Mastère en Physique Quantique

Mastère en Physique Quantique

Présenté à la Faculté des Sciences de Tunis Par

Kaouther BERGAOUI

Sujet

C Co C o on n n c ce c e ep p pt t t i i i o o o n n n d d d ’ ’ ’ u u u n n n s s sy y ys s st t tè è èm m me e e d d d ’ ’ ’ a a a c ct c t t i i i v va v a at t t i i i o o o n n n n n n e eu e u u t t t r ro r o on n n i i i q q q u u u e e e a a a u u u t t t o ou o u ur r r d d d’ ’ ’u u un n n g gé g é én n n é é é r ra r a at t t e e e u u u r r r D D D- - -D D D d d d e e e n n n e eu e u ut t t r ro r o o n n n s s s p p pa a ar r r u u u n ne n e e m m mé é é t t t h ho h o o d de d e e a a an n n a a a l l l y yt y t t i i i q qu q u u e e e e et e t t p p p a ar a r r

s si s i i m mu m u ul l la a at t t i i i o o o n n n M Mo M o on n n t t t e e- e - -C C Ca a ar r rl l lo o o. . .

Soutenue Le 24 juillet 2009, devant le jury composé de :

Président : Mr. Adel Trabelsi Professeur à la Faculté des Sciences De Tunis Et Directeur du CNSTN.

Encadreur : Mr. Nafaa Reguigui Maître de conférences au Centre National des Sciences et Technologies Nucléaires, CNSTN.

Rapporteur : Mr. Nabil Ben Nessib Professeur à l’I.N.S.A.T.

UUNIVERSITE DE TUNIS EL MANAR

FACULTE DES SCIENCE DE TUNIS

CENTRE NATIONAL DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES

NUCLEAIRE

Ce stage de master s’est déroulé au centre national des sciences et technologies nucléaires. Mes très sincères remerciements sont adressés à :

Mr. Adel TRABELSI pour son dévouement, son encouragement et d’avoir

Directeur Général du CNSTN mis à disposition les moyens du Centre.

Mr. Nafaa REGUIGUI pour son encadrement, son suivi, ses encouragements,

Encadreur sa confiance et pour tous ce qu’il m’a appris.

Mr. Foued GHARBI pour, son soutien et sa patience.

Co-encadreur

Je remercie aussi tous les membres du jury qui me font l’honneur de bien vouloir juger la qualité de mon travail.

Merci à tous ceux qui se sont succédé dans le bureau et avec qui j’ai partagé des instants si agréables. Ce travail leur doit beaucoup. Mes remerciements s’adressent également à l’ensemble des personnes que je n’ai pas cité mais que j’ai quotidiennement côtoyé au sein du CNSTN, et qui contribuent à en faire un lieu si chaleureux

Finalement, il ne me sera jamais possible d'exprimer suffisamment ma gratitude à mes parents et ma famille. Ils ont été mon soutien principal durant mes années d'études tant sur le plan matériel que sur le plan moral. Sans eux, jamais je n'aurais pu avoir la chance de terminer mon cursus.

A tous ceux que j’ai oubliés honteusement, je dis merci.

Table des matières Table des matières Table des matières Table des matières

Chapitre I Chapitre I Chapitre I

Chapitre I : L’activation neutronique : L’activation neutronique : L’activation neutronique : L’activation neutronique ... ... ... ... ... ... ... 1111

1-Réactions nucléaires mises en jeu ... 1

2. Sources de neutrons ... 1

2-1 Réacteurs nucléaires...1

2-2-Sources isotopiques ... 2

2-3- Générateur de neutron ... 2

Réaction produite par le système... 2

b. Caractéristique de la source... 3

c- Plasmas de fusion... 6

3-Modérateur ...6

3-1 Principe : ... 7

3-2 Matériaux utilisés :... 7

3-3 Comparaison des principaux modérateurs ... 7

4- Les détecteurs du rayonnement ...8

4-1 Détecteur à semi-conducteur... 9

Chapitre Chapitre Chapitre Chapitre II II II II :::: Interaction des rayonnements avec la matière Interaction des rayonnements avec la matière Interaction des rayonnements avec la matière ... Interaction des rayonnements avec la matière ... ... ... 10 10 10 10 1-Interaction des neutrons avec la matière ... 10

1-1-Classification des neutrons...10

1-2- Sections efficaces d’interaction ... 11

1-3-Diffusion élastique des neutrons ... 11

1-4-La diffusion inélastique ...14

1-5- La capture radiative...15

1-6 Les résonances ...15

2-2- En milieu non hydrogéné : ... 28

2-2-1 Le flux de neutron thermique:... 28

2-2-2 Le flux de neutrons rapides:... 29

3- Méthodes employées pour la détection des neutrons ...30

4- Les méthodes et instruments existants pour la détection des neutrons ...30

5-Interactions des photons avec la matière ... 31

5-1-Effet photoélectrique ...31

5-2 -Effet Compton... 34

5-3 Effet de création de paires ... 35

6-Effets des radiations sur l'homme...35

7- Protection contre l'irradiation ...36

Chapitre III Chapitre III Chapitre III Chapitre III :::: La méthode Mont La méthode Mont La méthode Mont La méthode Monte Carlo et le code MCNP e Carlo et le code MCNP e Carlo et le code MCNP ... e Carlo et le code MCNP ... ... ...37 37 37 37 1- Méthodes de Monte-Carlo et calcul d’intégrales ...37

1-1 Description de la méthode de Monte Carlo ... 38

2- Processus et équations de transport ...38

2-1- Description de la méthodologie ... 38

2-2-Méthode de Monte-Carlo pour les équations de Boltzmann... 39

2-3- Equation de Boltzmann et mode de résolution ... 39

2-4-Les techniques de réduction de variance ... 40

3- Principes de base de MCNP ...42

3-1- Utilisation des générateurs de nombres aléatoires ... 43

3-2 Sections efficaces utilisées dans MCNP ... 46

3-3 Poids des particules générées ... 47

3-4 Utilisation de MCNP... 49

3-5 La définition de la géométrie dans MCNP... 50

3-6-Définition des estimateurs ...51

3-7- Définition de la source de particules ... 52

Chapitre IV Chapitre IV Chapitre IV Chapitre IV :::: Optimisation de l’i Optimisation de l’i Optimisation de l’installation Optimisation de l’i nstallation nstallation nstallation ... ... ... ...54 54 54 54

1-2-Test de validité des équations du flux neutronique ... 59

2- Meilleur position détecteur –source – échantillon... 61

2-2-2 Atténuation des gammas... 66

2-2-3 Atténuation des neutrons... 67

2-2-4 Détermination d’angle :... 68

3- Configuration optimale pour le système : source – détecteur - échantillon. ... 71

