Christophe Dutang Mathieu Bourges Michaël Sibilleau Romain Biard 1er février 2007
Institut Supérieur de Finance et d’Assurance (Lyon)
I Les aspects macro économiques 3
1 Les dérivés climatiques 3
1.1 L’influence du climat sur l’économie . . . 3
1.2 Le marché des dérivés climatiques . . . 4
1.2.1 Ce que sont les dérivés climatiques . . . 4
1.2.2 Historique . . . 5
1.2.3 Le marché organisé . . . 5
1.2.4 Le marché OTC . . . 7
1.3 Forces et faiblesses des dérivés climatiques . . . 8
1.3.1 Les points forts . . . 8
1.3.2 Les freins au développement des dérivés climatiques . . . 10
2 Les dérivés énergétiques 11 2.1 Caractéristiques . . . 11
2.2 Les marchés du pétrole et du gaz naturel . . . 12
2.2.1 Le marché Spot . . . 12
2.2.2 Risques de prix et produits dérivés . . . 12
2.3 Le marché de l’électricité . . . 13
II Modèles d’évaluation et application numérique 14 3 L’incomplétude du marché 15 4 Le modèle normal 16 4.1 Descriptif du modèle . . . 16
4.2 Application numérique . . . 16
5 Les séries chronologiques 17 5.1 Le modèle . . . 17
5.2 Application numérique . . . 18
6 Le modèle d’Ornstein-Uhlenbeck 19 6.1 Le modèle . . . 19
6.1.1 Prime de risque . . . 20
6.1.2 Les fonctions d’utilité . . . 20
6.2 Application numérique . . . 21
7 Autres pistes de volarisation 22
8 Conclusion 22
Première partie
Les aspects macro économiques
1 Les dérivés climatiques
1.1 L’influence du climat sur l’économie
Le réchauffement climatique est au coeur de l’actualité et s’invite dans tous les débats idéolo- giques, politiques, et économiques. Selon l’agence France Presse, le 4ème rapport du Giec1 (Groupe d’experts international sur l’évolution du climat) devrait prochainement donner des prévisions sur une élévation des températures de 2 à 4.5˚C et une hausse du niveau des océans de 28 à 43 centi- mètres d’ici à 2100.
Parallèlement à cette tendance, de nombreuses études montrent que près de 30% de l’activité des pays développés est directement affectée par les variations météorologiques. Si on ajoute les effets indirects, ce sont 80% des entreprises qui sont concernées dans des secteurs aussi variés que l’énergie, l’agriculture, l’industrie agro alimentaire, la grande distribution, le tourisme et le BTP.
secteur d’activité principale exposition
énergie températures
agriculture gel, précipitations et températures défavorables agroalimentaire ensoleillement, température, baisse de la consommation distribution (habillement, pneus, meubles) conditions météorologiques générales
tourisme et loisir enneigement, ensoleillement, températures
santé hivers très froid, été très chaud
transports vent, pluie, neige, verglas, gel
BTP vent, pluie, neige, verglas, gel
Tab. 1 – secteurs économiques impactés par le risque climatique
Quels sont donc les risques réellement encourus par les acteurs de la vie économique (entreprises, Etats, collectivités) ?
On peut tout d’abord penser aux catastrophes naturelles dont les effets impactent directement l’activité et dont les conséquences sont particulièrement lourdes. C’est ainsi que l’Ouragan Andrew survenu en 1992 a coûté près de 19.9 milliards de dollars. Face à de telles menaces, les responsables des différents secteurs d’activité n’ont d’autre choix que de souscrire des contrats d’assurance leur permettant de se couvrir contre la survenance éventuelle de sinistres. De leur coté, les compagnies d’assurance transfèrent une partie de ces risques à des réassureurs, éventuellement même aux mar- chés financiers via l’émission de CAT BONDs2.
1à l’issue d’un sommet qui se tient actuellement à Paris jusqu’au 2 février 2007
2il s’agit d’obligations « catastrophe » qui présentent les attributs des obligations traditionnelles à la différence pourtant essentielle que lors de la survenance d’une catastrophe, l’émetteur interrompt le paiement des coupons pour financer les indemnisations
Mais les risques climatiques ne se limitent pas aux catastrophes naturelles et l’activité de nom- breux secteurs dépend de la variabilité « usuelle » des conditions météorologiques (précipitations, températures, enneigement, etc.).
Par exemple, lorsque la température est comprise entre 5˚C et 15˚C, chaque degré de réchauffe- ment provoque un recul de 2.5% de la consommation d’électricité.
De façon peut être plus inattendue, Jean Carle, responsable des marchés assurance et protections climatiques à Météo France indique : « 83% des ventes de prêt-à-porter s’expliquent par le seul facteur température. Une hausse de 1˚C en septembre entraîne une baisse des ventes de 4.75% ».
Et les exemples sont nombreux : en Californie, les centrales hydrauliques sont exposées au risque de sécheresse qui tarit les rivières ; aux Pays-Bas, le législateur interdit aux entreprises de BTP de faire travailler leurs employés si la température descend en dessous d’un certain seuil ; en France, l’actualité montre combien les stations de ski sont exposées à la douceur hivernale.
1.2 Le marché des dérivés climatiques 1.2.1 Ce que sont les dérivés climatiques
Reprenons la définition très complète proposée dans [AD06] : « les dérivés climatiques sont des produits qui rétribuent l’écart à une valeur de référence, et servent donc d’assurance contre une dérive anormale3. Par exemple, un dérivé climatique peut permettre à son détenteur de recevoir un montant fixe d’argent lorsque la température dépasse plus de 3˚C la température de référence officielle pour le jour ».
Cette définition fait implicitement appel à la notion d’indice climatique (ici la température) : il s’agit « d’une mesure physique liée au climat [...] et qui présente des valeurs que les activités humaines ne peuvent influencer ».
type de risque principaux indices part de marché
température Cooling Degree Days 95% (essentiellement HDD et CDD) Heating Degree Days
Energy Degree Days Growing Degree Days Variable Degree Days Critical Temperature Days
Average
Maximum / Minimum
précipitations Critical Rainy Days 3%
Successive Rainy Days
enneigement Critical Snowy Days 2%
Successive Snowy Days
ensoleillement Critical Sunny Days NA Successive Sunny Days
autres gel NA
force du vent
Tab.2 – principaux indices climatiques
3à la différence de l’assurance qui couvre un dommage, le dérivé climatique couvre un risque
Dans le tableau ci-dessus, nous offrons quelques exemples des principaux indices ainsi que la part du marché qu’ils occupent. Notez la part importante que représentent les Cooling Degree Days (CDD) et les Heating Degree Days (HDD) dont nous reparlerons par la suite.
1.2.2 Historique
Dans la suite de ce paragraphe, nous nous inspirons d’un mémoire de fin d’étude (voir [SP05]) auquel il est possible de se référer pour davantage de détails sur les mécanismes macro économiques.
