Prédiction du phénomène de tremblement sur un profil d'aile avec une approche LES de type PANS-RSM

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d’aile avec une approche LES de type PANS-RSM

Valentin Bonnifet

To cite this version:

Valentin Bonnifet.

Prédiction du phénomène de tremblement sur un profil d’aile avec une

ap-proche LES de type PANS-RSM. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Sorbonne Université, 2018.

Français. �NNT : 2018SORUS389�. �tel-02612234�

TH`

ESE DE DOCTORAT DE SORBONNE UNIVERSIT´

E

Sp´

ecialit´

e : M ´

ECANIQUE

´

Ecole doctorale de Sciences M´ecaniques, Acoustique, ´

Electronique et Robotique de Paris

pr´esent´ee par :

Valentin BONNIFET

pour obtenir le grade de :

DOCTEUR DE SORBONNE UNIVERSIT´

E

Pr´

ediction du ph´

enom`

ene de tremblement sur un profil

d’aile avec une approche les de type pans–rsm

soutenue le 19 septembre 2018, devant le jury compos´e de :

F. billard Dr. Ing´enieur de recherche, Dassault Aviation Examinateur

G.A. gerolymos Prof. Sorbonne Universit´e Co-Directeur de Th`ese

L. jacquin Prof. ´Ecole Polytechnique, ONERA Examinateur

S. kouidri Prof. Sorbonne Universit´e Examinateur

E. lamballais Prof. Universit´e de Poitiers Rapporteur

R. manceau DR CNRS, Universit´e de Pau Rapporteur

I. vallet Dr. HDR MC Sorbonne Universit´e Directeure de Th`ese

Sorbonne Universit´e, Institut Jean Le Rond d’Alembert, UMR CNRS 7190 4 Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05

Table des mati`

eres

1 Introduction 1

1 Contexte . . . 1

2 Objectifs de l’´etude . . . 4

3 Plan de l’´etude . . . 4

2 Equations de transport turbulentes exactes´ 5 1 Equations de Navier-Stokes instantan´ees´ . . . 6

2 Formulation statistique des ´equations de mouvement . . . 7

2.1 D´efinition des d´ecompositions de Reynolds et de Favre . . . 7

2.2 Equations de Navier-Stokes moyenn´ees´ . . . 8

2.3 Equations de transport des corr´elations statistiques . . . .´ 10

3 Formulation filtr´ee des ´equations du mouvement . . . 15

3.1 Op´erateurs de filtrage . . . 16

3.2 Equations de Navier-Stokes filtr´ees . . . .´ 17

3.3 Equation de transport exacte des tensions r´esiduelles ¯´ ρ[rij]u . . . 18

3.4 Equation de transport exacte de l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue k´ u . . . 19

3.5 Equation de transport exacte du tenseur de dissipation des tensions r´esiduelles ε´ ij_u . . . . 19

3.6 Equation de transport du taux de dissipation de l’´energie cin´etique non-r´esolue ε´ u . . . . 21

3.7 Comportement asymptotique vers le rans de l’approche filtr´ee . . . 21

4 M´ethodes num´eriques pour la r´esolution des ´equations moyenn´ees . . . 23

5 M´ethodes num´eriques pour la r´esolution des ´equations filtr´ees . . . 23

5.1 Discr´etisation spatiale . . . 24

5.2 Discr´etisation et int´egration temporelle . . . 28

3 Mod´elisations statistiques de la turbulence 31 1 Formulation de l’´equation de transport de l’´energie totale moyenn´ee . . . 31

2 Mod`ele k − ε∗ _{Launder-Sharma (ls k − ε}∗_{) . . . . 32}

3 Mod`ele au second ordre Gerolymos-Lo-Vallet-Younis (rsm–glvy) . . . 33

4 Etude des profils d’aile oat15a et naca0012 . . . .´ 36

4.1 Description des profils d’ailes oat15a et naca0012 . . . 37

4.2 Construction des maillages autour des profils d’ailes . . . 39

4.3 Initialisation de l’´ecoulement . . . 40

4.4 Conditions aux limites . . . 40

4.5 Etude de la convergence en maillage . . . .´ 45

4.6 Calibrage des conditions d’entr´ee: aoacomp et M∞comp et r´esultats rans 2d . . . 45

4 Mod´elisation de la turbulence filtr´ee: les 53 1 G´en´eralit´es sur des m´ethodes hybrides rans/les . . . 53

1.1 Int´erˆets des m´ethodes hybrides rans/les . . . 53

1.2 Positionnement des m´ethodes hybrides rans/les . . . 54

1.3 D´ependance `a la topologie du maillage . . . 55

1.4 Difficult´es th´eoriques . . . 55 iii

2 Approches vles . . . 56

3 Approches des . . . 57

4 Approches pans et pitm . . . 59

4.1 Partitionement de l’´energie cin´etique turbulente dans l’espace physique: la m´ethode pans 59 4.2 Partitionement de l’´energie cin´etique turbulente dans l’espace spectral: la m´ethode pitm . 66 5 Mod`ele pans–rsm . . . 68

5.1 Approche pans–rsm avec rfpans constant . . . 68

5.2 Equations de transport des tensions r´esiduelles . . . .´ 68

5.3 Equation de transport du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue 70´ 5.4 Proposition d’une approche pans–rsm avec rfpans dynamique . . . 70

5 Simulation du buffet transsonique 73 1 Le ph´enom`ene de buffet transsonique . . . 73

2 M´ethodes num´eriques . . . 76

2.1 Conditions aux limites . . . 76

2.2 Limiteurs num´eriques et conditions de r´ealisabilit´e . . . 76

2.3 Transition de la couche limite turbulente . . . 78

2.4 Initialisation de l’´ecoulement . . . 78

3 Simulation du buffet transsonique avec l’approche pans–rsm `a rfpans = 0.75 . . . 79

3.1 Profils des coefficients de pression pari´etaux . . . 80

3.2 Profils de vitesses sur l’extrados . . . 83

3.3 Profils des corr´elations turbulentes sur l’extrados . . . 85

3.4 Profils des ´echelles de temps et de longueur turbulentes . . . 92

3.5 Profils des ratios fk et fε . . . 94

3.6 Cartographies des champs moyenn´es autour du profil d’aile oat15a . . . 94

3.7 Cartographies des champs instantan´es autour du profil d’aile oat15a . . . 108

4 Analyse spectrale temporelle et reconstruction . . . 108

5 Influence du param`etre de contrˆole rfpans . . . 109

6 Conclusion et perspectives 115 1 Conclusion . . . 115

2 Perspectives . . . 116

2.1 Approche dynamique . . . 116

2.2 Approche bas´ee sur sas . . . 121

A ´Equations de transport des corr´elations non-r´esolues 125 1 Equation de transport des tensions r´esiduelles . . . 125´

2 Re´ecriture des termes visqueux . . . 127

3 Equation de transport de ε´ iju . . . 128

B G´en´eration biharmonique du maillage 135

C Liste des symboles 137

Chapitre 1

Introduction

1

Contexte

Depuis les ann´ees 1950, l’augmentation des capacit´es de calcul des ordinateurs a permis de simuler des ´ecoulements de plus en plus complexes et de r´eduire progressivement les hypoth`eses simplificatrices utilis´ees. De moyen de recherche acad´emique, la simulation num´erique est aujourd’hui devenue un outil de conception industriel in-coutournable au mˆeme titre que les m´ethodes exp´erimentales. La simulation num´erique a permis de r´eduire la quantit´e d’essais en soufflerie n´ecessaires `a la conception des avions commerciaux et militaires. L’exemple de Boeing refl`ete bien cette tendance puisque le nombre d’essais sur les voilures est pass´e de 77 `a la fin des ann´ees 1970 `a 11 du milieu des ann´ees 1990 jusqu’`a aujourd’hui [11]. Cependant, priorit´e est donn´ee `a la r´eduction du temps de conception des a´eronefs depuis ces vingt cinq derni`eres ann´ees. Les motoristes ainsi que les autres moyens de transport profitent aussi largement de la contribution des simulations num´eriques. La n´ecessit´e ab-solue de r´eduire notre consommation ´energ´etique et nos ´emissions de gaz `a effet de serre ainsi que les perspectives d’exploration spatiales des prochaines ann´ees (programme habit´e sur Mars) encouragent le d´eveloppement de m´ethodes num´eriques plus avanc´ees. Ainsi, l’am´elioration de la pr´edictibilit´e des simulations num´eriques est un axe de recherche mobilisant un grand nombre d’acteurs industriels. L’agence am´ericaine a´erospatiale (nasa) r´esume les axes de d´eveloppements actuels (Fig. 1.1) pour pr´eparer l’arriv´ee des supercalculateurs exaflopiques1<sub>.</sub> La densit´e des transistors sur les puces en silicium ainsi que les vitesses de commutations sont proches de leur valeur asymptotique depuis les cinq derni`eres ann´ees et l’augmentation de la puissance de calcul n’est possible qu’au prix de la multiplication du nombre de nœuds de calculs. Cette caract´eristique architecturale oblige les ing´enieurs `a adapter les algorithmes de calcul pour conserver une scalabilit´e satisfaisante. Les perspectives d’augmentations de la puissance de calcul sont revues `a la baisse et l’´echelle exaflopique ne sera atteinte qu’`a l’horizon des ann´ees 2030 (Fig. 1.2). Les objectifs ambitieux de la nasa pour 2030 sont de simuler les manœu-vres op´erables par un avion complet (incluant les surfaces mobiles et les trains d’atterrisage) dans le cas des ´ecoulements externes et un moteur complet avec combustion dans le cas des ´ecoulements internes. Pour cela il est, entre autres, n´ecessaire d’am´eliorer la g´en´eration de maillage et son adaptation dynamique, d’am´eliorer les techniques de parall´elisation et d’analyse de donn´ee, de d´evelopper des m´ethodes num´eriques d’ordre ´elev´e pour les maillages non-structur´es et de d´evelopper des mod´elisations physiques complexes pour la turbulence et la combustion. Le sujet de l’´etude pr´esent´ee ici s’inscrit dans la d´emarche de d´eveloppement de nouveaux mod`eles de turbulence (hybride rans/les) dont la maturit´e est esper´ee pour 2030 mais dont les d´emonstrateurs sont attendus pour la fin de la d´ecennie (Fig. 1.1).

