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La Théorème central limite - Cours 6 pdf

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Convergence en loi. Théorème de la limite centrale.

Convergence en loi

1. Soient (Xn)n∈N une suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace (Ω,F,P) etf une application continue de R dans R. On suppose que(Xn)n∈N converge en loi vers une variable aléatoire X.

Montrer que la suite (f(Xn))n∈N converge en loi vers f(X).

Solution de l’exercice 1. Tout d’abord, f(Xn) est bien une variable aléatoire comme composée de la variable aléatoire Xn et de l’application f qui est continue. Si ϕ est une application de R dans R continue bornée, remarquons que ϕ◦f est également continue bornée. L’hypothèse de convergence en loi de la suite (Xn)n∈N vers X implique limE[ϕ◦ f(Xn)] = E[ϕ◦f(X)] que l’on peut écrire limE[ϕ(f(Xn))] = E[ϕ(f(X))]. Ceci étant valable pour toute ϕ continue bornée, (f(Xn))n∈N converge en loi vers f(X).

2. a. Soit(Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires réelles qui converge en loi vers une variable aléatoire réelle constantea. Montrer que la convergence a lieu aussi en probabilité.

b. Soit (Xn)n≥1 une suite indépendante de variables aléatoires réelles de même loi de Cauchy de paramètre 1. Soit Sn = Pn

k=1Xk. Etudier les convergences en probabilité et en loi des suites (1nSn)n≥1,(n1Sn)n≥1 et (n12Sn)n≥1.

Indication : la fonction caractéristique de la loi de Cauchy est donnée par φ(t) = e−|t|. Solution de l’exercice 2. a. Soit ε > 0 et fε définie par fε(x) =1]a−ε,a+ε[c(x) + 1ε|x− a|1]a−ε,a+ε[. Cette fonction est continue bornée, donc la suite(E[fε(Xn)])n≥1 converge vers E[fε(a)] = 0. Comme

P(|Xn−a≥ε|) = E[1]a−ε,a+ε[c(Xn)]≤E[fε(Xn)], (Xn)n≥1 converge en probabilité vers a.

b. La fonction caractéristique de 1nSn est donnée par φ(t) = E[eitnSn] =

E[eitnX1]n

=e−|t|

n,

car les Xn sont indépendantes. Comme la suite e−|t|

n

n≥1 tend vers 1{0}(t) qui définit une application non continue en 0. Donc la limite des fonctions caractéristiques n’est pas une fonction caractéristique, et (1nSn)n≥1 ne converge ni en loi, ni en probabilité.

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(2)

La fonction caractéristique de n1Snestφ(t) =e−|t|. La suite(n1Sn)n≥1 converge donc en loi vers une variable aléatoire de loi de Cauchy. Mais elle ne converge pas en probabilité. En effet, sinon, la suite(SnnS2n2n)n≥1 convergerait en probabilité, donc aussi en loi, vers 0. Or, la fonction caractéristique deSnnS2n2n est donnée parφ(t) =E[e2nit(X1+···+Xn−(Xn+1+···+X2n))] = e−|t|, qui ne converge pas vers 1, fonction caractéristique de la variable aléatoire 0.

La fonction caractéristique de n12Sn estφ(t) = e|t|n qui converge vers1. Ainsi, la suite (n12Sn)n≥1 converge en loi et donc en probabilité vers 0.

3. Soient X une variable aléatoire réelle,(Xn)n∈N et(Yn)n∈N deux suites de v.a.r.

a. Montrer que pour tout t ∈R, a >0 etn ∈N,

Xn+Yn(t)−φXn(t)| ≤2P(|Yn|> a) +E[1]−∞,a](|Yn|)|eitYn−1|].

b. Montrer que si (Xn)n∈N converge en loi vers X et (Yn)n∈N converge en loi vers 0, alors la suite (Xn+Yn)n∈N converge en loi vers X.

c. Montrer que la convergence en loi de(Xn)n∈N versX n’implique pas la convergence en loi de (Xn−X)n∈N vers 0.