Les dérivés climatiques sont apparus aux Etats-Unis en 1997 dans un contexte juridique de dérégulation du marché de l’énergie. Des compagnies comme Enron, Koch industry et Aquila furent les premières à réaliser des opérations4.
Bénéficiant d’une réelle dynamique concurrentielle de la part des gaziers et des électriciens, ces nouveaux produits se sont bien développés outre Atlantique, quoique restant en retrait par rapport aux marchés traditionnels. A coté des marchés OTC, seul le Chicago Mercantile Exchange (CME) propose très rapidement des contrats à terme et des options.
En Europe, il faut attendre 2001 pour qu’Euronext créé ses indices NextWeather sur la France avec pour ambition de les étendre à l’ensemble de l’Europe. En 2002, soit quelques mois avant son rachat par Euronext, le Liffe (London International Financial Futures Exchange) lance ses propres indices climatiques ainsi que des futures et des options sur les températures à Londres, Paris et Berlin. De son coté, Eurexchange décide de lancer 180 indices climatiques sur 30 villes de 19 pays d’Europe.
Mais la plupart de ces initiatives font long feu : en septembre 2003, Euronext retire ses contrats de la cote et renonce de facto à émettre des contrats à terme tout en se limitant à produire ses indices NextWeather aux seuls pays membres d’Euronext.
Dernier rebondissement en date : en novembre 2005, PowerNext, la filiale d’énergie d’Euronext lance 9 indices climatiques nationaux européens et 5 indices régionaux français, faut-il y voir les prémices à la cotation de contrats climatiques ?
D’un point de vue quantitatif, le volume actuel des transactions (hors CME) est de 50% en Amérique du Nord, 30% en Europe et 20% en Asie Pacifique.
1.2.3 Le marché organisé
Sur le Chicago Mercantile Exchange (CME), aujourd’hui le seul marché organisé de dérivés climatiques, la valeur des contrats traités en un an (glissant) entre 2005 et 2006 a dépassé 45 milliards de dollars. C’est cinq fois plus que la saison précédente.
Les sous jacents de ces contrats sont des indices de température HDD (Heating Degree Day) et CDD (Cooling Degree Day) qui mesurent l’écart de la température moyenne5 à une valeur de référence (généralement 65˚F, soit 18.3˚C).
Les indices HDD Ces indices sont calculés chaque année entre octobre et avril inclus. En clair, ils sont calculés en période hivernale afin de mesurer la demande de chaud (heat en anglais) de la part des consommateurs .
4la première opération fut initiée par la compagnie d’énergie américaine Enron en 1997 afin de couvrir son résultat contre un hiver trop clément
5 il s’agit généralement de la moyenne quotidienne entre la température la plus basse et la température la plus haute relevées de minuit le jour J à minuit le jour J+1
Formellement, il s’agit de la différence entre la température moyenne Ti et la température de référenceTref :
HDDn=
n
X
i=1
(Tref −Ti)+
Si l’hiver est rude, les températures moyennes sont très basses et le HDD est élevé, ce qui est conforme à la définition.
Les indices CDD Symétriquement aux HDD, les CDD sont calculés d’avril et octobre inclus afin de mesurer la demande de froid (cool) de la part des consommateurs. On a donc :
CDDn=
n
X
i=1
(Ti−Tref)+
On retiendra qu’un été très chaud entraîne un CDD élevé et qu’un hiver très froid entraîne un HDD élevé.
Les contrats à terme (futures) Les contrats à terme sont libellés en dollars pour les villes amé- ricaines et en livres pour les villes européennes. La taille de chacun d’entre eux est de 20$ (ou 20£) par degree day. Le cours du sous jacent peut donc être définit par :Sn= 20×
n
X
i=1
(Ti−Tref)+dans le cas du HDD.
Exemple : prenons le cas simple d’une compagnie distributrice d’électricité qui souhaiterait se protéger contre un hivers trop doux. Pour se couvrir contre un tel risque, la compagnie vend en octobre des futures à un cours S0 avec pour température de référence, la moyenne historique des températures.
– Si l’hiver est effectivement très froid ieST > S0, la compagnie compensera ses pertes relatives au payoff par une consommation plus importante d’électricité.
– Mais si l’hivers est plus doux que la normale (ST < S0), la compagnie réalisera un gain sur les contrats qui compensera le manque à gagner en terme de consommation.
Dans les deux cas, la compagnie parvient à lisser ses résultats par la vente de contrats futures.
Remarque : si durant la période hivernale les températures sont résolument trop basses, la compagnie peut encore décider de racheter ses contrats avant le terme initial en vue de réaliser une marge supplémentaire. Une telle position s’avèrerait purement spéculative puisque une baisse brutale des températures ne peut être exclus (la saison hivernale actuelle en atteste).
Les options “européennes” Reprenons l’exemple de notre compagnie d’électricité et posons nous la question de savoir ce qu’il adviendrait si l’hivers était particulièrement froid.
Dans ce cas, il n’est pas du tout certain que la compagnie puisse faire face à la demande de chaud de la part des consommateurs. En d’autres termes, il faut à la fois se protéger contre un hivers trop doux mais aussi contre un hivers trop rude.
Une solution permettant de répondre à ce double impératif peut consister en l’achat d’un Call sur HDD de prix d’exercice K1 et d’un Put sur HDD de prix d’exerciceK2 avec K1 < K2, ce qui constitue par définition un Strangle long.
Figure 1: couverture d’une compagnie d’électricité par un Strangle long
1.2.4 Le marché OTC
Le marché de gré à gré est beaucoup plus développé que le marché organisé car il permet aux investisseurs de structurer des couvertures “sur mesure” dans l’espace, dans le temps et en fonction des indices climatiques retenus : la température bien entendu6 mais aussi le vent, la pluie, la neige, etc.
Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples de produits que l’on rencontre sur les marchés OTC .
Les options avec cap et floor Ce sont des options dont le profil de gain présente un maximum (le cap rate) ou un minimum (le floor) permettant à l’acheteur de se couvrir contre des conditions climatiques défavorables à son activité.
A titre d’illustration, prenons l’exemple d’une station de sport d’hivers qui souhaite se protéger contre un hiver trop doux. Elle peut acheter un Put sur HDD de prix d’exerciceK , de tick 100$et dont le cap fixé àGmax.
Le profit & loss est donné par :
P&L=max 100×(K−HDD)+, Gmax
−prime
On se reportera à la page suivante pour visualiser l’allure d’un profit and loss sur un Put capé.
6 on retrouve les indices CDD et HDD mais aussi d’autres indices comme les Critical Event Day (CED) valant 1 si un facteur météo franchit un certain seuil et 0 sinon
Figure 2: couverture d’une station de ski par un Put capé
Les swaps Un swap reflète un accord contracté entre deux parties soumises à des risques opposés.
