Le cube de Rubik et autres casse-têtes

(1)

Le cube de Rubik et autres casse-têtes

Frédéric Mouton

FOURIER INSTITUT

f

i

(Grenoble) et Lycée Buffon (Paris)

15 février 2014, Palais de la Découverte

(2)

Sommaire

1 Le cube de Rubik

2 Ordre d’une permutation

3 Permutations composées

4 Commutateurs et formules magiques

5 Conjugaison et pratique

6 Autres questions mathématiques

(3)

Le cube de Rubik

(4)

Le cube de Rubik

Ernö Rubik, 1974

(5)

Le cube de Rubik

Autres casse-têtes de type Rubik

(6)

Le cube de Rubik

Autres casse-têtes de type Rubik

(7)

Le cube de Rubik

Manipulation

(8)

Le cube de Rubik

Mécanisme

(9)

Le cube de Rubik

Mécanisme

(10)

Le cube de Rubik

Le but du jeu

(11)

Le cube de Rubik

Le but du jeu

(12)

Le cube de Rubik

En pratique...

on est souvent bloqué là !

F. Mouton (Institut Fourier et Lycée Buffon) Le cube de Rubik et autres casse-têtes 15/02/2014, Palais de la Découverte 9 / 91

(13)

Le cube de Rubik

En pratique... on est souvent bloqué là !

(14)

Le cube de Rubik

Le remède...

des formules magiques

G A D A G A D A

F. Mouton (Institut Fourier et Lycée Buffon) Le cube de Rubik et autres casse-têtes 15/02/2014, Palais de la Découverte 10 / 91

(15)

Le cube de Rubik

Le remède... des formules magiques

G A D A G A D A

(16)

Ordre d’une permutation

Ordre d’une

permutation

(17)

Une classe

(18)

Une classe

(19)

Un professeur étrange

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(20)

Un professeur étrange

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(21)

Permutation V = ( 2685 )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(22)

Lundi

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b

f

g h i

c

d e

(23)

Lundi

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b c

d e f

g h i

(24)

Mardi : permutation V

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a e c

d h b

g f i

(25)

Mercredi : permutation VV = V

²

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a h c

d f e

g b i

(26)

Jeudi : permutation V

³

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a f c

d b h

g e i

(27)

Vendredi : permutation V

⁴

= I

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b

f

g h i

c

d e

(28)

Permutation W = ( 36 )( 475 )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(29)

Lundi

W

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b c

d e f

g h i

(30)

Mardi : permutation W

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b f

e g c

d h i

(31)

Mercredi : permutation W

²

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b c

g d f

e h i

(32)

Jeudi : permutation W

³

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b f

d e c

g h i

(33)

Vendredi : permutation W

⁴

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b c

e g f

d h i

(34)

Samedi : permutation W

⁵

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b f

g d c

e h i

(35)

Dimanche : permutation W

⁶

= I

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b

f

g h i

c

d e

(36)

Permutation X = ( 14 )( 2685 )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(37)

Lundi

X

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b c

d e f

g h i

(38)

Mardi : permutation X

1 2 3

4 5 6

7 8 9

d e c

a h b

g f i

(39)

Mercredi : permutation X

²

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a h c

d f e

g b i

(40)

Jeudi : permutation X

³

1 2 3

4 5 6

7 8 9

d f c

a b h

g e i

(41)

Vendredi : permutation X

⁴

= I

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b

f

g h i

c

d e

(42)

Ordre d’une permutation

Le nombre d’itérations pour revenir à l’état initial est appelé l’ordrede la permutation. On vient de voir que l’ordre de V= (2685)est 4, celui de W= (36)(475)est 6 et celui de X= (14)(2685) est 4.

Plus généralement, lorsqu’une permutation est décrite sous forme de cycles disjoints, son ordre est le PPCM des longueurs des cycles.

Conséquences pour le cube :

Lorsqu’on itère une formule, on finit par retomber sur la configuration initiale

On peut trouver une formule qui est d’ordre (3×5×3)×(4×7×2) =2520

(43)

Ordre d’une permutation

On peut trouver une formule qui est d’ordre (3×5×3)×(4×7×2) =2520

(44)

Ordre d’une permutation

On peut trouver une formule qui est d’ordre

(45)

Permutations composées

Permutations

composées

(46)

Composition des permutations

Le professeur décide de changer de permutation chaque jour.

