Substitutions analytiques et équations fonctionnelles à deux variables

(1)

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

P. F

^ATOU

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 41 (1924), p. 67-142

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(2)

SUBSTITUTIONS ANALYTIQUES

! ^ !' ET

ÉWATIONS" FÔNCTIONNELIIS A D E U 1 VARIABLE

PAU M. .P. FATOIL

PREMIÈRE PARTIE.

L'itération au voisinage d'un point double attractif (o <^.y <^ \s¹ <^ i l ,

—L'étude de l'itération des substitutions analytiques au voisinage, d'un point double et des équations fonctionnelles correspondante-s clansie cas de deux¹ ou d'un plus grand nombre de variables a, fait F objet de travaux de plusieurs géomètres et no n des moindres ; je citerai les noms de Poincaré, Picard, Leau, LeTi-Civitâ, Hadaînard et Lattes. Pour aborder les problèmes dont il s'agit plusieurs méthodes ont. été proposées;, celle qui.repose ^sur l'emploi-des séries entières et des majorantes; la méthode des approximations successives de 'M,. Picard qui apporte des sim pliûcations,à la'précédente/sans eepen-.

dant éviter l'emploi de ces séries; enfin une méthode que j'appellerai directe et qui, la première en date, me semble aussi ta plus féconde.

Elle consiste à former des expressions dépendant d'une manière simple des fonctions itérées et dont les limites fournissent les solutions des équations que l'on a en vue. Dans le choix de ces expressions on pourra être guidé par des méthodes heuristiques sur lesquelles je reviendrai quelque jour ; .rune^relles¹ -consiste 'à'; chercher l'expression asynipto- tique¹, des fonctions'itérées^en /regardant''ce s dernières comme ./des¹ 'solutions d'équations aux différences¹¹ tlnies parTappôrl'à'.l'enitier,^,, et,

(3)

68 ^ P. FATOIT.,

que Von intégrera d'âne manière approchée en leur substituant les équations différentielles obtenues en .remplaçant les différences finies parleurs développements en séries de Taylor limités à deux ou trois.

termes. Si. l'on a poussé l'approximation assez loin o n ' p o u r r a obtenir une fonction de rentier n et des fonctions itérées de rang n q u i tende vers, une, limite f i n i e ' e t différente de zéro ou d'une constante. Cette limite sera alors une fonction des variables, données qui, d'après son mode de formation, vérifiera u n e équation fonctionnelle facile à mettre en évidence; la solution étant obtenue parce moyen heuristique il sera généralement facile de démontrer qu'elle-existe effectivement.

Quoi qu'il en soit de ces moyens de découverte qu'un géomètre habile saura toujours imaginer, c'est la méthode, directe qu'a .employée . M. .Kœnigs pour résoudre l'équation de Schrôder dans le cas d'une seule .variable et d ' u n point double ordinaire. Lattes a montré qu'on pouvait

•l'appliquer aussi, dans le cas de deux variables, quand les multiplicateurs n'ont pas de valeurs singulières. Mais elle continue à s'appliquer dans le cas où, les multiplicateurs prenant ces valeurs singulières, les

•fonctions à obtenir ont necessai.rement.au point double un point s i n - ' gulier essentiel ou un point critique transcendant et ne sont, pas susceptibles d'un- mode de représentation connu d'avance et aisé à .manier. Ce sont ces cas dont nous nous occuperons principalement au cours de cette étude; n o u s / a u r o n s 'toutefois à. ajouter quelques remarques ou compléments aux théorèmes d'existence concernant les points doubles ordinaires, en renvoyant pour une étude d'ensemble aux mémoires des11 auteurs déjà, cités. ' . . : .' - , -

, M e h o m a n t a u x c a s ' d e deux.variables-.comme,je le .ferai en général dans ce mémoire,. je;suppo:s:e que par l'emploi d'unesubstitution linéaire :la^xili,aire^\lal.:subs.ti:t^tion.d.onnée;lâitll.^ 1 1. 1 1 1 1 : 1 1,

'.lll^l;.^lll=•,.<î^^^ :1,1.1. , . 1 1 ^ 11 .. 1 1 ,

^''-.Ij-'ï^'^J111^^^^^^ 1. ' , 1 : 1 . 1 1 1 ^ • ..

les fonctions y et^ régulières à l'origine étant nulles en ce p o i n t ainsi que leurs dérivées premières; ceci/est possible si les racines^ et s1 de l'équation déterminante.. sont distinctes. Je suppose en outre, que . - ;