La r´esolution num´erique directe des ´equations de Navier-Stokes (dns) est tr`es coˆuteuse en ressources in-formatiques et ne peut ˆetre envisag´ee que dans le cas de g´eom´etries simples (plaque plane, canal, turbulence homog`ene isotrope). Bien qu’indispensable `a la compr´ehension fine de la physique de l’´ecoulement [245] (en par-ticulier proche paroi) et `a la mise au point de mod`eles de turbulence, son utilisation pour l’´etude de g´eom´etries industrielles n’est pas envisageable avant la fin du si`ecle. L’approche statistique (rans) est aujourd’hui la plus r´epandue dans l’industrie. D’un coup de calcul raisonnable, elle r´epond aux exigences de conceptions dans la majorit´e des cas o`u les instationnarit´es basses fr´equences de l’´ecoulement sont faibles. Son temps de retour

1_{”Un milliard de milliard” d’op´erations `a virgule flottante par seconde.}

Visualization

Unsteady, complex geometry, separated flow at flight Reynolds number (e.g., high lift)

2030 2025

2020 2015

HPC

CFD on Massively Parallel Systems

CFD on Revolutionary Systems (Quantum, Bio, etc.)

TRL LOW

MEDIUM HIGH

PETASCALE

Demonstrate implementation of CFD algorithms for extreme parallelism in NASA CFD codes (e.g., FUN3D)

EXASCALE Technology Milestone

Demonstrate efficiently scaled CFD simulation capability on an exascale system

30 exaFLOPS, unsteady, maneuvering flight, full engine simulation (with combustion)

Physical Modeling RANS Hybrid RANS/LES LES Improved RST models in CFD codes Technology Demonstration Algorithms Convergence/Robustness Uncertainty Quantification (UQ)

Production scalable entropy-stable solvers

Characterization of UQ in aerospace

Highly accurate RST models for flow separation

Large scale stochastic capabilities in CFD

Knowledge Extraction

On demand analysis/visualization of a 10B point unsteady CFD simulation

MDAO

Define standard for coupling to other disciplines

High fidelity coupling techniques/frameworks

Incorporation of UQ for MDAO

UQ-Enabled MDAO Integrated transition prediction Decision Gate YES NO NO

Scalable optimal solvers YES

NO Demonstrate solution of a representative model problem

Robust CFD for complex MDAs Automated robust solvers

Reliable error estimates in CFD codes

MDAO simulation of an entire aircraft (e.g., aero-acoustics)

On demand analysis/visualization of a 100B point unsteady CFD simulation Creation of real-time multi-fidelity database: 1000 unsteady CFD simulations plus test data with complete UQ of all data sources WMLES/WRLES for complex 3D flows at appropriate Re

Integrated Databases

Simplified data representation

Geometry and Grid Generation

Fixed Grid Adaptive Grid

Tighter CAD coupling Large scale parallel mesh generation Automated in-situ mesh _{with adaptive control} Production AMR in CFD codes

Uncertainty propagation capabilities in CFD Grid convergence for a

complete configuration Multi-regime turbulence-chemistry interaction model Chemical kinetics in LES Chemical kinetics calculation speedup Combustion

Unsteady, 3D geometry, separated flow (e.g., rotating turbomachinery with reactions)

Figure 1.1: Perspectives et differents axes de d´eveloppement de la cfd jusqu’`a 2030 vu par la nasa. trl indique le niveau de maturit´e de la technique. [Figure extraite de [271]]

100 Giga 1 Tera 10 Tera 100 Tera 1 Peta 10 Peta 100 Peta 1 Exa 1991 1994 1997 2000 2003 2006 2009 2012 2015 2018 2021 Ann´ee ✲ Rp e a k e n fl o p s/ s ✻

Figure 1.2: ´Evolution des performances des supercalculateurs sur les 25 derni`eres ann´ees correspondant au

premier rang du top 500 mondial [Source www.top500.org]. Rpeak correspond au nombre maximum th´eorique

de calcul `a virgule flottante par seconde.

est aujourd’hui suffisamment court pour r´ealiser des ´etudes param`etriques (Fig. 1.3). Le choix des industriels se porte le plus souvent sur les mod`eles `a une ou deux ´equations de transport, motiv´e par leur robustesse num´erique dans un contexte o`u les g´eom´etries sont toujours plus complexes. L’approche statistique b´en´eficie encore d’un potentiel de d´eveloppment dans l’industrie par l’interm´ediaire des fermetures du second ordre qui n’y sont pas encore les plus r´epandues [129]. En effet, le surcoˆut de calcul d’un mod`ele du second ordre2 _n’est

1. CONTEXTE 3 plus aujourd’hui un argument compar´e au coˆut des approches instationnaires de type les ou hybride rans/les. Le mod`ele statistique universel, capable de g´erer tous les types ´ecoulements, n’existe pas encore et les industriels utilisent une boˆıte `a outils contenant un certain nombre de fermetures statistiques qu’ils choisissent en fonction de l’application vis´ee [129]. Aujourd’hui, les mod`eles du second ordre ont atteind un stade de maturit´e avanc´e (Fig. 1.1) et l’obtention de fermetures plus universelles n´ecessite une nouvelle rupture technologique [70]. Malgr´e les difficult´es que pr´esentent le d´eveloppement de cette prochaine g´en´eration de fermetures statistiques, plusieurs axes de recherche sont investigu´es: l’augmentation du nombre d’´equations de transport (fermeture des composantes du tenseur du taux de dissipation des tensions de Reynolds [113] ou de la corr´elation triple de vitesse [227]), la r´evision des hypoth`eses statistiques simplificatrices sur les corr´elations d’ordre ´elev´e [234] ou la mod´elisation de tenseurs de structures [298].

Figure 1.3: Estimation du coˆut calcul et m´emoire des diff´erentes approches historiques de la cfd permettant de faire l’analyse d’un profil d’aile puis d’une aile et enfin d’un avion complet. ”Le grand d´efi” est la r´ealisation d’´etudes param´etriques instationnaires sur un avion entier. [Figure extraite de [11]]

Devant les possibilit´es offertes par les supercalculateurs actuels, les efforts de la communaut´e scientifique et industrielle se concentrent actuellement sur les approches dites instationnaires [70]. Ces m´ethodes permettent de simuler des ´ecoulements comportant de fortes insationnarit´es non-d´eterministes (interaction onde de choc couche limite turbulente, lach´es tourbillonnaires, d´ecrochage etc...) et d’obtenir des informations d´ependant du temps, intrins`equement inaccessibles par les approches statistiques. Le calcul de champs instationnaires r´epond ´egalement `a un besoin industriel dans le cadre de la mise au point de nouvelles technologies de contrˆole d’´ecoulement, d’´etudes a´eroacoustiques et de mod´elisations de processus chimiques complexes.

Il y a cinquante ans, la simulation des grandes ´echelles classiques (les canonique) a introduit le concept de mod´elisation de la turbulence lors d’une r´esolution instationnaire des ´equations de Navier-Stokes. Afin de ne pas payer le coˆut d’une r´esolution directe (dns), les petites ´echelles turbulentes sont mod´elis´ees avec un mod`ele de sous-maille alg´ebrique permettant ainsi de r´eduire les contraintes sur le maillage spatial et temporel. Initialement utilis´ee dans le cas d’´ecoulements m´et´eorologiques, la les canonique se prˆete bien `a la simulation d’´ecoulements non-born´es (loin de la paroi solide). Les mod`eles de sous-maille alg´ebriques sont construits sur l’hypoth`ese forte d’isotropie des petites structures turbulentes mod´elis´ees. Dans le cas des ´ecoulements aerodynamiques, la taille et l’anisotropie des structures turbulentes dans la couche limite contraigent l’utilisateur `a utiliser un maillage fin proche paroi. Le coˆut de calcul de la les canonique ne peut alors ˆetre r´eduit que d’un facteur 10 par rapport `a la dns. Des calculs les canoniques pr´edictifs sur des g´eom´etries industrielles complexes ne sont donc pas envisageables.

Apparues `a la fin des ann´ees 1990, les approches hybrides rans/les visent `a contourner ce probl`eme en augmentant la portion mod´elis´ee de l’´energie cin´etique turbulente en particulier dans la couche limite. Elles utilisent des mod`eles de sous-mailles `a ´equations de transport d´evelopp´es par analogie avec des fermetures statis-tiques et ne font pas l’hypoth`ese d’isotropie des structures turbulentes. Il est attendu que les approches hybrides rans/les s’imposent dans les prochaines ann´ees comme m´ethode privil´egi´ee pour simuler les ´ecoulements

forte-ment instationnaires dont la pr´edictibilit´e est aujourd’hui insuffisante (les canonique/dns sous r´esolue ou hors du domaine de pr´edictibilit´e des approches statistiques). Des simulations de configurations de vols d’avions complets `a l’aide de m´ethodes hybrides ont d´ej`a ´et´e r´ealis´ees [191]. Les r´esultats montrent le potentiel de ces m´ethodes mais le gain de pr´edictibilit´e par rapport `a l’approche statistique ne justifie par encore le coˆut pro-hibitif du calcul. Les progr`es des fermetures statistiques et en particulier du second ordre laissent pr´esager une am´elioration des m´ethodes hybrides rans/les dans les prochaines ann´ees [271].