3-1-Cas de l’eau lourde (D2O) comme modérateur...71

3-1-1 Configuration interne...71

3-1-2 Configuration externe... 73

3-2- Cas du Polyéthylène (Poly) ... 74

Chapitre V Chapitre V Chapitre V Chapitre V :::: Optimisation par méthode Monte Optimisation par méthode Monte Optimisation par méthode Monte----Carlo (MCNP) Optimisation par méthode Monte Carlo (MCNP) Carlo (MCNP) Carlo (MCNP) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...76 76 76 76 1-Distribution du flux de neutrons : ...76

2- Effet du volume vide occupé par le générateur de neutron ...78

3- Angle thêta ...79

4- Optimisation par méthode Monte Carlo :... 81

4-1 Cas de la symétrie sphérique ...81

4-1-1 Polyéthylène (pure) comme modérateur :... 82

4-1-2 Choix des matériaux pour la protection neutronique... 85

4-1-3 Choix des matériaux pour la protection neutronique... 88

4-1-4 Autres écrans de protection possibles...91

4-1-5 L’eau lourde (D2O) comme modérateur :... 93

4-1-6 Le béryllium (Be) comme modérateur :... 96

4-1-7 L’oxyde de béryllium (Be) comme modérateur... 98

4-1-8 L’eau (H20) comme modérateur :...100

4-1-9 Graphite comme modérateur :...103

4-2 Cas de la symétrie cubique ...106

4-2-1 PE (pure) comme modérateur:...106

4-2-2 Le béryllium (Be) comme modérateur...108

6- Collimation des neutrons rapides et des gammas : ... 120

6-1 Géométrie Sphérique pour le D2O : ...120

6-2 Variation de l’épaisseur du collimateur ...123

6-3 Géométrie Sphérique pour le PE :...129

6-4 Variation du flux de neutron rapides en présence du tube ...132

7- Calcul de flux de produit de neutrons thermiques et efficacité de détection : ... 133

8 - Zonage pour radioprotection ...134

Conclusion Conclusion Conclusion Conclusion ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 137 137 137 137 Annexes Annexes Annexes Annexes ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ---- 0 0 0 0 ---- Annexe A :... - 1 - Référence

Référence Référence

Référence ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ---- 0 0 0 0 ----

Le Centre National des Sciences et Technologies Nucléaires (CNSTN) est en train d’installer un laboratoire d’analyse par activation neutronique utilisant un générateur de neutrons.

L’analyse par activation consiste à créer par une réaction nucléaire (dans notre cas bombardement par des neutrons thermiques ou neutrons lents) un isotope radioactif de l’élément que l’on doser. On utilise, pour produire les neutrons la réaction de la fusion de deux atomes de deutérium. Cette réaction produit des neutrons rapides d’énergie 2,5 MeV.

Ces neutrons doivent être ralentis par un modérateur (polyéthylène ou autre). Les choix et dimensions du modérateur ainsi que la protection biologique contre les rayonnements produits sont les paramètres les plus importants lors de la conception de la chambre d’irradiation.

L’objectif de ce travail est d’optimiser analytiquement et par simulation, la meilleure configuration permettant de faire des analyses par activation les plus précises et les plus saines du coté radioprotection, que ce soit pour le personnel opérant au voisinage de l’installation ou pour le système de détection qui pourrait être abîmé par la radiation. Le générateur émet un flux de neutrons rapide qui est atténué par un modérateur pour minimiser le plus possible, le flux de neutrons rapide et laisser le maximum de flux thermique à une distance entre source de neutrons et échantillon (qui est placé dans le volume du modérateur)

correspondant au maximum d’efficacité de détection du rayonnement. Ce mémoire représente les résultats de simulations intensives accompagnées par les calculs nécessaires pour

optimiser la meilleure configuration en fonction des matériaux modérateurs et aussi de blindage des particules mises en jeu au cours de la propagation des neutrons dans la matière.

Dans la première partie de ce travail, nous récapitulerons les connaissances actuelles de la technique d’analyse par activation neutronique et les équipements nécessaire associes à la réalisation du laboratoire, les différentes sources neutroniques utiliser pour ces techniques on particulier notre générateur de neutron, les modérateurs utilisés pour le ralentissement des neutrons produits par la source, leurs caractéristiques et les différentes méthodes de détections et les appareils utilisés.

Dans un deuxième temps, on expose un aperçu général sur les processus d’interactions des neutrons et des gammas avec la matière et le phénomène de ralentissement des neutrons, et transport des neutrons dans la matière « l’équation de Boltzmann ». Nous définirons les méthodes employées pour la détection des neutrons, les effets des rayonnements et les méthodes de protection.

Le troisième chapitre sera consacré à la compréhension de la méthode de Monte-Carlo et

détecteur, source) pour deux configurations différentes (interne et externe) : pour la configuration externe l’échantillon placé à l’extérieur du modérateur et pour la configuration interne l’échantillon peut être placé à l’intérieur du modérateur. On tient compte de rapport T/E (le flux de neutrons thermiques/ le flux de neutrons epithermiques) et le produit entre le flux thermique et l’efficacité de détecteur. Études de l’influence de l’emplacement des tubes d’irradiation à l’intérieur du modérateur sur le rapport T/E, radioprotection et le produit entre le flux des neutrons thermiques et l’efficacité de détecteur.

Chapitre Chapitre Chapitre

Chapitre IIII : L’activation neutronique : L’activation neutronique : L’activation neutronique : L’activation neutronique

L’analyse par activation est une méthode d’analyse exclusivement élémentaire. Sa mise en œuvre consiste à irradier l’échantillon à analyser dans un flux de particules appropriées, neutrons, particules chargées... et à identifier, ensuite, après irradiation, les isotopes radioactifs créés à partir des éléments à doser. Par son principe même, la méthode est unique parmi les méthodes d’analyse : l’excitation concerne le noyau de l’atome et les mesures portent sur les isotopes radioactifs artificiels ainsi créés. Tout au long de ce chapitre on va essayer de définir l’analyse par activation neutronique, les sources neutroniques, les différents modérateurs et les différentes méthodes de détections et les appareils utilisés.

Actuellement, plus de 80 % des analyses faites par activation le sont après irradiation aux neutrons ; on parle alors d’irradiation neutronique. La méthode est souvent désignée sous le sigle NAA : neutron activation analysis. [Gilles _2003] .

1-Réactions nucléaires mises en jeu

La réaction nucléaire la plus probable et la plus simple est la réaction (n,γ) produite par les neutrons de faible énergie dits neutrons thermiques (E25°C = 0,025 eV). Cette réaction conduit à des isotopes qui ont un neutron de plus dans leur noyau que les isotopes stables qui leur ont donné naissance et dont ils conservent les propriétés chimiques. Les 82 éléments naturels de l’hydrogène au bismuth contiennent 270 isotopes stables ou de très longue période à partir desquels il est possible de créer par réaction (n, γ) près de 200 isotopes radioactifs, dont environ la moitié se prête à l’analyse par activation neutronique.

