Fonctionnelles analytiques et problèmes de Cauchy

(1)

Analyse complexe/Équations aux dérivées partielles

Fonctionnelles analytiques et problèmes de Cauchy

Stéphane Rigat

Centre de mathématiques et informatique, université de Provence Aix-Marseille I, 39, rue Frédéric-Joliot-Curie, 13453 Marseille cedex 13, France Reçu le 14 octobre 2005 ; accepté après révision le 19 décembre 2005

Présenté par Jean-Pierre Demailly

Résumé

Dans cette Note, suivant les idées originales de Fantappiè ([L. Fantappiè, Sur les méthodes nouvelles d’intégration des équations aux dérivées partielles au moyen des fonctionnelles analytiques, in : La théorie des équations aux dérivées partielles, vol. 81, Coll. Int. CNRS, Nancy, 9–15 avril 1956. [2]], [F. Pellegrino, Problèmes concrets d’analyse fonctionnelle, P. Levy (Ed.), Gauthier- Villars, Paris, 1951, pp. 357–484. [7]]), nous faisons un lien entre les problèmes de Cauchy, les fonctionnelles analytiques et le calcul fonctionnel. En particulier, utilisant les formules de représentation intégrale classiques de l’analyse complexe, nous obtenons une formule de représentation intégrale explicite des solutions de problèmes de Cauchy complexes. Enfin, les développements récents de l’analyse convexe complexe d’Andersson–Passare–Sigurdsson nous permettent d’obtenir un domaine de définition de la solution si les données de Cauchy sont définies dans un ensembleC-convexe. Pour citer cet article : S. Rigat, C. R. Acad. Sci.

Paris, Ser. I 342 (2006).

Abstract

Analytic functionals and Cauchy problems. In this Note, following ideas first initiated by Fantappiè ([L. Fantappiè, Sur les méthodes nouvelles d’intégration des équations aux dérivées partielles au moyen des fonctionnelles analytiques, in : La théorie des équations aux dérivées partielles, vol. 81, Coll. Int. CNRS, Nancy, 9–15 avril 1956. [2]], [F. Pellegrino, Problèmes concrets d’analyse fonctionnelle, P. Levy (Ed.), Gauthier-Villars, Paris, 1951, pp. 357–484. [7]]), we make a link between Cauchy problems, analytic functionals and functional calculus. In particular, using classical representation formulas from complex analysis, we obtain an integral representation formula for solutions to complex Cauchy problems. Moreover, recent developments in complex convex analysis of Andersson–Passare–Sigurdsson allow us to obtain a domain of definition of the solution if Cauchy data are defined in aC-convex domain. To cite this article: S. Rigat, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

Abridged English version

Letn=0 be a natural integer. IfΩ is an open set inCⁿ, we denote byO(Ω)the space of holomorphic functions inΩ. IfF ⊂Cⁿis not open, thenO(F )denotes the space of holomorphic functions in an open neighbourhood ofF. We denote byO(0)the spaceO({0}).

Adresses e-mail : [email protected], [email protected] (S. Rigat).

doi:10.1016/j.crma.2005.12.026

(2)

LetUbe an open set inCⁿ. We say thatµis an analytic functional onO(U )ifµis a continuous linear form on the spaceO(U )with the topology of uniform convergence on compact subsets ofX. Therefore, there exists a compact setK⊂U and there exists a constantC_K such that, for everyϕ∈O(U ),|µ(ϕ)| = |µ, ϕ|C_Ksup_K|ϕ|. We write thenµ∈O(U ).

We denote byz=(z₀, . . . , z_n)the coordinates inCⁿ⁺¹ and we setz=(z₀, z)wherez=(z₁, . . . , z_n)∈Cⁿ. If (z, w)∈Cⁿ⁺¹×Cⁿ⁺¹, we letz, w =n

k=0zkwk=z₀w₀+ z, wand|z|²= z,z¯ = |z₀|²+ |z|².