2

Objectifs de l’´

etude

Cette th`ese se situe dans la continuit´ee des travaux entrepris par Gerolymos et Vallet [108] sur le d´eveloppement d’un mod`ele de sous-maille `a 7 ´equations de transport bas´e sur une fermeture statistique du second ordre. L’objectif est d’utiliser la fermeture statistique du second ordre d´evelopp´ee par Gerloymos-Lo-Vallet-Younis [96] pour construire un mod`ele de sous-maille dont la quantit´e d’´energie cin´etique turbulente mod´elis´ee est r´egl´ee via un param`etre de contrˆole. L’approche hybride rans/les propos´ee est bas´ee sur la m´ethode d´evelopp´ee par Girimaji [118] nomm´ee Partially Averaged Navier-Stokes (pans). Elle est mise en œuvre pour reproduire l’exp´erience r´ealis´ee `a l’Office National ´Etude et de Recherche A´erospatial (onera) du buffet transsonique sur le profil d’aile oat15a o`u la pr´esence d’une interaction onde de choc/couche limite turbulente fait ´emerger un mouvement auto-entretenu de l’onde de choc au niveau de l’extrados du profil d’aile. Comme nous le verrons, ce cas test est pertinent pour ´evaluer des m´ethodes hybrides rans/les puisqu’il est trop coˆuteux en dns et que la pr´esence d’une instationnarit´e non-d´eterministe basse fr´equence ne permet pas de pr´edire correctement le champ moyen avec une approche statistique.

3

Plan de l’´

etude

Dans un premier temps, les ´equations turbulentes exactes moyenn´ees et filtr´ees sont d´etaill´ees. Le formalisme math´ematique est pr´esent´e de sorte `a rendre coh´erent la transition entre les ´equations turbulentes exactes moyenn´ees et les ´equations turbulentes filtr´ees. La fermeture statistique du second ordre `a la base de l’approche hybride rans/les est pr´esent´ee, suivie des r´esultats obtenus avec l’approche statistique sur les ´ecoulements autour des profils d’ailes oat15a et naca0012 avant le d´eclenchement du buffet transsonique. Par la suite, un ´etat de l’art des approches hybrides rans/les est d´etaill´e avant d’introduire le mod`ele de sous-maille d´evelopp´e dans le cadre de cette ´etude. Finalement, les r´esultats obtenues avec l’approche hybride rans/les pour le cas test du buffet transsonique du profil oat15a sont pr´esent´es et analys´es.

Les calculs ont ´et´e r´ealis´es avec le code open source aerodynamics3_{d´evelopp´e par Gerolymos et Vallet. Il} est ´ecrit en fortran et utilise la librairie openmp pour la parall´elisation. Ce code est 3d structur´e et utilise des sch´emas d’ordre ´elev´e (jusqu’`a l’ordre 17 en dns). Il contient des outils de g´en´eration du maillage, de statistiques embarqu´ees et de post-traitement. Les approches rans avec mod`eles du second ordre et dns ont ´et´e impl´ement´ees dans le cadre de projets ant´erieurs. L’approche pans avec mod`eles du second ordre ´etait partiellement impl´ement´ee et a n´ecessit´e des travaux de d´eveloppement qui ont ´et´e men´es au cours de cette th`ese (initialisation, statistiques embarqu´ees, post-traitement). Les r´esultats des calculs sont visualis´es avec le logiciel open source paraview4_.

Les travaux r´ealis´ees dans cette th`ese prennent part au projet anr-15-ce06-0009 NumERICCS (Numerical

and Experimental Research for Improved Control of Compressor Surge) qui rassemble Sorbonne Universit´e, Arts&M´etiers Paritech, l’´Ecole Centrale de Lille, l’onera et Safran Aircraft Engines. Ce projet vise `a am´eliorer la pr´ediction et le contrˆole du ph´enom`ene de pompage des compresseurs axiaux des turbor´eacteurs. Les calculs ont ´et´e r´ealis´es grˆace aux heures allou´ees par le genci–idris (allocation 2016–020218).

3_{www.aerodynamics.fr} 4_{www.paraview.org}

Chapitre 2

´

Equations de transport turbulentes

exactes

Les structures tourbillonnaires des ´ecoulements turbulents sont d´ecrites par des ´echelles relatives `a leur taille, leur vitesse et leur temps caract´eristiques [302]. Chaque grandeur stochastique intensive de l’´ecoulement poss`ede ses propres ´echelles, difficilement calculables sans l’´etude approfondie de r´esultats dns. Cependant, il est possible de simplifier cet ensemble de caract´eristiques par une analyse dimensionnelle. Les travaux de Richardson [246] et Kolmogorov [166,167] ont marqu´e le d´ebut de la compr´ehension des m´ecanismes de production, interaction et destruction de ces tourbillons (avec l’hypoth`ese d’une turbulence homog`ene `a grand nombre de Reynolds). Dans le cadre de leur proposition, le champ moyen de l’´ecoulement produit les plus grosses structures productrices qui se fragmentent successivement jusqu’aux plus petites structures dissipatives dans un m´ecanisme de cascade ´energ´etique. L’´energie cin´etique des plus petits tourbillons se dissipent en chaleur par action de la viscosit´e. Les ´echelles de Kolmogorov1<sub>donnent un ordre de grandeur de leur temps, vitesse et longueur caract´eristiques</sub> en dessous desquelles les variables de l’´ecoulement ne fluctuent plus. Les petites structures dissipatives sont plus universelles que les structures g´en´eratrices contenant la majeure partie de l’´energie cin´etique turbulente. Ainsi, l’estimation des ´echelles de Kolmogorov reste pertinente lorsque la turbulence est inhomog`ene. L’´echelle

de longueur de Kolmogorov ´etant nettement sup´erieure au libre parcours moyen des mol´ecules 2 _{, l’´etude}

macroscopique des ´ecoulements subsoniques et supersoniques est r´ealis´ee dans le cadre de la m´ecanique des milieux continus.

Ce chapitre vise `a exposer les hypoth`eses et les outils math´ematiques utilis´es pour d´ecrire les ´ecoulements

turbulents. La d´etermination du champ moyen (sans d´ependance temporelle 3_{) ou du champ filtr´e (avec}

d´ependances temporelles) n´ecessite des outils diff´erents. Une fois les ´equations du mouvement instantan´ees introduites, le formalisme statistique permettant d’´etablir les ´equations de transport moyenn´ees, utilis´ees dans la mod´elisation statistique de la turbulence (ou Reynolds Averaged Navier-Stokes – rans), sera d´evelopp´e. Bien que la majeure partie de ce travail soit consacr´ee aux mod´elisations de la turbulence hybride (´equations filtr´ees) destin´ees `a la simulation d’´ecoulements instationnaires non d´eterministes, ce formalisme statistique occupe une place importante, puisque les mod`eles de turbulence hybrides sont d´evelopp´es par analogie avec ce formalisme.

1_{Les ´echelles de Kolmogorov sont [167]:}

TK= q_ν ε ; LK= Å ν3 ε ã1/4 ; UK = (νε)1/4

o`u TK est l’´echelle de temps, ν la viscosit´e cin´ematique, ε le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente k, LK l’´echelle de

longueur et UK l’´echelle de vitesse. Ainsi:

ReTK =

k νε= 1 o`u ReTK est le nombre de Reynolds turbulent de Kolmogorov.

2_{L’approche continue est justifi´ee lorsque:}

Lm

LK

= Kn610−2

o`u Lmrepr´esente le libre parcours moyen et Knle nombre de Knudsen. 3_{Ce qui ne signifie ´evidement pas que l’´ecoulement soit stationnaire.}

Finalement, l’approche filtr´ee sera pr´esent´ee pour mettre en ´evidence les termes `a mod´eliser lors d’une r´esolution Partially Averaged Navier Stokes – pans (ou hybride rans/les).

1

Equations de Navier-Stokes instantan´

´

ees

Les ´equations de Navier-Stokes, sous formes conservatives, sont: ∂ρ ∂t + ∂ρuℓ ∂xℓ = 0 (2.1a) ∂ρui ∂t + ∂ρuℓui ∂xℓ = ∂ ∂xℓ(τiℓ− pδiℓ) + ρfvi (2.1b) ∂ ∂t(ρht− p) + ∂ρuℓht ∂xℓ = ∂ ∂xℓ (uiτiℓ− qℓ) (2.1c)

o`u t est le temps, xℓ les coordonn´ees spatiales dans un r´ef´erentiel Galil´een, ui les composantes du vecteur vitesse, ρ la masse volumique, τiℓ le tenseur sym´etrique des contraintes visqueuses, p la pression statique, δiℓ le symbole de Kronecker, ht l’enthalpie totale 4, qℓ les composantes du vecteur flux de chaleur et fvi les

composantes des forces volumiques5 _{qui seront n´eglig´ees dans les ´ecoulement ´etudi´es ici. Les ´equations de} Navier-Stokes ne font pas d’hypoth`eses sur la rh´eologie du fluide consid´er´e. L’air, se comporte comme un gaz thermodynamiquement et caloriquement parfait dans une gamme de temp´erature allant d’environ 100K `a 400K suivant la loi d’´etat:

p = ρRgT ; h = cpT (2.2a)

cp= γ

γ − 1Rg (2.2b)

o`u Rg = 287.04 m2s−1K−1 est la constante du gaz, T la temp´erature statique, cp la chaleur sp´ecifique `a pression constante et γ = 1.4 son exposant isentropique. Le fluide est Newtonien et l’on fait l’hypoth`ese de Stokes:

λ +2

3µ = 0 (2.3)

o`u µ = µ(T ) est la viscosit´e dynamique premi`ere et λ = λ(T ) est la viscosit´e dynamique seconde. Le tenseur des contraintes visqueuses est donc:

τiℓ= µ Å ∂ui ∂xℓ +∂uℓ ∂xi − 2 3 ∂uk ∂xk δiℓ ã = 2µ Å Siℓ− 1 3δiℓSkk ã (2.4) o`u µ = µ(T ) est la viscosit´e dynamique et Siℓ le tenseur des d´eformations. Le flux de chaleur de chaleur mol´eculaire est d´etermin´e `a l’aide de la loi de comportement thermique de Fourier:

qℓ= −κ ∂T

∂xℓ (2.5)

o`u κ = κ(T ) est la conductivit´e thermique. Les loi semi-empirique 6 _{de Sutherland modifi´ees [103] sont}

4_{L’enthalpie totale est reli´ee `a l’´energie interne par la relation suivante: h}

t= h +1₂ukuk= e +ρp+12ukuko`u h est l’enthalpie

statique et 1₂ukukl’´energie cin´etique.

5_{La gravit´e, la pseudo-force de Coriolis (´ecoulements atmosph´eriques) ou les forces ´electromagn´etique (magn´etohydrodynamique)}

sont des forces volumiques.