2. Sources de neutrons

2-1 Réacteurs nucléaires

2-2-Sources isotopiques

Les sources isotopiques apportent un moyen d’irradiation autonome et relativement moins coûteux ; par contre les volumes d’irradiation et les flux sont beaucoup plus faibles de l’ordre de 10⁸- 10⁹ ncm^-2s^-1 pour une source (α, γ) de 3,7.10¹¹ Bq. Les neutrons émis ont une énergie de quelques MeV et doivent être thermalisés. Les principales sources isotopiques actuellement disponibles sont soit du californium ²⁵²Cf (T = 2,6 ans), soit un mélange de radionucléides artificiels avec du béryllium (²³⁹Pu-T = 2,4 · 10⁴ ans), (²⁴¹Am-T = 458 ans...).

De telles sources se prêtent bien à l’utilisation industrielle de l’analyse par activation neutronique pour les dosages rapides et en série de certains éléments.

2-3- Générateur de neutron

Les accélérateurs peuvent aussi être des sources de neutrons en générant des neutrons par des réactions nucléaires par exemple :

2 3 2 1 3 4 9 9 9 10 9 8

( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , ) ; ( , )

H d n He H γ n H H d n He Be p n B Be d n B Be γ n Be

En fait, il est très onéreux de produire ces réactions avec de gros accélérateurs qui ont un coût de fonctionnement élevé. Par contre, de petits accélérateurs de particules, notamment de deutons, de quelques centaines de keV peuvent conduire à des générateurs de neutrons relativement économiques, eux aussi utilisables en milieu industriel [Gilles _2003]. Les débits dans un volume de 4π varient de 10⁸ à 10¹¹ ns^-1 et les flux disponibles varient de 3 x 10⁵ à 3 x 10⁸ n cm^-2s^-1 à 5cm de la cible génératrice de neutrons qui est bombardée par la particule [Gilles _2003]

Exemple : la réaction sur le tritium est la plus utilisée pour produire des neutrons de 14 MeV.

Ces neutrons permettent de doser de nombreux éléments légers, en particulier l’oxygène par la réaction ¹⁶O (n, p) ¹⁶N (T = 7,1 s) [Gilles _2003]

Pour notre cas la source est un générateur de neutrons deutérium- deutérium à coupe axial, avec une tension d’accélération de 120 kVA et a débit de neutron de l’ordre de 10¹⁰ n/s. On utilise, pour produire les neutrons, la réaction de fusion de deux atomes de deutérium.

Réaction produite par le système

Le bombardement de la cible par le flux de gaz ionisé entraîne une réaction de fusion nucléaire entre deux atomes de deutérium, c’est comme nous indique la réaction suivante :

₁H+₁H → ₂He(0.82MeV)+₀n(2.45MeV) [Michel_2003]

*Les réactions de fusion

Pour obtenir une réaction de fusion, il faut rapprocher suffisamment deux noyaux qui, puisqu’ils sont tous deux chargés positivement, ont une tendance naturelle à se repousser. Une certaine énergie est donc indispensable pour franchir cette barrière naturelle et arriver dans la zone, très proche du noyau, où se manifestent les forces nucléaires capables de l’emporter. La probabilité de passage de cette barrière peut être quantifiée par la “section efficace” de la réaction. La variation des sections efficaces de plusieurs réactions de fusion en fonction de l’énergie d’interaction est indiquée sur la figure (I-1)

Figure (I-1): Section efficace des principales réactions de fusion [Michel_ 2003]

b. Caractéristique de la source

D-D10⁸ D-D10⁹ D-D10¹⁰

Figure (I-1) : Les différents Générateur de neutrons d’Adelphie [Adelphi_2007].

Les composantes de notre générateur sont : une source d'ion (RF-Induction) : chambre à plasma, une membrane de protection contre les électrons secondaires (Shroud en anglais), un accélérateur des faisceaux de neutrons et une cible Ti/D (Titane Hydraté) (voir figure (I- 3)).

Le DD-110 caractérises par une tension d’accélération de l’ordre de 120kVA, avec une densité de courant (95% à100% mA/cm²), une intensité de faisceau de courant égal à 50 mA, énergie des neutrons est 2,45 (MeV), et une a puissance de décharge égal 3 kW.

(Voir figure 3).

Figure (I-2): Vue en coupe du générateur D-D d'intensité 1010n/s. [Adelphi_2007].

Les dimensions du générateur sont 60cm de longueur 24cm de diamètre qui sont représentés dans la figure (I-4).

Figure (I-3): Les dimensions du générateur D-D d'intensité 1010n/s. [Adelphi_2007].

Le principe de fonctionnement de générateur est basé sur la fusion de deux atomes de deutérium ainsi que la technologie de chauffage à plasma qui est basé sur l’injection d’une onde radiofréquence RF à l’intérieur de la source d’ions (chambre à plasma), tel que une partie de gaz D (deutérium) non ionisé qui sera évacué par une turbo pompe alors que l’autre partie se transforme en gaz ionisé (e-, D+), voir figure (I-5) qui représente une chambre d’ionisation à plasma.

Figure (I-4): Diagramme d'une source d’ions. [Hong_2007]

Figure (I-5): Diagramme de générateur de neutron [Adelphi_2009].

c- Plasmas de fusion

On désigne par plasma l’état particulier de la matière quand celle-ci devient totalement « ionisée », c’est–à- dire lorsque tous ses atomes ont perdu un ou plusieurs électrons périphériques. C’est l’état de la matière le plus commun dans l’univers car il se retrouve (à 99%) dans les étoiles, le milieu interstellaire et l’ionosphère terrestre. Les atomes sont devenus des ions chargés positivement « immergés » dans un « océan » d‘électrons négatifs.

L’ionisation résulte d’une transformation progressive de la matière due aux collisions des atomes entre eux lors d’un chauffage de plusieurs centaines de degrés. La température du plasma doit atteindre plusieurs millions de degrés pour que la fusion nucléaire se déclenche.

Globalement neutre électriquement, le plasma, constitué de deux populations de particules chargées coexistantes, est un fluide gazeux très conducteur : il se comporte d’une façon très différente d’un liquide ou gaz classique, car les ions et les électrons sont très sensibles à la présence de champs électriques et magnétiques.

3-Modérateur

Le modérateur est l'élément qui ralentit la vitesse des neutrons. Le principe de ralentissement des neutrons est théorisé par le concept de thermalisation des neutrons.

3-1 Principe :

Le ralentissement de neutrons est obtenu par un choc entre ce neutron et les noyaux d'atomes du modérateur. Lors de ce choc, une partie de l'énergie du neutron est transmise au noyau, ce qui provoque le ralentissement. Un bon modérateur doit avoir une section efficace élevée pour le choc élastique, mais la plus faible possible pour la capture neutronique. De plus, le ralentissement sera d'autant plus efficace que le noyau à une masse proche de celle du neutron.

