-- Chapitre 2 Chapitre 2 -- Maîtrise des flux Maîtrise des flux

(1)

1

Maîtrise des flux Maîtrise des flux

n

nFacteurs agissant sur les fluxFacteurs agissant sur les flux

nnLes modèles pour les SPLes modèles pour les SP

nnLes réseaux de files d’attenteLes réseaux de files d’attente

Chapitre 2 Maîtrise des flux

Facteurs agissant sur les flux Facteurs agissant sur les flux

n

n Au niveau physique :Au niveau physique : –

– L’implantationL’implantation –

– Le nombre de machinesLe nombre de machines

–– Automatisation (robots, chariots filo-Automatisation (robots, chariots filo-guidés,…)guidés,…) –– Flexibilité des postes (CN, lignes de transfert,…)Flexibilité des postes (CN, lignes de transfert,…) –

– Nombre et spécialisation du personnelNombre et spécialisation du personnel –

– Le stockage (emmagasinage, zones tampons,…)Le stockage (emmagasinage, zones tampons,…) n

n Au niveau gestion :Au niveau gestion : –

– Stratégie d’affectation des ressourcesStratégie d’affectation des ressources –– Règles de choix des tâches en attenteRègles de choix des tâches en attente

–– Règles de gestion des stocks et des approvisionnementsRègles de gestion des stocks et des approvisionnements

(2)

Dr-Ing. Naoufel Cheikhrouhou Laboratoire de Gestion et Procédés de Production

2. 3

Moyens d’étude d’un système Moyens d’étude d’un système

Expérimentation avec le système réel

Modèle physique

Modèle analytique Modèle de simulation Modèle mathématique Expérimentation avec un modèle du système ETUDE D'UN SYSTEME

Existence? Perturbations?

•Entités (attributs)

•Relations Coût?

Temps?

rapide (p.ex. implantation d ’une nouvelle

politique de gestion de production) Souplesse?

Buts de connaissance:

- comprendre comportement - prédire comportement - dimensionner/optimiser

souple Abstraction/

Simplification

2. 4

Modélisation d’un système Modélisation d’un système

n

n Un Un systèmesystème: le système (existant ou pas) auquel se réfère le modèle: le système (existant ou pas) auquel se réfère le modèle

n

n Un Un modèlemodèle: une représentation simplifiée et abstraite du système: une représentation simplifiée et abstraite du système

nn Un Un objectifobjectif: le: le(s)(s)butbut(s)(s)pour lequel le modèle a été élaborépour lequel le modèle a été élaboré

n

n Un Un critère de rentabilitécritère de rentabilité: un critère économique qui justifie: un critère économique qui justifie l’utilisation du modèle en lieu et

l’utilisation du modèle en lieu etplace du systèmeplace du système

.

(3)

2. 5

Les modèles analytiques Les modèles analytiques

nn Les modèles sont des modèles mathématiquesLes modèles sont des modèles mathématiques

n

n Les résultats sont obtenus par calculLes résultats sont obtenus par calcul

n

n Exemples :Exemples :

–– Les réseaux de files d’attente (Queuing Networks)Les réseaux de files d’attente (Queuing Networks) –

– L’analyse opérationnelle (algèbre de dioïdes)L’analyse opérationnelle (algèbre de dioïdes) –– Les réseaux de PetriLes réseaux de Petri

–

– Les processus et chaînes de MarkovLes processus et chaînes de Markov

Exemples de modèles analytiques : Exemples de modèles analytiques :

gestion des stocks gestion des stocks

n

n Calcul mathématique sur les moyennesCalcul mathématique sur les moyennes

n

n Éléments : variables et constantesÉléments : variables et constantes

n

n Interactions : opérateurs mathématiquesInteractions : opérateurs mathématiques

T T

...

temps stock

Q

Stock de sécurité

2NL a.t

Q

e

=

(4)

2. 7

Exemple : guichet de banque Exemple : guichet de banque

Objectifs Objectifs

:

•

Comprendre le systèmeComprendre le système

•• Réduire les temps d’attente (moyen, max.)Réduire les temps d’attente (moyen, max.) Alternatives

