72×270 et B = 270723.Quel est le PGCD de 72 et 270 ?

(1)

Classe : 2 ^nde5 DEVOIR n° 2 de mathématiques durée 1h50:

Nombres et transformations du plan.

Le 25/10/2008

Barème sur 20 : 10 points pour l'analyse et 10 pour la géométrie.

Exercice 1 : (4, 5points)

1. Déterminer, en justifiant, à quel ensemble ( le plus petit possible ) appartiennent des nombres suivants :

A = 

3 B = ¹²

150

C = 2−



^7^2



^7 ^{D = - 4}^×5

3

10

E = 1

3×2×10¹⁰⁵ F = 5, 65 65 65 65 65

2. Donner un nombre irrationnel.

3. 5 est il un nombre rationnel ?

4. Calculer à la calculatrice : G =



¹³⁵²^{– 2}⁶⁸⁵³^{– 1}

2

et en donner une valeur approchée à 10-2 près.

Exercice 2 : (3 points)

1. Mettre les expressions suivantes sous la forme d’une fraction irréductible : A =

3 61

3 1 4−2

2. Écrire le nombre suivant sous la forme 2ⁿ × 3^m × 7 ^p où n, m et p sont des entiers relatifs : B = 18×3×14²

7³×12 .

3. Écrire sans radical au dénominateur les nombres suivants : C = 8

3×



² ^{et D =}

2 5 –



³

Exercice 3 : (2,5 points)

1. Décomposer les nombres suivants en produit de facteurs premiers : 72 et 270.

2. Simplifier alors A =



^72×²⁷⁰ et B = 270 72 3. Quel est le PGCD de 72 et 270 ?

Exercice 4 :(2,5 points)

Répondre aux questions suivantes, sans justification.

On a tracé un cercle de diamètre [OM] et de centre T.

IJKL est un carré de centre T.

(2)

A

B

C

M

I

1)Quelle est l’image de la droite (OD) par la translation de vecteur JN ?

2)Quelle est l’ image du segment [OB] par la symétrie de contre T?

3)Quel est l’axe de symétrie qui transforme le point K en I ?

4)La rotation de centre T et d’angle 90°

dans le sens des aiguille d’une montre transforme le segment [NB] en quel segment ?

5)Quel est le centre de la rotation qui transforme les points T en N et P en J ?

Exercice 5 :(3,5 points)

d est une médiatrice du segment [BC].

A et M sont deux points de d.

Les droites (AB) et (CM) se coupent en N.

Les droites (AC) et (BM) se coupent en P.

1. Compléter la figure ci-contre.

2. On se propose de démontrer que : (NP) ⊥ d et AN = AP.

a.Par la symétrie d’axe d, donner sans justification les images :

des points A, B, C et M, des droites (AC) et (BM) ?

b.En déduire que P et N sont symétriques par rapport à d.

c.En déduire que : (NP) ⊥ d et AN = AP.

Exercice 6 : ^{(4 points)}

Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle équilatéral et C son cercle circonscrit.

M est un point quelconque du petit arc de cercle .

On considère le point I du segment [MC] tel que MI = MA.

Le but de l’exercice est de montrer que MA + MB = MC.

1 Placer précisément le point I 2. Montrer que AMC = ABC .

En déduire que le triangle MAI est équilatéral.

3. A l’aide d’une rotation de centre A (à préciser), démontrer que MB = IC.

4. Conclure.

A B

C D

O

P M

N

T

J I

L

K

(3)

Correction du devoir N°1 Exercice 1:

1. A ∈ ℝ B = 2×2×3

2×3×5² = 2

5² ou 2

5 = 0,4 donc B ∈ ID

C = 2−



^7^2



^7 = 2²−



^7² = 4 – 7 = -3 donc C∈ ℤ D = - 2×2×5×5²

2×5 = - 2×5²

1 = - 50 donc D ∈ ℤ

E est écrit sous forme irréductible avec 3 au dénominateur, on il n'est pas décimale : E ∈ ℚ F ∈ ℚ car il a une écriture périodique.

3. 5 est un nombre rationnel car 5 = 5 1 4. G ≈ 5,64

Exercice 2:

1. A = 3 61

3 1 4−2

= 3 62

6 1 4−8

4

= 4

6÷



⁻⁷⁴



⁼ ⁻²³^×⁴⁷ ^{= -} ²¹⁸

2. B = 18×3×14²

7³×12 = 2×3²×3²×14²

7³×4×3 = 2×3²×3²×2×7²

7³×2²×3 = 2×3²×3²×2²×7² 7³×2²×3 B = 2¹×3³×7⁻¹

3. C = 8



²

3×



2×



2 = 8



2

3×2 = 8



2 6 D = 25



^3

5–



^35



^3 ⁼

102



³

5²−3 = 102



³

22 = 5



³

11 Exercice 3

1. 72 = 8×9 = 2³×3² ; 270 = 27×10 = 3×9×2×5 = 2×3³×5

2. A =



^72×²⁷⁰ ⁼



²³^×3²^×2×3³^{×5 =}



²²^×2²^×³²^×3²^{×3×5 =} ^2×2×^3×3×

^

^3×5

A = 36



¹⁵

B == 2×3³×7

2³×3² = 2×3²×3×7

2×3²×2² = 3×7 4 =

21 4 3, PGCD( A,B) = _2×3² = 18

Exercice 4:

1) L'image de la droite (OD) est (TO).

2) L'image du segment [OB] est [CP].

3) L'axe est la droite (LJ) = (CT) = (TB) = ...

4) L'image du segment [NB] est [OD].

5) A est le centre de cette rotation.

Exercice 6:

2. Les angles inscrits et interceptent le même arc de cercle , ils sont donc égaux.

Le triangle MAI est isocèle en M et l’angle AMI = AMC a pour mesure 60° donc les angles de sa base aussi, c’est par conséquent un triangle équilatéral.

3. La rotation de centre A et d’angle 60° transforme les points M et B en I et C, la rotation conserve les longueurs donc MB = IC.

4. MA + MB = MI + IC = MC ( car I∈ [MC] ) .