Si j’applique d’abordW, puisX, quel est le schéma résultantWX?

Si j’applique d’abordW, quelle permutationW

appliquer ensuite pour revenir à l’état initial (WW=I) ? Est-ce la même chose d’appliquer d’abordWpuisX ou d’abordX puisW?

(47)

Composition des permutations

appliquer ensuite pour revenir à l’état initial (WW=I) ?

Est-ce la même chose d’appliquer d’abordWpuisX ou d’abordX puisW?

(48)

Composition des permutations

appliquer ensuite pour revenir à l’état initial (WW=I) ? Est-ce la même chose d’appliquer d’abordWpuisX ou d’abordX puisW?

(49)

Permutation W = ( 36 )( 475 )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(50)

Lundi

W

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b c

d e f

g h i

(51)

Mardi : permutation W

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b f

e g c

d h i

(52)

Mardi : permutation W

X

1 2 3

4 5 6

7 8 9

a b f

e g c

d h i

(53)

Mercredi : permutation WX

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(54)

Schéma de la permutation WX ?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(55)

Schéma de la permutation WX

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(56)

Schéma de la permutation WX ?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(57)

Schéma de la permutation WX ?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(58)

Schéma de la permutation WX ?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(59)

Schéma de la permutation WX

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(60)

Schéma de la permutation WX ?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(61)

Schéma de la permutation WX ?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(62)

Permutation WX = ( 14726385 )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(63)

Inverse de W = ( 36 )( 475 ) ?

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(64)

Permutation W = ( 63 )( 574 ) = ( 36 )( 457 )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(65)

Permutation WX = ( 14726385 )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

e g f

a h b

d c i

(66)

Permutation XW = ( 17523684 )

1 2 3

4 5 6

7 8 9

d e b

h g c

a f i

(67)

Inverse d’un produit ?

Sur le cube de Rubik, si on tourne d’abord la face droite dans le sens de la montre puis la face du haut dans le sens inverse (c’est-à-dire DH), quel est le mouvement inverse ?

Réponse :

DH=H D=HD

Cela est un fait général pour deux permutationsS etT: ST=T S

(68)

Inverse d’un produit ?

Sur le cube de Rubik, si on tourne d’abord la face droite dans le sens de la montre puis la face du haut dans le sens inverse (c’est-à-dire DH), quel est le mouvement inverse ? Réponse :

DH=H D=HD

(69)

Inverse d’un produit ?

Sur le cube de Rubik, si on tourne d’abord la face droite dans le sens de la montre puis la face du haut dans le sens inverse (c’est-à-dire DH), quel est le mouvement inverse ? Réponse :

DH=H D=HD

(70)

Commutateurs et formules magiques

Commutateurs et

formules magiques

(71)

Peut-on avoir ST = TS ?

Oui, par exemple

siS=I, T, T, T²...

si aucune table n’est touchée à la fois par S et T

(72)

Peut-on avoir ST = TS ?

Oui, par exemple siS=I,

T, T, T²...

(73)

Peut-on avoir ST = TS ?

Oui, par exemple siS=I, T,

T, T²...

(74)

Peut-on avoir ST = TS ?

Oui, par exemple siS=I, T,T,

T²...

(75)

Peut-on avoir ST = TS ?

Oui, par exemple

siS=I, T,T, T²...

(76)

Peut-on avoir ST = TS ?

Oui, par exemple

siS=I, T,T, T²...

(77)

V et Y = ( 14 ) commutent : VY = YV

1 2 3

4 5 6

7 8 9

V Y

(78)

Une mesure de la commutativité : le commutateur

Remarquons queST=TSsi et seulement si STTS=TSTS=I si et seulement siS T S T=I.

Définition :

S T S Test appelé lecommutateur deSet T. S’il ne bouge rien alors Set Tcommutent et réciproquement.

(79)

W et X ne commutent “vraiment pas”

W X W X= (41875)(236)bouge “beaucoup” de choses !