On retrouve le même fonctionnement qu’avec un swap de taux à cette différence près que seule l’une des parties procède au paiement à l’échéance.
Le collar Le collar est la combinaison d’une position longue sur un Call capé et d’une position courte sur un Put flooré. Ce produit est analogue à un swap comportant deux prix d’exerciceK1 et K2
Figure 3: exemple de collar sur HDD
1.3 Forces et faiblesses des dérivés climatiques 1.3.1 Les points forts
Incontestablement, les dérivés climatiques protègent l’activité des entreprises et ce, à différents égards :
– Protection contre une baisse du volume des ventes. Exemple : un vendeur de glace doit se prémunir contre un été trop frais
– Protection contre une hausse des coûts de production. Exemple : la teneur en sucre de la betterave dépend de l’ensoleillement. Une entreprise sucrière doit se protéger contre des tem- pératures trop basses et des précipitations abondantes
– Protection contre une baisse d’activité. Exemple : un opérateur d’éoliennes doit se prémunir contre des vents trop faibles.
– Protection contre un risque non couvert par les compagnies d’assurance.Exemple : un électri- cien couvre ses lignes contre la survenance d’une tempête.
En se protégeant contre les pertes et les manques à gagner, les entreprises parviennent à lisser leurs bénéfices et à réduire la volatilité. D’autant que pour celles cotées en bourse et faisant l’objet d’une appréciation de la part des agences de notation, ce lissage favorise une appréciation du rating. Sur ce sujet, Standard & Poors souligne7 l’intérêt des dérivés climatiques pour « diminuer la volatilité des résultats et améliorer [...] le profil financier des énergéticiens européens ».
Et que dire aussi de la loi NRE qui impose maintenant aux entreprises cotées d’expliquer com- ment elles gèrent leurs risques dans leur rapport annuel.
Mais ce n’est pas tout, les dérivés climatiques trouvent également une application dans le champ des opérations marketing. C’est ainsi qu’en 2005, Michelin a couvert son offre promotionnelle « garantie hivers doux » dont l’offre était la suivante : pour quatre pneus achetés entre le 1er novembre et le 20 décembre, le fabriquant s’engageait à verser un avoir de 50 euros si la température moyenne de la région restait supérieure à 7˚C.
L’hiver a été particulièrement froid et Michelin n’a pas eu à exercer son option.
Figure 4: campagne publicitaire pour l’opération marketing de Michelin
L’application la plus récente des dérivés climatiques concerne l’aide humanitaire. Dans son édition de mai 2006, le journalLes Echos révélait qu’Axa Ré avait mis en place le premier contrat d’assurance
7“Weather derivatives gives European energy utilities a sunnier outlook”, juillet 2003
pour l’aide humanitaire d’urgence : moyennant une prime de 930 000 dollars, une aide allant jusqu’à 7 millions devait être débloquée en cas de sécheresse durant la campagne agricole en Ethiopie.
Le PAM (Programme Alimentaire Mondial) étudie actuellement une protection semblable en Amérique centrale contre le risque d’excès de précipitations.
1.3.2 Les freins au développement des dérivés climatiques
Le premier obstacle au développement des dérivés climatiques est le risque de base c’est à dire le risque que l’indemnisation s’écarte du préjudice réel. En d’autres termes, il s’agit du risque que l’indice retenu soit mal corrélé à l’activité de l’entreprise.
Dans certains secteurs comme la consommation de bière ou de glaces, la variable explicative donne une bonne traduction en terme de ventes. Mais dans la plupart des autres secteurs, la dépendance entre l’activité et l’indice climatique est rarement linéaire, ce qui nécessite la construction d’indices climatiques « sur mesure ». De telles études sont généralement confiées à des banquiers, réassureurs ou à des cabinets spécialisés dans la gestion des risques.
C’est de cette façon qu’Axa Ré a créé en 2005 le Bevex (Beverage Index) dont la définition s’ap- parente aux HDD et CDD mais avec une température de référence fixée en fonction de la boisson pour laquelle l’indice est construit.
Il faut noter que le coût de telles expertises peut s’élever jusqu’à plusieurs dizaines de milliers d’euros (ce qui les rend dissuasives) en raison d’un travail d’analyse devant faire face à de nombreuses difficultés :
– la nécessité de traiter des données historiques avec un marché tout de même immature – le discernement dans l’influence des indices climatiques parmi les autres variables explicatives – la sensibilité des indices en fonction de la géographie de l’activité à protéger
– l’incomplétude du marché qui représente un frein à la modélisation
Le second obstacle au développement des dérivés climatiques est une mauvaise culture dans l’appré- ciation des risques. Dans son édition du 5 octobre dernier, le journal Les Echos titrait : « la dure conversion des industriels à la gestion de leur risque climatique »8.
Parfois le risque est connu mais il n’est pas couvert par des dérivés. Dans un document daté du 1er avril 2005, GDF indique que « les résultats du groupe sont affectés principalement par trois facteurs externes : le prix du pétrole, le taux de change entre l’euro et le dollar américain et les conditions climatiques. [...] Les conditions climatiques ont une incidence importante sur la consommation de gaz naturel, surtout la consommation des particuliers, qui est principalement utilisée pour le chauffage.
[Elles] ont donc un impact significatif sur les résultats du groupe ».
Pourtant, malgré ce constat très clair, l’entreprise justifie son immobilisme de la façon suivante :
« à long terme, ce risque est nul en espérance et par conséquent neutre pour GDF. A moyen terme, GDF accepte une volatilité de son résultat relative aux aléas climatiques ».
Quant à l’analyse des risques faite par EDF, on constate vite qu’elle est semblable. Le groupe relève bien une corrélation entre les écarts de températures et la consommation mais dans son document de base de juillet 2005, aucune mesure de couverture n’est proposée.
Seul Poweo, l’opérateur indépendant de gaz et d’électricité se couvre d’une façon plutôt astu- cieuse. Cette compagnie achète à terme une partie de ses besoins en électricité (en fonction des prévisions) et gère les reliquats par des opérations Spot sur Euronext.
8voir l’article complet en annexe
2 Les dérivés énergétiques
Les dérivés énergétiques sont plus anciens que les produits climatiques. Ils sont apparus il y a une vingtaine d’années à la faveur d’un changement de réglementation aboutissant à l’émergence de marchés.