3-2 Matériaux utilisés :

Hydrogène : sous la forme d'eau ordinaire ("eau légère") ou de polyéthylène. C'est le modérateur le plus efficace, la masse du noyau étant très proche de celle du neutron.

Cependant, la capture neutronique est assez importante, ce qui conduit à une grande perte de neutrons

Deutérium : sous la forme d'eau lourde, modérateur moins efficace que l'hydrogène mais la capture neutronique étant plus faible.

Carbone : sous la forme de graphite ou carbone pyrolytique

Béryllium : sous forme métallique. Le béryllium est cher et toxique, c'est pourquoi son utilisation est limitée.

3-3 Comparaison des principaux modérateurs

La liste des noyaux légers et peu capturant est : ²H,⁴He Be C et O , ,

Nous éliminerons de la liste l’hélium, qui n’existe qu’à l’état gazeux (c’est le premier des gaz rares), donc trop peu dense pour constituer un modérateur.

En revanche, nous considérerons aussi l’hydrogène ordinaire, bien qu’il soit relativement capturant, car c’est le meilleur ralentisseur de neutrons.

Les principaux matériaux, liquides ou solides, formés de ces noyaux et donc susceptibles d’être utilisés comme modérateurs sont ceux du tableau suivant (tableau 1). Les propriétés neutroniques de ces matériaux en termes de capacité à ralentir les neutrons et de faible capture

Tableau (I-1) : Comparaison des principales caractéristiques des matériaux modérateurs les plus couramment utilisés, [Reuss ,2003].

Caractéristique des matériaux hydrogénés : 1/ Un coût pratiquement nul.

2/ Des propriétés thermodynamiques intéressantes et bien maîtrisées par les industriels.

3/ un pouvoir modérateur exceptionnel : ce paramètre, qui caractérise la capacité d’un matériau à ralentir les neutrons, est le produit. En effet, pour un bon matériau ralentissement, il ne suffit pas que le gain qu’il y ait le plus de diffusions. Il faut qu’il y ait le plus de diffusions possibles (par rapport aux absorptions, notamment dans les résonances), donc que la section efficace de diffusion soit la plus élevée possible. Les tableaux 2 et 4, montrent que l’hydrogène et les matériaux hydrogénés se détachent nettement des autres.

Tableau (I-2) : Comparaison des principaux noyaux modérateurs (la section efficace de diffusion est prise pour les neutrons epithermiques [quelques eV] et la section efficace

d’absorption pour les neutrons thermiques [0.0253 eV], [Reuss ,2003].

Tableau (I-3) : Comparaison des principaux matériaux, [Reuss ,2003].

4- Les détecteurs du rayonnement

Il existe trois modes de classement des détecteurs de rayonnement. Le premier considère les différents types de rayonnement à détecter (ions, électrons, rayonnement X et γ et neutrons).

Noyau Masse Section de

diffusion

Section d’absorption

Hydrogène 1.00 20.4 0.332

Deutérium 2.00 3.40 0.00051

Béryllium 8.93 6.00 0.0076

Carbone 12.01 4.74 0.00337

Oxygène 15.86 3.89 0.000191

Matériaux Mass volu. Concentration Pouvoir

modérateur

Valeur retatives matériau /eau

Eau ordinaire 0.998 0.00337 1.3772 1

Eau lourde 1.105 0.0332 0.1795 0.0131

Béryllium 1.85 0.124 0.1548 0.112

Glucine 3.01 0.07525 0.1246 0.090

Graphite 1.6 0.0802 0.0604 0.044

Le second est selon le type de détection (directe ou indirecte). Le troisième relève de la conception même des détecteurs, et se fonde sur le mécanisme de leur fonctionnement.

Ionisation seule :- Détecteurs à ionisation : Ionisation directe ou indirecte d’un gaz. Si une radiation pénètre dans le gaz, un certain nombre de paires électrons-ions vont se créer soit directement s’il s’agit du passage d’une particule chargée, soit indirectement par des réactions secondaires pour les particules non chargées. Sous l’effet du champ électrique, les électrons seront accélérés vers l’anode et les ions vers la cathode, ou ils seront collectés. Le signal observé, qui est en fait, le courant des électrons, dépendra de l’intensité du champ électrique.

-Détecteurs semi-conducteurs : Ionisation directe ou indirecte d’un solide.

Comme leur nom l’indique, les détecteurs semi-conducteurs sont basés sur des matériaux cristallins semi-conducteurs. La plupart du temps, il s’agit de silicium ou de germanium.

-Détecteurs chimiques : La réponse de ces détecteurs est chimique, consistant ne la variation de colorimétrie d’un film ou d’un liquide.

Ionisation + excitation + luminescence : Détecteurs à scintillation 4-1 Détecteur à semi-conducteur

Un détecteur à semi-conducteur est un détecteur de particules qui s'appuie sur la technologie des semi-conducteurs.

Principe de détection

Une particule avec une énergie suffisante, rencontrant un milieu semi-conducteur, va arracher un électron à un atome du cristal (par effet photoélectrique, effet Compton ou création de paires) en lui cédant une partie ou la totalité de son énergie sous forme d'énergie potentielle (ionisation) et cinétique. Le semi-conducteur à la particularité de se comporter comme un conducteur lorsqu'il y a interaction du rayonnement et comme un isolant lorsqu'il n'y a pas interaction. Le gap est l'énergie minimum qui doit être apportée au cristal pour qu'un électron de la bande valence (participant aux liaisons entre les atomes) soit libéré dans la bande de conduction. Le semi-conducteur est particulièrement bien adapté à la mesure de rayonnements gamma car il permet de discriminer le courant provoqué par les rayonnements du courant de bruit thermique. L’électron éjecté lors de l'interaction va déclencher à son tour d'autres ionisations en cascade. Après thermalisation avec le cristal, on obtient au sein du semi- conducteur un nuage de porteurs libres. Le semi-conducteur étant polarisé par une haute tension, les porteurs libres vont être attirés vers les électrodes et engendrés ainsi un courant mesurable dans un circuit connecté au détecteur. Il existe différents modes d'utilisation impliquant une électronique différente à la sortie du semi-conducteur : spectrométrie, comptage, intégration selon la géométrie du détecteur et l'intensité du champ électrique.

Chapitre Chapitre Chapitre

Chapitre II II II II : : : :

Interaction des rayonnements avec la matière Interaction des rayonnements avec la matière Interaction des rayonnements avec la matière Interaction des rayonnements avec la matière

On appelle interaction entre rayonnements et matière tout phénomène se produisant lorsqu’un rayonnement traverse un milieu quel qu’il soit. Le rayonnement peut être chargé ou non, avoir une masse au repos ou non. Les détecteurs de rayonnement, la mesure de l’activité et la radioprotection sont basés sur la compréhension de l’interaction des différents types de rayonnements avec la matière. Ces interactions et les effets qu’elles produisent sur la matière, dépendent du type de rayonnements et de leur énergie. On peut classer les différents rayonnements en quatre catégories : Particules chargées lourdes, électrons, gammas et neutrons. Nous allons définir dans ce chapitre Les interactions des neutrons et des gammas avec la matière.