We denote byPn= {z∈Cⁿ: |z₁|<1, . . . ,|zn|<1}the unit polydisc inCⁿ and byBn= {z∈Cⁿ: |z|<1}the unit ball inCⁿ.

Let us considerΩ an open set inCⁿ⁺¹such thatω=Ω∩ {z₀=0}is non-empty. We denote byT₁, . . . , Tnthen commuting operators defined on the spaceO(ω)byTk=_∂z^∂₋1

0

∂

∂z_k where ^∂

∂z⁻₀¹ =z₀ 0 . Ifϕ∈C[z₁, . . . , z_n]is a polynomial of the formϕ(z)=

α∈Nⁿa_αz^α=

α∈Nⁿa_αz₁^α¹· · ·z^α_nⁿ, then we denote by ϕ(T )=ϕ(T₁, . . . , T_n)the operator

α∈Nⁿa_αT₁^α¹· · ·T_n^αⁿ=

α∈Nⁿa_αT^α.

Definition 0.1 (see [1,4]). LetEbe a set inCⁿ. We say thatE isC-convex if and only if all its intersections with complex lines are connected and simply connected.

We denote byE^∗the dual set ofEdefined byE^∗= {z∈Cⁿ: ∀w∈E, z, w = −1}.

Our first main result is an holomorphic functional calculus of those operators, defined in Fantappiè’s spirit:

Theorem 0.2. We have the following

(i) For everyf ∈O(ω), everyε >0 and everyz∈Ωsufficiently close toω, the mappingµ_f,z:ϕ∈C[z₁, . . . , z_n] → [ϕ(T )f](z)can be uniquely extended as an analytic functional onO(εPn). We still denote, for allϕ∈O(εPn), [ϕ(T )f](z):=µ_f,z(ϕ). Moreover, for everyϕ∈O(εPn)and everyf∈O(ω), we haveϕ(T )f ∈O(ω).

(ii) Forϕ, ψ∈O(εPn), we have{[(ϕψ )(T )]f}(z)= {ϕ(T )[ψ (T )f]}(z).

(iii) For everyε >0, every f ∈O(w), everyζ ∈Cⁿ and everyzsufficiently close toω, we can define F_f,z^ε (ζ ):=

[_(ε2+¹ζ,T)ⁿf](z), and, for everyϕ∈O(εBn), the following representation formula holds:

ϕ(T )f

(z)= 1 (2πi)ⁿ

|ζ|=ε

ϕ(ζ )F_f,z^ε (−¯ζ )∂

|ζ|²

∧∂∂¯

|ζ|²n−1

.

(iv) If moreover,ϕis holomorphic in an open setU⊂Cⁿandf is holomorphic inC×ωwhereωisC-convex then we can prolongateϕ(T )f to the setωˇ which is the set ofz∈Cⁿ⁺¹such thatz∈ωand, for everyζ ∈Cⁿ\U, the complex hyperplane with normal vector(1, ζ )inCⁿ⁺¹passing throughzmeetsω.

We apply this theorem in order to give explicit solutions to holomorphic and non-characteristic Cauchy problems.

LetΩbe aC-convex open set inCⁿ⁺¹with coordinatesz=(z₀, . . . , z_n)=(z₀, z)∈C×Cⁿ. We denote byωthe setΩ∩ {z₀=0}.

LetP∈C[z₀, z₁, . . . , z_n]be a polynomial of degreem2.

We say that a complex hyperplane{z∈Cⁿ⁺¹, ζ, z =p}whereζ∈Cⁿ⁺¹andp∈Cis characteristic if and only ifP_m(ζ )=0 whereP_mdenotes the homogeneous part ofP of degreem.

We consider the following Cauchy problem:









 P

∂

∂z

f =g,

f (0, z)=h₀(z), ∀z∈ω, ...

∂^m⁻¹f

∂z^m₀⁻¹(0, z)=h_m₋₁(z), ∀z∈ω

and we assume that the hyperplane{z0=0}is non-characteristic.

