T8 : Conduction thermique

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ATS ATS

Jules Ferry

TD 8 : Conduction thermique

^T8

Exercice 1 : Modélisation d'une fenêtre par temps calme

On considère un appartement de température intérieure T_i qui occupe l'espace x<0 . Il est séparé de l'air extérieur à la température T_amb<T_i par une fenêtre d'épaisseur e, en verre, de conductivité thermique λ .

On appelle T(x) l'évolution du champ de température au sein de la fenêtre ( 0≤x≤e) en régime permanent.

On suppose une journée calme d'hiver : il n'y a pas de vent. Le contact thermique avec l'air extérieur n'est alors pas parfait : T_e=T(x=e)≠T_amb et un phénomène conducto-convectif s'installe au niveau du bord extérieur de la fenêtre, modélisé par la loi de Newton : ⃗j_th(x=e)=h(T_e−T_amb) ⃗e_x où h est une constante.

1. Donner l'unité de h.

2. Déterminer l'évolution T(x) en régime permanent en fonction de e, T_e et T_i . 3. En déduire la valeur de T_e en fonction des paramètres du problème.

Exercice 2 : Isolation d'un étage et double vitrage

On considère un appartement occupant un étage dans une tour. On considère que l'isolation thermique est parfaite entre chaque étage.

Les murs séparant l'appartement de l'extérieur sont constitués d'une épaisseur E_b=30cm de béton doublée d'une épaisseur E_l=10cm de laine de verre, la surface de ces murs est S_M=300m².

Des ouvertures vitrées d'une surface totale S_V=60m² sont réalisées en double vitrage : deux vitres en verre d'une épaisseur e=1mm chacune séparées par une épaisseur e_a=2mm d'air sec.

La température dans l'appartement est θi=20° C et la température extérieure est θe=5° C . 1. Évaluer la puissance thermique transmise entre l'intérieur et l'extérieur.

2. Calculer le rapport des pertes thermiques au niveau de la fenêtre entre simple et double vitrage en supposant un simple vitrage d'épaisseur e '=4mm de verre.

Données : conductivités thermiques λ_béton=0,76W.m⁻¹.K⁻¹ ; λ_verre=0,78W.m⁻¹.K⁻¹ ; λlaine de verre=0,04W.m⁻¹.K⁻¹ ; λair=0,02W.m⁻¹.K⁻¹.

Exercice 3 : Sensation de froid ou de chaud

T(x)

T_i T_amb

x =0 x =e x

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Exercice 4 : Onde thermique – Étude d'une cave (TD-cours)

Le sol est considéré comme un milieu semi-infini, homogène, de conductivité thermique λ, de masse volumique μ , de capacité thermique massique c, situé dans le demi-espace _x>0.

On suppose que la température de la surface du sol (plan _x=0) est soumise à des variations sinusoïdales : T_s(t)=T₀+T₁cos(ωt).

On cherche à étudier le champ de température dans le sol T(x , t), en régime sinusoïdal forcé, appelée onde thermique. Pour cela, on appelle θ(x , t)=T(x ,t)−T0 les fluctuations de température autour de la température moyenne T₀ . L'équation de la diffusion thermique étant linéaire, on utilise la méthode complexe avec

θ(x , t)=θm(x)eⁱ^ω^t.

1. Rappeler l'équation de la diffusion thermique ainsi que l'expression du coefficient de diffusion thermique a.

2. En déduire l'équation différentielle qui régit l'évolution spatiale de θ_m(x).

3. On cherche une solution sous la forme θ_m(x)=θ_me^{r x} où θ_m est une constante réelle et r complexe.

Montrer que r prend la forme r=±1+i

√

²

√

^ω^a . Montrer qu'une des deux solutions n'est pas physique car elle diverge quand x→∞.

4. Exprimer alors θ(x , t) puis θ(x , t). Montrer que les fluctuations de température sont atténuées dans le sol avec une distance caractéristique δ(ω) appelée épaisseur de peau.

5. En prenant un coefficient de diffusion thermique du sol a=0,28.10⁻⁶m².s⁻¹, déterminer les valeurs des épaisseurs de peau δ1 et δ2 pour les fluctuations thermiques quotidiennes (alternance jour/nuit) puis annuelles (alternance des saisons).

Conclure quant à l'intérêt d'une cave.

Remarques :

1. on obtient pour θ(x , t) une onde plane progressive atténuée ;

2. cette atténuation sur une distance caractéristique δ(ω), appelée épaisseur de peau, est une propriété générale d'une onde dont l'évolution spatio-temporelle est régie par une équation de diffusion ;

3. on retrouve l'ordre de grandeur de δ(ω) en utilisant a∼L² τ .

Pour aller plus loin …

Exercice 5 : Isolation d'une canalisation

Une canalisation en acier de faible épaisseur, de rayon extérieur R₁=2cm et de longueur L=30m, transporte de l'eau à la température T_i=90° C .

Pour diminuer les déperditions thermiques, on entoure la canalisation d'un manchon isolant d'épaisseur e=4cm en laine de verre de conductivité thermique λ_laine=0,04W.m⁻¹.K⁻¹. La température de la surface extérieure du manchon (en R₂=R₁+e) est T_e=30° C .

On se place en régime permanent et on néglige la résistance thermique de la canalisation d'acier. On suppose que la température interne T_i de l'eau reste constante sur la longueur L.

On s'intéresse à l'évolution du champ de température au sein de l'isolant : T(r ,θ, z) en coordonnées cylindriques ; par symétrie du problème, on peut affirmer que T(r ,θ, z)=T(r) : invariance du problème par rotation autour de l'axe de symétrie de la canalisation et par translation suivant cet axe.

1. Rappeler l'équation de la chaleur en géométrie quelconque.

2. Déterminer l'évolution T(r) au sein de l'isolant en fonction des données.

3. Montrer que la résistance thermique de l'isolant prend la forme R_th=ln(R₂/R₁) 2π λL .

Données : utiliser le formulaire pour les expressions du laplacien et du gradient en coordonnées cylindriques.