Seconde 2019 - 2020 Exercices : Vecteurs
Étude 3 : Au gré du vent
1. Les vents du mardi et du mercredi ont la mêmedirectionet le mêmesensmais ils n’ont pas la même force
2. Les vents du lundi et du vendredi ont la mêmedirectionet la même force mais ils ont dessens opposés 3. Les vents du lundi et du mercredi ont la même force mais pas la mêmedirection
Étude 4 : Au gré du vent Voir la vidéo
1. On peut écrire par exemple : ~u=~v=~l ou ~i=~n ou m~ =w~ 2. Vendredi dernier, le ballon rouge s’est déplacé de la position
¬
vers la position
.• Nadia affirme que le ballon rouge s’est déplacé en suivant le vent~u;
• Pierre affirme que le ballon rouge s’est déplacé en suivant le vent~spuis le vent~t.
Les deux ont raison. Dans les deux cas, le ballon arrive au même endroit.
3.
~ u = ~ s + ~ t ~ q + ~ p =~ r ~ t = ~ j +~ s 2 ~ t = ~ j +~ u
==================
Correction 1==================
On considère une carte maritime.
On noteB la position initiale d’un bateau.
Durant une journée souffle le ventv~1puis le lendemain le ventv~2.
1. Quelle est la position du bateau après les deux jours de vent ?Le bateau arrive enB0
2. Que se passe-t-il si on inverse l’ordre des vents ? Le bateau arrive enB0aussi
On peut écrire : v~1+v~2=v~2+v~1 B
−
→v1
−→v2
−
→v1
−→v2 B0
−→v2
−
→v1
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Correction 2==================
1. Donner tous les vecteurs égaux à−→
F E −→
F E =−−→
AO=−−→
OE=−→
BC 2. Donner les vecteurs opposés au vecteur−−→
DC Un vecteur opposé à−−→
DC est, par exemple−−→
C D On peut écrire−−−→
DC =−−→
C D On a alors :−−−→
DC=−−→
C D=−−→
BO=−−→
OE=−→
AF
3. Donner deux vecteurs dont l’un est le double de l’autre.
−−→ADest le double de−−→
AO On peut écrire :−−→
AD=2−−→
AO 4. Donner deux vecteurs dont l’un est la moitié de l’autre.
À l’inverse,−−→
AOest la moitié de−−→
AD On peut écrire :−−→
AO=1 2
−−→AD
5. Donner un vecteur qui peut s’écrire comme la somme de deux autres.
Par exemple avec le vecteur−−→
AD: −−→
AD=−−→
AO+−−→
OD. Mais on a aussi :
−−→AD=−−→
AO+−−→
AO ou encore :−−→
AD=−→
F E+−→
BC . . . Enfin, plus alambiqué : −−→
AD=−→
AB+−−→
B D. . .
==================
Correction 3==================
1. A partir de la figure ci-contre, citer un vecteur : a) opposé à−−→
C D −−→
DC ou ~p
b) de même direction et de même sens que−→
AC: w~ c) de même direction que−→
BC mais de sens contraire : ~t d) égal au vecteur−→
B A: −→
B A=−→ v 2. 3−→
m=−→
AC ou encore −→ m=1
3
−→AC
3. 2−→ u =−→
BC 4. 3−→
u =−−→
B D+−→ m 5. 2−→
u+3 2
−
→w=−→
v ou encore 2−→ v =4→−
u +3−→ w
A+
B+ C+ D+
~ u
~v
~ w
~r
~s
~t
~ p
~ m
==================
Correction 4==================
1. −−→
AO+−−→
OB=−→
AB 2. −−→
O A+−→
AB+−→
BC =−−→
OC 3. −→
E F+−−→
OB=−→
E F+−→
F A=−→
E A 4. −−→
O A+−−→
OC=−−→
O A+−→
AB=−−→
OB
5. −−→
O A+−→
AF =−−→
OF=−−→
CO 6. −→
C B−−→
F A=−→
C B+−→
AF =−−→
CO 7. 2−−→
DO+−−→
F O=−−→
D A+−→
AB =−−→
DB 8. 2−−→
F O+−−→
O A=−→
F C+−→
C B=−→
F B
==================
Correction 5==================
A
B C
−
→u
−
→v
−3−→v E
1, 5−−→
BC
J
3 7→−u
F
2−→u 3−→v
− G
→u
−2→−v H
3−−→
B A I
1. Placer le pointEtel que−→
AE= −3→− v. 2. Placer le pointJtel que−→
B J=1, 5−→
BC. 3. Placer le pointF tel que−→
B F=37−→ u.