(3)

We can assume thatP is homogeneous. If we consider as before thenoperatorsT₁, . . . , T_n, then letting∂/∂z⁻₀¹ actmtimes on the partial differential equationP (∂/∂z)f =gand using the Cauchy data, we get thatf is a solution if and only ifP (1, T )f= ˜gor if and only iff (z)= [_{P (1,T )}¹ ] ˜g(z),whereg˜can be computed explicitly. The theorem gives us the following

Theorem 0.3. IfΩ isC-convex, the solutionf is given by an explicit integral formula and is holomorphic in the set

˜

ωwhich is the set ofz∈Ωsuch that every complex characteristic hyperplane passing throughzmeetsω.

The extension result has been proved by Kiselman (cf. [6]) in the case whereΩ is convex. A similar result has been proved by Sternin–Shatalov in [8] (Theorem 5.13).

Moreover, these technics can be adapted to the case where the Cauchy data are given on a piece of complex analytic non-singular hypersurfaces.

1. Calcul fonctionnel holomorphe

Soitn=0 un entier naturel. SiΩ est un ouvert de Cⁿ, nous notonsO(Ω)l’espace des fonctions holomorphes dans Ω. Si F ⊂Cⁿ n’est pas ouvert, alorsO(F ) désigne l’espace des fonctions holomorphes dans un voisinage ouvert deF. Nous notonsO(0)l’espaceO({0}).

SoitU un ouvert deCⁿ. Nous disons queµest une fonctionnelle analytique surO(U )siµest une forme linéaire continue sur l’espace O(U ) muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts de X. En particu- lier, il existe un compactK⊂U et il existe une constanteC_K telle que, pour toutϕ∈O(U ),|µ(ϕ)| = |µ, ϕ| C_Ksup_K|ϕ|. Nous écrirons alorsµ∈O(U ).

Nous notonsz=(z0, . . . , zn)les coordonnées dansCⁿ⁺¹et nous posonsz=(z0, z)oùz=(z1, . . . , zn)∈Cⁿ. Si (z, w)∈Cⁿ⁺¹×Cⁿ⁺¹, nous posonsz, w =n

k=0zkwk=z0w0+ z, wet|z|²= z,z¯ = |z0|²+ |z|².

Nous notonsPn= {z∈Cⁿ: |z₁|<1, . . . ,|zn|<1}le polydisque unité deCⁿetBn= {z∈Cⁿ: |z|<1}la boule unité deCⁿ.

Considérons un ouvertΩdeCⁿ⁺¹tel queω=Ω∩ {z₀=0}soit non vide. Nous notonsT₁, . . . T_nlesnopérateurs commutant entre eux deux à deux définis sur l’espaceO(ω)parT_k= ^∂

∂z₀⁻¹

∂

∂zk où ^∂

∂z⁻¹₀ =_z₀

0 . Si ϕ ∈C[z₁, . . . , z_n] est un polynôme de la forme ϕ(z)=

α∈Nⁿa_αz^α =

α∈Nⁿa_αz^α₁¹· · ·z^α_nⁿ, alors ϕ(T )= ϕ(T₁, . . . , T_n)désigne l’opérateur

α∈Nⁿa_αT₁^α¹· · ·T_n^αⁿ=

α∈Nⁿa_αT^α.

Définition 1.1 (voir [1,4]). SoitEun ensemble deCⁿ. On dit queEestC-convexe si et seulement si l’intersection de Eavec toute droite complexe affine est connexe et simplement connexe.

On noteE^∗le dual deEdéfini parE^∗= {z∈Cⁿ: ∀w∈E, z, w = −1}.

Notre premier résultat principal est un calcul fonctionnel holomorphe dans l’esprit de celui introduit par Fantappiè : Théorème 1.2. Nous avons les assertions suivantes :

(i) Pour toutf∈O(ω), toutε >0 et toutz∈Ωsuffisamment proche deω, l’applicationµ_f,z:ϕ∈C[z₁, . . . , z_n] → [ϕ(T )f](z)se prolonge de manière unique en une fonctionnelle analytique surO(εPn). Nous notons toujours, pour toutϕ∈O(εPn),[ϕ(T )f](z):=µ_f,z(ϕ). De plus, pour toutϕ∈O(εPn)et toutf ∈O(ω), nous avons ϕ(T )f∈O(ω).

