Contrairement `a l’approche statistique, les outils th´eoriques tels que les budgets dns des ´equations de transport exactes des corr´elations turbulentes non-r´esolues ne sont pas disponibles pour construire des fermetures de sous-maille hybrides. En effet, les corr´elations turbulentes non-r´esolues d´ependent du maillage, des m´ethodes num´eriques et de la topologie de l’´ecoulement. Diff´erents auteurs proposent de formuler des th´eories faisant le lien entre les approches statistique du rans et filtr´ee de la les canonique [42, 80, 89, 90, 238, 240]. Pour rendre consistante la transition entre le filtrage spatial (ou temporel) explicite et la moyenne temporelle, il est indispensable que l’approche hybride utilise un filtre explicite. La longueur d’onde de coupure de ce filtre doit ˆetre sup´erieure `a la longueur d’onde des plus petites structures r´esolvables par le maillage et les m´ethodes num´eriques. La taille des plus petites structures r´esolues doit donc ˆetre estim´ee. En outre, le filtre explicite doit ˆetre construit de sorte `a pouvoir commuter avec les d´eriv´ees spatiales et temporelles et ˆetre idempotent afin que les ´equations de transport exactes des corr´elations turbulentes filtr´ees correspondent aux ´equations de transport exactes des corr´elations turbulentes auxquelles on substitue les grandeurs filtr´ees aux grandeurs moyenn´ees (cf annexe A).
Suivant la d´efinition du filtrage adopt´ee le chapitre 2 §3, nous adoptons le point de vue suivant:
Proposition 2 Les mod`eles hybrides sont con¸cus par analogie avec les fermetures statistiques en substituant les grandeurs filtr´ees aux grandeurs moyenn´ees dans les ´equations de transport des corr´elations turbulentes. Le
comportement hybride entre lerans et la dns n’est pas celui de la les canonique.
Ainsi, les ´equations de transport mod´elis´ees des corr´elations turbulentes non-r´esolues sont la somme de mod`eles ph´enom´enologiques inspir´es du rans en se basant sur la prososition 1 qui dit qu’un mod`ele hybride non-zonal rans/les doit avoir pour l’une de ces bornes l’approche rans (cf. chapitre 2 §3.7; annexe A). Les fermetures des corr´elations turbulentes non-r´esolues ne sont pas d´evelopp´ees par l’analyse a priori de r´esultats dns5.
2 Approches vles
L’approche formul´ee par Speziale [287, 289] est d´enomm´ee Very Large Eddy Simulation (vles6) ou Flow
Sim-ulation Methodology (fsm) [81] et a ´et´e l’une des premi`eres m´ethodes d’hybrides non-zonales propos´ees. Elle consiste `a construire la fermeture des tensions r´esiduelles [rij]u par analogie avec la fermeture statistique des tensions de Reynolds rij en substituant les grandeurs filtr´ees aux grandeurs moyenn´ees puis en pond´erant [rij]u par une fonction de contrˆole de la partie non-r´esolue des tensions de Reynolds:
[rij]u= Fvles(L∆, u)[rijrans]u (4.1)
o`u Fvles(L∆, u) est la fonction imposant la proportion de [rij]u dans les tensions de Reynolds , L∆ une ´echelle de longueur relative `a la taille de maille et [rransij ]u les tensions r´esiduelles obtenues par la substitution des grandeurs filtr´ees aux grandeurs moyenn´ees dans la fermeture statistique des tensions de Reynolds. L’´echelle L∆ est d´efinie par:
L∆≡ max(∆x1, ∆x2, ∆x3) (4.2)
o`u ∆xi est la taille de maille dans la direction i. Cette d´efinition (Eq. 4.2) est pr´ef´er´ee `a la d´efinition de la taille de maille pour le filtrage de la les canonique [86] (moyenne g´eom´etrique isotropique L∆≡ (∆x1∆x2∆x3)13
[65] et/ou son extension anisotropique [263]) car elle permet un contrˆole plus facile de la transition du
com-portement rans vers hybride rans/les [33]. La fonction d’amortissement Fvles permet de r´egler la quantit´e