Alternatives

•• 1 ou 2 guichets1 ou 2 guichets

•• 1 ou 2 files d1 ou 2 files d’attente’attente

Exemple: guichet de banque

2. 8

Modélisation du problème par les files d’attente Modélisation du problème par les files d’attente

file d’attente générateur

de clients serveur out

file d’attente arrivée de

clients

fin du service guichet

Système

Modèle

C2 C1 C3

(5)

2. 9

Schéma des alternatives Schéma des alternatives

guichet file d’attente

guichet

file d’attente

guichet

guichet file d’attente

file d’attente

Acquisition des données Acquisition des données

distribution du temps

d’inter-arrivée des clients distribution des temps de service des clients temps d’attente

des clients

• en gras: les données en entrée

• en italique: les données en sortie

(6)

2. 11

Les RFA Les RFA

nn GénéralitésGénéralités

n

n Etude d’une file d’attente M/ M/ 1Etude d’une file d’attente M/ M/ 1

n

n Le théorème de JacksonLe théorème de Jackson

n

n Mesure des performances des RFAMesure des performances des RFA

2. 12

Généralités Généralités

n

n Une station de service dans un SP est un système aléatoire compoUne station de service dans un SP est un système aléatoire composé desé de –

– 1 file d’attente1 file d’attente –

– 1 ou plusieurs serveurs exécutant des tâches identiques1 ou plusieurs serveurs exécutant des tâches identiques

n

n Un réseau de files d’attente (RFA) est un ensemble de stations dUn réseau de files d’attente (RFA) est un ensemble de stations de e service formant un système global et caractérisé par :

service formant un système global et caractérisé par :

–

– Sa politique de gestion des files (FIFO, LIFO,…) Sa politique de gestion des files (FIFO, LIFO,…)

–

– Les distributions de probabilité des durées de serviceLes distributions de probabilité des durées de service

–– Capacité de chaque file d’attenteCapacité de chaque file d’attente

–

– Lois d’arrivée des pièces au réseauLois d’arrivée des pièces au réseau

(7)

2. 13

Notation de Kendall Notation de Kendall

nn Un RFA est noté Un RFA est noté A / B / m / k / MA / B / m / k / M –– A : loi d’arrivéeA : loi d’arrivée

–

– B : loi de serviceB : loi de service –

– m : nombre de serveurs dans le réseaum : nombre de serveurs dans le réseau –

– k : nombre max de clients dans le réseauk : nombre max de clients dans le réseau –

– M : discipline de gestionM : discipline de gestion n

n Lois de probabilité : Lois de probabilité :

–– M : loi exponentielle ; M : loi exponentielle ; HH_R_R: loi hyperexponentielle ; : loi hyperexponentielle ; –

– DD: loi déterministe ; : loi déterministe ; GG: loi générale ; : loi générale ; EE: loi d’Erlang ;: loi d’Erlang ; –

– N : loi normale ; N : loi normale ; P P : loi de poisson: loi de poisson –

– …… n

n Ex : M / M / 1Ex : M / M / 1

Des notions…

n

n RFA ouvert : les clients proviennent de l’extérieur, progressentRFA ouvert : les clients proviennent de l’extérieur, progressentdans le dans le système et le quittent

système et le quittent

n

n RFA fermé : le nombre de client est fixe à tout instantRFA fermé : le nombre de client est fixe à tout instant

n

n Loi exponentielle de paramètre Loi exponentielle de paramètre λλ⇒⇒loi expo de loi expo de moyenne 1/ moyenne 1/ λλ

n

n Une loi expo dUne loi expo dééfinit totalement une loi de poissonfinit totalement une loi de poisson

(8)

2. 15

File M/ M/ 1 File M/ M/ 1

n

n Arrivée : M Arrivée : M ⇒⇒ditribution des temps dditribution des temps d’’interarrivinterarrivéée expo e expo ⇒⇒processus processus poissonien

poissonien

n

n Service : M Service : M ⇒⇒distribution du temps de service expo de moyenne 1/µdistribution du temps de service expo de moyenne 1/

n

n File dFile d’’attente : FIFO et capacitattente : FIFO et capacitééinfinieinfinie

n

n Objectif : mesurer les performances de la file en terme de :Objectif : mesurer les performances de la file en terme de : –

