oùf admet un minimumm surI. Le cas oùI est quelconque sera admis.

1. Considérer la fonctiongdénie surI parg(x) =f(x)−m. Justier qu'elle est continue et positive surI, en en déduire qu'elle admet une primitiveGsurI.

2. Montrer alors que la fonctionF :x7→G(x) +mxest une primitive def surI. Preuve

Exemple 5

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) = 1 1 +x².

On sait que f est continue surR, donc elle admet des primitives sur R.

On ne parvient cependant pas⁶à les trouver de manière explicite parmi les fonctions usuelles. Les mathématiciens ont alors donné un nom à la primitive de f qui s'annule en 0 : ils l'ont appelée fonction arc tangente⁷ (notéearctan), créant ainsi une nouvelle fonction de référence.

Exercice 5

1. Démontrer que la fonction f dénie sur Rparf(x) =e^−x2 admet des primitives.

2. Pouvez-vous donner une primitive explicite de f?

Nous avons déjà rencontré cette fonction dans le chapitre Fonction exponentielle et nous la rencontrerons de nouveau dans un futur chapitre ( Lois normales ).

3.4 Lien entre primitive et intégrale

Établissons maintenant le lien entre le calcul de primitives et le calcul intégral.

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalleI = a;b

.

Si l'on connaît une primitive quelconqueF def surI, on peut alors calculer l'intégraleZ b a

f(t)dt. En eet, on sait d'après le théorème fondamental que G:x7→

Z x a

f(t)dtest une primitive de f sur I. On a donc :F(x) =G(x) +C.

Et commeG(a) = Z a

a

f(t)dt= 0, alors C=F(a). D'où F(x) =G(x) +F(a), ce qui donne, pourx=b :

F(b) =G(b) +F(a), c'est-à-dire G(b) =F(b)−F(a), ou encore : Z b

a

f(t)dt=F(b)−F(a).

6. Essayez pour vous en convaincre !

7. ...car il s'agit en fait de la fonction réciproque de la fonction tangente.

4 I

’

On a déni l'intégrale d'une fonction f continue et positive sur un intervalle a;b

, et on vient de voir que si F est une primitive quelconque de f sur

a;b

, alors Z b a

f(t)dt=F(b)−F(a). On convient donc, par extension, de poser cette formule comme dénition de l'intégrale dans le cas général où f est une fonction continue de signe quelconque :

Soit f une fonction dénie et continue sur un intervalleI, etaetbdeux réels deI. L'intégrale de a à b de f est le nombre réel F(b) −F(a), où F est une primitive quelconque de f surI.

Dénition 7.

Pour calculer une intégrale, on détermine une primitive quelconque de la fonction à intégrer, puis on applique la formule :

Z b a

f(x)dx= [F(x)]^b_a

| {z }

notation pratique

=F(b)−F(a).

Méthode 8 (Calcul d'une intégrale).

Exercice 6 CalculerZ 2

1

2

√x + 1

dx

Pour une fonction continue f sur a;b

, on a : 1. Z a

a

f(x)dx= 0. 2. Z a

b

f(x)dx=− Z b

a

f(x)dx.

Propriété 9.

Exemple 6 Z 0

1

x²dx=− Z 1

0

x²dx=−1 3. Exercice 7

Calculer les intégrales suivantes : 1.

Z 1 0

3x

(1 +x²)²dx; 2. Z 2

1

e^1t t² dt

3. Z _e²

e

1 tlntdt; 4. Z ^π

4

0

tan²udu

4.2 Intégrale et aire

Le point de départ de notre chapitre était le lien entre aire et intégrale pour une fonction continue positive. Voyons maintenant le lien que nous récoltons lorsque la fonction n'est plus forcément positive.

Dans tout ce paragraphe, f et g désignent des fonctions continues sur un intervalle I, et Cf et Cg leurs courbes représentatives ;aetb sont deux réels de I aveca6b.

SoitD la partie du plan délimitée par la courbeCf, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x =a etx=b.

sif >0 sur I, alors aire(D) = Z _b

a

f(x)dx u.a.

sif 60 sur I, alors aire(D) =− Z b

a

f(x)dx u.a.