Solution de l’exercice 3.

a) Pour tous t∈R, a >0 et n∈N,

Xn+Yn(t)−φXn(t)|=|E[eitXn(eitYn−1)]| ≤E[|eitYn−1|]

= Z

{|Yn|>a}

|eitYn−1|dP+ Z

{|Yn|≤a}

|eitYn−1|dP

≤2P(|Yn|> a) + Z

{|Yn|≤a}

|eitYn −1|dP

b) En fait, Yn converge en probabilité vers 0. Soit ε > 0. Il existe a0 > 0 tel que pour y ≤ a0, |eit −1| ≤ ε. De plus, il existe n0 ∈ N tel que pour tout n ≥ n0, P(|Yn|> a0)≤ε. Donc,|φXn+Yn(t)−φXn(t)| ≤3ε. La convergence en loi de(Xn)n∈N

vers X implique qu’il existe n1 (que l’on peut prendre plus grand que n0), tel que, pour tout n ≥ n1, |φXn(t)− φX(t)| ≤ ε. On a montré que pour tout n ≥ n1,

Xn+Yn(t)−φX(t)| ≤4ε d’où la convergence en loi demandée.

Pour éviter les on peut utiliser la notion de limite supérieure. Pour tout a positif on a :

Xn+Yn(t)−φX(t)| ≤|φXn+Yn(t)−φXn(t)|+|φXn(t)−φX(t)|

≤2P[|Yn |≥a] +E[11[0,a](|Yn|)|eitYn−1|]+|φXn(t)−φX(t)|

≤2P[|Yn |≥a] + sup

x∈[0,a]

|eitx−1|+|φXn(t)−φX(t)|

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or la limite supérieur d’une somme est plus petite que la somme des limites supé- rieures et si une suite converge sa limite supérieure est égale à sa limite donc pour tout réel a positif :

limnXn+Yn(t)−φX(t)| ≤2limnP[|Yn|≥a] + sup

x∈[0,a]

|eitx−1|+limnXn(t)−φX(t)|

= sup

x∈[0,a]

|eitx−1|,

la dernière égalité provenant de la convergence en loi de Xn vers X et de la conver- gence en probabilité de Yn vers 0. Ainsi pour touta réel positif :

limnXn+Yn(t)−φX(t)|≤ sup

x∈[0,a]

|eitx−1|,

en faisant tendre a vers 0on obtient donc limnXn+Yn(t)−φX(t)|= 0.

Or (|φXn+Yn(t)−φX(t)|)n est une suite de termes positifs donc elle est convergente et converge vers 0.

c) On prend X de loi symétrique (X a la même loi que −X), et on pose Xn = −X.

AlorsXn converge en loi vers X, mais Xn−X converge en loi vers −2X.

Applications du TCL

4.Soit(Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Poisson de paramètre 1. Soit Sn=Pn

k=1Xk. Rappeler la loi deSn et calculer la limite de la suite

e−nPn k=0

nk k!

n≥1.

Solution de l’exercice 4. Une somme de v.a. de Poisson indépendantes est une v.a. de Poisson dont le paramètre (qui est aussi l’espérance et la variance) est la somme de ceux des v.a. qu’on a ajoutées. Ainsi Sn suit une loi de Poisson de paramètre n. En particulier, si k∈N, alors e−n nk!k =P(Sn=k). En sommant, on obtient

e−n

n

X

k=0

nk k!

!

=P(Sn≤n) = P(Sn/n≤1).

La loi des grands nombres nous dit que Sn/n →E[X1] = 1 p.s. AinsiSn/n est proche de 1, mais ce résultat ne nous dit pas s’il est un peu plus grand ou un peu plus petit. Pour avoir des informations sur Sn/n−1, (et en particulier son signe), on applique le théorème de la limite centrale :

Sn−n

√n

−→loi

n→∞ N(0,1).

D’après le corrolaire 4.2.1 du cours, on en déduit que, siY suit une loi normale standard, alors, lorsque n→ ∞,

P(Sn/n≤1) = P(Sn−n

√n ≤0)→P(Y ≤0) = 1/2.

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L’égalitéP(Y ≤0) = 1/2 découle du fait que Y est symétrique.

Ainsi, on a montré que

e−n

n

X

k=0

nk k!

!

→1/2.

5. a. Soit (pn)n≥0 une suite de réels dans ]0,1[ telle que limn→+∞npn =λ > 0. Soit (Xn)n≥0 une suite de v.a. telles que pour tout n : Xn ∼ B(n, pn) et X une v.a. de loi de Poisson paramètre λ. Montrer que (Xn)n≥0 converge en loi vers X.

b. Soit (Xn)n≥0 une suite de v.a. réelles indépendantes de même loi N(0,1). Etudier le comportement asymptotique en loi de la suite Yn= 1nPn

k=1

√kXk.