1-Interaction des neutrons avec la matière

L’interaction d’un neutron avec la matière est caractérisée, en premier lieu, par son faible pouvoir ionisant par rapport aux autres particules élémentaires chargées. De par sa nature même, le neutron n’a pas d’interaction d’origine coulombienne avec les électrons du cortège.

La seule forme d’interaction importante est donc celle du neutron avec les noyaux. Le ralentissement des neutrons est dû aux collisions avec les noyaux du milieu traversé. Elle se manifeste de plusieurs manières : par diffusion élastique, diffusion inélastique, capture radiative, transmutation ou fission (figure (7)).

1-1-Classification des neutrons

Les neutrons sont classés selon leur vitesse. Celle-ci sera désignée par v et sera souvent exprimées en m.s⁻¹. À cette vitesse correspond, dans le domaine non relativiste, une énergie cinétiqueE , donnée par la formule : _c

1 ²

c 2

E = mv (II-1) On exprime habituellement Ec en eV. Dans le cadre de notre étude, nous distinguerons, les neutrons rapides, ce sont les neutrons d’énergie cinétique supérieure à 1 MeV. Les neutrons epithermiques ce sont les neutrons dont l’énergie cinétique est comprise entre 510^-7 MeV et 1

MeV. Enfin les neutrons thermiques, ce sont les neutrons dont l’énergie cinétique moyenne est inférieure 510^-7 MeV à 298 K.

1-2- Sections efficaces d’interaction

La donnée fondamentale des phénomènes neutroniques est l’ensemble des probabilités d’interaction des neutrons avec les différents noyaux et elle varie selon leur énergie. Les sections efficaces sont les grandeurs caractéristiques de ces probabilités.

La section efficace d’une interaction donnée, souvent notée σ, s’exprime en unité de surface, en cm² ou plus généralement en barn avec :

1 barn = 10⁻²⁴ cm².

Figure (II-1) : Types d’interaction neutron-matière. [Mehdi_2003]

En raison de leur charge nulle, les neutrons ont une interaction négligeable avec les e^-de la matière traversée. Leur énergie cinétique est peu à peu absorbée par les noyaux selon deux types d’interactions, fonction de la vitesse des neutrons.

quelconque, l’énergie cinétique, la quantité de mouvement et les masses au repos du système neutron-noyau étant conservées dans le processus. Lorsqu’un neutron d’énergie cinétique E_n frappe un noyau cible initialement supposé au repos, l’énergie transmise au noyau de “recul”

est donnée, dans le système du Laboratoire par :

4 ₂ ² (1 ) cos

r n

E E A

A θ

= + (II-2)

Er : énergie du noyau de recul, En : énergie du neutron, A : masse atomique du noyau de recul et θ : angle entre la direction du neutron incident et celle du noyau de recul.

Le Système de Centre de Masse permet de transformer le problème à deux corps en un problème à un seul corps. L’énergie transférée au noyau de recul dans le Système de Centre de Masse est :

2 ₂

(1 cos ) (1 )

r n

E E A

A φ

= −

+ (II-3)

Φ : angle de diffusion du noyau de recul.

La relation (II-3) montre qu’un projectile ne peut céder une part importante de son énergie qu’à des masses sensiblement égales à la sienne. On justifie ainsi le choix des gaz hydrogénés comme milieux “ralentisseurs” de neutrons.

Si le noyau cible est un proton, les relations 1.2 et 1.3 deviennent : -dans le Système du Laboratoire :

cos2

p n

E =E θ

(II-4) -dans le Système de Centre de Masse

(1 cos ) 2

n p

E = E − φ

(II-5) Dans le cas de la diffusion élastique, la probabilité pour qu’un proton ait une énergie comprise entre E et _P E_P+dE_pest :

( _p) _p ( )

s

P E dE σ φ ωd

= σ ( )

2 sin

s

σ φ π φ φd

= σ (II-6)

Où σ (φ) est la section efficace différentielle angulaire de diffusion et σ_sest la section efficace totale de diffusion. En combinant les équations (II.5) et (II.6), nous avons :

( ) 4 ( _p)

s n

P E E

σ φ π

= σ

(II-7) En admettant que la diffusion élastique des neutrons sur les atomes d’hydrogène est isotrope jusqu’à 5 MeV dans le SCM, la symétrie sphérique entraîne :

( ) 1

s 4 σ φ

σ ⁼ π (II-8) La répartition énergétique des protons de recul déplacés par les neutrons d’énergie En est donc :

1 ( _p)

n

P E = E Pour E_p <E_n =0 Pour E_p >E_n

(II-9) La diffusion cesse d’être isotrope, dans le Système de Centre de Masse, lorsque l’énergie du neutron incident est supérieure à quelques MeV et, vis-à-vis de l’énergie du neutron, l’écart à l’anisotropie est d’autant plus précoce que le noyau cible est lourd. À l’exception du domaine étroit des énergies de résonance, les sections efficaces de diffusion ne varient pas beaucoup en fonction de l’énergie, et surtout gardent le même ordre de grandeur (1 à 10 barns) pour l’ensemble des noyaux. Elles ont tendance à diminuer pour les énergies supérieures à quelques MeV [Mehdi_2007]. L’hydrogène est un cas à part : son noyau, le proton, est le plus simple qui soit et son étude la plus poussée. Aux énergies intermédiaires (de 1 eV à 10 keV), pour l’hydrogène libre, la section efficace de diffusion est constante et est relativement importante : 20,4 barns. D’autre part, lorsque l’énergie du neutron incident est très faible et de l’ordre de grandeur des énergies de liaison moléculaires (c’est-à-dire inférieure à 1 eV), la section efficace de diffusion est augmentée du fait des possibilités d’échanges d’énergie avec des niveaux de vibration moléculaires. On montre que, pour un noyau de masse atomique A, la section efficace pour un état rigidement lié est augmentée, vis-à-vis du noyau libre, par un

+

Sa section efficace de diffusion, donnée par Gammel, s’exprime par la relation semi empirique suivante [Mehdi_2007] :

5.063 ₂ 0.8652 ₂

( )E (1 7.147 0.1105 ) (1 0.2427 0.0028 )

E E E E

π π

σ = +

+ + + + (II-10)

1-4-La diffusion inélastique

Dans le cas de la diffusion inélastique, il y a pénétration du neutron dans le noyau. Pour décrire cette interaction, le modèle du “noyau composé” est souvent utilisé. Dans ce modèle, trois étapes successives sont distinguées :

- la voie d’entrée : incorporation par le noyau-cible du neutron incident, donnant l’isotope de rang immédiatement supérieur et acquisition par cet isotope d’une énergie d’excitation égale à la somme de l’énergie de liaison du noyau supplémentaire (travail des forces nucléaires de liaison) et de l’énergie cinétique apportée par le neutron ;

- la vie proprement dite du noyau composé, isotope du noyau-cible : elle est de l’ordre de 10⁻¹⁴ s. Autrement dit, celui-ci vit suffisamment longtemps pour “oublier” comment il a été créé ; ce qui va suivre sera indépendant du processus qui a créé le noyau composé ;

- la voie de sortie : le noyau composé excité va rapidement se désintégrer par un processus de type radioactif ; avec l’énergie acquise lors de l’absorption d’un neutron, plusieurs mécanismes sont possibles et entrent en compétition.