Trois types d’acteurs se sont très rapidement intéressés à ces produits : – les sociétés dont l’énergie est au coeur de leur fonctionnement – les investisseurs
– les consommateurs 2.1 Caractéristiques
La principale caractéristique du marché de l’énergie est la grande volatilité des prix. Cela s’ex- plique pour différentes raisons :
– l’influence des conditions climatiques qui impactent la demande et donc le prix du marché – les coûts d’approvisionnement et de distribution qui sont fonction d’une consommation erra-
tique
– les difficultés de stockage et l’inhomogénéité géographique
Pour limiter ces effets, les pouvoirs publics ont pris un certain nombre de mesures visant à faciliter l’acheminement et le stockage des énergies. Mais cela ne suffit pas à stabiliser le prix de l’électricité, du gaz et du pétrole en raison d’une variabilité de la demande quasi permanente.
Fig.5 – comparaison des cours de différents produits à celui du pétrole
Le graphiquesupra compare différents prix du marché OTC : celui du sucre, de l’or, du pétrole et de l’indice S&P 500. Dans la mesure où les prix Spot sont négociés la veille de leur livraison, on peut affirmer qu’ils reflètent assez bien l’équilibre de l’offre et de la demande à court terme. Sur la figure ci-dessus, on constate que la plus grande volatilité est celle relative au cours du pétrole9. 2.2 Les marchés du pétrole et du gaz naturel
2.2.1 Le marché Spot
C’est le changement de réglementation dans la politique américaine qui a permis un développe- ment massif du marché Spot du gaz et du pétrole.
A titre d’illustration, le marché OTC du gaz qui était quasi inexistant au début des années 80 a atteint près de 80 % des échanges en dix ans pour finalement retomber à 35-40 % aujourdhui. On constate une évolution semblable pour le pétrole.
Le marché Spot est confronté à des difficultés liées à sa relative immaturité et à l’influence de facteurs exogènes que sont :
– la croissance économique – les conditions météorologiques
– le raffinage, le stockage et le transport
– les événements politiques et les décisions de l’OPEC (the Organization of Petroleum Exporting Countries)
Globalement, on compte une douzaine de marchés Spot pour le pétrole, d’ailleurs étroitement liés entre eux10.
Quant au prix du gaz, il est principalement fixé corrélativement aux trois plus grands marchés : celui des États-Unis, du Canada et du Mexique.
Notons qu’il n’y a pas d’arbitrage dû à la localisation et ce, en raison d’un contrôle étatique des transports de l’énergie, ce qui interdit toute compétition en la matière.
2.2.2 Risques de prix et produits dérivés
Pour se protéger contre la variabilité des prix de l’énergie, et face à la relative impuissance des pouvoirs publics, les énergéticiens ont développé des produits dérivés de couverture.
Les premiers contrats à terme portant sur le pétrole sont apparus en 1978 sur le marché américain Nymex (New York Mercantile Exchange) qui reste aujourdhui le premier marché spécialisé.
Les contrats de base Il s’agit des contrats usuels que nous avons évoqués en 1.2 à cette différence près que le sous jacent est le cours du produit énergétique (le prix du pétrole à un instant précis par exemple). Nous pouvons citer :
– les Calls / Puts – les Swaps – les Futures
– les options Crak (ou Spark) Spread
9en considérant l’effet spéculatif du cours du sucre à la fin 2000 comme valeur aberrante
10les spéculateurs ont tendance à profiter rapidement de l’opportunité d’arbitrage liée à la localisation des marchés
Ce qui intéresse les acteurs d’un marché, c’est plus la marge réalisée sur le produit que le prix du produit lui-même.
Pour se couvrir contre un risque de marge trop faible, il est tout à fait possible de combiner des options classiques. Mais cela peut vite s’avérer couteux et c’est pour cette raison que Nymex a pro- duit des options permettant d’avoir une marge fixe en agissant sur plusieurs produits simultanément.
Exemple :
Prenons le cas d’un raffineur ayant besoin de 2 barils d’huile brute pour obtenir un baril d’huile de chauffage et deux barils d’essence sans plomb.
S’il anticipe une hausse du cours de l’huile brute et concomitamment une stagnation du prix de l’essence (ie. il anticipe une baisse de sa marge), il lui est possible d’acheter une option Crack Spread permettant de fixer les prix de tous les produits simultanément.
En pratique, cela revient à acheter un Call sur l’huile brute et à vendre deux Puts : un sur l’huile de chauffage et l’autre sur l’essence sans plomb.
Les options Calendar Spread Le coût de stockage joue un rôle important dans l’évaluation du prix du gaz et du pétrole. Imaginons que l’on achète du pétrole en été et qu’on décide de le vendre en hiver lorsque la demande est la plus importante.
Si l’hiver est conforme aux normales saisonnières, cette opération s’avère infructueuse car le cours du pétrole est basé sur un historique intégrant le prix de stockage. Mais si l’hiver est excessivement rude, les prix du pétrole et du gaz évoluent à la hausse et l’exercice du droit d’option apporte une couverture intéressante
Les options Calendar Spread se basent sur ce raisonnement : elles correspondent à des options de type Call/Put de même prix d’exercice mais à des dates d’échéance différentes.
Exemple :
Une société estime que ses coûts de stockage sont plus chers que la marge qu’elle réalise en achetant en été et en vendant à terme en hiver.
Une solution à ce problème est l’achat d’un Calendar Spread Call de façon à disposer d’une quantité de pétrole en hiver à un prix fixé en été. Tout se passe donc comme si la société achetait en été pour vendre en hiver en payant une prime d’option assimilable à des coûts de stockage.
Les contrats VPP (Volumetric Production payment) Ces contrats sont en réalité des emprunts dont les remboursements sont effectués en quantité d’énergie11.
On peut en effet imaginer qu’un producteur de gaz ou de pétrole ait besoin de fonds et qu’il les emprunte à des investisseurs en échange d’une quantité d’énergie fixée à l’avance et livrable à terme.
La durée de ce type de contrat est généralement entre 3 et 5 ans.
On se reportera au tableau 3 pour avoir une idée des différentes stratégies de couverture.
2.3 Le marché de l’électricité
On retrouve sur ce marché les mêmes options que celles disponibles sur les marchés du pétrole et du gaz naturel. Il est même possible d’échanger des options Spark Spread (voir [HUL04] - Chap.9) dans le but ultime de couvrir le risque de prix.
11à l’instar d’un marché obligataire, un risque de défaut est introduit par une telle opération
acteurs risques de prix stratégies utilisés producteurs de pétrole prix bas vente d’un future ou d’un Put
raffineurs de pétrole prix haut du pétrole achat d’un future ou d’un Call prix de production bas vente d’un future ou d’un swap
ou achat d’un Put sur le pétrole faible marge de profit achat d’un Crack Spread sociétés de stockage prix d’achat élevé achat ou vente d’un Calendar Spread
ou prix de vente bas
distributeurs locaux de gaz prix instables achat d’un future, d’un Call ou prix de la vente en gros d’un contrat classique
plus haut que le détail
centrales de gaz faible marge de profit achat d’un Spark Spread les compagnies aériennes prix de carburant élevé achat d’un Swap
et les expéditeurs
Table 3: différentes stratégies permettant de se couvrir contre le risque de prix Deux différences pourtant essentielles distinguent les deux catégories de marchés.