Proposition 10.

1 1 0

D

a b

C

1 1 0

D

a b

C

Sif change de signe sur I, on partageD en diérentes parties sur lesquellesf garde un signe constant.

Sur le schéma ci-contre par exemple : aire(D) =aire(D1) +aire(D2) =

Z c a

f(x)dx− Z b

c

f(x)dxu.a. ¹

1

0

D1

D2

a

b c

C

Si f 6 g sur I, alors l'aire comprise entre Cf et Cg et les droites d'équations x = a et x = b est : aire(D) =

Z b a

(g(x)−f(x))dx u.a.

Proposition 11 (Aire entre deux courbes).

1 1 0

D

a b

C

C

Exercice 8

Calculer l'aire de la partie D du plan délimitée par les courbes Cf d'équationy= 2x²−8x+ 4 etCg d'équationy=−x²+ 4x−5et les droites d'équation x= 0etx= 2tracées dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Exercice 9

Soit f la fonction dénie sur

0 ; +∞

parf(x) = 2 + 2 lnx

x .

1. Tracer, avec GeoGebra, la courbe de f dans un repère orthonormé (O;~ı , ~) et placer les points A(1 ; 0), B(1 ; 2)etC(0 ; 2).

2. Montrer que la courbe def partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.

7. L'aire algébrique du domaine D est l'aire de D aectée d'un signe + ou −selon que f est positive ou négative.

5 P

Dans toute cette section,f etgdésignent deux fonctions continues sur un intervalleI;Cf etCg

désignent leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal, et aetb deux réels deI tels que a < b.

5.1 Propriétés algébriques

1.

Z b a

(f +g)(x)dx= Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx. 2. Pour tout réel λ, on aZ b

a

λf(x)dx=λ Z b

a

f(x)dx.

Proposition 12 (Linéarité).

1. Sif est paire alors Z a

−a

f(x)dx= 2 Z a

0

f(x)dx. 2. Sif est impaire alors

Z a

−a

f(x)dx= 0. 3. Sif est T-périodique, alors Z a+T

a

f(x)dx= Z T

0

f(x)dx.

Proposition 13 (Parité et périodicité).

Pour tout réel cdansI, on a :Z c a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx= Z b

a

f(x)dx. Proposition 14 (Relation de Chasles⁸).

Les preuves sont faciles en utilisant la dénition7. Laissées en exercices.

Preuve

8. Michel, de son prénom.

−a a

a

−a

0 T a a+T

Attention, en généralZ b a

f(x)g(x)dx n'est pas égale àZ b a

f(x)dx× Z b

a

g(x)dx. Par exemple

Z ₁

0

xdx× Z ₁

0

xdx= 1 2 ×1

2 = 1

4 alors que Z ₁

0

(x×x)dx= Z ₁

0

x²dx= 1 3.

Exercice 10 1. CalculerZ π

0

cos²xdx+ Z π

0

sin²xdx. 2. Calculer Z 0

−π

sin(x³)dx+ Z π

0

sin(x³)dx. 5.2 Intégrales et inégalités

1. Si pour tout x de a;b

,f(x)>0 alors Z b

a

f(x)dx>0. 2. Si pour tout x de

a;b

,f(x)60 alorsZ b a

f(x)dx60.

Proposition 15 (Positivité).

Si pour tout x de a;b

,f(x)6g(x)alorsZ b a

f(x)dx6 Z b

a

g(x)dx . Proposition 16 (Ordre).

Preuves faciles laissées en exercices.

Pour la proposition16, considérer la fonctiong−fpuis utiliser la proposition15.

Preuve

Les réciproques de ces deux propositions sont fausses. Il est laissé au lecteur le soin de trouver un contre-exemple.

Exercice 11 Soit n∈N^∗ etI_n=

Z ^π

2

0

cosⁿ(x)dx.

Démontrer, sans chercher à calculerI_n que pour toutn∈N^∗ on a I_n>0. Exercice 12

Soit I = Z 1

0

2t 1 + 2tdt. Démontrer que 06I 6 2

3 sans chercher à calculer I.