Cette énergie d’excitation du noyau composé notée E_e est, en effet, importante : l’énergie de liaison du neutron supplémentaire est de l’ordre d l’énergie de liaison moyenne par nucléon, soit entre 5 et 10 MeV environ et l’énergie que le neutron apporte peut aller de 0 à quelques MeV. Elle s’exprime comme suit :

E_e =E_l +E_c (II-11) Où E est l’énergie de liaison du neutron supplémentaire et _l E est l’énergie cinétique _c apportée par le neutron incident.

Le noyau, comme tout système quantique, peut se trouver à différents niveaux d’énergie, seul l’état fondamental pouvant être stable. La différence d’énergie entre le niveau fondamental et le premier niveau nucléaire va de quelques keV (noyaux légers) à quelques MeV (noyaux lourds). S’il se trouve que Ec est telle que Ee soit très proche de la “distance” du niveau fondamental à l’un des niveaux excités, la probabilité de formation du noyau composé, donc de la réaction, sera grande. Cela va se traduire par une brusque remontée de la section efficace à cette énergie : c’est une résonance, de largeur égale à celle du niveau considéré [Reuss_2003].

Les modes de désintégration possibles sont les suivants :

- réémission d’un neutron emportant toute l’énergie excédentaire : c’est la diffusion élastique résonnante, que l’on distinguera de la diffusion élastique potentielle ;

- réémission d’un neutron emportant une partie de l’énergie, le noyau restant dans un état excité mais à un niveau moins élevé (il se désexcite ensuite par émission d’un photon γ : c’est la diffusion inélastique). Un bilan énergétique simple montre qu’une telle réaction n’est possible que si l’énergie cinétique du neutron incident est au moins égale à la différence des énergies du premier niveau et niveau fondamental du noyau cible. Dans une diffusion inélastique, la quantité de mouvement est conservée mais non l’énergie cinétique ;

- émission d’un ou de plusieurs photons γ : c’est la capture radiative qui sera traitée dans le paragraphe suivant.

1-5- La capture radiative

Le neutron est absorbé par le noyau cible. Il y a formation d’un noyau composé dans un niveau excité. Le noyau revient au niveau fondamental en émettant un ou plusieurs photons γ.

Cette réaction est appelée capture radiative et est notée (n, γ). Les sections efficaces de la capture radiative sont, en règle générale, d’autant plus grandes que les neutrons sont moins rapides et d’ordre de grandeur très variable selon les nucléides. On pourra observer un comportement que l’on retrouve de façon plus ou moins systématique pour toutes les courbes de sections efficaces de capture radiative [Reuss_2003] :

1/ un comportement général dit en “1/v”, c’est-à-dire inversement proportionnel à la vitesse des neutrons ; cette loi est le plus souvent bien suivie par les sections efficaces de capture radiative dans le domaine des neutrons thermiques, c’est-à-dire en dessous de l’électronvolt ; 2/ un comportement complexe avec une courbe présentant de nombreux “pics” passablement irréguliers dans le domaine épithermique, typiquement entre quelques eV et quelques keV;

ces pics sont appelés “résonances” de la section efficace.

1-6 Les résonances

Que ce soit pour la diffusion élastique ou pour les absorptions, on note, la présence de résonances, c’est-à-dire d’augmentations brutales de la section efficace localement (à une énergie donnée). L’apparition de résonances provient de la structure en niveaux des états

1-7 Modérateur, ralentissement des neutrons

Le ralentissement, des neutrons s’effectue par collision des neutrons avec un milieu modérateur contenant des noyaux de masse A. En prenant comme unité de masse l’u.m.a, on a

n 1

m ≈ et le rapport des énergies après et avant collision, si θ est l’angle de diffusion dans c.m, est

' 2

2

2 cos 1

( )

( 1)

E A A

E A

θ

+ +

= + (II-12)

Supposant la collision isotrope dans le c.m, ce qui est bonne approximation à basse énergie, On a en moyenne

2 '

2

( 1)

/ ( 1)

x E E A A

=〈 〉= +

+ (II-13) Considérons une succession de chocs, représentés sur la figure (II-2)

Figure (II-2) Les angles (dans le c.m.) serontθ θ₁, ₂...θ_n^{. On a :}

1 1

0 1 0 1

log log( )

n n

i n i

i i i i

E E E

En

E =

∏

∑

'

0

log(Eⁿ) log(E )

E n E

〈 〉= 〈 〉 (II-16)

On définit le pouvoir de ralentissement ξd’un matériau par :

1 '

1

log( ) 1 log[ ] cos

' 2

E E

E E d

ξ θ

−

=〈 〉= −

∫

Soit

( 1)2 ( 1)

1 log

2 ( 1)

A A

A A

ξ = − ^{− +}

− (II-18) Le nombre moyen q de collision nécessaires pour amener les neutrons d’énergieE_f ≈2MeV, à l’énergie thermiqueE_th ≈0.025MeV , est donné par :

1

log( ^f )

th

q E ξ E

= (II-19) [Jean_2002]

Pour les trois modérateurs H (eau légère H2O) A=1, d (eau lourde D2O) A=2, et C (graphite ou CO2) A=12, les valeurs de x, ξ et q, nombre moyen de collision, sont données dans le tableaux suivante : [Jean_2002]

H d C

x 0.5 0.56 0.86

ξ 1 0.725 0.158

q 18 25 115

Cependant, avant de conclure sur l’efficacité respective de ces modérateurs, on doit tenir compte de la probabilité d’absorption des neutrons dans chaque collision. Le tableau suivant donne, pour chaque noyau, la section efficace de collision σ_colla section efficace d’absorption σ_Aet la probabilitép=σ σ_A/( _A+σ_col) d’absorption lors d’une collision [Jean_2002]

σcol σA p

H 44.8 0.664 1.510^-2

d 10.4 10^-3 9.610^-5

C 4.7 4.510^-3 9.610^-4

δ_H =0.76 ,δ_d =0.998, δ_c =0.895 1-8 Transport des neutrons dans la matière

1-8-1 Equation de transport

La conception et l’exploitation d’une source neutronique nécessitent une maîtrise de la distribution des neutrons, en énergie et dans l’espace. Plusieurs processus interviennent dans l’histoire d’un neutron individuel : sa formation dans une fusion, ses collisions élastiques avec divers noyons du milieu, dont ceux du modérateur qui abaissent son énergie, sa capture radiative. L’équation de transport de Boltzmann régit le comportement des neutrons dans la matière. Nous l’écrivons ci-dessous sous les hypothèses suivantes :

1) le milieu est statique (mis à part l’agitation thermique, de très faible énergie) ;

2) la collision des neutrons entre eux est négligeable (en d’autre termes la densité des neutrons est beaucoup plus faible que celle du milieu) ;

3) la désintégration des neutrons peut être négligée : le temps moyen de capture est beaucoup plus faible que la durée de vie du neutron.