Tout d’abord, le sous jacent ne peut être stocké et il circule quasi instantanément, ce qui com- plique l’évaluation en temps réel de son prix. Conséquence : certaines transactions peuvent être réévaluées plusieurs mois après une entente préalable !
Mais surtout, le marché de l’électricité est fortement corrélé aux conditions climatiques ce qui, comme nous l’avions longuement évoqué (voir 1), pose des problèmes en terme de livraison face à des besoins de consommation instables.
Tout ceci se traduit par des coûts élevés, d’autant plus élevés que les marchés tendent à se déré- guler, rendantde facto les prix des produits dérivés parfois inabordables.
A coté de ce risque de prix, il existe également un risque lié au fonctionnement d’une activité d’entreprise comme par exemple les transports ferroviaires. Dans ce cas, les produits que nous venons de décrire ne suffisent pas et il est préférable d’avoir recours à des dérivés climatiques, des contrats d’assurance ou encore des permis d’émissions négociables.
Ces permis constituent tout simplement des droits à émettre une certaine quantité de polluants pendant une période donnée. Initialement, ils avaient été mis en place pour favoriser une hausse des exigences environnementales (par une diminution des permis et donc par une baisse globale des émissions).
Notons simplement que ces permis peuvent être :
– utilisés pour avoir le droit d’émettre la quantité de polluants correspondante – échangés, vendus ou achetés
– mis en réserve pour une utilisation future (dans certains cas seulement)
Les intervenants sont évidemment les entreprises, parfois l’autorité régulatrice, mais également des courtiers, et même des particuliers ou des organisations environnementales qui veulent retirer des permis du marché (un permis retiré, cest autant de pollution non émise).
Part II
Modèles d’évaluation et application numérique
Nous nous proposons à présent d’étudier la valorisation des dérivés climatiques et énergétiques puis de commenter quelques résultats de simulations.
3 L’incomplétude du marché
Le principal problème dans l’évaluation de ces produits est que le sous-jacent n’est pas négociable sur un marché : on ne peut en effet ni acheter, ni vendre une température. Celà suffit à interdire l’application du modèle de Black & Scholes puisque des conditions de viabilité et de complétude du marché constituent des préalables nécessaires. En outre, la plupart des dérivés climatiques ont un caractère exotique : ils sont souvent capés et les flux futurs sont basés sur des moyennes du sous-jacent (ex : HDD).
Pour toutes ces raisons, nous sommes conduits à développer des méthodes basées sur l’analyse des données historiques.
Nous nous proposons tout d’abord d’étudier les méthodes estimant les indices tels que les HDD et les CDD. Nous étudierons ensuite des méthodes permettant de prévoir les températures. A chaque fois, nous vérifierons la pertience de ces méthode à l’aide d’applications numériques.
Nous faisons les hypothèses suivantes :
• nous sommes le 01/01/2004 et nous voulons estimer les prix des Calls sur HDD des mois janvier, avril, juillet et décembre 2004
• l’analyse porte sur les villes de Bordeaux et de Lyon (nous disposons des températures de ces deux villes du 01/01/1997 au 31/12/200312
• prix d’exercice du Call : K= 300
• taux sans risque : r = 0.02
• tick : κ= 1000$
• température de référence : 65˚F (18.2 ˚C) Remarques :
• On peut s’attendre à ce que les flux du mois de juillet soient nuls puisqu’on travaille sur les HDD (demande de chaud) avec une base de 65˚F
• On s’interesse ici aux primes pures des contrats. Il n’y a donc aucune primes de risque, ni de marge commerciale
12nous disposons également des températures de l’année 2004 pour vérifier les prix estimés
4 Le modèle normal
4.1 Descriptif du modèle
La première méthode d’évaluation est une approche actuarielle consistant à estimer la loi du sous- jacent (HDD, CDD...), calculer l’espérance du payoff actualisé et à charger cette espérance. De tels calculs sont indispensables si l’on souhaite se protéger contre la volatilité du sous-jacent ou si l’on veut établir une marge commerciale.
Prenons l’exemple du HDD et considèrons que :
(HDD | Ft)∼ N(µt, σt2)
Il s’agit d’une hypothèse de bon sens : la moyenne et la variance de la variable HDD dépen- dent d’une saisonnalité dont les caractéristiques se retrouvent dans la filtration naturelleFt. Il est évidemment invraisemblable de penser que la moyenne des HDD est la même durant une année.
Sous cette hypothèse de normalité, le prix du call sur HDD s’exprime de la manière suivante :
Call(HDD, t, K) = e−r(T−t).κ.E((HDD−K)+)
= e−r(T−t).κ.((µt−K)Φ(µt−K σt
) + σt
√
2πe−(µt
−K σt )2
)
oùκdésigne le tick, K le strike, T la maturité, r le taux sans risque etΦla fonction de répartition de la normale centrée réduite.
Ce simple calcul nous permet ainsi d’obtenir la prime pure du contrat. Il reste ensuite à appliquer une marge pour le risque comme par exemple le principe de la valeur espérée.
Sousles mêmes hypothèses, le prix du Put sur HDD s’exprime de la manière suivante :
P ut(HDD, t, K) = e−r(T−t)κE((K−HDD)+)
= e−r(T−t)κ[(K−µt)(Φ(K−µt
σt
)−Φ(−µt σt
)) + √σt
2π(e−(
K−µt σt )2
−e−(µtσt)2)]
4.2 Application numérique
Avant toute chose, nous devons “désaisonnaliser les données”. Pour ce faire, nous relevons les HDD des 84 mois références (12 mois sur 7 ans) et nous calculons leur moyenne mensuelle. La désaisonnal- isation des données s’obtient tout simplement en soustrayant aux 84 HDD leur moyenne sur chaque mois d’observation. Les données ainsi obtenues peuvent être considérées comme normales.
En calculant la moyenne et la variance, et en appliquant l’algorithme supra, on obtient les résultats suivants :
Bordeaux Lyon
Prix réel Prix estimé Prix réel Prix estimé Janvier 162173.8 175411.2 281408.7 278840.2
Avril 4945.6 2569.5 7628.5 7107.5
Juillet 0 0 0 0
Novembre 315.0 234.4 457.8 412.2
On note que les écarts-types des données désaisonnalisées sont égaux àσLyon= 71.96etσBord= 59.49et que les observations fournissent une bonne estimation des prix. Cependant, les prix des Calls de Lyon sont beaucoup mieux estimés que ceux de Bordeaux (notamment en avril et novembre).
Cela provient du fait que : σLyon > σBord et que les températures de Bordeaux en 2004 sont plus froides que la moyenne.