6_{Sutherland [300] suppose que la viscosit´e d’un fluide Newtonien est la cons´equence du choc des mol´ecules entre elles, sous leurs}

2. FORMULATION STATISTIQUE DES ´EQUATIONS DE MOUVEMENT 7 utilis´ees pour d´eterminer la viscosit´e dynamique et la conductivit´e thermique:

µ(T ) = µ0 ï _T Tµ0 ò3 2 S µ+ Tµ0 Sµ+ T (2.6a) κ(T ) = κ0 µ(T ) µ0 (1 + Aκ(T − Tµ0)) (2.6b) o`u µ0 ≡ µ(Tµ0) = 17.11 × 10−6 Pa s, Tµ0 = 273 K, Sµ = 110.4 K, κ0 ≡ κ(Tµ0) = 0.0242 W m−1K−1, Aκ= 0.00023 K−1.

2

Formulation statistique des ´

equations de mouvement

2.1

D´

efinition des d´

ecompositions de Reynolds et de Favre

Quelle que soit l’approche utilis´ee, l’´etude des ´ecoulements turbulents vise `a d´eterminer ses grandeurs moyennes afin d’obtenir les informations n´ecessaires `a un dimensionnement m´ecanique (approches statistiques ou hybrides) ou `a la mise au point de mod`eles (approche directe sans mod`eles – dns). En outre, la simulation d’´ecoulements turbulents avec une mod´elisation statistique de la turbulence (rans) correspond `a la r´esolution des ´equations du mouvement moyenn´ees de l’´ecoulement auxquelles est ajout´ee une mod´elisation statistique de la turbulence. L’op´erateur de moyenne d’ensemble not´e h.i est d´efinit:

hΦi(~x, t) := lim N →∞ 1 N N X n=1 Φn(~x, t) (2.7)

o`u Φ est une grandeur physique stochastique de l’´ecoulement, ~x le vecteur position et N le nombre de mesures ind´ependantes de cette grandeur. Si l’on consid`ere un ´ecoulement stationnaire avec l’hypoth`ese d’un syst`eme ergodique, les mesures prises `a diff´erents instants sont ind´ependantes. La moyenne d’ensemble discr`ete est alors ´equivalente `a une moyenne temporelle continue:

hΦi(~x) = lim T →∞ 1 t Z t+T t Φ(~x, t∗)dt∗ (2.8)

Chaque grandeur physique instantan´ee est d´ecomposable en une partie moyenne et une partie fluctuante (.)′ selon la d´ecomposition de Reynolds [244]:

Φ = hΦi + Φ′ (2.9)

On d´eduit des propri´et´es de la moyenne, un ensemble de propri´et´es indispensables `a l’´etablissement des ´equations de transport moyenn´ees (lin´earit´e et commutativit´e avec la d´erivation temporelle et spatiale):

hΦ′i = 0 (2.10a)

hhΦii = hΦi (2.10b)

hαΦ + Ψi = αhΦi + hΨi (2.10c)

≠ ∂Φ ∂t ∑ = ∂hΦi ∂t (2.10d) ≠ ∂Φ ∂xi ∑ = ∂hΦi ∂xi (2.10e)

hΦΨi = hΦihΨi + hΦ′ihΨ′i (2.10f)

volumique ρ′ _{n’est pas n´egligeable dans le cas d’´ecoulements compressibles} 7 _{[111]. Ainsi, l’utilisation de la} d´ecomposition de Reynolds (Eq. 2.9) pour moyenner les ´equations de Navier-Stokes produit un grand nombre

de termes non-lin´eaires (une corr´elation de N variables produit 2N _{− N termes) dont les fermetures sont `a}

d´eterminer. Afin de simplifier les ´equations de Navier-Stokes moyenn´ees compressibles, Favre [82, 83] a propos´e une d´ecomposition alternative (sauf pour ρ et p) permettant d’int´egrer les fluctuations de masse volumique dans les corr´elations statistiques8 _{qui utilise une moyenne pond´er´ee par la masse volumique not´ee {.}:}

Φ = {Φ} + Φ′′ ; {Φ} :=hρΦi

hρi (2.11)

ρ = hρi + ρ′ ; hρ′i = 0 (2.12)

p = hpi + p′ ; hp′i = 0 (2.13)

avec les propri´et´es suivantes:

h{Φ}i = {Φ} (2.14a)

{Φ′′} = 0 (2.14b)

hΦ′′i = hΦi − {Φ} = −hρ′Φ′′i/hρi 6= 0 (2.14c)

hρΦi = hρi{Φ} (2.14d)

hρΦ′′i = hρΦi − hρi{Φ} = 0 (2.14e)

hΦ′_Ψ′′_{i = hΦ}′′_Ψ′_{i = hΦ}′_Ψ′_{i (2.14f)}

hρΦ′′Ψ′′i = hρi{Φ′′Ψ′′} (2.14g)

Nous appellerons couramment la moyenne d’ensemble h.i moyenne de Reynolds et la moyenne d’ensemble pond´er´ee masse {.} moyenne de Favre.

2.2

Equations de Navier-Stokes moyenn´

´

ees

En utilisant les d´ecompositions de Favre et de Reynolds, les ´equations de conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement moyenn´ees sont respectivement:

∂hρi ∂t + ∂hρi{uℓ} ∂xℓ = 0 (2.15a) ∂hρi{ui} ∂t + ∂hρi{uℓ}{ui} ∂xℓ = ∂

∂xℓ(hτiℓi − hpiδiℓ− hρu ′′

iu′′ℓi) (2.15b)

L’apparition du tenseur de Reynolds −hρu′′

iu′′ℓi = −hρi{u′′iu′′ℓ} = −hρiriℓ est due `a la non lin´earit´e du terme de convection (comportement hyperbolique) et rend compte de l’influence de la turbulence sur le champ moyen. L’enthalpie totale est d´efinie par:

{ht} = {h} +1

2{uk}{uk} + k (2.16)

o`u k = 1

2{u′′iu′′i} est l’´energie cin´etique turbulente et 12{uk}{uk} est l’´energie cin´etique de l’´ecoulement moyen. La conservation de l’´energie totale moyenn´ee n´ecessite une attention particuli`ere. En effet, l’inconnue du syst`eme hρhti introduit un couplage entre la conservation de l’´energie totale et l’´energie cin´etique turbulente k. Sa fermeture dans le cadre de la mod´elisation statistique de la turbulence est par cons´equent directement 7_{Une ´etude dns r´ecente montre que le pic de}p_hρ′2_{i/hρi atteint 0.14 dans la zone tampon d’un canal turbulent `a Reynolds}

Reτ∗ _{= 112 et Mach 2.48 [111].}

8_{L’´etude th´eorique d’une couche limite compressible a n´eanmoins pu ˆetre r´ealis´ee par Van Driest [312] avant l’apparition de la}

2. FORMULATION STATISTIQUE DES ´EQUATIONS DE MOUVEMENT 9 li´ee `a celle de k ou du tenseur de Reynolds. Ceci complique le d´eveloppement des mod`eles de turbulence9_[311]. C’est la raison pour laquelle, nous introduisons ˆht [104]:

ˆ

ht:= {h} + 1

2{uk}{uk} (2.17)

o`u ˆ(.) est une fonction de la moyenne d’ensemble pond´er´ee masse mais n’est ni une moyenne de Reynolds ni une moyenne de Favre. Le terme source de l’´equation de transport de l’´energie totale moyenn´ee est alors directement reli´e `a l’´equation de transport de l’´energie cin´etique turbulente k:

∂ ∂t Ä hρiˆht− hpi ä +∂hρi{uℓ}ˆht ∂xℓ = ∂ ∂xℓ ï

{ui}hτiℓi + hu′′iτiℓi − {ui}hρu′′iu′′ℓi − 1 2hρu′′iu′′iuℓ′′i − hqℓi − hρh′′u′′ℓi ò − ï ∂hρik ∂t + ∂hρi{uℓ}k ∂xℓ ò | {z } Sk = ∂

∂xℓ[{ui}hτiℓi − {ui}hρu ′′ iu′′ℓi − hqℓi − hρh′′u′′ℓi] + ≠ τıℓ′ ∂u′ i ∂xℓ ∑ | {z } hρiε(τ ) + hρu′′iu′′ℓi∂{u i} ∂xℓ | {z } −Pk +hτiℓi∂hu ′′ ii ∂xℓ + hu ′′ ℓi∂hpi_∂x ℓ +∂hu′ℓp′i ∂xℓ − ≠ p′∂u′ℓ ∂xℓ ∑ | {z } Sˆ_ht (2.18) o`u hρh′′_u′′

ℓi est le flux de chaleur turbulent, hqℓi le flux de chaleur moyen et Sk le terme source de l’´equation de transport de l’´energie cin´etique turbulente k. L’´equation de transport de l’´energie totale (Eq. 2.18) est r´e´ecrite afin de faire apparaˆıtre le terme source Sˆ_ht o`u ε(τ ), Pk et ∂hu

′ ℓp

′ i

∂xℓ sont respectivement le taux de

dissipation, la production et la diffusion de pression de l’´energie cin´etique turbulente k (Eq. 2.32). Les termes hτiℓi∂hu ′′ ii ∂xℓ , hu ′′ ℓi∂hpi∂xℓ et ¨ p′ ∂u′ℓ ∂xℓ ∂

correspondent aux effets directs de la compressibilit´e. La loi d’´etat des gaz thermodynamiquement parfaits moyenn´ee s’´ecrit:

hpi = hρiRg{T } = γ γ − 1hρi Å ˆ ht−1 2{uk}{uk} ã (2.19) Les contraintes visqueuses moyenn´ees sont:

hτiℓi = Æ µ Ç ∂ui ∂xℓ +∂uℓ ∂xi− 2 3 ∂uk ∂xk δiℓ å∏ = 2 Æ µ({T } + T′′) Ç Siℓ′′− 1 3δiℓS ′′ kk å∏ + 2µ({T }) Ç {Siℓ} − 1 3δiℓ{Skk} å + 2 hµ({T } + T′′_{) − µ({T })i} Ç {Siℓ} − 1 3δiℓ{Skk} å (2.20)

o`u Siℓ est le tenseur de d´eformation. Le flux de chaleur moyen est: hqℓi = − ≠ κ({T } + T′′)∂T′′ ∂xℓ ∑ − κ({T })∂{T }_∂x ℓ − hκ({T } + T ′′_{) − κ({T })i}∂{T } ∂xℓ (2.21) La non-lin´earit´e de la loi de Sutherland et de la loi de comportement thermique de Fourier rend complexe les expressions de hτiℓi et hqℓi. Notons ´egalement qu’il n’est pas possible de calculer simplement T′′[311].

