T8 : Conduction thermique

ATS ATS

Jules Ferry

T8 : Conduction thermique (ou diffusion thermique)

T8

Les différents processus de transferts thermiques ont déjà été discutés au chapitre T2 :

• la conduction thermique étudiée ici (pas de mouvement de matière) ;

• la convection thermique (présence d’un mouvement fluide : mécanique des fluides + thermodynamique) ;

• le rayonnement électromagnétique qui peut s’effectuer sans présence de matière (cf EM5).

Remarque : ce chapitre est ici répertorié en thermodynamique car l’équation de la chaleur, loi fondamentale de ce chapitre, se démontre en appliquant le premier principe de la thermodynamique.

Cependant, il pourrait être classé dans une autre partie, qu’on aurait alors appelée « processus de conduction ou de diffusion » et serait traité en parallèle du processus de conduction électrique (cf EM2).

Les notions de « flux » se retrouvent aussi dans 3 chapitres au programme d’ATS : le flux thermique étudié ici, le flux de masse ou de volume (étudiés au chapitre MF2 sous les noms de débits massique ou volumique) et le flux de charge électrique (ou débit de charge électrique ou encore intensité électrique, étudiée au chapitre EM2).

I. Flux thermique

1. Présentation : expérience historique de Ingen-Housz (1789)

On réalise l’étude de T(x , t) en conduction pure (pas de mouvement de matière au sein du matériau conducteur étudié).

2. Définition du flux thermique

Par l’expérience précédente, il ressort une grandeur physique importante : le transfert thermique à travers une section droite S du matériau étudié par unité de temps : δQ_/S

dt =P_th(t)=Φ_th(t) appelée puissance thermique ou flux thermique et exprimée en Watt.

Remarque : on pourrait aussi appeler cette grandeur « débit thermique », par analogie avec les définitions des débits massique et volumique données au chapitre MF2 ; ou encore « courant thermique », par analogie avec la définition du courant électrique donnée au chapitre EM2.

3. Vecteur densité de flux thermique (ou de courant thermique)

Remarque : historiquement, la notion de vecteur densité de flux thermique est née de l’analogie avec le flux de masse (ou débit massique) en mécanique des fluides et le flux de charge électrique (ou courant électrique) en électrocinétique :

• MF2 : D^m/S(t)=Φ_m/S(t)=

∬

P∈S

⃗j_m(P , t) ⃗dS_P ; on en déduit alors Φ_th/S(t)=

∬

P∈S

j⃗_th(P , t) ⃗dS_P

• EM2 : i_/S(t)=δq_élec/S

dt =Φ_{chargeélec/S}(t)=

∬

P∈S

j⃗_élec(P , t) ⃗dS_P .

Signification physique : dΦ_th(t)= ⃗j_th(P , t) ⃗dS_P donc :

• ‖ ⃗j_th(P , t)‖=dΦ_th

dS_P si dS⃗_P est colinéaire à j⃗_th(P) : ‖ ⃗j_th‖ représente la puissance thermique par unité de surface ;

• j⃗_th(P) est de même direction et de même sens que le transfert thermique.

Conclusion : Φ_th/S(t)=

∬

P∈S

j⃗_th(P , t) ⃗dS_P où  j⃗_th est le vecteur densité de flux thermique ; ‖ ⃗j_th‖ s’exprime en W.m⁻².

4. Loi de Fourier

Il s’agit d’une loi expérimentale et intuitive (cf expérience de Igen-Housz) :

Loi de Fourier :  j⃗_th=−λ ⃗grad T  où λ  est la conductivité thermique du matériau étudié, elle s’exprime en  W.m^−1.K⁻¹ .

Remarque : l’expérience d’Igen-Housz montre que λ_Cu>λ_Al>λ_Fe. Ordres de grandeur de la conductivité thermique en fonction du matériau :

• pour les métaux solides : de 10 à 400W.m^−1.K⁻¹, ce sont de très bons conducteurs (ici thermiques, on verra qu’il en est de même pour la conduction électrique) ;

• le verre et le béton ont des conductivités thermiques de l’ordre de 1W.m^−1.K⁻¹ (moyennement conducteurs) et le bois possède une conductivité d’environ 0,25W.m^−1.K⁻¹ ;

• λlaine de verre∼0 ,04W.m^−1.K⁻¹ (bon isolant) et λair au repos∼0,026W.m^−1.K⁻¹.