(ii) Pourϕ, ψ∈O(εPn), nous avons{[(ϕψ )(T )]f}(z)= {ϕ(T )[ψ (T )f]}(z).

(iii) Pour toutε >0, toutf ∈O(w), toutζ ∈Cⁿet toutzsuffisamment proche deω, nous pouvons définirF_f,z^ε (ζ ):=

[_(ε2+¹ζ,T)ⁿf](z),et, pour toutϕ∈O(εBn), nous avons la formule de représentation suivante : ϕ(T )f

(z)= 1 (2πi)ⁿ

|ζ|=ε

ϕ(ζ )F_f,z^ε (−¯ζ )∂

|ζ|²

∧∂∂¯

|ζ|²n−1

.

(4)

(iv) Si de plusϕest holomorphe dans un ouvertU⊂Cⁿetf est holomorphe dansC×ωoùωestC-convexe, alors nous pouvons prolongerϕ(T )f à l’ensembleωˇ qui est l’ensemble desz∈Cⁿ⁺¹tels que z∈ω et, pour tous ζ ∈Cⁿ\U, l’hyperplan complexe ayant pour vecteur normal(1, ζ )dansCⁿ⁺¹et passant parzrencontreω.

Remarque 1. Si nous notons Fµ_f,z(ζ ) la transformée de Fantappiè de la fonctionnelle analytique µ_f,z, i.e.

Fµ_f,z(ζ )= [₁₊¹_ζ,Tf](z),alors

F_f,z^ε (ζ )= 1 (n−1)!ε²ⁿ

∂ⁿ⁻¹

∂tⁿ⁻¹

tⁿ⁻¹Fµ_f,z t ζ

ε²

t=1

.

Donc, pour calculerϕ(T )f pour toutϕ holomorphe au voisinage de 0 il suffit de calculerFµ_f,z(ζ ), i.e. il suffit de trouver la solutionhdu problème de Cauchy du premier ordre :





∂h

∂z₀+ζ₁∂h

∂z₁+ · · · +ζ_n ∂h

∂z_n = ∂f

∂z₀, h(0, z)=f (0, z).

Idée de la démonstration du Théorème 1.2. Soit ε >0 et ϕ∈O(εPn). On développe en série entière ϕ(λ)=

α∈Nⁿaαλ^α dans εPn avec les notations multiindicielles usuelles. Soit f une fonction holomorphe définie dans un ouvertU contenantω et contenu dansΩ. Des estimations de Cauchy élémentaires permettent de montrer que

α∈Nⁿa_α[T^αf](z)est convergente, ce qui nous donne le point (i).

Pour le point (ii), on remarque que c’est vrai siϕ etψ sont des polynômes. Un argument de densité permet de conclure.

Pour ε >0 et ζ ∈Cⁿ tel que |ζ| =ε, l’application λ∈Cⁿ →(ε²+ ζ, λ)⁻ⁿ est un élément de O(εBn)⊂ O(√^ε

nPn). DoncFf,z(ζ )a bien un sens. Grâce au théorème de Riesz, il existe une mesure ν dont le support est inclus dans ^ε

2√

nPntelle que

∀ϕ∈O ε

√nPn

, µf,z(ϕ)=

w∈₂^√^ε_nPn

ϕ(w)dν(w).

Ecrivons la formule de Bochner (cas particulier de la formule de Cauchy–Fantappiè–Leray (cf. [3]) :

∀w∈ ε 2√

nPn, ϕ(w)= 1 (2πi)ⁿ

|ζ|=ε

ϕ(ζ )∂(|ζ|²)∧(¯∂∂|ζ|²)ⁿ⁻¹ (ε²− ¯ζ , w)ⁿ

insérons la dans la formule précédente et intervertissons les intégrales. Nous obtenons le point (iii).

