Cette conférence, conduite de main de maître par Etienne Ghys, a été pour moi une très bonne approche de la Géométrie hyperbolique et d'une partie de
l'œuvre d'Henri Poincaré.
Merci beaucoup à tous les organisateurs de m'avoir permis de vivre ce moment inoubliable.
Je souhaite à Etienne Ghys de faire vibrer aussi longtemps que possible des salles remplies comme le grand auditorium de la BNF, et de permettre à des jeunes lycéens comme moi de continuer avec enthousiasme à faire des
mathématiques.
Bravo.
Rémy Leone
Elève de Première S Lycée Jacquard Paris
Compte-rendu de la conférence du 15 mars 2006 – Résumé
La géométrie telle que nous la connaissons, la géométrie euclidienne, peut nous paraître être le seul moyen d’étudier formes, distances et angles…
Mais il est possible d’envisager une géométrie où « par un seul point, il ne passe pas qu’une seule parallèle à une droite donnée ».
Après vingt siècles de recherches par les plus grands mathématiciens, Henri Poincaré y parvient ! Dans son livre La Science et l’hypothèse, qu’il publie en 1902, il pose les bases d’un espace bien différent du nôtre.
Ce monde se présente sous la forme d’un disque, dans lequel la température diminue lorsque l’on se rapproche du bord, pour y atteindre le zéro absolu. Par la loi de dilatation des corps soumis à une température donnée, un personnage de ce monde devient de plus en plus petit en se rapprochant du bord, ce qui l’oblige à faire plus de pas pour progresser d’avantage, mais il rétrécit toujours à force de progresser…Ce qui rend ce monde infini.
Henri Poincaré venait de poser les bases de la géométrie hyperbolique.
Les deux droites passant par P sont parallèles à g !
Raisonnons maintenant. Nous savons que dans notre monde, le chemin le plus court est la droite passant par ces deux points.
Dans le monde hyperbolique, le chemin le plus court n’est pas une droite, mais un arc de cercle, dont le sommet passe près du centre du disque hyperbolique.
Pourquoi ? Parce que cet arc de cercle est un compromis entre le trajet le plus court (la droite), et le parcours le moins contraignant du fait du rétrécissement.
De ce fait, les figures que nous connaissons semblent déformées…
Exemple de triangle hyperbolique
Pourtant, cette géométrie admet de nombreuses lois et autres propriétés.
Certaines nous sont familières car elles sont les mêmes que dans la géométrie Euclidienne (Concours des bissectrices et médiatrices d’un triangle en un point,
…). D’autres ne « marchent pas », (…) ou sont légèrement différentes (orthocentre à parfois à l’extérieur du triangle). Enfin, d’autres lois et
propriétés sont propres à la géométrie hyperbolique (aire d’un triangle bornée…) Les figures issues de cette géométrie peuvent se révéler très esthétiques et intéressent de nombreux artistes.
Cette géométrie, dont certains aspects ont été découverts par Gauss, est née de la recherche d’une démonstration du cinquième axiome d’Euclide à l’aide des autres premiers. Car cet axiome intrigue plus d’un mathématicien.
Cette géométrie rejoint la géométrie de Riemann parmi celles qui vérifient les quatre premiers axiomes sans vérifier le cinquième. Mais elles ne prouvent pas que ce dernier ne soit qu’un postulat dans la géométrie euclidienne ! (La question reste ouverte…)
Il faut simplement comprendre que la géométrie euclidienne est une manière de voir et d’interpréter le monde, elle n’est pas plus « vraie » qu’une autre. Elle est simplement plus commode pour nous, comme la géométrie hyperbolique dans le monde hyperbolique de Poincaré.
Merci à Etienne Ghys, à tous les organisateurs d'avoir permis au lycéen que je suis d'avoir vécu, au travers de cette conférence , un moment inoubliable à plus d'un égard.
Hervé Dago
Elève de Première année de BTS électrotechnique Lycée Jacquard.
Paris