II. Équation de diffusion thermique (ou équation de la chaleur) dans le cas  unidimensionnel

1. Équation de diffusion

L'évolution spatio-temporelle du champ de température T(x , t) est régie par l’équation de diffusion :

∂²T

∂x²−1 D

∂T

∂t =0   où   D  est appelé  coefficient de diffusion. Dans le cas de la diffusion thermique, D_th= λ

ρc  avec :

• ρ est la masse volumique du matériau étudié ;

• c  est la capacité thermique massique du matériau étudié (en J.K^−1.kg⁻¹).

x

x x + dx

⃗j_th(x , t) ⃗j_th(x+dx , t) Remarques :

1. Il s’agit de la forme canonique d’une équation de diffusion (thermique, de particules, … ) ; D est le coefficient de diffusion associé.

2. Si le phénomène de diffusion n’est pas unidimensionnel mais à 3D, l’équation de diffusion devient : ΔT− 1

D

∂T

∂t =0 . Propriétés :

• Il s’agit d’une équation linéaire !

Historiquement, c’est en étudiant cette équation que Fourier a eu l’idée d’utiliser les séries qui portent son nom aujourd’hui.

• Cette équation n’est pas renversable dans le temps.

Si t→−t alors l’équation devient ∂²T

∂x²+ 1 D

∂T

∂t =0 : phénomène irréversible dû à l’inhomogénéité de température.

• D s’exprime en m².s⁻¹.

Il relie le temps caractéristique  τ  et la longueur caractéristique  L  du phénomène de diffusion en ordre de grandeur :  D#L²

τ .

Ordres de grandeur du coefficient de diffusion thermique :

Matériau Cuivre Laiton Acier inox Verre Bois Eau liquide à 293K

D_th (en 10⁻⁶m^2.s⁻¹) 114 33 4 0,58 0,45 0,14

2. Démonstration à connaître !

• On applique le premier principe de la thermodynamique en système fermé à Σ_F entre les instants t et t+dt : d E_tot=δW+δQ avec :

◦ d E_tot=E_tot(t+dt)−E_tot(t)=dU+dE_c+dE_p et

◦ d E_c=0 ; d E_p=0 ; δW=0 car le système est fixe.

Donc d_tU=δQ .

• Pour une phase condensée ou un gaz parfait, d_tU=C_vd_tT=ρc_vS dx d_tT

• On ne considère que la conduction thermique donc δQ=δQentrant en x−δQsortant en x+dx avec

◦ δQentrant en x=j_th(x , t)S dt ;

◦ δQsortant en x+dx=j_th(x+dx , t)S dt

Donc δQ=−(j_th(x+dx , t)−j_th(x , t))S dt=−∂j_th

∂x S dt dx.

• Il vient : ρc_vS dx(T(x ,t+dt)−T(x , t))=−∂j_th

∂x S dt dx soit ρc_v∂T

∂t =−∂j_th

∂x .

• Loi de Fourier : j⃗_th=−λ ⃗grad T=−λ ∂T

∂xe⃗_x et j_th=−λ ∂T

∂x .

⃗j_th=j(x , t) ⃗e_x T(x , t);

Σ_F

T₁ S S T₂

x₀

x

x₀

x

solide air T_ext

D’où ρc_v∂T

∂t=+λ ∂²T

∂x² soit ∂²T

∂x²−ρc_v λ

∂T

∂t =0 .

• Par identification, D= λ

ρc_v . Pour une phase condensée, on a donc D= λ ρc .

Remarque : si le système fermé considéré est un solide en équilibre mécanique monobare, on peut appliquer le premier principe simplifié : ΔH=Q_monoP donc en écriture infinitésimale : d_tH=δQ.

Avec, pour une phase condensée, d_tU≃d_tH et c_v≃c_p≃c.

3. Conditions aux limites 

a) Conditions aux limites « classiques »

• Il y a toujours continuité du flux thermique Φ_th à une interface.

j_th1(x₀⁻)=j_th2(x₀⁺)

• Il y a continuité de la température, on parle de contact thermique parfait : T₁(x₀⁻)=T₂(x₀⁺).

b) Loi de Newton (pas à connaître mais à savoir utiliser)

S’il y a une interface solide/fluide et que la différence de température est grande, un phénomène conducto- convectif naturel peut apparaître :

On modélise alors j⃗_th(x₀, t) par la loi de Newton : j⃗_th(x₀, t)=±h(T(x₀, t)−T_ext) ⃗u_x où h est positif, caractérise l’échange conducto-convectif et s’exprime en W.m^−2.K⁻¹.