– Nombre moyen de clients dans le systèNombre moyen de clients dans le systèmeme –

– Taux d’Taux d’occupation du serveuroccupation du serveur

–– Temps moyen de séTemps moyen de séjour dans le systjour dans le systèèmeme

1/1/λλ ^1/µ

2. 16

Quelques probabilités…

n

n Soit p(n,t) la proba qu’à l’instant t, il y ait n clients dans lSoit p(n,t) la proba qu’à l’instant t, il y ait n clients dans le systèmee système p(n,t+dt) = p(n,t).(1

p(n,t+dt) = p(n,t).(1--µdt-λdt) λdt) [pas de changement][pas de changement]

+ p(n

+ p(n--1,t).(1,t).(λλdt) dt) [1 arrivé[1 arrivée de d’’un client]un client]

+ p(n+1,t).(

+ p(n+1,t).(µdt) [1 départ d’un client du système]

+ o(dt) [les autres possibilités]

P’(n,t) =lim

P’(n,t) =lim_dt_dt-_->_>_∝_∝[p(n,t+dt) -[p(n,t+dt) -p(n,t)]/dt = (p(n,t)]/dt = (--µ-λλ).p(n,t) + p(n+1,t).).p(n,t) + p(n+1,t).µ+ p(np(n--1,t).1,t).λλ

nn Les conditions limites : Les conditions limites : –

– si n = 0, aucun client ne peut quitter la station : p(n-si n = 0, aucun client ne peut quitter la station : p(n-1,t) = 01,t) = 0 –

– Quand t -Quand t -> > ∝∝l’état stationnaire est atteint : p(n,t) = p(n), d’oùl’état stationnaire est atteint : p(n,t) = p(n), d’où

»» p’(0,t) = 0 et p’(n,t) = 0 quand t -p’(0,t) = 0 et p’(n,t) = 0 quand t -> > ∝∝

nn Exercice : 1Exercice : 1--à partir des équations aux limites, donner l’expression de p(n)à partir des équations aux limites, donner l’expression de p(n)en en fct de p(0).

fct de p(0).

2

2--en utilisant Σen utilisant Σp(n) = 1, calculer p(0) et donner la condition de validitp(n) = 1, calculer p(0) et donner la condition de validitéé de ce calcul.

de ce calcul.

(9)

2. 17

Quelques résultats Quelques résultats

n

n On montre par récurrence que p(n) = p(0).(On montre par récurrence que p(n) = p(0).(λλ/ / µµ))ⁿⁿ

nn p(0).p(0).ΣΣ((λλ/ / µµ))ⁿⁿ= 1 = 1 ⇒⇒il nil n’’y a de solution que si y a de solution que si λλ/ / µµ< 1 (condition < 1 (condition d

d’’existence dexistence d’é’état stationnaire)tat stationnaire)

n

n p(0) = 1p(0) = 1--λ/λ/µµ

nn p(n) = (1p(n) = (1--λλ//µµ)).(.(λλ//µµ))ⁿⁿ

nn Taux d’occupation du serveur TTaux d’occupation du serveur T_o_o= p(1)+ p(2)+…+p(= p(1)+ p(2)+…+p(∝)∝)

= 1

= 1--p(0) = λp(0) = λ//µµ

n

n Nombre moyen de clients dans la stationNombre moyen de clients dans la station

n

n Temps moyen de séjour : Temps moyen de séjour : formule de Littleformule de LittleW = L / λW = L / λ= 1/ (= 1/ (µµ--λλ))

∑^∞

=

0

n.p(n) L

? µ? n

?/µ) - (1 L

1 / = ₋

= ∑^∞ (?µ)ⁿ

Le théorème de Jackson Le théorème de Jackson

¹¹

n

n Soit un RFA de k stations, tel que :Soit un RFA de k stations, tel que : –

– Le nombre de serveurs dans chaque station nLe nombre de serveurs dans chaque station n_i_iest fixéest fixé –

– Les clients arrivent de l’extérieur au système selon un processus de Les clients arrivent de l’extérieur au système selon un processus de Poisson de paramètre

Poisson de paramètre λλ

–– Les temps de service sont exponentiellement distribués de paramètres Les temps de service sont exponentiellement distribués de paramètres µµii