Pour le point (iv), on note que ϕ(T )

f (z)=

γ

ϕ(ζ )ψ (w)σ (ζ, w)

où γ = {(ζ, w)∈Cⁿ×Cⁿ, w= −¯ζ /|ζ|² and|ζ| =ε} est un(2n−1)-cycle dans∆= {(ζ, w)∈Cⁿ×Cⁿ,1+ ζ, w =0},ψ (w)= [₍₁₊_w,T¹ ₎n]f (z) etσ (ζ, w)=_n

j=1w_jdζ_j ∧(_n

j=1dw_j ∧dζ_j)ⁿ⁻¹.Si z=(z₀, z)∈Cⁿ⁺¹ est fixé et satisfaitz₀=0,z∈ω, alorsψest holomorphe dans un voisinage de _z^z

0 −_z¹₀ω. Grâce au Théorème 3.1.7 d’Andersson–Passare–Sigurdsson [1] et en reprenant la terminologie employée dans ce théorème, on a

ϕ(T )

f (z)= ϕ, ψ

et on en déduit que[ϕ(T )f](z)a un sens siϕ est holomorphe dans(_z^z

0 −_z¹

0ω)^∗et donc si pour tout ζ ∈Cⁿ\U, l’hyperplan complexe ayant pour vecteur normal(1, ζ )dansCⁿ⁺¹et passant parzrencontreω. 2

(5)

2. Application aux problèmes de Cauchy complexes

SoitΩ un ouvertC-convexe de Cⁿ⁺¹. Pourz∈Cⁿ⁺¹, on notez=(z₀, . . . , z_n)=(z₀, z)∈C×Cⁿ. On note ω l’ensembleΩ∩ {z₀=0}.

Soit P ∈C[z₀, z₁, . . . , z_n] un polynôme de degré m2. Nous disons qu’un hyperplan complexe {z∈Cⁿ⁺¹, ζ, z =p}où ζ ∈Cⁿ⁺¹ etp∈Cest caractéristique si et seulement si P_m(ζ )=0 oùP_m désigne la partie homo- gène deP de degrém.

On considère le problème de Cauchy suivant :









 P

∂

∂z

f =g,

f (0, z)=h₀(z), ∀z∈ω, ...

∂^m⁻¹f

∂z₀^m⁻¹(0, z)=h_m₋₁(z), ∀z∈ω

et nous supposons que l’hyperplan{z₀=0}est non caractéristique.

On peut supposer queP est homogène.

Si nous considérons lesnopérateurs T₁, . . . , T_n, alors si on applique l’opérateur∂/∂z⁻₀¹mfois à l’équation au dérivées partiellesP (∂/∂z)f =get en utilisant les données de Cauchy, on obtient quef est une solution si et seulement siP (1, T )f= ˜gou si et seulement sif (z)= [_{P (1,T )}¹ ] ˜g(z),oùg˜peut-être calculée explicitement en fonctiong et desh_i. Le théorème et la remarque nous donnent donc le théorème suivant :

Théorème 2.1. SiΩestC-convexe, la solutionf est donnée par une formule de représentation intégrale explicite et est holomorphe dans l’ensembleω, ensemble des˜ z∈Ωtels que tout hyperplan complexe caractéristique passant par zrencontreω.

Le résultat d’extension a été prouvé par KiselmanΩ(cf. [6]) dans le cas oùΩest convexe. Un théorème similaire a été obtenu par Sternin et Shatalov (cf. Théorème 5.13 de [8]).