•'•1 1 ;' 1 1 '1 1 1 ;-1 1 1 1 . 1 1 'i- ..-'o^'l.yi^lrKx.1' . 1 '•-•1 ; ; 1 1; - 1.1 1''1

(4)

SUBSTÏ'm'IOINS A^ALVTÎQITES E T . EQUATIONS FONCTiOîSNELLES. 6q

Dans ces conditions, on démontre facilement, -et c^est ce qu'a t a i t Lattes dans une note pâme au Bulletin.de la Société maihématiyiie C^{1 1}), que la méthode de M. K.œnigs permet encore de résoudre l'équation fonctionnelle de Schrôder relative au m u l t i p l i c a t e u r S y cette solution étant la limite pour n i n f i n i de l'expression

: 1 • ' .^! •r^¹ ,^! .

"^{1 : 1} - . - -^{1 1 ;}. .^^lî

CM désignant par (.z^, }'"%) le ^^îtluni conséquent du point analytique ,(^Vy); cette fonction u (xy y) qui possède à l'origine un développe-

ment de la forme

n { x , y ) - = : x ^ . . . • • vérifie l ' é q u a t i o n • 11 ^ , ^ ' -1

( s ) . u{x^ y^-=isu{x,ⁱy).^: , : , •

On retrouvera aisément la démonstration en faisant voir d'abord que si x ety restent dans un domaine défini par

\^\= 9. ' l . r l ^ p >

il en sera de même des points conséquents, et qu'on aura dans ces conditions

! /• | .--••"" /•/«- Y | 'v j ---' ///» 4 - •

j •<n 1 •^ 7 - ^ 5 , \ j n \ ^ 7 , A1?

y étant un nombre positif, supérieur d'aussi peu qu'on le v e u t à \s\ et par s u i t e <^ i. On déduira de là la convergence de la série

/^*,.^i \ /' X\ 3C,,\

u == x 4- —— --^ ) •4-. . . + — — • -^ 4-.-.¹...

v y \ ^

⁵

/

,. On aura_de même . ' ' . /. ,^! .

/^ '• ^ .^{1 !} l i l n ^ ^ ^ j ^ r ) ^ ^ - ! - . . . , ( 3 ) ^^,71)=^^^,:)-), mais seulement dans le cas où

(¹ ) SUT les formes réduites ^6^y/ra/L^(?rw<:^/o/^•p<?^c^>^ae//e.y^/^.y^ domaine d'un point doublera. S. M^F.. t. XXXIX,^{1 1}191 r). /¹/ /¹ , ..'.',¹ ' ; '^{1 1},ⁱ,.^{1 1};^{1 ;}: . '¹/^{1 1 !} , .^{1 1 1 1} ^

(5)

n0 î'- F AT 01'.

régaiité\ét,ant exclue.' Tout ceci s'applique d'ailleurs à un nombre ..quelconque de variables et permet de démontrer l'existence d'une solution de l'équation fonctionnelle de Schrôder correspondant au plus grand- (en module) de's-n-iultiplicateurs, q u a n d - ceux-ci sont tous ':compris entre1,o^et11;!'.1., 1 1 '; 1^ \ 1 / ^ 1 1 1 1 1

Revenant au cas de deux variables, on ramène l'hypothèse

1 ' '^{: i i :}/^{1 :} •¹ ' k|<|^ '^! , '

à la précédente en fcrânstormant la substitution donnée ( s ) par une substitution birationnelle auxiliaire

/ X ! X ' • \ ' ! ! 11 ! ' 1'1 1 1 1'

\y j-^P(.r)/

destinée à faire disparaître un certain, nombre de termes en x seule- ment, delà série entière^ (.y, y) de sorte que ^ ( x , y) contienne en facteur ^^m, m'étant un entier quelconque. On constate que cela est toujours possible^ en prenant pour P Çx} un polynôme de la forme

! , . , , '. . ;, : ! . • • À^^À^r3 •+•.-. . , . -

pourvu qu'il n'existe entre.? et ^ aucune relation de la forme

•^{i;li 1}'1 ,¹ ^^{1 1}, :^!, •^{1 1 1 1}, -¹;¹^ .^{1 1 1} .¹ ^=^ - .^{p^^^' •¹'¹ ^ ^^:li , '^{1 1}-^{1 1 1} , ' / On assure ainsi la convergence de la série