On peut tout de même conclure à une bonne fiabilité de cette méthode.
5 Les séries chronologiques
Une autre méthode d’évaluation consiste à utiliser les séries chronologiques. On rappelle que ces séries sont une suite ordonnée d’observations d’une variable aléatoire (température, pression, HDD...) au cours du temps. L’objectif est d’estimer les caractéristiques de la série chronologique sur un jeu de données en vue d’établir des prévisions de la variable.
Le principal avantage dans l’utilisation des série chronologiques réside dans le fait que l’on peut prendre en compte la saisonnalité ainsi que la tendance de la grandeur à estimer.
5.1 Le modèle
Précisons tout d’abord quelques définitions13 :
On appelle processus stationnaireARMA(p,q)((p, q)∈N2) , tout processus(Xt)ttel qu’il existe des constantesa1. . .p ,Θ1. . . Θp et un bruit faiblet de varianceσ2 tels que :
∀t≥0, Xt−
p
X
k=1
akXt−k
| {z } partie autorégressive
= t+
p
X
j=1
Θjt−j
| {z } partie moyenne mobile
Les modèles ARMA permettent d’étudier les processus stationnaires. Pour prendre en compte les tendances, on utilise les processusARIMA(p,q,d)((p, q, d)∈N3) . Il s’agit des processus(Xt)tels que :
(∆dXt)t= (Xt−Xt−d)t soit un processusARMA(p,q) stationnaire sachant que :
∆dXt = (1−B)dXt et queB Xt=Xt−1. B est l’opérateur retard.
Enfin, pour prendre en compte la saisonnalité, on définit les processusSARIMA : (Xt)test un processusSARIM A(p, q, d)x(P, Q, D)s de période s si :
Yt= ∆d∆Ds Xt= (1−B)d(1−Bs)DXt est un processusARMAde la forme :
A(B)F(Bs)Yt= Θ(B)G(Bs)t, avec Aest un polynôme de la forme :
13on se reportera à XXX pour plus de détails
A(z) = 1−Pp
k=1akzk
représentant la partie autorégressive, Θun polynôme de la forme : Θ(z) = 1 +Pp
k=1Θkzk
représentant la partie mobile. F et G désignent deux polynômes représentant la partie autore- gressive et la partie mobile de la saisonnalitéYt−Yt−1.
Nous nous intéressons à ce modèle pour modéliser le sous-jacent (température, pression, HDD...) et on utilise une méthode automatique pour minimiser le critère AIC (Akaike’s Information Criterion) afin d’obtenir les degrés du processusSARIMA.
5.2 Application numérique
Après calculs, on obtient les modèles suivants :
• Pour Lyon : le processus qui minimise le critère AIC est le processusSARIM A(0,0,1)(1,0,1)s=12. Il correspond aux polynômes suivants :
A(z) = 1 Θ(z) = 1 +θ1.z F(z) = 1−ϕ1.z,etG(z) = 1 +γ1z Ainsi, on obtient le processus suivant :
X(t)−ϕ1.X(t−12) =εt+θ1.εt−1+γ1.εt−12+θ1.γ1.εt−13. avec les constantes suivantes : ϕ1= 0.24, θ1=−0.959et de moyenne 352.47
• Pour Bordeaux : le processus qui minimise le critère AIC est le processusSARIM A(0,0,0)(1,0,2)s=12. Il correspond aux polynômes suivants :
A(z) = 1 Θ(z) = 1 F(z) = 1−ϕ1.z,etG(z) = 1 +γ1z+γ2z2 On obtient le processus suivant :
X(t)−ϕ1.X(t−12) =εt+γ1.εt−12+γ2.εt−24.
avec les constantes suivantes : ϕ1= 1, γ1=−1.304,γ2 = 0.3633et de moyenne 275.65
On constate que les modèles rejètent une tendance haussière des données. Naturellement, on ne peut faire aucune conclusion générale compte tenu de la periode observée (7 ans).
Grâce à ces modèles, on obtient les prix suivants :
Bordeaux Lyon
Prix réel Prix estimé Prix réel Prix estimé Janvier 162173.8 153959.6 281408.7 281654.9
Avril 4945.6 4827.0 7628.5 6519.5
Juillet 0 0 0 0
Novembre 315.0 307.8 457.8 406.3
On observe une très bonne modélisation des prix. Quelle que soit la ville ou la période d’observation, les prix des Calls sont bien modélisés.
Cette méthode apparaît donc très puissante sur nos données.
6 Le modèle d’Ornstein-Uhlenbeck
6.1 Le modèle
Une autre méthode, très développée dans les ouvrages, est celle d’une modélisation dynamique du sous-jacent. Il s’agit d’introduire un processus de retour à la moyenne de type Ornstein-Uhlenbeck.
L’équation régissant le processus de température(Tt)tdu modèle est la suivante : d(Tt−mt) =α(mt−Tt)dt+σdWt
avec :
• Tt la température à la date t
• mt la moyenne historique des températures pour la date t
• W un mouvement brownien standard
• σ la volatilité
• α la force de retour (constante).
La moyenne des températures a une forme bien particulière due au caractère saisonnier inconditionnel des fluctuations des températures :
mt=β0+β1t+β2sin(2π
365t) +β3cos(2π 365t)
La présence de cette moyenne dans le membre gauche de l’équation vérifié par T permet une convergence en moyenne vers cette composante saisonnière assez rapide. La solution de l’équation différentielle stochastique est :
∀0≤s≤t, Tt=mt+e−α(t−s)(Ts−ms) +σ Z t
0
e−α(t−u)dWuQ
On sait de plus que ce processus est gaussien de moyenne et de variance conditionnelle E(Tt/Fs) =mt+e−α(t−s)(Ts−ms)
et
V ar(Tt/Fs) = σ2
2α(1−e−2α(t−s))
Pour procéder à des simulations de Monte Carlo, il est indispensable de discrétiser l’équation différentielle vérifiée parT :
Tt+∆t−Tt=mt+∆t−mt+α(mt−Tt)∆t+σp
∆tt
Etant donné que les données historiques sont relevées chaque jour,∆test pris égal à1dans notre schéma de discrétisation. En posant par ailleurs : T˜t=Tt−mt, l’équation de discrétisation devient:
T˜t+1= (1−α) ˜Tt+σt
Les coefficients α et σ sont obtenus par régression linéaire des températures d’aujourd’hui sur les températures d’hier. La moyenne mt des températures est déterminée en faisant une nouvelle
régression linéaire des températures sur les jours et les 2 sinusoides. On détermine ainsi les 4 coefficientsβ0,β1,β2 etβ3.