4. Placer le pointGtel que−→
AG=2−→ u+3−→
v. 5. Placer le pointHtel que−−→
B H=−→ u−2→−
v. 6. Placer le pointItel que−→
I A=3−→
AB ou −→
AI =3−→
B A.
==================
Correction 6==================
O →−ı
−
→
E A
K
D C
L N
F G H
B
Dans le repère (O;~i,~j) ci-contre, on a lescoordonnées du vecteur−−→
AK µ5
1
¶ . Lire les coordonnées des vecteurs :
−−→DE µ3
1
¶ −−→
H B µ3
1
¶
−−→AD µ7
0
¶ −−→
D A µ−7
0
¶
−−→OC µ3
2
¶ −→
LG µ 0
−3
¶
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Correction 7==================
On se place dans un repère orthonormé.
On considère les pointsM(−3 ; 6),N(5 ;−1),P(11 ; 0),Q(3 ; 7) etR(−10 ; 5).
Montrer que−−→
M N=−−→
QP. Que peut-on en déduire ?
On commence par calculer les coordonnées des deux vecteurs :
−−→M N :
µ xN−xM
yN−yM
¶
=
µ 5−(−3)
−1−6
¶
= µ 8
−7
¶ . QP−−→:
µ xP−xQ yP−yQ
¶
=
µ 11−3 0−7
¶
= µ 8
−7
¶ .
On a bien−−→
M N=−−→
QP et ainsi le quadrilatèreM N PQest un parallélogramme.
On pourrait vérifier si ce quadrilatère est un rectangle en calculant les longueurs des diagonales. . .
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Correction 8==================
On se place dans un repère orthonormé. On donne les points A(−1 ; 3),B(−2 ;−4) etE(5 ; 0).
Déterminer les coordonnées du pointF tel queAB E F soit un parallélogramme.
Pour queAB E F soit un parallélogramme il faudrait que−→
AB =−→
F E (par exemple).
On commence par calculer les coordonnées du vecteur−→
AB :
−→AB :
µ xB−xA yB−yA
¶
=
µ −2−(−1)
−4−3
¶
= µ −1
−7
¶ .
Pour les coordonnées du vecteur−→
F Eon a deux inconnues : xF etyF :
−→F E :
µ xE−xF
yE−yF
¶
=
µ 5−xF
0−yF
¶
Pour queAB E F soit un parallélogramme il faudrait que−→
AB=−→
F E. On obtient donc deux petites équations : 5−xF = −1 et 0−yF= −7 Ainsi : xF=6 et yF=7
Pour queAB E F soit un parallélogramme il faut que le pointF ait pour coordonnéesF(6 ; 7).
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Correction 9==================
Soient, dans un repère orthonormé, les points A(1 ;−2) ;B µ
0 ;3 2
¶
etC(2 ; 1).
1. Calculer les coordonnées des vecteurs−→
AB et−→
AC.
−→AB:
µ xB−xA yB−yA
¶
=
0−1 3
2−(−2)
=
−1 3 2+4
2
=
−1 7 2
ou
µ −1 3, 5
¶
si vous n’aimez pas les fractions.
−→AC:
µ xC−xA yC−yA
¶
=
µ 2−1 1−(−2)
¶
= µ 1
3
¶ .
2. Déterminer les coordonnées du pointDtel que−→
AB+−→
AC=−−→
AD.
−→AB+−→
AC : µ −1
3, 5
¶ +
µ 1 3
¶
= µ 0
6, 5
¶
−−→AD:
µ xD−xA
yD−yA
¶
=
µ xD−1 yD−(−2)
¶
=
µ xD−1 yD+2
¶ . On obtient donc deux petites équations :
xD−1=0 et yD+2=6, 5 Ainsi : xD=1 et yD =4, 5 Le pointDa pour coordonnéesD(1 ; 4, 5).
Le plan est muni d’un repère (O;I,J).
1. Lire les coordonnées des vecteurs~u,~v etw~.
~ u
µ2 4
¶
~v µ 3
−2
¶
~ w
µ2 4
¶
2. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants.
a) ~u+~v
µ 2+3 4+(−2)
¶
= µ5
2
¶
b) ~u−~v
µ 2−3 4−(−2)
¶
= µ−1
6
¶
c) ~u+w~ µ2+2
4+4
¶
= µ4
8
¶
d) ~u−w~ µ2−2
4−4
¶
= µ0
0
¶
+I + J O
~ u
~v
~ w
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Correction 11==================
On se place dans un repère orthonormé. Dans chaque cas, dire si les vecteurs~uet~v sont colinéaires :
1. ~u µ 5
−12
¶ et~v
µ 10
−24
¶
2. ~u µ 15
−12
¶ et~v
µ 2
−1.5
¶
3. ~u
− 2 733 22
et~v
10
7
−15 4
On cherche si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles
Plusieurs façons de voir les choses :
• On regarde si les produits en croix sont égaux ;
• On cherche un éventuel coefficient de proportionnalité.