9_{L’´energie cin´etique turbulente doit ˆetre connue pour d´eterminer la pression, n´ecessaire `a la r´esolution (hpi =} γ

γ−1hρi({ht} − 1

2{uk}{uk} − k). Une possibilit´e, peu adapt´ee aux mod`eles rsm [104], est l’utilisation de la pression modifi´e p ∗

= hpi +2₃hρik [315]. Certains auteurs ne prennent pas en compte le couplage dans {ht} car il est n´egligeable dans le cas d’´ecoulements subsoniques [103].

2.3

Equations de transport des corr´

´

elations statistiques

Les ´equations de Navier-Stokes moyenn´ees (Eq. 2.15) et (Eq. 2.18) forment un syst`eme ouvert. Ainsi nous devons mod´eliser les tensions de Reynolds, le flux de chaleur turbulent et le terme source de l’´equation de transport de l’´energie totale moyenn´ee. Les fermetures des termes ouverts peuvent ˆetre obtenues soit, par la construction de relations alg´ebriques entre les diff´erentes grandeurs moyenn´ees connues de l’´ecoulement (hρi, hpi, {T } ,{ui} et ˆht), soit par l’ajout d’une ou plusieurs ´equations de transport des corr´elations turbulentes inconnues. La r´esolution d’´equations de transport suppl´ementaires permet de reproduire des comportements physiques non-locaux et de tenir compte de l’historique de certaines grandeurs turbulentes contrairement aux relations alg´ebriques. Cependant, la r´esolution de nouvelles ´equations de transport reporte l’´elaboration des fermetures sur des termes d’ordre statistique plus ´elev´e dont l’analyse th´eorique est plus complexe10_.

2.3.1 Echelles turbulentes int´´ egrales

Le tenseur de Reynolds −hρu′′

iu′′ji est un moment statistique d’ordre 2 sur la vitesse fluctuante qui ´evolue selon le ph´enom`ene de cascade ´energ´etique des structures turbulentes non d´eterministes. Sa loi de distribution est inaccessible [218] (sans hypoth`eses drastiques sur la nature de l’´ecoulement). La mod´elisation statistique des ´ecoulements turbulents ne permet pas d’obtenir de grandeurs fluctuantes instantan´ees. N´eanmoins, la th´eorie dimensionnelle de la cascade ´energ´etique [166] rend possible la mod´elisation du tenseur de Reynolds par l’interm´ediaire de ses ´echelles int´egrales de longueur Ln

rij (o`u n est la direction spatiale de l’´echelle) et de temps

Trij [192]. Pour cela on d´efinit les corr´elations `a deux points et `a deux temps:

CrLij±(~x, ~r) := hu′ i(~x, t)u′j(~x ± ~r, t)i p hu′2 i (~x, t)i » hu′2 j(~x ± ~r, t)i ; CrTij(~x, t ∗_{) :=} hu′i(~x, t)u′j(~x, t + t∗)i p hu′2 i (~x, t)i » hu′2 j(~x, t + t∗)i (2.22)

o`u ~x est le vecteur position, ~r un vecteur d´eplacement, t∗ _{une variable de temps, C}L±

ij la corr´elation `a

deux points et CT

ij la corr´elations `a deux temps. La pr´esence d’un exposant + ou − traduit la non-sym´etrie des corr´elations spatiales en r = 0 dans les directions o`u la turbulence est inhomog`ene [270]. Le choix des vecteurs ~x et ~r dans CrLij peut varier suivant les auteurs [158, 226] (on utilise ici la version d’Oberlack [226]).

Les corr´elations `a deux points sont d´ecomposables en une partie homog`ene et une partie inhomog`ene, ce qui permet d’´etudier l’influence de la paroi (partie inhomog`ene)11_{. Les ´echelles de longueurs et de temps, d´efinies} en chaque point de l’espace, sont [143]:

Lkrij±(~x) := Z ~ x±~em∈Ω CijL±(~x, r~em)dr; Trij(~x) := Z ∞ 0 CijT(~x, t′)dt′ (2.23)

o`u Ω est le domaine fluide et ~em un vecteur de ce domaine (~em, m ∈ [1; 3] forme une base orthonorm´ee). Kolmogorov [166] utilise l’analyse dimensionnelle pour d´efinir une ´echelle de longueur isotrope et une ´echelle de

temps, du mˆeme ordre de grandeur que Ln

rij(~x) et Trij(~x): L = ℓT = k 3/2 ε = O(L n± rij); T = k ε = O(Trij); U = √ k (2.24)

o`u L = ℓT est l’´echelle int´egrale isotropique de longueur, T l’´echelle int´egrale de temps, U l’´echelle int´egrale de vitesse et ε le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente. Actuellement aucun mod`ele anisotropique sur les ´echelles int´egrales de longueur n’a ´et´e formul´e. L’´elaboration d’un mod`ele pour le tenseur de Reynolds −hρirij correspond donc `a la d´etermination de la fonctionnelle Fij [286]:

rij(~x) = Fij({u}(~y), L(~y), T (~y), ~x); (~x, ~y) ∈ Ω2 (2.25)

10_{D’une part, les temps de convergence des moments statistiques, ´evalu´es `a partir de la dns, augmentent avec l’ordre, d’autre}

part, plus l’ordre est ´elev´e, plus le comportement tr`es proche paroi est compliqu´e `a mod´eliser et `a simuler num´eriquement.

2. FORMULATION STATISTIQUE DES ´EQUATIONS DE MOUVEMENT 11

2.3.2 Equation de transport exacte du tenseur de Reynolds´ hρu′′

iu′′ji

Toute une zoologie de mod`eles de turbulence ont ´et´e ´elabor´es `a partir d’hypoth`eses plus ou moins radicales sur les ´echelles int´egrales. Notre attention se portera sur les mod`eles au second ordre (r´esolvant l’´equation de transport des tensions de Reynolds) qui sont, `a l’heure actuelle, les plus avanc´es [184]. L’´equation de transport du tenseur de Reynolds exact o`u hρi{u′′

iu′′j} = hρirij est: ∂hρirij ∂t + ∂hρi{uℓ}rij ∂xℓ | {z } Cij = −_∂x∂ ℓhρu ′′ ℓu′′iu′′ji | {z } d(u)_ij −_∂x∂ ℓ hu ′

ip′iδℓj+ hu′jp′iδiℓ
| {z } d(p)_ij + ∂ ∂xℓ hu ′ iτjℓ′ i + hu′jτiℓ′i
| {z } d(τ )_ij + Æ p′ Ç ∂u′ i ∂xj + ∂u′ j ∂xi − 2 3 ∂u′ ℓ ∂xℓδij å∏ | {z } φij + ≠₂ 3p ′∂u′ℓ ∂xℓ ∑ δij | {z } 2 3φpδij + Å −hu′′ii∂hpi ∂xj − hu ′′ ji∂hpi ∂xi + hu ′′ ii∂hτ jℓi ∂xℓ + hu ′′ ji∂hτ iℓi ∂xℓ ã | {z } Kij + Å −hρirℓj∂{ui} ∂xℓ − hρiriℓ ∂{uj} ∂xℓ ã | {z } Pij − ÇÆ τiℓ′ ∂u′ j ∂xℓ ∏ + ≠ τjℓ′ ∂u′ i ∂xℓ ∑å | {z } hρiε(τ )ij (2.26)

avec le terme de corr´elation-vitesse gradient de pression [193]: Πij= Φij+ dpij+ 2 3Φpδij= − ≠ u′i ∂p′ ∂xj + u′j ∂p′ ∂xi ∑ (2.27) le terme de diffusion turbulente:

d(T )ij = d (u) ij + d (p) ij (2.28) et le terme de diffusion: dij= d(u)ij + d (p) ij + d (τ ) ij (2.29)

o`u d(u)_ij est le terme de diffusion dˆu aux fluctuations de vitesse, d(p)_ij la diffusion due aux fluctuations de pression et d(τ )_ij la diffusion mol´eculaire ou visqueuse. Le terme de redistribution φij est responsable de la

redistribution de l’´energie cin´etique turbulente entre les composantes normales du tenseur de Reynolds rij

d’une part et entre les tensions crois´es de rij d’autre part, sans modification de l’´energie cin´etique turbulente puisque φii = 0. Ce terme qui n’apparait pas dans l’´equation de l’´energie cin´etique turbulente k12, constitue le point cl´e des fermetures du second ordre puisque c’est un terme de couplage direct entre les ´equations des diff´erentes tensions de Reynolds.

Le terme Kij correspond aux effets directs de compressibilit´e et 2₃φpδij est la corr´elation de pression dilata-tion. Morkovin [219] suppose que le comportement des structures turbulentes dans les ´ecoulements supersoniques (en particulier dans la couche limite) est tr`es peu influenc´e par la compressibilit´e pour M 6 5 (o`u M est le nombre de Mach). En effet, les changements de pression sur des distances de l’ordre de L sont n´egligeables devant ceux survenant aux passages des ondes de choc. En ´ecoulement subsonique, les termes de compressibilit´e peuvent ´egalement ˆetre n´eglig´es si Tw/Te < 6 (o`u Tw est la temp´erature de la paroi et Te la temp´erature en sortie de couche limite). Cette hypoth`ese est g´en´eralement admise dans la construction de mod`eles et permet l’omission de Kij et de 2<sub>3</sub>φpδij. Pour ´etendre en ´ecoulement compressible des mod`eles construits en approxima-tion incompressible (hρi ≈ cst), on substitut la d´ecomposiapproxima-tion de Favre `a la d´ecomposiapproxima-tion de Reynolds [276] et on n´eglige les fluctuations de masse volumique ρ′_{. Ainsi seules les variations de la masse volumique moyenne}

12_{L’anisotropie des tensions de Reynolds des fermetures turbulentes bas´ees sur une ´equation de transport de l’´energie cin´etique}

hρi sont prises en compte.

