Chapitre I : L’activation neutronique : L’activation neutronique : L’activation neutronique : L’activation neutronique
7- Protection contre l'irradiation
Pour l'utilisateur, il existe quatre règles fondamentales de protection contre les sources de rayonnements externes: la Distance, l'Activité, le Temps et les Ecrans (moyen mnémotechnique: D.A.T.E.). Premièrement, il faut diminuer au maximum la durée de l’exposition aux rayonnements. Le fait de diminuer la durée d’exposition entraîne directement une diminution de la dose de rayonnement reçue. Deuxièmement, réduire l'activité de la source, comme par exemple diminuer les quantités de matière radioactive engagée.
Troisièmement, l’intensité des rayonnements diminue généralement en fonction du carré de la distance. Pour mettre en évidence l’effet de la distance, il suffit de mesurer le débit de dose à partir d’une source fixe. Enfin, il faut employer des écrans qui doivent être constitués de matériaux spécialement choisis pour absorber les différents rayonnements .Les particules bêta sont absorbées par une épaisseur de quelques millimètres de verre, de plexiglas ou d'aluminium, c'est-à-dire des éléments légers. Le rayonnement X est très fortement atténué par une épaisseur de quelques millimètres de plomb. Le rayonnement gamma est atténué efficacement par des matériaux de densité élevée, bétons spéciaux, fer, plomb. Les neutrons rapides sont ralentis (thermalités) par des matériaux légers (eau, paraffine); ainsi thermalités ils peuvent être ensuite absorbés par des matériaux spéciaux (bore, cadmium). A noter, que le béton est souvent utilisé pour l'absorption des neutrons produits dans les réactions nucléaires.
Les conditions optimales dans notre travail sont :
-3 nr/cm2s (~5 µSv/h pour des neutrons) et 1 γ/cm2s (~0.01 µSv/h pour les gammas) par rapport à la position du détecteur
-3 nr/cm2s (~5 µSv/h pour des neutrons) et 100 γ/cm2s (~1 µSv/h pour les gammas) à la surface de la conception blindée du système de l’analyse par activation neutronique.
[Fernando_2004]
Chapitre Chapitre Chapitre
Chapitre III III III III ::::
La méthode Monte Carlo et le code MCNP La méthode Monte Carlo et le code MCNP La méthode Monte Carlo et le code MCNP La méthode Monte Carlo et le code MCNP
On désigne par le vocable générique de " méthode de Monte-Carlo" toute méthode numérique utilisant le tirage de nombres aléatoires. Elles sont très utilisées dans de nombreux domaines, en particulier en physique nucléaire, en physique statistiques et ce pour la résolution numérique de certaines équations aux dérivées partielles.
1- Méthodes de Monte-Carlo et calcul d’intégrales
La naissance de la méthode de Monte-Carlo remonte au comte Buffon qui, en 1777, a décrit une méthode restée célèbre de calcul deπ, basée sur la réalisation d’expériences répétées.
Mais la vraie naissance de la méthode de Monte-Carlo est liée à l’apparition des premiers ordinateurs et à leur utilisation dans le cadre des projets secrets du département de la défense des Etats-Unis dans les années 40-45 en vu de la conception des premières bombes atomiques.
Pour donner une première idée de la méthode de Monte Carlo, considérons le problème de l’intégrale numérique. On sait qu’il existe de très nombreuses méthodes d’approximation numérique de l’intégrale : trapèzes. Mais il existe bien d’autres méthodes comme la méthode de Gauss ou de Simpson.
Une méthode Monte Carlo est du même type : on choisir wi =1/n et l’on tire les x i " au
1-1 Description de la méthode de Monte Carlo convient de savoir simuler une variable aléatoire selon la loi de X . Mathématiquement, cela signifie que l’on suppose que l’on dispose de la réalisation d’une suite de variables aléatoires indépendantes (X ii, ≥1)suivant toutes la loi deX .
Informatiquement, on ramène la simulation d’une loi arbitraire à celle d’une suite de variables aléatoires indépendantes suivants une loi uniforme sur l’intervalle. Ce genre de suite aléatoire set souvent fourni dans les langages de programmation (rand en C, g05caf et autres dans NAG, etc.….).il reste plus alors qu’à approximer ( )E x [Bernard_1998] par :
2- Processus et équations de transport
Les méthodes de Monte-Carlo pour résolution numérique des équations aux dérivées partielles sont basées sur les liens qui existent entre les processus stochastiques et ces équations [Bernard_1998]. Les équations de transport servent de base à toute une série de modélisations physiques, chaque fois que l’on doit modéliser l’évolution d’une population de particules qui subissent des chocs et qui entre les chocs, se propagent selon un mouvement uniforme ou plus généralement accéléré.