1. Pour passer de 5 à 10 on multiplie par 2 et aussi pour passer de−12 à−24. Les deux vecteurs proposés sont donc colinéaires.
2. Produits en croix :15×(−1, 5)= −22, 5 et −12×2= −24.
Les produits en croix ne sont pas égaux donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
3. Produits en croix :− 2
33×(−15
4 )= − 2
3×11×(−5×3
2×2)= 5
11×2= 5
22 et 7 22×10
7 =10 22. Les produits en croix ne sont pas égaux donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
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Correction 12==================
On se place dans un repère orthonormé. Soient les points A(−2 ; 0),B(4 ; 3),C(3 ;−2) etD(1 ;−3).
Les droites (AB) et (C D) sont-elles parallèles ?
Le plus simple est de calculer les coordonnées des vecteurs−→
AB et−−→
C Dpuis de regarder s’ils sont colinéaires :
• −→
AB
µ4−(−2) 3−0
¶
= µ6
3
¶
• −−→
C D
µ 1−3
−3−(−2)
¶
= µ−2
−1
¶
Si l’on multiplie les coordonnées du vecteur−−→
C Dpar−3 on obtient les coordonnées du vecteur−→
AB donc les vecteurs−→
AB et−−→
C Dsont colinéaires ce qui prouve que les droites (AB) et (C D) sont parallèles.
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Correction 13==================
On se place dans un repère orthonormé. Soient les pointsE(−1 ;−2),F(3 ; 1),G(−3 ;−3.5) etH(5 ; 2).
1. Démontrer que les pointsE,F etGsont alignés.
2. Les pointsE,F etHsont-ils alignés ?
1. Pour démontrer que les pointsE,F etG sont alignés on peut montrer que les droites (E F) et (F G) sont parallèles en, puisqu’elles ont un point commun (le pointF), elles seront donc confondues.
Le plus simple est de calculer les coordonnées des vecteurs−→
E F et−→
F Gpuis de regarder s’ils sont coli- néaires :
• −→
E F
µ3−(−1) 1−(−2)
¶
= µ4
3
¶
• −→
F G
µ −3−3
−3, 5−1
¶
= µ −6
−4, 5
¶
Si l’on multiplie les coordonnées du vecteur−→
E F par−1, 5 on obtient les coordonnées du vecteur−→
F G donc les vecteurs−→
E F et−→
F Gsont colinéaires ce qui prouve que les droites (E F) et (F G) sont parallèles puis les pointsE,F etGsont alignés.
2. Même méthode que précédemment :
• −→
E F
µ3−(−1) 1−(−2)
¶
= µ4
3
¶
• −−→
F H µ5−3
2−1
¶
= µ3
1
¶
Les vecteurs−→
E F et−−→
F Hne sont pas colinéaires ce qui prouve que les droites (E F) et (F H) ne sont pas parallèles ainsi les pointsE,F etHne sont pas alignés.
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Correction 14==================
Le plan étant muni d’un repère orthonormal (0;~i,~j), on considère les pointsA(2; 4),B(1; 3) etC(4; 2).
x y
−
→ı
−
→ 0
A B
C D
1. Placer les points A BetC et compléter la figure au fur et à mesure.
2. Le pointDest l’image deApar la translation de vecteur−→
BC. a) Construire le pointD.
b) Donner la nature du quadrilatèreABC D. On a−−→
AD=−→
BC, doncABC Dest un parallélogramme.
3. Déterminer les coordonnées des vecteurs−→
AB,−→
ACet−→
BC. On a :−→
AB µ−1
−1
¶ ,−→
AC µ 2
−2
¶ et−→
BC µ 3
−1
¶ . 4. Calculer alorsAB, ACetBC.
En utilisant la formule du cours, on a :AB =p
2, AC=p 8=2p
2 et BC =p
10.
5. Quelle est la nature du triangle ABC?
On a AB2 = 2, AC2 = 8 et BC2 = 10 d’après le 4). On a alors : AB2+AC2=BC2, donc d’après la réciproque de Pythagore, le tri- angle ABC est rectangle enA.