Idée de la démonstration. Le théorème est évident si m1. Supposons donc quem2. Grâce au principe de Duhamel (cf. [5]), on peut supposer queg=h₀= · · · =h_m₋₂=0. Notonsh=h_m₋₁. Si on suit la preuve du point (iv) du théorème précédent, il suffit de prouver que

ψ (w)=

1 (1+ w, T)ⁿ

z^m₀⁻¹ (m−1)!h(z)

est holomorphe dans un voisinage de _z^z

0 −_z¹

0ω, indépendamment du fait quez∈ω. On peut montrer qu’on peut se ramener au casnm. Utilisant la remarque et la formule de Leibniz, nous avons

ψ (w)= 1 (n−1)!

z₀

0

(z₀−u) (m−2)!

m−2

∂ⁿ⁻¹

∂tⁿ⁻¹

tⁿ⁻¹h(z−t wu)

t=1

du

=

z₀

0

(z₀−u) (m−2)!

m−2 uⁿ⁻¹ (n−1)!H (u)

(n−1)

du=

uⁿ⁻¹ (n−1)!H (u)

(n−m)

u=z₀

où H (u)=h(z−wu). Donc, ψ est holomorphe dans un voisinage de _z^z

0 − _z¹₀ω indépendamment du fait que z∈ω. 2

3. Problèmes de Cauchy complexes avec données sur des hypersurfaces analytiques complexes non singulières Dans cette section, Ω est un ouvert de Cⁿ,P est un polynôme homogène de degré m2. On considère une hypersurface analytique complexeV définie parV = {z∈Ω, z1=ψ (z)}oùψest holomorphe dansω= {z∈Cⁿ⁻¹,

(6)

(ψ (z), z)∈Ω}. Sig∈O(V )eth₀, . . . , h_m₋₁∈O(V )sont des fonctions holomorphes dans un voisinage deV, nous voulons trouverf ∈O(V )telle que









 P

∂

∂z

f =g

f=h₀, . . . ,∂^m⁻¹f

∂z^m₁⁻¹ =h_m₋₁ surV . On peut supposer queh₀= · · · =h_m₋₁=0.

Si on introduit comme auparavant les opérateurs∂/∂z₁⁻¹=_z₁

ψ(z)et les opérateursT_k=∂/∂z⁻₁¹∂/∂z_k, pourk= 2, . . . , n, si on appliquemfois l’opérateur∂/∂z₁⁻¹à l’équation aux dérivées partielles et si on utilise le fait que les opérateursT_j commutent entre eux deux à deux sur l’espace des fonctions holomorphes au voisinage de V nulles surV alors on obtient un calcul fonctionnel analogue pour ces opérateurs ainsi qu’une formule de représentation de la solutionf tout aussi analogue.

Remerciements

Je remercie Gennadi Henkin pour d’utiles conversations sur ce sujet. Je remercie aussi Mats Andersson qui a décelé une erreur dans une version préliminaire de ce travail.

Références

[1] M. Andersson, M. Passare, R. Sigurdsson, Complex convexity and Analytic Functionals, Birkhäuser, 2004.

[2] L. Fantappiè, Sur les méthodes nouvelles d’intégration des équations aux dérivées partielles au moyen des fonctionnelles analytiques, in : La théorie des équations aux dérivées partielles, vol. 81, Coll. Int. CNRS, Nancy, 9–15 avril 1956.

[3] G.M. Henkin, The method of integral representations in complex analysis, in: A.G. Vitushkin (Ed.), Several Complex Variables I, in: Ency- clopaedia Math. Sci., vol. 7, Springer-Verlag, Berlin, 1990.

[4] L. Hörmander, Notions of Convexity, Progr. Math., vol. 127, Birkhäuser, 1994.

[5] F. John, Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential Equations, Interscience, New York, 1955.

[6] C. Kiselman, Prolongement des solutions d’une équation aux dérivées partielles à coefficients constants, Bull. Soc. Math. France 97 (1969) 329–356.

[7] F. Pellegrino, Problèmes concrets d’analyse fonctionnelle, in : P. Levy (Ed.), Gauthier-Villars, Paris, 1951, pp. 357–484.

[8] B. Sternin, V. Shatalov, Differential Equations on Complex Manifolds, Math. Appl., Kluwer Academic Press, 1994.