2-1- Description de la méthodologie
L’utilisation de la méthode de Monte Carlo pour les problèmes de transport a généralement pour but l’évaluation avec faible incertitude statistique d’une quantité intégrale ("tally") dans le domaine
D
du type [Bernard_1998 :représente une fonction réponse quelconque. Par exemple, si la fonction réponse correspond à une section efficace, un taux de réaction est alors calculé.
2-2-Méthode de Monte-Carlo pour les équations de Boltzmann
L’équation de Boltzmann décrit l’évolution d’une population de particules qui subissent des collisions binaires et qui se meuvent en ligne droite entre deux collisions. Ce type d’équation peut être utilisé dans un grand nombre de modélisations physiques où l’on veut décrire finement des phénomènes collisionnels. Un exemple important d’application est la modélisation des écoulements autour des objets dans la haute atmosphère (au dessus de 70km) où la distribution des particules n’est pas nécessairement une fonction Maxwellienne. Cette équation peut être également utilisée pour la modéliser le comportement de gaz très denses dans des expériences de laboratoire. Pendant longtemps, les méthodes de Monte-Carlo furent les seules utilisées pour résoudre l’équation de Boltzmann mais elle furent introduites historiquement, comme étant simulation directe (avec un nombre restreint de particules) du processus statistiques sous-jacent, à savoir la dynamique d’un gaz raréfié comprenant un très grand nombre de particules (un nombre tel que la fonction de distribution des particules a un comportement déterministe, d’où la dénomination de la méthodes :"Direct Simulation Monte-Carlo" par [Bird_1976] dés 1936.
La solution de l’équation de Boltzmann est l’espérance mathématiques de telle fonctionnelle d’un processus aléatoire, (en effet, un tel résultat rigoureux et complet n’existe pas encore, [Borgnakke_1975], [Graham_1995], [BOOTH_1985] concerne les travaux dans cette direction).
2-3- Equation de Boltzmann et mode de résolution
Plus précisément, le flux recherché correspond à la solution de l’équation du transport (ou
représente l’opérateur de collision (proportion des particules entrant avec une vitesse v'
r
et sortantes après choc avec une vitessev r
).
L’équation (II-2) symbolise un cas stationnaire. De plus, les variables angulaire (Ωur ) et r
En définissant l’opérateur de transport T r( 'r →r vr r, )
(proportion des particules quittant une interaction au point ( ', )r v
ur r
faisant une nouvelle interaction en ( , )r v r r
, et en interprétant ( , )χ r vr r comme une densité de collision sortante, on peut établir la relation :
ψ( , )r vr r =
∫
χ( ', ) ( 'r v T rr r r →r v d rr r, ) r'+Q r v( , )urr (III-5)Par analogie avec l’équation de Boltzmann (II-2), on obtient aussi :
( , )r v ( , )r v t( , ) ( , )r v r v
On obtient l’équation de Fredholm recherchée :
( , )r v ( ', ') ( 'r v T r r v d r d v, ) ' ' Q r v( , ) χ r r =
∫
χ r r r →r r r ur+ r r (II-7)L’équation (II-7) fait directement intervenir la source physique de particules ( , )φ r vr r , ainsi que des densités de particules. En pratique, cela est très agréable, car pour chaque particule une suite de "transport-collision" est générée de sorte qu’il est aisé d’obtenir les densités entrante et sortante ( ( , )ψ r vr r et χ( , )r vr r respectivement) en se plaçant avant ou après la collision. Dès lors, le traitement statistique Monte Carlo de cette dernière équation s’applique en établissant les histoires des particules. La vie et le mouvement de ces particules dépendent de la description probabiliste (génération de nombres aléatoires) des phénomènes physiques possibles dans le système, notamment à travers les valeurs des différentes sections efficaces de réaction.
2-4-Les techniques de réduction de variance
Actuellement, la principale limitation des techniques de Monte Carlo réside dans l’importance des temps de calcul pour accéder à des précisions de calcul raisonnables. Plus précisément, la réduction de l’incertitude statistique est proportionnelle au carré du temps de calcul, ce qui peut amener pour certains systèmes complexes à des temps de calcul trop important. Pour ces raisons, il reste avantageux de parfois faire appel à des techniques de réduction de variance,
qui permettent, par un biaisage du problème, d’améliorer la statistique dans les zones d’importance. Parmi ces techniques on peut notamment mentionner la technique dite de la
"roulette russe" (d’autres techniques existent, mais ne sont pas discutées ici [BOOTH_1985]).