Tous les paramètres étant estiumés, il maintenant aisé de procéder à des simulations de Monte Carlo Dans le cas oùTtest supérieur à 65˚F,HDD est un processus gaussien. En effet, le processus(Tt)t étant gaussien, la variableHDD (=Pn
i=1(65−Tti)+) suit encore une loi gaussienne N(µt, νt)où : µt=Pn
i=1E(Tti/Ft)−65net νt=
n
X
i=1
V ar(Tti/Ft) + 2
n
X
i6=j
Cov(Tti, Ttj/Ft)
On retrouve ainsi la normalité du modèle. La formule explicite du Call s’écrit alors : Call(HDD, t, K) =e−r(T−t)k((µt−K)Φ(µt−K
νt
) + νt
√2πe(µt
−K νt )2
)
Ce cas particulier peut être valide en été mais il est nécessaire d’utiliser une méthode par simu- lations de Monte Carlo le reste de l’année.
Il existe deux manières pour améliorer ce modèle, soit on ajoute une prime de risque, soit on introduit une fonction d’utilité de type exponentielle.
6.1.1 Prime de risque
En introduisant maintenant la prime de risqueλ(constante) sur le marché [YO03], l’équation régis- sant le processusT sous la probabilité Qest :
d(Tt−mt) =α(mt−Tt−λσ)dt+σdWtQ
L’expression de Tt, de son espérance et de sa variance conditionnelle devient :
∀0≤s≤t, T =mt+e−α(t−s)(Ts−ms)−λσ
α (1−e−α(t−s)) +σ Z t
0
e−α(t−u)dWuQ
EQ(Tt/Fs) =mt+e−α(t−s)(Ts−ms)−λσ
α (1−e−α(t−s))
V arQ(Tt/Fs) = σ2
2α(1−e−2α(t−s)) 6.1.2 Les fonctions d’utilité
La prime de risque λ est déterminée à partir de l’historique du prix des dérivés. Comme nous ne disposons pas de telles données, nous utilisons la méthode proposée par Pauline Barrieu dans son mémoire (voir [BAR02]).
On suppose que les investisseurs ont une fonction d’utilité exponentielle de la forme : u(x) =−γ1e−γx
Ainsi le prix du call sur HDD s’exprime de la façon suivante : Call(HDD, t, K) =−1
γ ln(E(e−γ(HDD−K)+))e−r(T−t)k
Le coefficientγ représente l’aversion au risque de l’acheteur potentiel. C’est là une autre manière d’incorporer le risque et de trouver le "prix d’indifférence".
6.2 Application numérique
Il faut tout d’abord estimer (pour les deux villes) les paramètres de l’équation:
m(t) =β0+β1t+β2cos(2πt365) +β3sin(3652πt) On obtient par régression linéaire les paramètres suivants:
β0 β1 β2saisonalité β3
Lyon 55.14 0.0004326 -4.472 -15.96
Bordeaux 57.93 0.000166 -4.415 -12.53
Les tests révèlent que les constantesβ1de Lyon et de Bordeaux peuvent être considérées comme nulles. On aboutit donc aux mêmes conclusions qu’avec les séries chronologiques ie on ne peut pas conclure à une tendance sur ces données.
On obtient les graphes suivants :
0 500 1000 1500 2000 2500
30405060708090
Date
Températures (°F)
0 500 1000 1500 2000 2500
2030405060708090
Date
Températures (°F)
Températures réelles et estimées deBordeaux Températures réelles et estimées deLyon Remarque : attention au fait que les échelles des températures sont différentes.
On constate sur le graphe supra que les températures hivernales et estivales sont plus volatiles que les celles du printemps et de l’automne. On peut légitimement penser que les estimations sont moins difficiles pour les deux dernières saisons.
Il reste à estimerα etσ. On obtient :
α σ
Bordeaux 0.223 3.794
Lyon 0.2 3.927
On peut donc comparer les prix estimés par cette méthode.
Bordeaux Lyon
Prix réel Prix estimé Prix réel Prix estimé Janvier 162173.8 173142.0 281408.7 262783.2
Avril 4945.6 0 7628.5 0
Juillet 0 0 0 0
Novembre 315.0 91.1 457.8 262.8184
On observe que les prix estimés sont ne correspondent absolument pas aux prix réels, ce qui nous conduit à estimer les températures d’un mois donné en utilisant les valeurs relevées le mois précédent jusqu’au mois suivant.
On obtient les résultats suivants :
Bordeaux Lyon
Prix réel Prix estimé Prix réel Prix estimé Janvier 162173.8 196048.9 281408.7 287291.6
Avril 4945.6 0 7628.5 2970.50
Juillet 0 0 0 0
Novembre 315.0 161.1 457.8 319.6
On constate que ces résultats sont meilleurs mais encore loin des résultats obtenus avec les séries chronologiques. Ils peuvent cependant être améliorés par d’autres paramétrisation dem(t). En effet, on peut penser qu’en adaptant les formules dem(t) au mois recherché, on puisse avoir de meilleurs résultats (forme linéaire pour le printemps et l’automne ou forme quadratique pour l’été et l’hiver).
7 Autres pistes de volarisation
Il faut bien garder à l’esprit que l’objectif des trois méthodes que nous venons de détailler est de modéliser la température ou l’indice de température à partir des données historiques. Toutes ces méthodes prennent en compte le caractère saisonnier du sous-jacent.
Grâce aux applications numériques, on sait que la méthode par séries chronologiques est la meilleure pour le jeu de données considéré. D’autres méthodes peuvent également être utilisées pour valoriser les dérivés climatiques. On pense notamment aux séries chronologiques pour estimer directement les températures bien que celà puisse s’avèrer couteux d’un point de vue algorithmique.
Il est encore possible d’adapter la formule de Black & Scholes en "répliquant" le sous-jacent à l’aide des produits les plus liquides du marché comme les swaps (et ainsi contourner l’absence de liquidité du sous-jacent).
8 Conclusion
Les dérivés climatiques et énergétiques répondent efficacement à des besoins spécifiques de couver- ture. Ils connaissent de nombreuses applications allant même jusqu’au financement d’opérations marketing.
Cependant, le marché étant récent (et donc immature), il existe plusieurs déséquilibres. Le principal est d’ordre géographique et sur ce point, le marché américain est beaucoup plus développé que le marché européen.
Plusieurs raisons peuvent être mises en avant :
• on observe une plus grande volatilité des températures dans certaines régions nord-américaines.
Ceci justifie l’existence et la plus grande liquidité des couvertures.
• pour des raisons historiques, l’ouverture des marchés énergétiques est nettement plus aboutie aux Etats-Unis. Cette concurrence favorise le développement des dérivés climatiques et én- ergétiques.
Le deuxième déséquilibre est dû à l’asymétrie de la demande. Pour le moment, les agents économiques utilisent majoritairement les dérivés climatiques et énergétiques en vue de se couvrir. On peut pren- dre l’exemple des stations de skis qui se protègent contre un hiver trop doux. Ce déséquilibre entraine une hausse des prix et donc une liquidité restreinte des produits dérivés.