–

– RèRègles de service FIFOgles de service FIFO –

– Changement de station avec des probabilitéChangement de station avec des probabilitéss n

n ThThééororèème de Jackson : me de Jackson : Sous les conditions dSous les conditions d’’ergodicitergodicitéé, chaque station , chaque station du r

du rééseau se comporte comme une file M/M/nseau se comporte comme une file M/M/n_i_iisolisoléée, alimente, alimentéée par un e par un flot d

flot d’’entrentréée de valeur e de valeur λeλe_i_i

n

n Le thLe thééororèème de Jackson se base sur les me de Jackson se base sur les ééquations de conservation des quations de conservation des

(10)

2. 19

Le théorème de Jackson Le théorème de Jackson

²²

nn E = [eE = [e₁₁,e,e₂₂,…,e,…,e_k_k]]^T^Tsont les solutions de l’équation de conservation des sont les solutions de l’équation de conservation des flux

flux

nn Q est le vecteur d’entrée au système (qQ est le vecteur d’entrée au système (q_i_iest la proba d’entrée par la est la proba d’entrée par la station i)

station i)

n

n P est la matrice de transition (pP est la matrice de transition (p_ij_ijest la proba d’aller de la station i à la est la proba d’aller de la station i à la station j)

station j)

] [E^TP^T Q

E= +

2. 20

Mesures de performance des RFA Mesures de performance des RFA

n

n Conditions d’ergodicitéConditions d’ergodicité

–– Taux d’utilisation (d’occupation) du serveur i ToTaux d’utilisation (d’occupation) du serveur i To_i_i= = λλee_i_i//µµ_ii nn Nombre moyen de clients dans la station iNombre moyen de clients dans la station i

–– LL_i_i= = λeλe_i_i/(/(µµii--λλee_i_i)) n

n Temps moyen de sTemps moyen de sééjour dans une station ijour dans une station i –

– Wi = LWi = L_i_i/ / λλee_i_i= 1/(= 1/(µµii--λλee_i_i)) n

n Temps moyen de sTemps moyen de sééjour dans le rjour dans le rééseauseau –– W= L/ W= L/ λλ= (1/ = (1/ λλ) )

Σ Σ

LL_i_i

(11)

2. 21

Conclusion sur les RFA Conclusion sur les RFA

nn Basés sur la modélisation graphiqueBasés sur la modélisation graphique

nn Calcul de valeurs moyennes uniquementCalcul de valeurs moyennes uniquement

nn Hypothèses simplificatricesHypothèses simplificatrices

n

n Résultats réduitsRésultats réduits

M1 M

B 2 12

Pr₂₃= 0,7

Pr₂₄= 0,3

M₃

M₄

Exemple d’application: file d’attente avec recyclage Exemple d’application: file d’attente avec recyclage

n

n Déterminer les solutions de l’équation de conservation des flux Déterminer les solutions de l’équation de conservation des flux et en et en déduire l’expression de P(n)

déduire l’expression de P(n)

n

n Déterminer le nombre moyen de clients dans la station et le tempDéterminer le nombre moyen de clients dans la station et le temps s moyen de séjour

moyen de séjour 1/1/λλ

1/µ p

q

(12)

2. 23

Correction d’application: file d’attente avec Correction d’application: file d’attente avec

recyclage recyclage

n

n P: (dimension =1 station) => pP: (dimension =1 station) => p₁₁₁₁= p= p

nn Q: proba d’entrée au système par la station 1=> Q =1Q: proba d’entrée au système par la station 1=> Q =1

nn Equation de conservation des flux :Equation de conservation des flux : –– e = 1 + eP => e(1-e = 1 + eP => e(1-p) = 1 , e = 1/qp) = 1 , e = 1/q –– P(k) = (1-P(k) = (1-λ/qλ/qµ)(µ)(λλ/q/qµ)µ)^k^k

n

n Signification: La file est Signification: La file est ééquivalente quivalente ààl’él’état stationnaire tat stationnaire ààune file une file M/M/1 de param

M/M/1 de paramèètre dtre d’’entrentréée e λλet qµet qµ.. 1/1/λλ

1/µ p

q = 1- p

] [E^TP^T Q

E= +