d’´energie cin´etique turbulente mod´elis´ee puisqu’elle modifie la production de l’´energie cin´etique turbulente Pket la production du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente Pε7. Lorsque Fvles−→ 1 le comportement de la simulation tend vers la r´esolution statistique rans des ´equations de Navier-Stokes et lorsque Fvles −→ 0 son comportement tend vers leur r´esolution directe dns. Les fonctions d’amortissement propos´ees d´ependent de la taille de maille: Speziale [287]: Fvles = ï 1 − e−βL∆LK òn (4.3)
Hussaini et al. [144]: Fvles = 1 − e−βL2∆ (4.4)
Perot et Gadebusch [230]: Fvles = 1.5
" 1 − CP Åk u k ã2ÇÇ ∆xi √ k − ku ∂√ k − ku ∂xi å + 0.11 å−1# (4.5)
o`u β = O(10−3), n = O(1) et CP = 0.28 sont des constantes de calibration d´ependant du mod`ele de
turbulence utilis´e, LK ≈ νε1/43/4
u est une approximation8 de l’´echelle de longueur turbulente de Kolmogorov. La
fonction de Speziale [287] prend en compte les plus petites ´echelles de l’´ecoulement tandis que la fonction de Hussaini et al. [144] d´epend seulement du maillage. Speziale propose ´egalement une extension compressible [288] o`u le flux de chaleur turbulent non r´esolu et le terme source de l’´equation de transport de l’´energie totale filtr´ee sont construits de la mˆeme mani`ere que les fermetures statistiques du flux de chaleur turbulent et du terme source de l’´equation de transport de l’´energie totale moyenn´ee. La particularit´e de la fonction d’amortissement de Perot et Gadebusch est qu’elle d´epend de la fraction d’´energie cin´etique turbulente mod´elis´ee sur totale ku/k. En outre l’instationnarit´e de la solution est prise en compte `a travers le gradient d’´energie cin´etique r´esolue:
5L’analyse a priori des mod`eles les est possible dans le cadre d’un filtrage explicite [279].
6Chez certains auteurs, l’ensemble des m´ethodes hybrides rans/les sont qualifi´ees de vles [233].
7A l’exception de l’approche de Perot et Gadebusch [230]`
3. APPROCHES DES 57 grad(k − ku). L’´energie cin´etique turbulente r´esolue n´ecessite une moyenne temporelle et/ou spatiale dans les directions homog`enes.
Certains auteurs proposent d’utiliser une fonction contrˆole de la partie non-r´esolue de l’´energie cin´etique turbulente sur la viscosit´e tourbillonnaire µT [24, 156, 188, 230]:
νvles
T = FνT(L∆, u)νrans
T (4.6)
o`u FνT est la fonction d’amortissement. Cette technique revient `a amortir les tensions r´esiduelles [rij]u ainsi que les productions et diffusions turbulentes de l’´energie cin´etique turbulente respectivement Pk et d(T )k , et de son taux de dissipation respectivement Pε et d(T )ε . Les auteurs de cette approche proposent les fonctions contrˆole FνT suivante:
Batten et al. [24]: FνT = εu Cµkumin ïC sL2 ∆Sεu ku ,Cµk 2 u εu ò (4.7)
Johansen et al. [156]: FνT = min
ñ 1,CJL∆εu k3/2u ô (4.8) Perot et Gadebusch [230]: FνT = ku k (4.9)
o`u Cs= 0.05 est la constante de Smagorinsky et CJ = 1 une constante de calibration. L’amortissement de νT = µT
ρ vise `a retrouver un mod`ele de sous-maille alg´ebrique du type Smagorinsky [272] lorsque le maillage est suffisamment fin. Perot et Gadebusch [230] proposent `a la fois d’utiliser FνT et Fvles. Batten et al. [24] (Limited Numerical scale – lns) compare la viscosit´e tourbillonnaire du mod`ele de sous maille `a ´equations de transport avec la viscosit´e tourbillonnaire du mod`ele de sous maille alg´ebrique de Smagorinsky. Johansen et al. compare l’´echelle de longueur turbulente non-r´esolue avec la taille de maille. Bien qu’aucun filtrage explicite ne soit effectu´e dans la m´ethode originale propos´ee par Speziale, Johansen et al. r´ealisent un filtrage explicite.
Ces approches ont toutes ´et´e d´evelopp´ees `a partir de fermetures statistiques `a deux ´equations de transport k − ε lin´eaire [156, 230] et non-lin´eaire [24, 288], ou k − L [144]. Le d´eveloppement des m´ethodes bas´ees sur l’amortissement du tenseur de Reynolds est rest´e limit´e [86]. La communaut´e scientifique se concentre au-jourd’hui sur les approches par amortissement du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente et par amortissement de la destruction du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente.