Outre les difficultés de pricing que nous avons relevé, s’ajoutent le problème de la non-stantardisation des indices. Le marché européen est pour le moment exclusivement de gré à gré et chaque agent définit un indice personnalisé afin de se couvrir de façon optimale. Ceci implique une étude person- nalisée qui s’avère couteuse en études d’analyses statistiques.
D’un autre coté, l’ouverture du marché énergétique en Europe est un moteur dans l’émergence des dérivés climatiques et énergétiques. L’accentuation de la concurrence, l’émergence de nouveaux acteurs ainsi que les ouvertures de capitaux devraient créer un contexte favorable à une demande croissante en couvertures climatiques.
Ces nouveaux acteurs peuvent également contribuer à un rééquilibrage du marché entre acheteurs et vendeurs et entraîner de facto une atténuation de l’asymétrie. On peut par exemple prendre la divergence des centres d’intérêt d’une société de BTP et d’une station de ski puisque le premier court le risque d’être touché par un hiver rude tandis que le deuxième bénéficie de la tendance.
En considérant que le développement des ces dérivés passe par un effort marketing et de commu- nication envers les industriels, la croissance de PowerNext est un signal encourageant. De façon plus générale, ces dérivés peuvent être le support d’offres marketing . On pense notamment, à l’opération réalisée par l’enseigne de grande distribution “Champion” qui finança une opération publicitaire par des dérivés climatiques : elle promettait le remboursement de glaces si la température atteignait les 31˚C le 31 aout. Au final, quelles que soient les températures de cette journée, les dépenses liées à cette offre promotionelle seront égales aux primes du contrat de couverture.
A terme, le marché s’équillibrant, on peut imaginer la standardisation de nouveaux indices reposant sur les chutes de neiges ou même la pluviométrie. Une fois le marché mature, on peut penser que l’utilisation de ces produits en tant qu’investissement alternatif sera plus courante .
References
[SP05] Smadja, P., A.Y. Pont (2005) “Quel avenir pour les dérivés climatiques en Europe ?”
[HUL04] Hull, J. (2004) “Options, futures et autres actifs dérivés”, 5ème édition,Pearson Education [YO03] Yoo, S. (2003) “Weather derivatives and seasonal forecast”
[AD06] Argaud, J.P., O. Dubois (2006) “Méthodes mathématiques pour la finance”
[BAR02] Barrieu, P. (2002) “Produits dérivés météorologiques et environnement”
ANNEXES
Démonstrations
Modèle normal Vérifions que si
HDD | Ft∼ N(µt, σt2) alors
Call(HDD, t, K) =e−r(T−t)kE((HDD−K)+) =e−r(T−t)k((µt−K)Φ(µt−K
σt ) + σt
√2πe(µt
−K σt )2
)
où kdésigne le tick,K le strike,T la maturité, r le taux sans risque.
E = Z ∞
K
(x−K)fHDD(x) = Z ∞
K
(x−K)e−
(x−µt)2 2σ2
t
p2πσt2 dx on pose u= x−µt
σt
= Z ∞
K−µt σt
(uσt+µt−K)e−u
2
√ 2
2πdu=σt Z ∞
K−µt σt
ue−u
2
√ 2
2πdu+ (µt−K) Z ∞
K−µt σt
e−u
2
√ 2
2πdu
= σt
√2π[−e−u
2 2 ]∞K−µt
σt
+ (µt−K)(1−Φ(K−µt σt
))
= σt
√2πe−
(K−µt)2 2σ2
t + (µt−K)Φ(−K−µt σt ) De même on obtient la formule du put :
P ut(HDD, t, K) = e−r(T−t)κE((K−HDD)+)
= e−r(T−t)κ[(K−µt)(Φ(K−µt
σt )−Φ(−µt
σt )) + σt
√2π(e−(
K−µt σt )2
−e−(µtσt)2)]
Puisque
E = Z K
0
(K−x)fHDD(x) = Z K
0
(K−x)e−
(x−µt)2 2σ2
t
p2πσ2t dx on pose u= x−µt
σt
=
Z K−µt
σt
−µt σt
(K−uσt−µt)e−u
2
√ 2
2πdu=−σt
Z K−µt
σt
−µt σt
ue−u
2
√ 2
2πdu+ (K−µt)
Z K−µt
σt
−µt σt
e−u
2
√ 2
2πdu
= σt
√2π[−e−u
2 2 ]
K−µt σt
−µt σt
+ (µt−K)(Φ(K−µt σt
)−Φ(−µt σt
))
= √σt
2π(e−
(K−µt)2 2σ2
t −e−
(−µt)2 2σ2
t ) + (µt−K)(Φ(K−µt
σt )−Φ(−µt σt ))
Modèle d’Ornstein-Uhlenbeck Montrons que si
d(Tt−mt) =α(mt−Tt−λσ)dt+σdWtQ on a alors
∀0≤s≤t, Tt=mt+e−α(t−s)(Ts−ms)−λσ
α (1−e−α(t−s)) +σ Z t
0
e−α(t−u)dWu
EQ(Tt/Fs) =mt+e−α(t−s)(Ts−ms)−λσ
α (1−e−α(t−s))
V arQ(Tt/Fs) = σ2
2α(1−e−2α(t−s)) On définit le processus(Xt)tpar
Tt−mt Ainsi l’EDS devient :
dXt= (−αXt−λσ)dt+σdWtQ
On pose f(t, x) = xeαt. On sait que f est deux fois continument dérivable par rapport à x et une fois par rapport àt. On obtient fx0(t, x) =eαt,fxx00 (t, x) = 0 etft0(t, x) =αxeαt. En appliquant la formule d’Itô, on trouve :
df(t, Xt) = (αXteαt+ (−αXt−λσ)eαt)dt+σeαtdWtQ dYt = −λσeαtdt+σeαtdWtQ
Yt−Ys = −λσ Z t
s
eαudu+σ Z t
s
eαudWuQ
Xteαt = Xseαs−λσ
α [eαu]ts+σ Z t
s
eαudWuQ
Tt−mt = (Ts−ms)e−α(t−s)−λσ
α (eαt−eαs)e−αt+σeαt Z t
s
eαudWuQ
Tt = mt+ (Ts−ms)e−α(t−s)− λσ
α (1−e−α(t−s)) +σ Z t
s
e−α(t−u)dWuQ
Or on remarque que σRt
se−α(t−u)dWuQ est une intégrale de Wiener, dont on connait beaucoup de propriétés. C’est un processus gaussien centré de varianceσ2Rt
se−2α(t−u)du= 2ασ2(1−e−2α(t−s)).
Ainsi on retrouve les expressions des deux premiers moments.
Figure 6: exemple de contratfuture sur le CME
Figure 7: exemple d’une option avec plancher sur le CME