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(80)

Une idée fondamentale

On a vu :

Aucune table touchée à la fois par Set T

=⇒S T S Tne bouge rien.

On conjecture :

“Peu” de tables touchées à la fois par SetT

=⇒S T S Tbouge “peu” de choses.

Essayons sur un exemple pour lequel il n’y a qu’une table touchée à la fois par SetT.

(81)

Une idée fondamentale

On a vu :

On conjecture :

(82)

Une idée fondamentale

On a vu :

On conjecture :

(83)

W = ( 36 )( 475 ) et Z = ( 15892 )

W

W Z

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(84)

W Z W Z = ( 175 ) bouge “peu” !

1 2 3

4 5 6

7 8 9

(85)

Théorème

S’il y a une seule table touchée à la fois parS etT, alors S T S Test une permutation circulaire de trois objets.

(86)

Placement des cubes sommets

On cherche à construire une suite de mouvements du cube dont le seul effet est une permutation circulaire de trois sommets.

Pour cela, en vertu de ce qui précède, il suffit de trouver deux séquences de mouvementsS etT telles que seul un cube sommet est bougé par les deux séquences (et aucun cube arête ne l’est).

On choisit arbitrairement S=G, rotation d’un quart de tour de la face gauche dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

(87)

Placement des cubes sommets

(88)

Placement des cubes sommets

(89)

Placement des cubes sommets

(90)

Mouvement G

(91)

Recherche de T

(92)

Recherche de T

(93)

T = A . . .

(94)

T = AD . . .

(95)

T = ADA convient !

(96)

On retrouve la formule donnée au début

G A D A G A D A

(97)

Orientation des cubes sommets

G A D A G A D A H D H G H D H G

(98)

Cubes arêtes

(99)

Conjugaison et pratique

Conjugaison et

pratique

(100)

La conjugaison

Et si les cubes qu’on veut permuter ou orienter ne sont pas dans la configuration de départ pour une formule magique S (par exemple trois CS non dans une même face) ? On s’en tire en construisant la bonne configuration de départ par une manipulation T(par exemple qui place les trois CS dans une même face). On applique alorsS et il convient ensuite de tout remettre en place parT.

La formule totale est alors la conjugaisondeSpar T: TST.

(101)

La conjugaison

Et si les cubes qu’on veut permuter ou orienter ne sont pas dans la configuration de départ pour une formule magique S (par exemple trois CS non dans une même face) ?

On s’en tire en construisant la bonne configuration de départ par une manipulation T(par exemple qui place les trois CS dans une même face). On applique alorsS et il convient ensuite de tout remettre en place parT.

(102)

La conjugaison

(103)

La conjugaison

(104)

Plus de formules

Il est plus efficace de placer au début le plus de choses possible “à la main”, par exemple de placer directement bien orientés les CA d’une face, puis ses CS.

Ensuite, il est possible de placer et d’orienter en même temps, voire de placer et orienter plusieurs item en même temps. Il est nécessaire pour cela de connaître beaucoup de formules (plus d’une centaine pour les champions...)

www.francocube.com

“Speedsolving the cube” par Dan Harris

(105)

Plus de formules

www.francocube.com

(106)

Plus de formules

www.francocube.com

(107)

Plus de formules

www.francocube.com

(108)

Autres questions mathématiques

Autres questions

mathématiques

(109)

Combien de remontages physiques (configurations illégales) ?

Réponse : 8!·3⁸·12!·2¹² '5,2·10²⁰ Si je le remonte au hasard, puis-je le refaire

légalement ? Avec quelle probabilité ? (Quelles sont les configurations légales ? Combien y en a-t-il ?) Structure de groupe ?

Nombre de dieu du cube ?

(110)

Combien de remontages physiques (configurations illégales) ? Réponse : 8!·3⁸·12!·2¹² '5,2·10²⁰

Si je le remonte au hasard, puis-je le refaire

(111)

Combien de remontages physiques (configurations illégales) ? Réponse : 8!·3⁸·12!·2¹² '5,2·10²⁰ Si je le remonte au hasard, puis-je le refaire légalement ? Avec quelle probabilité ?