3 Approches des
La famille de m´ethodes hybrides introduisant une pond´eration du taux de dissipation de l’´energie cin´etique est appel´ee Detached Eddy Simulation (des) [282]. Cette approche a ´et´e initialement d´evelopp´ee avec le mod`ele Spalart–Allmaras [280], bien que ce mod`ele ne poss`ede pas d’´equation de transport du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue εu. Cette fermeture de sous-maille `a une ´equation de transport de la viscosit´e tourbillonnaire νT reste le mod`ele le plus utilis´e en des. Le terme de destruction de la viscosit´e tourbillonnaire DνT utilise une ´echelle de longueur g´eom´etrique:
DνT ∝h νT d
i2
(4.10) o`u d est la distance `a la paroi la plus proche. Spalart a propos´e [282] de construire un mod`ele de sous-maille par analogie avec la fermeture statistique des tensions de Reynolds rij bas´ee sur l’´equation de transport de νT en substituant les grandeurs filtr´ees aux grandeurs moyenn´ees dans le mod`ele Spalart–Allamaras et en modifiant l’´echelle de longueur g´eom´etrique:
DνT ∝ ïν
T Lu
ò2
; Lu= min(Lrans, CdesL∆); Lrans= d (4.11)
o`u Cdesest une constante de calibration et Lul’´echelle de longueur turbulente non-r´esolue et Lransl’´echelle de longueur du mod`ele statistique. La fermeture ainsi construite tend vers un mod`ele statistique rans proche paroi
lorsque d < CdesL∆ et vers un mod`ele de sous-maille hybride rans/les lorsque d ≥ CdesL∆. Dans ce dernier cas et avec l’hypoth`ese d’´equilibre local, ce mod`ele de sous-maille tends vers le mod`ele de Smagorinsky [272] (νT ∝ L2
∆S o`˘ u ˘S =q ∂ ˜ui ∂xj
∂ ˜uj
∂xi est le taux de d´eformation filtr´e). L’utilisation explicite de la distance `a la paroi d est robuste num´eriquement dans le cas d’´ecoulements externes (ce n’est pas le cas des ´ecoulements internes cf. chapitre 3 §3). La modification de l’´echelle de longueur permet de limiter la viscosit´e tourbillonnaire loin de la paroi et donc de laisser ´emerger des structures turbulentes instationnaires. Cette hybridation est g´en´eralisable `
a tous les mod`eles statistiques par la modification de leur ´echelle de longueur turbulente L. L’approche des a ainsi ´et´e ´etendue aux mod`eles `a deux ´equations de transport k − ε [125] et k − ω [297, 309].
Les fermetures statistiques `a deux ´equations de transport d´eterminent les ´echelles de longueur L et de temps T turbulentes. La r´esolution de l’´equation de transport sur l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue ku d´etermine l’´echelle de vitesse turbulente non-r´esolue Uu = Lu/Tu (o`u Tu est l’´echelle de temps turbulente non-r´esolue). L’´echelle de longueur turbulente non-r´esolue Lu est alors impos´ee par la modification de taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue εu:
εu= Fdes(L∆, u)εransu (4.12)
o`u Fdes(L∆, u) est la fonction de contrˆole de la partie non-r´esolue de l’´energie cin´etique turbulente et εrans u le taux de dissipation de l’´energie cin´etique non-r´esolue obtenu par la substitution des grandeurs filtr´ees aux grandeurs moyenn´ees dans la fermeture statistique des tensions de Reynolds. La fonction de contrˆole Fdes de la des [125] est alors:
Fdes= k
3/2 u Luεrans
u
; Lu= min(Lrans, CdesL∆); Lrans= k
3/2 u εrans
u
(4.13)
Lorsque Lu = Lrans on retrouve la fermeture statistique rans ainsi l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue ku−→ k et son taux de dissipation εu−→ ε. Bien que la d´efinition de l’´echelle de longueur turbulente
non-r´esolue Lu utilise un limiteur, le passage du comportement rans proche paroi au comportement hybride
rans/les loin de la paroi est progressif. En effet la taille de maille dans la direction normale `a la paroi ∆x2 suit une progression g´eom´etrique. La zone o`u Lrans ≈ CdesL∆ est appel´ee zone grise. Le comportement du mod`ele hybride est alors ´etroitement li´e aux m´ethodes de r´esolution num´eriques et au maillage. Toutes les m´ethodes non-zonales peuvent pr´esenter des ambigu¨ıt´es de positionnement des zones grises `a l’interface entre les comportement rans et hybride rans/les de la fermeture [281].