Cette technique consiste à modifier le poids de la particule, tout en conservant le poids moyen (échantillonnage normé). La variation des poids des particules est déjà utilisée de manière standard pour ne pas faire disparaître la particule (processus de diffusion imposée).
En effet, après chaque interaction la particule est réémise, mais avec un poids diminué selon le facteur (1−∑ ∑a/ t). A force d’évoluer, la particule peut posséder un poids très faible, de sorte qu’il n’est pas judicieux de poursuivre son histoire, un poids minimal est donc défini.
Lorsque le poids de la particule est inférieur à cette limite, un nombre aléatoire ζ entre 0 et 1 est échantilloné uniformément. Si ζ est inférieur au rapport du poids de la particule sur le poids limite, la particule est abandonnée. Par contre, si ζ est supérieur au même rapport la particule est conservée et on lui attribue le poids minimal. Ce procédé d’échantillonnage entre le nombre de particules et leur poids respectif peut notamment être amplifié dans des régions d’importance, qui correspondent à des zones du système dans lesquelles on impose un échantillonnage plus important (augmentation du nombre de particules, mais diminution de leur poids). De cette façon, il est possible d’augmenter localement la statistique, ce qui peut être particulièrement intéressant par exemple pour le calcul de taux de réaction localisés.
Figure (III-1) : Schéma de principe d’un calcul de Monte Carlo. [Ziad _2007]
3- Principes de base de MCNP
MCNP (Monte Carlo N -Particules) est un code capable de simuler le transport des particules à travers la matière en utilisant la méthode Monte-Carlo. Un grand nombre de particules est généré et les trajectoires de ces particules sont calculées suivant les sections efficaces correspondantes à ces particules. Connaissant les trajectoires des particules générées, des observables physiques peuvent être estimées comme par exemple la dose déposée dans un volume quelconque ou le flux de particules à travers une surface déterminée. Dans la version MCNP utilisée pour ce travail, il est possible de suivre les particules à partir de leur source en tenant compte de toutes les interactions qu’elles subissent dans un matériau quelconque et aussi de suivre les particules secondaires ou les particules de recul induites par les particules sources dans le milieu traversé. Les particules qui peuvent être prises en compte dans MCNP sont les neutrons, photons, électrons, positrons, muons, anti-muons, neutrinos, anti-neutrinos, protons, anti-protons, pions+, pions-, pions neutres, kaons+, kaons-, k0S, k0L, deutérons, tritons, helium-3, helium-4. Les paramètres requis pour la simulation sont résumés dans un fichier d’entré crée par l’utilisateur et relu par MCNP au départ de la simulation. Ce fichier définit :
• La géométrie du problème.
• La description des matériaux utilisés et la sélection des sections efficaces correspondantes à chacun de ces matériaux.
• La définition de la source de particules incluant la nature des particules, leur énergie, la position de la source, la direction initiale des particules émises par la source …
• Les techniques de réduction de variance pour diminuer les incertitudes statistiques et améliorer des résultats.
Pour illustrer simplement le principe général des codes de type Monte-Carlo, considérons un exemple simple du transport d’un neutron à travers un matériau. MCNP va décrire le passage de ce neutron dans le matériau par une succession d’événements dont l’historique est le suivant :
• Le premier événement (1) est la collision du neutron incident 1 avec un noyau du matériau.
Le neutron est alors diffusé dans le matériau selon une direction qui est sélectionnée aléatoirement à partir de la loi physique décrivant la diffusion. Un photon est aussi produit dont l’analyse et le suivi est temporairement mis de côté.
• Le deuxième événement (2) décrit une résultant de l’arrêt du neutron 1 et de la naissance de deux autres neutrons et d’un photon.
• Le troisième événement (3) correspond à la capture d’un des neutrons (2).
• Le quatrième événement (4) est la perte du second neutron qui s'échappe hors du matériau.
• Le photon (2) subit une collision et constitue l’événement (5).
• Sixième événement (6) : le photon s’échappe du matériau.
• Le photon généré par l’événement (1) est maintenant suivi et subit une capture ce qui constitue le dernier événement (7).
L’histoire du neutron incident est maintenant complète. La figure (14) ci-dessous [RSICC_2001] illustre l’histoire aléatoire de ce neutron incident selon sept événements décrit au dessus.