(Quelles sont les configurations légales ? Combien y en a-t-il ?) Structure de groupe ?

(112)

Combien de remontages physiques (configurations illégales) ? Réponse : 8!·3⁸·12!·2¹² '5,2·10²⁰ Si je le remonte au hasard, puis-je le refaire

légalement ? Avec quelle probabilité ? (Quelles sont les configurations légales ? Combien y en a-t-il ?)

Structure de groupe ? Nombre de dieu du cube ?

(113)

(114)

(115)

Rappel des quatre formules

Placement des CS (3-cycle)

Orientation des CS (tourne deux CS dans des sens opposés)

Placement des CA (3-cycle)

Orientation des CA (retourne simultanément deux CA)

(116)

Expérience de pensée

Les 3-cycles engendrent les permutations paires. Quitte à faire un quart de tour (4-cycle sur les CS donc impair), on peut donc placer les CS où on veut.

Par notre formule d’orientation, on peut tous les orienter arbitrairement sauf le dernier.

Ensuite, si on veut conserver ces CS intacts, on peut faire des 3-cycles sur les CA et donc les mettre où on veut sauf les deux derniers qu’on ne peut pas échanger.

On peut alors orienter arbitrairement tous les CA sauf le dernier.

(117)

Expérience de pensée

(118)

Expérience de pensée

(119)

Expérience de pensée

(120)

Expérience de pensée

(121)

On peut donc obtenir toutes les configurations à orientation d’un CS, permutation de deux CA et orientation d’un CA près.

On obtient ainsiun douzième des configurations illégales ! Théorème: il n’y a pas d’autres configurations légales. Preuve empirique : manipuler le cube.

Sinon, on prouve ce résultat en trois étapes...

(122)

On obtient ainsiun douzième des configurations illégales !

Théorème: il n’y a pas d’autres configurations légales. Preuve empirique : manipuler le cube.

(123)

On obtient ainsiun douzième des configurations illégales ! Théorème: il n’y a pas d’autres configurations légales.

Preuve empirique : manipuler le cube.

(124)

(125)

(126)

Impossibilité d’orienter un seul CA

Un quart de tour agit comme un produit de deux 4-cycles sur les facettes des CA, qui a une signature positive. On ne pourra donc jamais produire des transpositions.

(127)

Impossibilité d’orienter un seul CA

Un quart de tour agit comme un produit de deux 4-cycles sur les facettes des CA, qui a une signature positive. On ne pourra donc jamais produire des transpositions.

(128)

Impossibilité d’orienter un seul CS

Dans la configuration initiale, on fait des croix sur les facettes des CS situées sur les faces du haut et du bas. Pour une configuration quelconque, on compte, pour chaque CS,

0 si la croix est sur la face du haut ou du bas

+1 s’il faut tourner le CS dans le sens de la montre pour amener la croix en haut ou en bas

-1 sinon

et on fait la somme ∑^.

∑ est invariante par quart de tour, donc toujours nulle. Il est donc impossible d’orienter un CA tout seul !

(129)

Impossibilité d’orienter un seul CS

Dans la configuration initiale, on fait des croix sur les facettes des CS situées sur les faces du haut et du bas.

Pour une configuration quelconque, on compte, pour chaque CS,

-1 sinon

(130)

Impossibilité d’orienter un seul CS

-1 sinon

(131)

Impossibilité d’orienter un seul CS

-1 sinon

(132)

Impossibilité d’orienter un seul CS

-1 sinon

(133)

Impossibilité d’orienter un seul CS

-1 sinon

(134)

Impossibilité d’orienter un seul CS

-1 sinon

(135)

Impossibilité d’orienter un seul CS

-1 sinon

∑ est invariante par quart de tour, donc toujours nulle.

Il est donc impossible d’orienter un CA tout seul !

(136)

Impossibilité d’orienter un seul CS

-1 sinon

∑ est invariante par quart de tour, donc toujours nulle.

Il est donc impossible d’orienter un CA tout seul !

(137)

Impossibilité d’échanger deux CA sans bouger les CS (et vice-versa)

Un quart de tour agit comme un 4-cycle sur les CS et un 4-cycle sur les CA.

