Chapitre12 : Géométrie dans l’espace

Chapitre 12 : géométrie dans l’espace Page 1

Chapitre12 : Géométrie dans l’espace

Objectifs :

*Connaitre et savoir utiliser les propriétés de géométrie du collège(volume, perspective).

* Connaitre les positions relatives de 2 droites, 2 plans ou une droite et un plan.

* Connaitre les propriétés du parallélisme et de l’orthogonalité dans l’espace.

I Les solides usuels (rappels du collège)

Volume :

Sphère et boule

Aire de la sphère = r² Volume de la boule = r³

Exemples :

Surface terrestre (rayon de la terre







3

4





Perspective cavalière :

Chapitre 12 : géométrie dans l’espace Page 2 II Droites et plans : positions relatives

Propriétés :

i) Par deux points distincts du plan passent une unique droite, ainsi deux points définissent une droite.

ii) Par trois points non alignés de l’espace passent un unique plan, ainsi trois points non alignés définissent un plan.

Position relative de deux droites :

Droites coplanaires Droites non coplanaires

Droites sécantes Droites parallèles Droites strictement

parallèles

Droites confondues

Remarque : Deux droites perpendiculaires sont sécantes (et coplanaires). Deux droites non coplanaires peuvent être orthogonales.

Position relative de deux plans :

Plans parallèles Plans sécants

Plans strictement parallèles

Plans confondus Les plans sont sécants suivant une droite

Position relative d'une droite et d'un plan :

Droite et plan parallèles Droite et plan sécants

Droite et plan strictement parallèles Droite incluse dans le plan

Chapitre 12 : géométrie dans l’espace Page 3 III Droites et plans parallèles, perpendiculaires

1) Droites parallèles ou perpendiculaires à un plan

Propriété : Si une droite est parallèle à une droite d’un plan, alors elle est parallèle à ce plan.

Propriété : Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan, alors elle est perpendiculaire à ce plan.

Propriété : Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Théorème du "toit" : Si deux droites d et d’ sont parallèles telles que:

* un plan P contienne la droite d,

* un plan P’ contienne la droite d’,

* les plans P et P’ sont sécants suivant une droite ∆, alors ∆ est parallèle aux droites d et d’.

2) Plans parallèles

Propriété :Si un plan contient deux droites sécantes et parallèles à un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.

Propriété : Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe l’autre, et leurs intersections

sont deux droites parallèles.

Exercices : Math’X 2014 Didier

5à14p272+15p273+35p274+37à40p275+44à46p276+86p280

Exercices supplémentaires : Math’X 2014 Didier

P260,265,267,269+17à25p273+26à34p274+36,41à43p275+47à53p276+p278,279