Le terme hρiε(τ )ij est le taux de dissipation du tenseur de Reynolds par action de la viscosit´e, autrement dit sa conversion en chaleur. Dans le cadre d’une mod´elisation au second ordre, seul les termes de convection Cij et de production par action du champ moyen Pij sont exacts. On choisit une d´efinition alternative de la dissipation, not´ee hρiε(µ)ij , afin que le terme de diffusion visqueuse soit exact [109]:

hρiε(µ)ij = ∂ ∂xℓ Æ µ∂u ′ iu′j ∂xℓ ∏ − Æ u′i ∂τ′ jℓ ∂xℓ + u ′ j ∂τ′ iℓ ∂xℓ ∏ ; d(µ)ij = ∂ ∂xℓ Æ µ∂u ′ iu′j ∂xℓ ∏ (2.30) Finalement les ´equations de transport des tensions de Reynolds peuvent se mettre sous la forme simplifi´ee:

Cij = Pij+ d(u)ij + d (p) ij + d (µ) ij + φij+ 2 3φpδij+ Kij− hρiε (µ) ij (2.31)

o`u il est n´ecessaire de d´eterminer des fermetures pour les termes: d(u)ij , d (p)

ij , φij et hρiε(µ)ij si on n´eglige les effets directs de compressibilit´e Kij et φp.

2.3.3 Equation de transport exacte de l’´´ energie cin´etique turbulente k

L’´equation de transport de l’´energie cin´etique turbulente k est obtenue en prenant la demi trace de l’´equation de transport du tenseur de Reynolds (Eq. 2.26):

∂hρik ∂t + ∂{uℓ}hρik ∂xℓ | {z } Ck = −1_2∂x∂ ℓhρu ′′ ℓu′′iu′′ii | {z } d(u)_k −_∂x∂ ℓ(hu ′ ℓp′i) | {z } d(p)_k + ∂ ∂xℓ(hu ′ iτiℓ′ i) | {z } d(τ )_k + ≠ p′∂u ′ ℓ ∂xℓ ∑ | {z } φp

−hρirℓi∂{ui} ∂xℓ | {z } Pk − ≠ τiℓ′ ∂u′ i ∂xℓ ∑ | {z } hρiε(τ ) + Å −hu′′ii∂hpi_∂x i + hu ′′ ii∂hτ iℓi ∂xℓ ã | {z } Kk (2.32)

o`u Ck=1₂Ciiest le terme de convection, d(u)k = 12d (u)

ii la diffusion due aux fluctuations de vitesse, d (p) k = 12d (p) ii la diffusion de pression, d(τ )_k = 1 2d (τ )

ii la diffusion de visqueuse, Pk = 1₂Pii la production, hρiε(τ ) = 1₂hρiε(τ )ii le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulence k, Kk= 1₂Kii le terme correspondant aux effets directs de compressibilit´e et φp est la corr´elation pression-dilatation. Le terme de redistribution φij dont la trace est nulle n’apparaˆıt donc pas dans le budget de l’´energie cin´etique turbulente. La d´ecomposition du taux de dissipation des tensions de Reynolds ε(µ)_ij (Eq. 2.30) s’applique ´egalement au taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente ε(µ)_: hρiε(µ)= ∂ ∂xℓ ≠ µ∂k ∂xℓ ∑ − ≠ u′i ∂τ′ iℓ ∂xℓ ∑ ; d(µ)k = ∂ ∂xℓ ≠ µ∂k ∂xℓ ∑ (2.33) A l’instar de l’´equation de transport des tensions de Reynolds, cette formulation permet au terme de dis-sipation visqueuse d’ˆetre exact. Finalement l’´equation de transport de l’´energie cin´etique turbulente peut se mettre sous la forme simplifi´ee:

Ck= Pk+ d(u)_k + d(p)_k + d(µ)_k + φp+ Kk− hρiε(µ) (2.34)

o`u il est n´ecessaire de d´eterminer des fermetures pour les termes: Pk, d(u)_k , d(p)_k , et hρiε(µ)si les termes de compressibilit´e Kket φp sont n´eglig´es.

2.3.4 Equations de transport exactes du tenseur de dissipation du tenseur de Reynolds´ εij

Afin de d´eterminer la fonctionnelle Fij (Eq. 2.25), il est n´ecessaire d’ajouter une ´echelle turbulente de longueur ℓT = L ou de temps T `a l’´echelle de vitesse turbulente U d´etermin´ee par la r´esolution des ´equations de transport du tenseur de Reynolds ou de l’´energie cin´etique turbulente. Certains auteurs [31, 122] proposent d’estimer l’´echelle de longueur turbulente ℓT = L `a partir de la longueur de m´elange propos´ee par Prandtl [235, 236]:

2. FORMULATION STATISTIQUE DES ´EQUATIONS DE MOUVEMENT 13

L ∝ Lm= κy =⇒ hρiε(µ)ii ≡ CLk 3/2

y (2.35)

o`u κ est la constante de Van Karman, Lmla longueur de m´elange, y la distance normale `a la paroi et CL une constante. La d´etermination g´eom´etrique de l’´echelle de longueur turbulente est peu adapt´ee aux ´ecoulements complexes et reste aujourd’hui tr`es marginale dans les mod`eles statistiques [322]. N´eanmoins, les mod´elisations hybrides de la famille des Detached Eddy Simulation (des) utilisent la g´eom´etrie de la configuration ´etudi´ee pour d´eterminer l’´echelle de longueur turbulente en compl´ement de la r´esolution de l’´equation de transport de l’´energie cin´etique turbulente13 _{(avec des mod`eles de sous-maille `a deux ´equations k − ε [187] et k − ω [297]) ,} comme nous le verrons au chapitre 4.

La r´esolution d’´equations de transport suppl´ementaires du tenseur de dissipation du tenseur de Reynolds hρiε(µ)ij ou de sa demi-trace hρiε(µ) permet de d´eterminer les ´echelles turbulentes de longueur et de temps. L’´etablissement d’une ´equation de transport pour hρiε(µ)ij fait apparaitre de nombreux termes compressibles dont la fermeture est difficile. L’´equation de transport exacte est par cons´equent ´etablie avec l’approximation d’un ´ecoulement incompressible. Elle est ensuite ´etendue aux ´ecoulements compressibles via hρi selon l’hypoth`ese de Morkovin [219]. En ´ecoulement incompressible, la dissipation de l’´energie cin´etique turbulente est la corr´elation du gradient de vitesse fluctuante [233]:

ε(µ)_ij = 2ν Æ ∂u′ i ∂xk ∂u′ j ∂xk ∏ ; (2.36)

o`u ν = µ/ρ =cst est la viscosit´e cin´ematique. L’extension en ´ecoulement compressible du tenseur de

dissipation du tenseur de Reynolds via hρi est:

ε(µ)ij = εij = 2ˆν Æ ∂u′ i ∂xk ∂u′ j ∂xk ∏ (2.37) Son ´equation de transport est obtenue `a partir de l’´equation de transport de la vitesse fluctuante [112]:

∂hρiεij ∂t + ∂hρi{uℓ}εij ∂xℓ | {z } C_εij = ∂ ∂xℓ Å ˆ µ∂εij ∂xℓ ã | {z } d(µ)_εij −_∂x∂ ℓ Ç hρi Æ 2νu′ℓ ∂u′ i ∂xk ∂u′ j ∂xk ∏å | {z } d(u)_εij −hρiεiℓ∂{uj}

∂xℓ − hρiεjℓ ∂{ui} ∂xℓ | {z } P_εij(1) −hρi Æ 2ν∂u′i ∂xk ∂u′ j ∂xℓ ∏ Å ∂{uk} ∂xℓ +∂{uℓ} ∂xk ã | {z } P_εij(2) −hρi ≠ 2νu′ℓ ∂u′ i ∂xk ∑_∂2_{u j} ∂xℓ∂xk − hρi Æ 2νu′ℓ ∂u′ j ∂xk ∏ ∂2_{u i} ∂xℓ∂xk | {z } P_εij(3) −hρi Æ 2ν∂u′ℓ ∂xk Ç ∂u′ i ∂xk ∂u′ j ∂xℓ +∂u ′ j ∂xk ∂u′ i ∂xℓ å∏ | {z } P_εij(4) − hρi ÆÅ 2ν ∂ 2_u′ i ∂xk∂xℓ ã Ç 2ν ∂ 2_u′ j ∂xk∂xℓ å∏ | {z } hρiεεij − ≠ 2ν∂u′i ∂xk ∂2_p′ ∂xj∂xk ∑ − Æ 2ν∂u ′ j ∂xk ∂2_p′ ∂xi∂xk ∏ | {z } Π_εij (2.38) 13_{Ici, l’´echelle de longueur correspond en r´ealit´e `a l’´echelle de longueur de sous maille et non int´egrale, que nous d´efinirons dans}

Seuls les termes de convection Cεij, de diffusion mol´eculaire (ou visqueuse) d (µ) εij

14 _{et de production P}(1) εij

par action du taux de dissipation εij sont exacts. Les termes de production Pε(2)ij par action de la corr´elation

du gradient de la vitesse fluctuante (Eijkℓ = 2ˆν D ∂u′i ∂xk ∂u′ j ∂xℓ E

[72]), de production Pε(3)ij par action du hessien de

la vitesse moyenne ainsi que de production Pε(4)ij par action de la corr´elation triple du gradient de la vitesse

fluctuante doivent ˆetre ferm´es. Pε(4)ij est le seul terme de production `a ne pas contenir de gradient de vitesse

moyenne. Il est ´egalement n´ecessaire de fermer la diffusion due aux fluctuations de vitesses d(u)εij et le tenseur

gradient de vitesse gradient de pression Πεij.

