Un exemple de Transformation Complexe

Transformation Complexe TransComplexe.tex

Un exemple de Transformation Complexe

1) Enonc´ ´ e de l’exercice

Soitf la transformation complexe qui `a tout pointM d’affixez associe le pointM⁰ =f(M) d’affixe Z =f(z) d´efinie ainsi :

z 7−→ Z =f(z) = z+ 1 i z+ 1

a) Montrer que l’on peut ´ecriref(z) sous la forme : f(z) = u

i z+ 1+v o`uuetv sont deux constantes complexes dont on pr´ecisera la valeur.

b) D´eterminer la nature de la transformation f en la d´ecomposant en transformations

´el´ementaires.

c) Soit D l’axe des r´eels et D⁰ =f(D) son image par la transformation f.

Repr´esenter pas `a pas la transformation deDsur une nouvelle figuresans oublier de nommer les interm´ediaires.

d) Soit ∆ l’axe des imaginaires et ∆⁰ =f(∆) son image par la transformation f. Repr´esenter de mˆeme la transformation de ∆ sur une seconde figure.

e) Soit C le cercle trigonom´etrique et C⁰ =f(C) son image.

Repr´esenter de mˆeme la transformation deC sur une troisi`eme figure.

2) Correction de l’exercice

a) On va proc´eder par identification : f(x) = u

i z+ 1 +v

= u+v(i z+ 1) i z+ 1

= (vi)z+ (v+u) i z+ 1 Comme on a :

f(x) = z+ 1

i z+ 1 = (vi)z+ (v+u) i z+ 1 On identifie :

vi = 1

v+u = 1 on calcule :

u = 1 +i

v = −i et on en d´eduit : f(x) = z+ 1

i z+ 1 = 1 +i i z+ 1 −i

♣♦♥

♠ 1 / 3 L^ATEX 2ε

Transformation Complexe TransComplexe.tex b) D´ecomposition en transformations ´el´ementaires : Attention aux notations

z 7−→^f1 z₁ =i z 7−→^f2 z₂ =z₁+ 17−→^f3 z₃ = 1 z2

f4

7−→z₄ = (1 +i)z₃ 7−→^f5 Z =f(z) = z₄−i f =f₅◦f₄◦f₃◦f₂◦f₁

Ce qui signifie quef est la compos´ee de f1,f2, f3,f4 etf5 successivement dans cet ordre.

z 7−→ Z =f(z) = f₅ f₄

f₃

f₂ f₁(z)! Avec :

f₁ Rotation de centre O et d’angle π

2 = arg(i) f₂ Translation de vecteur d’affixe 1

f₃ Inversion Complexe

f₄ Similitude de centre O de rapport √

2 = |1 +i| et d’angle π

4 = arg(1 +i) f₅ Translation de vecteur d’affixe −i

c) Image de l’axe des r´eels :

D7−→^f1 D₁ 7−→^f2 D₂ 7−→^f3 D₃ 7−→^f4 D₄ 7−→^f5 D⁰ =f(D)

D axe des r´eels

D₁ axe des imaginaires

D₂ droite verticale d’´equation x= 1 D₃ cercle de diam`etre 1

de centre d’affixe 1 2 D₄ cercle de diam`etre √

2

de centre d’affixe 1 +i 2 D⁰ =f(D) cercle de diam`etre √

2 de centre d’affixe 1−i

2

D D1 D2

D₃ D₄

D⁰ =f(D)

0 1

i

♣♦♥

♠ 2 / 3 L^ATEX 2ε

Transformation Complexe TransComplexe.tex d) Image de l’axe des imaginaires :

∆7−→^f1 ∆₁ 7−→^f2 ∆₂ 7−→^f3 ∆₃ 7−→^f4 ∆₄ 7−→^f5 ∆⁰ =f(∆)

∆ axe des imaginaires

∆₁ axe des r´eels

∆₂ axe des r´eels

∆₃ axe des r´eels

∆₄ droite d’´equation y=x

∆⁰ =f(∆) droite d’´equationy=x−1

∆

∆₁ = ∆₂ = ∆₃

∆₄

∆⁰ =f(∆)

0 1

i

e) Image du cercle trigonom´etrique :

C 7−→^f1 C₁ 7−→^f2 C₂ 7−→^f3 C₃ 7−→^f4 C₄ 7−→^f5 C⁰ =f(C)

C cercle trigonom´etrique C₁ cercle trigonom´etrique C₂ cercle de rayon 1

de centre d’affixe 1 C₃ droite verticale d’´equation x= 1

2 C₄ droite d’´equation y=−x+ 1 C⁰ =f(C) droite d’´equation y=−x

C =C₁

C₂ C3

C₄

C⁰ =f(C)

0 1

i

♣♦♥

♠ 3 / 3 L^ATEX 2ε