Figure (III-2) : Historique de la propagation d’un neutron dans un matériau. En (1) le neutron est diffusé sur un noyau du matériau, avec production d’un photon par le noyau excité. En (2) production d’un photon et de deux neutrons secondaires. L’événement (3) correspond à la capture de l’un des deux neutrons secondaires. En (4) fuite du deuxième neutron secondaire.
En (5) diffusion du photon. En (6) fuite du photon. En (7) photo-absorption du photon issu de la désexcitation du noyau. [Ziad _2007]
Cet exemple illustre la façon dont la méthode Monte-carlo conçoit un phénomène physique.
Lorsqu’une interaction se produit et conduit à la naissance de deux ou plusieurs particules, la particule avec la plus haute énergie est analysée en premier. Les autres particules filles sont temporairement stockées en mémoire avant d’être étudiées à leur tour. Quand toutes les particules sont suivies et analysées, on dit que l’histoire du phénomène est terminée. En pratique, on a besoin de générer un grand nombre d’histoires (événements) afin d’obtenir une variance acceptable sur les observables estimées par le modèle.
3-1- Utilisation des générateurs de nombres aléatoires
Dans la méthode Monte Carlo, les interactions individuelles qui composent la trajectoire d’une particule sont simulées séquentiellement. Les distributions de probabilité (sections efficaces différentielles, totales et angulaires) décrivant les divers aspects d’un type d’interaction sont échantillonnées pour être utilisées dans la génération de la trajectoire par le
La figure (15), ci-dessous, illustre l'utilisation d'un nombre aléatoire compris dans l'intervalle [0,1] pour la détermination du point d’interaction d’une particule à la position x à l’intérieur d’un volume de matériau de largeur D le long de la trajectoire de la particule. La probabilité d’interaction de la particule dans l’élément dx vaut:
( ) t t
P x dx=e−∑ ∑ dx
Où Σt est la section efficace totale d’interaction avec le matériau, en prenant en compte tous les phénomènes physiques susceptibles de se produire.
Figure (III-3) : Détermination du point d’interaction d’une particule le long de sa trajectoire à partir d'un nombre aléatoire tiré entre 0 et 1. [Ziad _2007]
Soit maintenant ε un nombre aléatoire tiré entre 0 et 1. La probabilité d’interaction de la particule au point x selon la direction initiale de la trajectoire vaut:
D’où : 1
ln(1 )
t
x= −ε
Σ
Mais comme (1−ε)est distribué uniformément entre 0 et 1 commeε, on peut remplacer (1−ε)parε, et par conséquent:
1 ln( )
t
x= ε
Σ
Ainsi, si x < D l’interaction a lieu à l’intérieur du matériau.
La détermination du type d'interaction utilise également un nombre aléatoire compris entre 0 et 1, et fournit une autre illustration du principe de fonctionnement des codes de type Monte-Carlo. Le type de l’interaction dépend du noyau avec lequel la particule incidente va interagir.
La composition atomique du matériau cible doit être connue car elle détermine les différentes interactions possibles. La section efficace totale du matériau ∑t est égale à la somme des sections efficaces des noyaux composant le milieu :
1 0 et 1, le noyau subissant l’interaction est donné par l’évaluation des inégalités suivantes :
1 incidente. Si par contre le matériau est composé de deux types de noyaux, alors n = 2 et
1 2
= +
∑t ∑ ∑ Pour le noyau de type 1, les inégalités précédentes:
1 2 1
0<ε(∑ +∑ )<∑ D’où 0< <ε ∑1/(∑1+∑2)
Pour le noyau de type 2, les inégalités avec k =1 donnent :
0<ε(∑1+∑2)<∑1+∑2 D’où∑1/(∑1+∑2)< <ε 1
On peut visualiser le choix du noyau par la figure suivante :
Figure (III-4) : Représentation des probabilités des interactions avec les noyaux 1 et 2 dans le cas où Σ 1< Σ2 (figure de gauche), où Σ 1> Σ2 (figure de droite). [Ziad_2007]
Dans le cadre du transport des particules ou de photons, l’utilisation d’une méthode de Monte Carlo pour estimer des quantités physiques telles que le flux, le taux de réaction ou le facteur de multiplication repose sur la simulation de la traçabilité de ces particules dans la matière.