Solution de l’exercice 5. a. Afin de montrer la convergence en loi de (Xn)n≥0 vers X.

Montrons queφXn(t)−−−−→

n→+∞ φX(t)pour tout t∈R, oùφX designe la fonction caractéris- tique d’une variable aléatoire X.

φXn(t) = 1−pn+pneitn

= exp nln(1−pn+pneit)

= exp −npn(1−eit) +npnn

n−−−−→

n→+∞ 0

n exp −npn(1−eit)

−−−−→

n→+∞ eλ(eit−1)X(t).

b. Vu la forme de la variable deYn, on est tenté d’appliquer la loi des grands nombres.

Cependant on ne peut pas l’appliquer car les variables √

kXk ne sont pas identiquement distribuées. On va donc à nouveau utiliser les fonctions caractéristiques afin de démontrer un résultat de convergence en loi. Les variables aléatoires Xn sont indépendantes, donc Yn est une variable gaussienne de moyenne0 et de variance n(n+1)2n2 donc :

φYn(t) =en(n+1)2n2 t2 −−−−→

n→+∞ e−t2/2.

On a donc montré que(Yn)n≥1converge en loi vers une loi normale centrée réduiteN(0,12).

6. On suppose que l’intervalle de temps entre deux voitures successives à un passage à niveau (peu fréquenté) suit une loi exponentielle de moyenne 30 minutes. On suppose de plus qu’il y a indépendance entre les intervalles de temps séparant les instants de passage de voitures. Calculer (une valeur approchée) de la probabilité qu’il y ait plus de 50 voitures qui empruntent le passage à niveau une journée donnée.

Solution de l’exercice 6. Soit(Xn)n≥0 une suite de v.a. i.i.d suivant la loi exponentielle de paramètre 1/30. On a alors E[X1] = 30 et V ar(X1) = 900. Xn représente le temps

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(en minutes) qui sépare le passage de la (n −1)ième voiture de la n−ième voiture. On considère ensuite Sn=X1+. . . Xn. Sn donne l’instant de passage de la n−ième voiture.

On veut déterminer

P[S50 ≤24×60].

Or on a

P[S50≤24×60] =P

S50−50×30 30×√

50 ≤ 24×60−50×30 30×√

50

≈F −2

√50

,

oùF est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, l’approximation étant donnée par le TCL. De plusF

−2 50

≈F(−0.283) = 1−F(0.283). En utilisant une table ou un logiciel on obtient F(0.283)≈0.61. On a donc P[S50 ≤24×60] ≈0.39.

7. La somme des résultats de10000lancers d’un même dé est35487. Pensez-vous que ce dé soit truqué ?On pourra utiliser l’égalité approchée R+∞

3,29 ex

2

2 dx'0,0005√ 2π.

Solution de l’exercice 7. Une suite de lancers de dés peut être modélisée par une suite (Xn)n≥1de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur l’ensemble fini {1, . . . ,6}. On a

E[X1] = 1

6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7 2, E[X12] = 1

6(12+ 22+ 32+ 42+ 52+ 62) = 91 6 , Var(X1) = E[X12]−E[X1]2 = 35

12.

Notons Sn=X1+. . .+Xn la somme desn premiers lancers. Le théorème central limite affirme que l’on a la convergence en loi

Sn7n2 pnVar(X1)

−→(d)

n→∞N(0,1).

Faisons l’approximation consistant à dire que pourn = 10000, la loi de Sn

7n

2

nVar(X1) est égale à la loi normale N(0,1). On a alors, pour tout a >0, et avec n= 10000,

P 7n

2 −p

nVar(X1)a≤Sn ≤ 7n 2 +p

nVar(X1)a

= 1

√2π Z a

−a

ex

2 2 dx.

Prenons a= 3,29. Nous avons

√1 2π

Z 3,29

−3,29

ex

2

2 dx= 1−2 1

√2π Z +∞

3,29

ex

2

2 dx= 0,999.

Ainsi,

P(35000−562≤S10000 ≤35000 + 562)'0,999.

Nous observons une somme qui appartient à cet intervalle. Nous décidons donc de dire que la somme obtenue est compatible avec l’hypothèse que ce dé est équilibré.

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