La d´efinition de l’´echelle de longueur L∆(Eq. 4.2) permet `a l’utilisateur de positionner la zone grise en sortie de couche-limite en r´eglant la taille de maille longitudinale ∆x2 et/ou transversale ∆x3. Cette tˆache n´ecessite une estimation a priori de l’´epaisseur de la couche limite δ. Cette estimation est d´elicate dans la mesure o`u l’´epaisseur δ varie pour des cas test tels que les profils d’ailes o`u la couche limite transitionne. La pr´esence d’un d´ecollement induit par un gradient de pression adverse peut ´egalement poser des difficult´es. Un maillage trop fin positionne la zone grise tr`es pr`es de la paroi. Il r´eduit la quantit´e d’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue pouvant g´en´erer des structures turbulentes instationnaires en sortie de couche limite et induire un d´ecollement pr´ematur´e. A l’oppos´e, un maillage trop lˆache peut retarder le d´ecollement s’il ne permet pas de r´esoudre le contenu turbulent responsable du d´ecollement. Plusieurs am´eliorations successives de la formulation de l’´echelle de longueur turbulente non-r´esolue Luont donc ´et´e propos´ees pour limiter ce probl`eme:
Bas-Reynolds des [281]: Lu= min(Lrans, Ψ(ReT)CdesL∆) (4.14)
o`u Ψ(ReT) ≥ 1 est une fonction de pond´eration de la constante Cdes. Elle a ´et´e introduite dans le but de corriger le comportement bas Reynolds des mod`eles de sous-maille dˆu `a l’utilisation de fonctions d’amortissement sur la destruction de la viscosit´e tourbillonnaire ou sur la dissipation de l’´energie cin´etique turbulente. Ψ d´epend donc du mod`ele statistique `a l’origine du mod`ele de sous-maille utilis´e.
4. APPROCHES PANS ET PITM 59
Delayed des (ddes) [281]: Lddes
u = Lrans− fdmax(0, Lrans− ΨCdesL∆)
fd = 1 − tanh[(8rdt+ 8rdl)3] rdt = ˘ν˘T
Sκ2d2; rdl= ˘ ν Sκ2d2;
(4.15)
o`u fd et rd sont des fonctions empiriques. La fonction fd permet de forcer le comportement rans `a la paroi en utilisant la distance `a la paroi d. Lorsque rdt+ rdl≫ 0.2 le comportement de la fermeture hybride tend vers le rans tandis que rd−→ 0 permet de laisser des structures turbulentes instationnaires ´emerger. L’introduction d’une d´ependance au taux de d´eformation filtr´e ˘S vise `a r´eduire la quantit´e d’´energie cin´etique turbulente mod´elis´ee si des strutures turbulentes sont r´esolues. Cette caract´eristique permet de forcer le comportement les dans les d´ecollements.
Improved Delayed des (iddes) [268]: Lddes
u = L − fdmax(0, L − CdesL∆) fd′ = max(1 − fd, fb) fb= min(2e−9α2 , 1) α = 0.25 − d L∆ ; fe= max[fe1− 1, 0]fe2Ψ fe1(α ≥ 0) = 2e−11.09α2 ; fe1(α < 0) = 2e−9α2 fe2 = 1 − max[ft, fl] ft = tanh[(c2 trdt)3]; fl= tanh[(c2 lrdl)10] (4.16)
Ces fonctions ont ´et´e construites afin d’ajouter un comportement Wall-Modelling les (wmles) `a l’approche ddes. La quantit´e d’´energie cin´etique turbulente modelis´ee est r´eduite lorsque le maillage est suffisamment fin pour r´esoudre les plus grosses structures turbulentes de la couche limite mais les structures proches paroi qui sont dans la sous-couche visqueuse (y+ < 15 − 20) restent mod´elis´ees. La m´ethode iddes est donc un retour vers la philosophie de la les canonique puisqu’il est attendu que l’am´elioration de la pr´ediction des tensions de Reynolds proche paroi passe par la r´esolution des structures tubulentes dans les zones tampon et logarithmique de la couche limite plutˆot que par la fermeture de sous-maille. Cette m´ethode permet donc la r´esolution des structures dans la couche limite si le maillage est suffisamment fin par l’interm´ediaire des fonctions de paroi fb, α, fe1 fe2, rdt et rdl.
Il est important de pr´eciser que l’amortissement du taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente n’intervient que dans le terme de destruction de la viscosit´e tourbillonnaire νT (dans le cas de l’hybridation du mod`ele Spalart–Allmaras [280]) ou de l’´energie cin´etique turbulente k (dans le cas de l’hybridation des mod`eles ls k − ε [175] ou sst k − ω [206]). Le calcul de la viscosit´e tourbillonnaire dans le cas des fermetures `a deux ´equations de transport utilise le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente non-r´esolue εrans
u .