Dans une manipulation, le produit de la signature de la permutation des CS et de la permutation des CA vaut donc toujours 1.

Ainsi, si la permutation des CS est paire (par exemple les CS sont bien placés), alors celle des CA aussi et donc la transposition de deux CA est impossible.

(138)

Impossibilité d’échanger deux CA sans bouger les CS (et vice-versa)

(139)

Impossibilité d’échanger deux CA sans bouger les CS (et vice-versa)

(140)

Impossibilité d’échanger deux CA sans bouger les CS (et vice-versa)

(141)

Nombre de configurations légales

C’est donc exactement un douzième du nombre de configurations illégales soit

(8!·3⁸·12!·2¹²)/12'4,3·10¹⁹

(142)

Nombre de configurations légales

C’est donc exactement un douzième du nombre de configurations illégales soit

(8!·3⁸·12!·2¹²)/12'4,3·10¹⁹

(143)

Nombre de Dieu

La distance entre deux configurations est le nombre minimum de quarts de tours nécessaire pour passer de l’une à l’autre.

Le nombre de DieuN est la distance maximum d’une configuration légale à la configuration initiale.

Il était connu depuis une vingtaine d’années que la

distance du superflip à la configuration initiale est 20, que N ≤23, et conjecturé queN =22 ou 23.

(144)

Nombre de Dieu

(145)

Nombre de Dieu

(146)

Nombre de Dieu

(147)

En 2010, il a été montré que N =20 par une équipe de trois personnes : un mathématicien, un informaticien et un ingénieur.

La démonstration a nécessité une réduction du nombre de cas utilisant fortement la théorie de groupes, des

algorithmes sophistiqués et un traitement en parallèle utilisant un grand nombre d’ordinateurs.

(148)

En 2010, il a été montré que N =20 par une équipe de trois personnes : un mathématicien, un informaticien et un ingénieur.

La démonstration a nécessité une réduction du nombre de cas utilisant fortement la théorie de groupes, des

algorithmes sophistiqués et un traitement en parallèle utilisant un grand nombre d’ordinateurs.

(149)

Structures de groupe

Soient Re le groupe illégal du cube et R son groupe légal.

R <Re <

S

^({^facettes^})

Re =Re_A×Re_S '

S

12n(Z/2Z)¹²

×

S

8n(Z/3Z)⁸ R est isomorphe à un sous-groupe d’indice 2 de

S

12n(Z/2Z)¹¹

×

S

8n(Z/3Z)⁷

(150)

Structures de groupe

R <Re <

S

^({^facettes^})

Re =Re_A×Re_S '

S

12n(Z/2Z)¹²

×

S

12n(Z/2Z)¹¹

×

S

8n(Z/3Z)⁷

(151)

Structures de groupe

R <Re <

S

^({^facettes^})

Re = Re_A×Re_S '

S

12n(Z/2Z)¹²

×

S

8n(Z/3Z)⁸

R est isomorphe à un sous-groupe d’indice 2 de

S

12n(Z/2Z)¹¹

×

S

8n(Z/3Z)⁷

(152)

Structures de groupe

R <Re <

S

^({^facettes^})

Re = Re_A×Re_S '

S

12n(Z/2Z)¹²

×

S

12n(Z/2Z)¹¹

×

S

8n(Z/3Z)⁷

(153)

Sous-groupes

Lesuperflipest la figure obtenue en retournant tous les CA. Le centre de R est réduit à l’identité et au superflip. On peut retrouver dansR beaucoup de groupes finis intéressants

(voir par exemple “Notes on Rubik’s magic cube” de D. Singmaster).

(154)

Sous-groupes

Lesuperflipest la figure obtenue en retournant tous les CA. Le centre de R est réduit à l’identité et au superflip.

On peut retrouver dansR beaucoup de groupes finis intéressants

(voir par exemple “Notes on Rubik’s magic cube” de D. Singmaster).

(155)

Sous-groupes

Lesuperflipest la figure obtenue en retournant tous les CA. Le centre de R est réduit à l’identité et au superflip.

On peut retrouver dansR beaucoup de groupes finis intéressants

(voir par exemple “Notes on Rubik’s magic cube” de D.

Singmaster).