Exercice 13

Soit (u_n)n∈N la suite dénie pour tout n∈N paru_n= Z 1

0

e^−nx 1 +e^−x dx. Montrer que la suite (u_n) converge et donner sa limite. (Indication⁹?) 5.3 Valeur moyenne

Soit f une fonction continue sur a;b La valeur moyenne de la fonction f sur.

a;b

est le nombre réel µ= 1

b−a Z b

a

f(x)dx.

Dénition 17 (Valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle a;b

).

Lorsque f est positive, µ est la hauteur du rectangle de base

a;b

dont l'aire vaut

Z b a

f(x)dx.

Ainsi, sur le schéma ci-contre, l'aire totale hachurée bleue est égale à l'aire totale hachurée verte .

1 1

0

D

a b

C

µ

Sim etM sont deux réels tels que m6f(x)6M pour toutx de a;b

, alors : m6 1

b−a Z b

a

f(x)dx6M.

Proposition 18 (Inégalités de la moyenne¹⁰).

Utiliser la propriété de conservation de l'ordre par passage à l'intégrale...

Preuve

Exercice 14

On injecte dans le sang un médicament.

Soittle temps (en heures) écoulé depuis l'injection du produit. La concentration du médicament (en grammes par litre de sang) est donnée sur

0 ; +∞

parf(t) = 5te^−t. 1. Déterminer une primitiveF de f sur

0 ; +∞

sous la formeF(t) = (at+b)e^−t, oùaetb sont deux constantes réelles à expliciter.

2. Calculer la concentration moyenne pendant la première heure à 0,01 près, puis la concen- tration moyenne pendant les deux premières heures.

9. 6 ⁿ u 6 0 que d'abord Montrer

Z

1

e 0

d −nx

pour x

tout

∈ n . N

10. En termes de vitesses, l'inégalité de la moyenne dit simplement que si la vitesse instantanée (la vitesse donnée par le compteur...) d'un véhicule est toujours comprise entre deux valeurs extrêmes m et M sur une portion de route, alors sa vitesse moyenne sur cette portion de route sera elle aussi comprise entremetM...

6 P

Lorsqu'on ne parvient pas à trouver de primitive de la fonction à intégrer, il y a d'autres stratégies de calcul possibles. Parmi elles, la technique dite d'intégration par parties, le changement de variables, etc.

Ces diverses techniques sont étudiées dans le supérieur.

Le calcul intégral permet de calculer des aires, mais aussi des volumes.

Le calcul intégral a de très nombreuses autres applications en sciences.

7 E

,

Lorsque toutes nos tentatives de calcul de la valeur exacte d'une intégrale ont échoué, on peut toujours se contenter d'une approximation, ou d'un encadrement obtenus à l'aide d'algorithmes.

À titre d'exemple, voici un exercice illustrant la méthode des trapèzes.

Exercice 15

n est un nombre entier naturel non nul.

f est la fonction dénie sur Rparf(x) = 1

√2πe^−x22.

On note C la courbe représentative def dans un repère orthogonal.

On se propose de déterminer une valeur approchée de l'aire, en unités d'aires, du domaine coloré.

Pour cela, on construit les pointsA_ketB_k d'abscisse 2k

n appartenant respectivement à l'axe des abscisses et à C (kentier compris entre 0 etn).

La somme des aires des trapèzes A₀A₁B₁B₀, . . . , An−1A_nB_nBn−1 est une valeur approchée de l'aire cherchée.

2 0.1

0.2 0.3 0.4

0 ^{A0 A1 A2 Ak Ak+1 An−1 An}

B0 B1

B2

Bk

Bk+1

Bn−1

Bn

1. Montrer que l'aire du trapèzeAkAk+1Bk+1Bk est, en unités d'aires : 1

n×

f 2k

n

+f

2(k+ 1) n

pour 06k6n−1

2. a. Écrire un algorithme permettant de calculer la somme des aires de ces trapèzes.

b. Programmer l'algorithme sur une calculatrice ou un ordinateur, et l'exécuter pour n= 10,n= 50etn= 100.

c. Vérier le résultat obtenu à l'aide d'un logiciel de calcul formel (Wiris, Xcas, ...)