3-2 Sections efficaces utilisées dans MCNP
Une des spécificités majeures du code MCNP est l’utilisation de tables de sections efficaces expérimentales. Les sections efficaces de réactions considérées par MCNP proviennent de nombreuses compilations effectuées dans différents centres ou laboratoires comme le « Applied Nuclear Science (T-2) Group » de Los Alamos [LOS], ou le Laboratoire « Livermore
» [LIV]. Ces données ont été constamment complétées et améliorées depuis plus de 30 ans par les développeurs de MCNP. Elles sont contenues dans des tables couvrant une grande gamme d'énergies pour les particules essentielles (neutrons, photons et électrons). Par contre pour les protons ou ions légers, dont le transport est possible dans les dernières Versions MCNP, le code utilise des modèles théoriques pour certains types de réactions (cascade intranucléaire, évaporation, fragmentation, fission…). Ce stables de données existent comme le montre la figure (4), pour les interactions des neutrons, des photons induits par les neutrons, l’interaction propre des photons, l’interaction des électrons et l’interaction des protons.
Les tables disponibles pour MCNP sont réunies dans des librairies. Elles sont identifiées de manière univoque au moyen d'un identificateur unique: le ZAIDs. Ces identificateurs contiennent le numéro atomique Z et le nombre de masse A spécifiques du noyau choisi et un identificateur supplémentaire. Il existe pour les interactions des trois types de particules:
neutrons, photons et électrons plus de 500 tables disponibles pour environ 100 différents isotopes et éléments.
Figure (III-5): Distribution des tables des sections efficaces pour différentes particules suivant différentes gammes d’énergie. . [Ziad _2007]
3-3 Poids des particules générées
Les estimateurs calculés par MCNP (« Tallies ») sont normalisés au nombre de particules générées. L'estimation d'une observable dans MCNP est toujours accompagnée par un second nombre R, qui est l'erreur relative sur l'estimation de cette observable. C'est à dire l'ecart standart sur la moyenne normalisée à cette moyenne.
1
R N
σ
= ×µ
Avecσ et µ la variance et la moyenne de l'estimateur, calculée avec un nombre d'événement N dans un temps T.
Cette erreur relative peut être utilisée pour avoir une idée sur la précision du calcul de l'estimateur par le code (incertitude statistique) mais pas sur l’écart entre l'estimation et la valeur physique inconnue.
Le facteur de qualité doit être relativement constant pour une simulation bien exécutée.
En effet, on a:
T ∝N Et 1 1
R∝ N ∝ T
Si on essaye de diminuer R on peut augmenter le nombre d'événement sans contraindre le temps de calcul. Cette solution atteint vite des limites non raisonnables. S'il faut 2 heures pour obtenir R égal à 0.1, il faudra 200 heures pour obtenir R égal à 0.01. On peut également fixer une limite raisonnable sur le temps de calcul, et essayer de diminuer R en augmentant la quantité d'information utilisable pour calculer l'estimateur d'une observable, tout en gardant un temps de calcul raisonnable.
Un des problèmes majeurs dans les programmes de Monte-Carlo réside dans la difficulté d'obtenir un peuplement statistiquement significatifs dans certaine partie de l'espace de phase:
par exemple dans une région de l'espace de phase, contribuant de manière importante pour l'estimation d'une observable.
La méthode la plus simple consiste bien sur à accumuler suffisamment d'événements pour peupler ces parties de l'espace de phase. Mais MCNP résout ce problème d'une autre façon au moyen des techniques de réduction de variance qui consistent à affecter les particules de poids qui peuvent varier au cours du temps et de l'espace.
Dans une région de l'espace de phase importante pour l'estimation d'une observable, on peut dupliquer une particule MCNP de poids ν en N particules identiques, chacune affecté d'un poids ν / N et dont on suivra la propagation. Il aurait fallu au moins N fois plus d'événements sans cette technique pour obtenir la même quantité d'information.
Par contre dans une région de l'espace de phase peut importante car contribuant faiblement à l'estimation de l'observable, on peut être amené à "tuer" des particules avant qu'elle ne consomme trop de temps de calcul, tout en affectant les particules restantes d'un poids supérieur destiné à compenser les particules "tuées". MCNP permet l'utilisation de plusieurs techniques de réduction de variance, allant de la plus simple (coupure en énergie) à la plus complexe (sphère DXTRAN). Nous donnerons un aperçu de l'emploi de ces techniques par la suite.
3-4 Utilisation de MCNP
• La définition des sources de particules en termes de spectre d'émission, volume d'émission,
• La définition des sources de particules en termes de spectre d'émission, volume d'émission,