Le couplage et les ´echelles turbulentes des six ´equations de transport du taux de dissipation du tenseur de Reynolds εij ne sont pas les mˆemes que les six ´equations de transport du tenseur de Reynolds. Dans toutes les ´equations de transport, la destruction par action de la viscosit´e est la corr´elation dont l’ordre de d´erivation est le plus ´elev´e (εijdans rij puis εεij dans εij). On d´efinit avec la destruction du taux de dissipation εεdes ´echelles

turbulentes sp´ecifiques au taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente (sous forme dimensionnelle): Lε= ε2 ε3/2ε ; Tε= ε εε; Vε= Lε Tε = ε √_ε ε (2.39)

Seule la r´esolution de l’´equation de transport de la destruction du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulence permet de d´eterminer Lε et Tε, en reportant la fermeture alg´ebrique sur εεε

15_{. Gerolymos et}

Vallet [113] ont r´ecemment montr´e que l’echelle de temps Tεε =

εε

ε_εε est du mˆeme ordre de grandeur que

TK =pν_ε. L’am´elioration de la pr´ediction des ´echelles turbulentes de l’´ecoulement par l’ajout d’´equations de transports suppl´ementaires est intrins`equement limit´ee. Les mod`eles du second ordre se limitent `a la r´esolution de l’´equation de transport du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente ε.

2.3.5 Equation de transport exacte du taux de dissipation de l’´´ energie cin´etique turbulente ε

La r´esolution des six ´equations de transport du tenseur de dissipation des tensions de Reynolds permet de mieux pr´edire l’anisotropie de εij [96], puisqu’elle est d´etermin´ee par des structures turbulentes plus petites que celle d´eterminant l’anisotropie du tenseur de Reynolds [226] Cependant aucune mod`elisation des termes Pε(2)ij, P

(3) εij,

Pε(4)ij, d (u)

εij et Πεij n’existe aujourd’hui. En outre, l’´etude des corr´elations d’ordre de d´erivation ´elev´e est coˆuteuse

en dns et actuellement non mesur´ees exp´erimentalement. Aucune ´equation de transport mod´elis´ee du taux de dissipation du tenseur de Reynolds n’a encore ´et´e publi´e mais le d´eveloppement d’une approche rij− εij est en cours. Les fermetures du second ordre utilisent une fermeture alg´ebrique du tenseur de dissipation des tensions de Reynolds εij fonction du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente et l’anisotropie du tenseur de Reynolds rij. Par cons´equent, seule l’´equation de transport de la demi-trace du tenseur de dissipation des

tensions de Reynolds est r´esolue ε = 1

2εkk. L’´equation exacte du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente est alors:

∂hρiε ∂t + ∂hρi{uℓ}ε ∂xℓ | {z } Cε = ∂ ∂xℓ Å ˆ µ∂ε ∂xℓ ã | {z } d(µ)ε −_∂x∂ ℓ ≠ 2ν∂u′ℓ ∂xk ∂p′ ∂xk ∑ | {z } d(p)ε −_∂x∂ ℓ Å hρi ≠ νu′ℓ ∂u′ i ∂xk ∂u′ i ∂xk ∑ã | {z } d(u)ε −hρi ≠ 2ν∂u′ℓ ∂xk ∂u′ i ∂xk ∑ ∂{ui} ∂xℓ | {z } Pε(1) −hρi ≠ 2ν∂u′k ∂xi ∂u′ k ∂xℓ ∑ ∂{uℓ} ∂xi | {z } Pε(2) −hρi ≠ 2νu′ ℓ ∂u′ i ∂xk ∑ _∂2_{u i} ∂xℓ∂xk | {z } Pε(3) −hρi ≠ 2ν∂u′ℓ ∂xk ∂u′ i ∂xk ∂u′ i ∂xℓ ∑ | {z } Pε(4) − hρi ≠ 2 Å ν ∂ 2_u′ i ∂xk∂xℓ ã Å ν ∂ 2_u′ i ∂xk∂xℓ ã∑ | {z } hρiεε (2.40) 14_{Les termes visqueux hρiε}

εij+ d

(µ)

εij ont subit une r´e´ecriture `a la mani`ere de Eq. 2.30.

15_{Les ´echelles dimensionnelles de longueur et de temps sont: L} εn= ε 3+n 2 n ε 2+n 2 n+1 ; Tεn= _εn+1εn o`u ε0≡ k, ε1≡ ε, ε2≡ εεetc...

3. FORMULATION FILTR ´EE DES ´EQUATIONS DU MOUVEMENT 15 Notons qu’en prenant la demi-trace de εij, le terme de redistribution φεij est absent du budget mais pas la

diffusion de pression Πεkk = d (p)

ε , tandis que le terme de production Pε(1) n’est plus exact.

2.3.6 Equation de transport exacte de´ ω = ε_k

D’autres ´equations de transports permettent d’ajouter une ´echelle turbulente de temps ou de longueur `a

l’´equation de transport des tensions de Reynolds, par exemple une ´equation de transport sur kL16 _{[251] ou}

sur kT [326] d´efinis en approximation incompressible par17_:

kL(~x) := 3 16 Z ~x+~k∈Ω hu′k(~x, t)u′k(~x + ~r, t)id~r; kT (~x) := 1 2 Z ∞ 0 hu′k(~x, t)u′k(~x, t + t∗)idt∗ (2.41) Outre le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente ε, la grandeur turbulente la plus utilis´ee pour d´eterminer l’´echelle de longeur turbulente est ω := ε

k [167]. Les autres ´equations de transport ont suscit´e moins d’attention et n’ont pas ´et´e mises en oeuvre dans des mod`eles du second ordre. Les pr´edictions des mod`eles `a deux ´equations de transport autres que les classiques k − ε et k − ω sont proches pour des ´ecoulements simples (sans gradients de pression importants). N´eanmoins, ces mod`eles n’ont pas ´et´e aussi largement test´es dans des configurations plus complexes [322]. L’´equation de transport pour ω est obtenue en combinant les ´equations de l’´energie cin´etique turbulente k et de son taux de dissipation ε [150]:

∂hρiω ∂t + ∂hρi{uℓ}ω ∂xℓ = 1 k ï ∂hρiε ∂t + ∂hρi{uℓ}ε ∂xℓ ò −_kε2 ï ∂hρik ∂t + ∂hρi{uℓ}k ∂xℓ ò (2.42) On obtient ainsi: ∂hρiω ∂t + ∂hρi{uℓ}ω ∂xℓ | {z } Cω = P (1) ε k | {z } Pω(1) +P (2) ε k | {z } Pω(2) +P (3) ε k | {z } Pω(3) +P (4) ε k | {z } Pω(4) −εPk k2 | {z } Pω(k) +d (u) ε k − εd(u)_k k2 | {z } d(u)ω +d (p) ε k − εd(p)_k k2 | {z } d(p)ω + ∂ ∂xℓ ≠ µ∂ω ∂xℓ ∑ | {z } d(µ)ω +εKk k2 | {z } Kω +µ k ∂ω ∂xℓ ∂k ∂xℓ | {z } Ψω −hρiε_kε + hρiω | {z } hρiεω (2.43)

o`u Pω(1), Pω(2), Pω(3), Pω(4) sont les termes de productions issus des productions du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente respectivement Pε(1), Pε(2), Pε(3), Pε(4)et Pω(k)est un terme de production provenant de la production de l’´energie cin´etique turbulente. Cω est le terme de convection, d(u)ω la diffusion due aux fluctuations de vitesse, d(p)ω la diffusion de pression, d(µ)ω la diffusion visqueuse et εω la destruction de ω. Contrairement `a l’extension en ´ecoulement compressible de l’´equation du taux de dissipation ε, l’´equation

de transport de ω poss`ede un terme correspondant aux effets directs de la compressibilit´e Kω provenant de

l’´equation de transport de l’´energie cin´etique turbulente. Le terme crois´e Ψω provient de la contraction des diffusions visqueuses d(µ)_k et d(µ)ε .

3

Formulation filtr´

ee des ´

equations du mouvement

La simulations aux grandes ´echelles (Large Eddy Simulation – les) consiste `a r´esoudre les ´equations de Stokes (Eq. 2.1) filtr´ees. Cette approche ne r´esout qu’une partie des instationnarit´es des ´equations de Naviers-Stokes. Chaque corr´elation filtr´ee est ainsi d´ecompos´ee en une partie r´esolue et une partie non-r´esolue (not´e (.)u)

16_{Nous verrons dans les perspectives que l’´equation de transport de kL est `a la base de la d´etermination du terme de production}

suppl´ementaire PSAS dans l’´equation de transport de ω 17_{Les facteurs d’´echelles} 3

16 et 1

qu’il est indispensable de fermer. Les grosses structures turbulentes sont plus ´energ´etiques que les petites struc-tures et constituent la part la plus importante de l’´energie cin´etique turbulente r´esolue. La quantit´e d’´energie turbulente r´esolue d´epend de la qualit´e de la r´esolution num´erique puisque puisque ce sont les discr´etisations spatiale et temporelle qui r´ealisent le filtrage des ´equations de Navier-Stokes. Ce filtrage est implicite et il est donc essentiel d’utiliser des m´ethodes num´eriques d’ordre ´elev´e. En outre, la partie r´esolue des corr´elations augmente avec la finesse du maillage et donc avec le coˆut du calcul.

Lorsque toute l’´energie cin´etique turbulente est r´esolue et qu’il n’est plus n´ecessaire de mod´eliser les corr´elations non-r´esolues, la r´esolution des ´equations de Naviers-Stokes est dite directe (Direct Numerical Simulation – dns). Les m´ethodes num´eriques doivent alors ˆetre suffisament pr´ecises pour r´esoudre toutes les structures turbulentes jusqu’aux petites structures dissipatives proche des ´echelles turbulentes de Kolmogorov.