On décrit les neutrons par leur densité dans l’espace des phases ( , , )

f r p t

En l’absence de collision, l’impulsion p de chaque neutron reste constante et flot dans l’espace des phases est engendré par le mouvement des particules à la vitesseυ = p m/ . La densité f satisfait donc à une équation de la forme

f . ( ) f C f t υ

∂ + ∇ =

∂ (II-20) Où C f est le terme de collision. On définit les sections efficaces macroscopiques de ( ) collision Σ_cet d’absorption Σ_acomme les produits des sections efficace élémentaires par la densité de centres nucléaires diffuseursn , par exemple _d

Σ =_c n_dσ_c (II-21) Inverses des libres parcours moyens pour les processus correspondants, et par

( ' )

c p p

Σ →

La section efficace différentielle macroscopique de collision en angle et en énergie (il peut y avoir perte d’énergie des neutrons par recul du noyau). Le terme de collision s’écrit alors

1₂ ^{' ' 3 '}

( ) ( , , ) _c( ) [ _{c a}] ( , , ) ( , )

C f f r p t p p d p f r p t S r p

m υ

=

∫

[Jean_2002]

Le premier terme décompte des neutrons qui entrent dans l’élément d’espace des phases

3 3

d rd p venant des élémentsd rd p , par collision élastique. Le deuxième ceux qui quittent ^{3 3} ' l’élément d rd p soit par collisions élastiques soit par absorption. Le dernier terme ( , )^{3 3} S r p est un terme de source. L’équation de Boltzmann est très compliquée, c’est une équation intégro différentielle dans le traitement est un art en soi cultivé depuis des décennies dans tous les centres de recherche nucléaire. Sa complexité vient en grande partie de ce qu’elle décrit le comportement des neutrons à la fois dans l’espace et en énergie (perte d’énergie par recul des noyaux cible).Le problème est considérablement plus simple dans le cas, non irréaliste, ou les neutrons sont mono-énergétique et ou le milieu est homogène.

1-8-2- Le modelé de Lorentz

Dans certain nombre de cas, les neutrons peuvent être considérés comme mono-énergétique tout au long de leur histoire. S’ils n’interagissent qu’avec des noyons beaucoup plus massifs, U ou PU, on peut négliger le recul de ces derniers. C’est le cas dans les engins à fission et, dans une certaine mesure, dans réacteurs à neutrons rapides. Dans ce cas, ∑_c(p^' →p) a la forme

_c( ^' ) ( ^' )d _'^c

p p E E

δ d^∑

∑ → = −

Ω (II-23)

Où E= p²/ 2m et Ω^' est la direction dep . ^'

Supposons en outre, pour simplifier les choses, que la section efficace de collision soit isotope

4

c c

d

d π

∑ ∑ Ω =

Ainsi que le terme de source que nous écrivons ( )S r . L’énergie E= p²/ 2mdes neutrons est constante ainsi que leurs vitesseυ^{, et p} = ^p' =^mυ.

L’équation de Boltzmann se réduit alors à l’équation de Lorentz

1

( ) ( )

c a

f f f f f S r

δ

υ δ ^{+ Ω∇ =∑ 〈 〉− −∑ +} (II-24)

Nous définissions

( , )ρ r t =

∫

∫

Où Ω est la direction du vecteur p .

En intégrant l’équation de Lorentz sur Ω on obtient .J _a 4 S

t

δρ υ ρ π

δ ^{+ ∇ = − ∑ +} (II.28)

En la multipliant par υΩet en l’intégrant sur Ω :

1

( . ( , , )) ( _{c a})

J f r p t d J

t δ υ

υ δ ⁺

∫

L’intégrale

( . f r p t d( , , ))

Ω Ω ∇ Ω

∫

Figurant dans le premier membre de (II-31) contient toute la difficulté physique du problème.

On distingue deux situations extrêmes.

1. l’un est le régime balistique, ou le libre parcours moyen entre deux collisions successives est nettement supérieur à la taille du milieu considéré. Les collisions jouent un rôle faible et le terme de dérive .υ∇f r p t( , , ) contrôle l’évolution. C’est par exemple, le cas la base d’un transistor.

2. Au contraire, dans un régime diffusif ou de quasi-équilibre local, qui nous intéresse ici, le libre parcours moyen entre deux collisions est faible devant la taille du milieu, le libre parcours moyen entre deux collision est faible devant la taille du milieu. En première

Ω =

Où f est isotrope, c’est-à-dire ne dépend pas de₀ Ω, f₁<< f₀ contient toute l’anisotropie, et

∫

Nous nous plaçons ici dans l’hypothèse (II-30). (Cette hypothèse revient aussi à faire un développement en polynômes de Legendre, ou en harmoniques sphériques, de la fonction de distribution, et à ne conserver que les premiers termes du développement.) Nous négligeons la partie anisotrope f₁ dans l’intégrale (II-35).Puisque f₀ ne dépend pas deΩ, l’intégrale angulaire est immédiate et mène à

2

( )

3 ^{a c}

dJ J

dt

υ ρ υ

+ ∇ = − ∑ +∑ (II-31)

Plaçons nous d’abord dans une situation dans une situation ou il n’y a ni absorption si terme de source, c’est-à-dire ou seules des collisions élastiques avec le milieu interviennent. Les deux équations (II-31 et II-27) se ramènent à

d 0

dt J

ρ _{+ ∇ =} ;

2

3 ^c

dJ J

dt

υ ρ υ

+ ∇ = − ∑ (II-32)

La première relation exprime la conservation du nombre de particules (on peut de mémé écrire la conservation de l’énergie). La seconde exprime la densité de courant en fonction du gradient de la densité de particules

3

[ dJ]

J D

υ ρ dt

= − ∇ +υ (II-33)

Dans les conditions (fréquentes en pratique) où (3 / )υ ∂ ∂J/ tpeut être négligé, elle se ramène à une loi de Fick, dans laquelle le courant est proportionnel au gradient de la densité :