À n’utiliser que si l’énoncé en parle.

Attention : si la loi de Newton est vérifiée, T(x₀,t)≠T_ext .

matériau 1 matériau 2

l faible

0 ⃗j_th=j_thu⃗_x x

III. Diffusion thermique unidimensionnelle en régime stationnaire

1. Étude   de   l’évolution   spatiale   de   la   température   dans   un   conducteur unidimensionnel : T(x)

En régime stationnaire, ∂T

∂t =0 donc l’équation de la chaleur devient ∂²T

∂x²=0 soit ∂T

∂x=A et T(x)=A x+B où A et B sont des constantes d’intégration.

Par les conditions aux limites,

{

soit

{

{

Par la loi de Fourier, j⃗_th=−λ ⃗grad T=−λ T₂−T₁

L u⃗_x ; j_th=λ T₁−T₂

L >0 uniforme dans le matériau.

2. Résistance thermique – analogie électrique (cf EM2 ou SII)

En régime stationnaire, la différence de température T₁−T₂ appliquée aux extrémités du matériau est directement proportionnelle au flux thermique qui le traverse  Φ_th1→2. La constante de proportionnalité est appelée résistance thermique du conducteur considéré :  R_th=T₁−T₂

Φ_th1→2  en  K.W⁻¹ ; elle est définie positive.

Remarque : la définition provient d’une analogie avec l’électricité :

Conduction thermique Conduction électrique

Φ_th I=Φ_élec

T V

R_th R_élec

⃗j_th j⃗_élec

T₁ T₂

L

x b) Cas d'un conducteur unidimensionnel en régime stationnaire Dans le cas unidimensionnel, Φ_th1→2(1D)=j_thS=λS

L (T₁−T₂) donc R_th(1D)= L λ S . Remarque : illustration sur une casserole en cuivre des grands cuisiniers

• fond de la casserole : S est grande et l petite donc la résistance thermique est faible ;

• manche : L est grande et s petite dons la résistance thermique est grande (ouf !).

Remarque pour la démonstration : parfois, elle est demandée en sens inverse : on demande d’abord de démontrer l’uniformité du flux thermique le long du matériau (Φ(x)=cte) en régime stationnaire pour en déduire R_th(1D).

On applique alors le premier principe de la thermodynamique au matériau situé entre x et x+dx :

d_tU=δW+δQ avec

{

d_tU=0 car régime stationnaire donc δQ=0.

Or δQ=δQentrant en x−δ Qsortant en x+dx=

(

)

S =cte ' .

Par la loi de Fourier, j⃗_th=−λ ⃗grad T=−λ

(

)

∂x=T₂−T₁ L (1) ! D’où Φ_th(1D)=S j_th=Sλ

L (T₁−T₂) et on obtient R_th(1D). D’ailleurs en réintégrant (1), on retrouve T(x)=T₂−T₁

L x+T₁.

x x + dx

Φ_th (x) Φ_th (x+dx)

c) Propriétés (analogie avec les résistances électriques)

• Si N résistances thermiques R_thi sont en série (i.e. traversées par le même flux thermique Φ_th) alors elles sont équivalentes à une seule : R_th(série)=

∑

i=1 N

R_thi .

• Si N résistances thermiques R_thi sont en parallèles (i.e. soumises à la même différence de température) alors elles sont équivalentes à une seule résistance R_th// telle que 1

R_th//=

∑

i=1

N 1

R_thi .

Démonstrations :

1. R_th(série) : T_i−T_f=T_i−T₁+T₁−...+T_N−1−T_f=R_th1Φ_th+...+R_thNΦ_th=(

∑

i=1 N

R_thi)Φ_th et T_i−T_f=R_th(série) Φ_th. Par identification, on obtient le résultat.

2. R_th// : Φ_tot=

∑

i=1 N

Φ_i=

∑

i=1

N T_i−T_f

R_thi =(T_i−T_f)

∑

i=1

N 1

R_thi et Φ_tot=(T_i−T_f)

R_th// . Par identification, on obtient le résultat.

Remarque : pour les mêmes raisons, les ponts diviseurs de tension (de température, un exemple sera donné en TD), de courant (flux thermique), ainsi que le théorème de Millman existent en thermique !

IV. Ondes thermiques unidimensionnelles (cf TD ex4)

Les ondes régies par des processus de diffusion possèdent des caractéristiques différentes des ondes régies par des processus de propagation.

On étudie donc le comportement d’une onde thermique à l’exercice 4 du TD.