Des outils math´ematiques, permettent, dans certaines conditions, d’´etablir des ´equations de transport filtr´ees exactes des grandeurs turbulentes. Certaines les canoniques utilisent un filtrage explicite sur les grandeurs turbulentes r´esolues. L’op´eration de filtrage est alors d´efinie par:

Φ(~x, t) = Z +∞ −∞ Z +∞ −∞ G(~x − ~r, t − t ∗_{)Φ(~r, t}∗_)d~rdt∗_{= G ⋆ Φ(~x, t) (2.44)}

o`u G est la fonction de transfert du filtre. Cependant, il n’est pas possible d’utiliser cette th´eorie dans le cas d’´ecoulements born´ees. En outre, il est impossible d’´etablir une expression de la fonction de transfert du filtrage implicite resultant du sch´ema num´erique et du maillage spatio temporel. Le maillage est inhomog`ene et la pr´ecision du sch´ema num´erique d´epend de la solution car son ordre d´epend d’un indicateur de r´egularit´e. Le lien physique entre les ´echelles turbulentes de longueur et de temps entraine un couplage entre la capacit´e de r´esolution spatiale et temporelle du maillage. La fonction de transfert du filtre G n’est donc pas d´efinie puisque le filtrage d´epend de (~x, t). Dans le cas pr´esent, nous proposons donc que Φ represente la grandeur Φ effectivement calcul´ee lors de la r´esolution num´erique.

3.1

Op´

erateurs de filtrage

Chaque grandeur physique instantan´ee est d´ecompos´ee en une partie r´esolue, not´e (.), et une partie residuelle not´ee (.)•_:

Φ = Φ + Φ•; Φ•_{6= 0 (2.45)}

On d´efini l’op´erateur de filtrage pond´er´e masse not´e ˜(.): Φ = ˜Φ + Φ••; Φ :=˜ ›ρΦ

¯

ρ ; Φ••6= 0 (2.46)

Les op´erateurs de filtrage sont lin´eaires:

αΦ + Ψ = αΦ + Ψ (2.47)

L’idempotence et la commutation des d´eriv´ees sont des propri`et´es indispensable `a l’´etablissement des ´equations

de transport moyenn´ees exactes des grandeurs turbulentes. Cependant, contrairement `a la moyenne, les

op´erateurs de filtrage ne sont pas idempotents:

Φ 6= Φ; Φ 6= ˜˜˜ Φ (2.48)

En outre, ils ne commutent pas avec les d´eriv´ees spatiales et temporelles. N´eanmoins, nous faisons l’hypoth`ese que les op´erateurs de filtrage commutent avec les d´erivations sans quoi, il est impossible de r´esoudre des ´equations de transport sur des grandeurs filtr´ees:

∂Φ ∂xi ≈ ∂Φ ∂xi ; fi∂Φ ∂xi ≈ ∂ ˜Φ ∂xi (2.49) ∂Φ ∂t ≈ ∂Φ ∂t; g∂Φ ∂t ≈ ∂ ˜Φ ∂t (2.50)

3. FORMULATION FILTR ´EE DES ´EQUATIONS DU MOUVEMENT 17 A l’instar de la moyenne, nous appellerons couramment l’op´erateur de filtrage (.) filtrage de Reynolds et l’op´erateur de filtrage pond´er´e masse ˜(.) filtrage de Favre. L’op´erateur de filtrage ˘(.) est fonction de l’op´erateur de filtrage pond´er´e masse mais n’est ni l’op´erateur de filtrage de Reynolds, ni l’op´erateur de filtrage de Favre.

3.2

Equations de Navier-Stokes filtr´

´

ees

Les ´equations de conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement filtr´ees sont respectivement: ∂ ¯ρ ∂t + ∂ ¯ρ˜uℓ ∂xℓ = 0 (2.51a) ∂ ¯ρ˜ui ∂t + ∂ ¯ρ˜uℓu˜i ∂xℓ = ∂ ∂xℓ

(¯τiℓ− ¯pδiℓ− ¯ρ[riℓ]u) (2.51b)

o`u le tenseur des tensions r´esiduelles est: ¯

ρ[riℓ]u= uiuℓ− ¯ρ˜uiu˜ℓ= ¯ρ (ufiiuℓ− ˜uiu˜ℓ) (2.52) Pour les mˆemes raisons que l’introduction de l’enthalpie totale moyenn´ee modifi´ee ˆht(cf. §2.2), nous intro-duisons l’enthalpie totale modifi´ee filtr´ee ˘ht:

˘

ht:= ˜h + 1

2u˜iu˜i (2.53)

La corr´elation triple de vitesse non-r´esolue (ou r´esiduelle) est d´efinie selon la proposition de Germano [89]: ¯

ρ[rijk]u = ρuiujuk− ¯ρ˜ui[rjk]u− ¯ρ˜uj[rik]u− ¯ρ˜uk[rij]u− ¯ρ˜uiu˜ju˜k

= ρ¯ u‡iujuk− ˜ui[rjk]u− ˜uj[rik]u− ˜uk[rij]u− ˜uiu˜ju˜k
(2.54) La corr´elation enthalpie totale vitesse est alors:

ρhtuℓ = ρhuℓ+ ρ uiuiuℓ 2 (2.55) = ρ¯Äh˜˜uℓ+ [huℓ]u ä + ¯ρ Å ˜ uiu˜iu˜ℓ 2 + 1 2[riiℓ]u+ ˜ui[riℓ]u+ ˜uℓ [rii]u 2 ã (2.56) La demi-trace des tensions r´esiduelles est l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue:

ρuiui 2 = ¯ρ Å ˜ uiu˜i 2 + ku ã ; ku= [rii]u 2 (2.57)

o`u ku est l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue. On d´efinit le flux de chaleur turbulent non-r´esolue, la corr´elation de pression vitesse non-r´esolue, la corr´elation de pression gradient de vitesse non-r´esolue et la corr´elation vitesse d´eformation non-r´esolue respectivement:

g huℓ = ˜h˜uℓ+ [huℓ]u (2.58) uℓp = u˜ℓp + [u¯ ℓp]u (2.59) p∂uℓ ∂xℓ = p¯∂ ˜uℓ ∂xℓ + ï p∂uℓ ∂xℓ ò u (2.60)

uiτiℓ = u˜iτ¯iℓ+ [uiτiℓ]u (2.61)

∂ ∂t Ä ¯ ρ˘ht− ¯p ä +∂ ¯ρ˜uℓh˘t ∂xℓ = ∂ ∂xℓ ˜

uiτ¯iℓ+ [uiτiℓ]u− ¯ρ˜ui[riℓ]u− ¯qℓ− ¯ρ[huℓ]u− ¯ρ1₂[riiℓ]u
− ∂ ¯ρk_∂tu +∂ ¯ρ˜uℓku

∂xℓ

| {z }

S_ku

(2.62)

o`u Sku est le terme source de l’´equation de transport de l’´energie cin´etique turbulente non r´esolue ku (Eq.

3.4). En introduisant l’´equation de conservation de l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue (Eq. 3.4) nous avons: ∂ ∂t Ä ¯ ρ˘ht− ¯p ä +∂ ¯ρ˜uℓ˘ht ∂xℓ = ∂ ∂xℓ

(˜uiτ¯iℓ− ¯ρ˜ui[riℓ]u− ¯qℓ− ¯ρ[huℓ]u)

+ ∂ ∂xℓ [uℓp]u+ ¯ρ[riℓ]u ∂ ˜ui ∂xℓ − ï p∂uℓ ∂xℓ ò u + ¯ρε(τ )u | {z } S_ht˘ (2.63)

o`u ε(τ )u est le taux dissipation de l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue (Eq. 3.6). S_h˘_t est le terme source de l’´equation de transport de l’enthalpie totale modifi´ee filtr´ee ˘ht. La loi d’´etat des gaz thermodynamiquement parfaits filtr´ee s’´ecrit:

¯ p = RgρT = ¯ρRgT =˜ γ γ − 1ρ¯ Å ˘ ht−1 2˜uiu˜i ã (2.64)

3.3

Equation de transport exacte des tensions r´

´

esiduelles ¯

ρ[r

]

On d´efinit la corr´elation d´eformation gradient de vitesse non-r´esolue: τiℓ∂ui ∂xℓ = ¯τiℓ∂ ˜ui ∂xℓ + ï τiℓ∂ui ∂xℓ ò u (2.65) L’´equation de transport exacte des tensions r´esiduelles ¯ρ[rij]u est (cf. annexe A):

∂ ¯ρ[rij]u ∂t + ∂ ¯ρ˜ue[rij]u ∂xℓ | {z } C_{[rij ]u} = ∂ ∂xℓ ([uiτjℓ]u+ [ujτiℓ]u) | {z } d(τ ) [rij ]u −_∂x∂ ℓ ([uip]uδjℓ+ [ujp]uδiℓ) | {z } d(p) [rij ]u −_∂x∂ ℓ (¯ρ[rijℓ]u) | {z } d(u) [rij ]u + − Å ¯ ρ[riℓ]u ∂ ˜uj ∂xℓ + ¯ρ[rjℓ]u ∂ ˜ui ∂xℓ ã | {z } P_{[rij ]u} + ï p Å ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ãò u −2₃δij ï p∂uℓ ∂xℓ ò u | {z } φ_{[rij ]u} + 2 3δij ï p∂uℓ ∂xℓ ò u | {z } 2 3φpuδij − Åï τjℓ ∂ui ∂xℓ ò u + ï τiℓ ∂uj ∂xℓ ò u ã | {z } ¯ ρε(τ )_iju (2.66)

d(τ )_[rij]u est le terme de diffusion visqueuse non-r´esolue, d(p)_[rij]u le terme de diffusion de pression non-r´esolue, d(u)_[rij]u le terme de diffusion turbulente due aux vitesses non-r´esolues, P[rij]u le terme de production par action

du champ de vitesse filtr´e, φ[rij]u le tenseur de redistribution des tensions r´esiduelles, 2

3φpuδij la corr´elation

pression dilatation non-r´esolue et ε(τ )_iju le tenseur de dissipation des tensions r´esiduelles. L’´equation de transport des tensions r´esiduelles ne poss`ede pas de terme sp´ecifique aux effets directs de compressibilit´e (Kij dans l’´equation de transport des tensions de Reynolds). Les effets directs de compressibilit´e sont cependant pr´esents dans les diffusions de pression et visqueuse non-r´esolus ainsi que dans le tenseur de dissipation des tensions