J = − ∇Dυ ρ (II-34) Où le coefficient de diffusion D est

D=1/(3∑_c) (II-35)

En reportant (1.33) dans (1.32) on obtient

2 2

3D 0

t t D

δρ ρ υ ρ

δ υ

+ ∂ − ∇ =

∂

(II-36) Dite équation du télégraphiste

Cette équation a la forme générale d’une équation d’onde dont le front d’onde se déplace à l vitesse υ/ 3 mais s’atténue exponentiellement avec la distance. Si le libre parcours moyen 1/ 3D est très petit devant la dimension R du système considère, le temps τ υ= /R 3de propagation de l’onde dans le système est très court par rapport au temps de migration d’un neutron par la marche aléatoire sur la même distance. On peut donc négliger le terme de propagation (3D/ )υ ρ∂² /∂²t ce qui revient à considérer la vitesse de propagation comme infinie dans l’équation du télégraphiste. Dans ces conditions, on aboutit à l’équation de diffusion de Fourier

D t

δρ υ ρ

δ ^{= ∆} (II-37) De portée très générale qui des résout par transformation de Fourier. En posant

ρ( ; )r t =

∫

g ² k D g t

δ υ

δ ^{= −} (II.-39) Soit g ²

k D g t

δ υ

δ ^{= −} (II-40) Ou ( )f k est déterminé, par transformée de Fourier inverse, à partir des collisions initiales ρ( ,r t= =0)

∫

∫

Si é l’instant ρ est concentré à l’origine, ρ( ,r t= =0) ρ δ₀ ( ), ( )r f k est une constante f , et

L’équation de diffusion (II-37) peut également être comme une équation de Schrödinger libre pour un temps imaginaire pur (on peut le vérifier en retrouvant l’évolution temporelle d’un paquet d’ondes libre).

L’équation du télégraphiste (II-36) se traite également par transformation de Fourier. On peut ainsi vérifier directement dans quelles conditions le terme de propagation(3D/ )υ ρ∂² /∂t²peut être négligé. [Reuss_1998]

2- Etude de l’atténuation et la thermalisation des neutrons rapides par une source ponctuelle mono énergétique:

2-1 En milieu hydrogéné

Considérant une source ponctuelle de neutrons rapides mono énergétiques, placée en milieu hydrogéné de dimensions infinies, on se propose de déterminer la loi de variation du flux thermique en fonction de la distance. La théorie du transport permet de traiter rigoureusement ce problème à condition de pouvoir résoudre l’équation de Boltzmann, ce qui n’est pas toujours possible analytiquement en raison du nombre de variables. Cependant, diverses méthodes d’approximation permettent d’approcher la solution de ce problème Ce sont principalement :

-La théorie de l’âge qui traite le cas du ralentissement des neutrons par des noyaux lourds ; elle s’applique donc mal à l’étude d’un milieu hydrogéné.

-La méthode multi groupes qui divise en plusieurs intervalles la bande d’énergie des neutrons compris entre le niveau d’émission et le niveau thermique. Elle permet de résoudre le problème en ne considérant que des équations de diffusion.

2-1-1- Ralentissement des neutrons rapides :

Nous calculons la densité de ralentissement q au niveau thermique au moyen de la méthode multigroupe en ne considérant que deux groupes d’énergie : un groupe rapide qui comprend les neutrons d’énergie supérieur à l’énergie thermique et un groupe de neutrons thermiques .Partant de l’équation de diffusion classique, dépendante de l’énergie :

^{q r E( , )} _{a ( , )r E D S r E( , )}

E ϕ ϕ

∂ +∑ − ∆ =

∂ (II-44) Les équations relatives aux deux groupes s’écrivent :

D∆ +ϕ ∑_aϕ = −q_{t h} (II-45) (Équation de groupe rapide) ;

D_th∆ϕ_th+∑_athϕ_th =q_th (II-46) (Équation de groupe thermique).

Les coefficients sans indice sont relatifs au groupe rapide, Les coefficients indice th sont relatifs au groupe thermique :

D : Coefficient de diffusion,

∑a : Section efficace d’absorption.

Les inconnues sont le flux ϕ et la densité de ralentissementq . Elles sont liées par une _th relation de la forme ; q_th =∑_rϕ [Picot_1967]

En supposant nulle l’absorption dans les groupe rapide (∑_a=0) et compte tenu des conditions aux limites imposées par une source au centre d’une sphère de rayon r0, le système d’équation (II-45), (II-46), donne :

₀

0

1 1 1

. . ( )

4 /

qth Sh r r

r Shr

πτ τ τ

= − (II-47)

On posant :

r

τ = D

∑ (II-48) Le cas d’une géométrie infinie est obtenu pour r₀ → ∞ , on a alors :

1 /

4 .

r th

q e

r

τ

πτ

= − (II-49)

Le paramètre τ défini de façon formelle par la relation (II-47) possède une signification physique simple. En effet, calculons à partir de la formule (II-49) la distance quadratique moyenne de ralentissement :

2 2

2 0

2 0

4 4

th th

th

r q r dr r

q r dr π π

∞

=

∫

∫

(II-50)

Le calcul donne

r

= 6 τ

Cette relation montre que le paramètre τ est égal au carré de la longueur de ralentissement définie par :

r_th² =6L² [BECKURTZ_1964]

2-1-2 Diffusion des neutrons thermiques

Pour traiter le problème, il suffit de résoudre l’équation de diffusion dans le groupe thermique (équ.((II-46)).Cependant, au lieu d’envisager un bilan neutronique local qui tient compte en chaque point de la densité de ralentissement, nous allons procéder à un découplage du milieu diffuseur, compte tenu de la symétrie sphérique. La densité de ralentissement étant constante sur des sphères centrées sur le point source, nous supposons que le milieu diffuseurs est constitué par la superposition d’une infinité de sphère concentriques de rayon compris entre ρ ^etρ+^dρ, chacune étant considérée comme une source de neutrons thermiques d’intenté

4 2 _th( )

dQ= πρ q ρ ρd , soit :

^{2 0}

0

1 1

4 . ( )

4 /

r r

dQ Sh d

πρ Shr ρ

πτρ τ τ

= −

En se plaçant en un point à la distance r de l’origine, on résout l’équation de diffusion

th a th 0

D∆

ϕ

ϕ

ϕ₁(0)≠0 Et ϕ₂( )r₀ =0 On obtient alors :

0

1( ) A ( ); 2( ) B ^kr ( (0 ))

r Sh kr r e Sh k r r

r r

ϕ = ϕ = ⁻ −

En posant ² _a 1₂

D

k D L

=∑ = , LD étant la longueur de diffusion. On calcule les constantes A et B en écrivant les conditions aux limites aux points ρ ^:

2

1 2

( J + J )4 πρ ρ d = dQ

ϕ ρ ϕ ρ=