,(,„„=., -.^.-,)-,-...^

^ _ ^ + /.'^YZ±tl^^

y1-1 1 1;-7./ •' V^^1 s'^

qui rôpréserite la deuxième solution liolomorph.e de l'équation de 'Schrôder1 ;l.,';'•/l'll:^;•i^:l:l^/.^^ ^1;,11?\ 1'':::'1.1 1 1'1 1^'1 1 1.,1'1 1 1 1^1 : 1 1 1 1 1 1 1,1, : . •„ ; . 1 1' 1 1 1 1 ;'1' :;^¹¹¹¹/,¹.¹:,'¹;;,.; '^:,^:¹•¹.;¹'¹,.¹¹,\¹¹•,;^1:11:^;:;;^¹; ,1 1 1 1 1 1.¹ :^{/ 1},^{1 1} .¹¹¹^^ ' -•••'''••^ -^{1 1} ^ '^{1 1 1 1 1}. \ ,¹ - . . / .

^^{; 1 1};;^¹'¹ •¹.;¹;^:;1111^¹¹¹:'^/^\^;11^^^ ^ , ,,.¹-^{1 1}. , ,:,' ;.'^{1 1 1 1}^

1 On/constate •d'ailleurs ''que ^ ne.peut.pas/dans le cas' de': ^l <C ^ ^ ^ converger/'dans/'un 'cto-maine- entourant^: l'origine, en considéraïlt les

(6)

SUBSTITUTIONS ANALYTIQUES ET EQUATIONS FONCTIONNELLES. ^ Ï

premiers termes du. développement, de .r^. eiVn. dont l'expression nous sera1 souvent utile :

» > /c"-__|^ . ( v1 1 1_ î ") ( V1'1'1_ _ Ç "

| ^^ = A'" X -4- 0 ^~1 v————i ^ -h 6 ^-1 ————^ ^ r ^ C ——7,———

1 " , s— ï ^ — I J S11— S

i 1 > /ç/t.__»\ . { « ( f i t _ T \ ( c'in__ç« \

| /y. _ çti ,y. ^. r. ç^~l v __LZ .r2 -4- h ç^--1 {-———/ -ry .4- ^ v- ^ ^ .J -v2-^-

| ^ — À ^ -i-a^ -^-_^ ^] - t - y à ^-,1 -r ' s ^ — S 7 ?

n,\ !

v "" / l /e2tt çfn\ f ç / / _ _ i \ s t ' / t - l f ^ n _ _ T \

„ • ,. —^v^^/^-.riL.Lrâ^A^^-l^r«=^J+^/ï;^^J^^+^^--5___.-Ll^r^^i—„„i^_Jl•l^ [2v2

d^ù

^=.-À&n-i—...

Si donc-a'' 7^ o et :^ > i, le coefficient de x2 tend vers l'infini, ce qui

A • , . , , . , ! , !

exclut lapossibilité de convergence, . u n i f o r m e . ' . . . • II est intéressant, dans certaines applications, de considérer le déterminant fonctionnel J des fonctions a et P. Dans le cas où u et (?

sont respectivement les^ limites de 4,f ^t ^ '^{lî.^;^^ À^}ⁱ^î._S'ⁿ^{• R ^}¹^{^»-} on a évidenimen t ;

1 " A''

^

! , ! ! • ^ ' ^ ! 11 ^ ., ! ! . ! 1 11 * i1 1 ! iX^T y») ^ 1 ' 1 1.

, . ,, ^ .^, ^ ,j(^^)^hni^^^^^ . • . ,. ....

Je dis que cette formule subsiste dans tous les cas. TEn effet, si nous effectuons le changement de variables employé plus haut,

1

'

1 1

',... '"

, 1 1 1 1 1'1,1,1.1 ., ,,;1'-1111.1:1•':; .'\11'1;11:'':.ÏU^^^ :11'^111\;.-,1..11. ' *', /,-..' .: ;,•

, ,1 .. 11 - ./1 : :''1., ^ 1 :., . ^.''^^'^(^^'jn^Y.1.,:5'1'''.::.^'^ ..^ 1 1 .::1'1:1';: • ::1, '...„'.<.

(7)

^2 ' • P, FATOIL

donc

. r^ ^^: Il^iZl - sim —— l^-^^

k /' D(.T,y)"~ ^.^ 0(.y,j)

Siyenparficiilier, ^(;Z1J1;) a u n e valeur constante, égale^écessairement

D(.r, y)

à 5^, on déduit de ce qui précède

1 1 1 1 1 l l i 1 1 1 1 1 1 1'1'1' - •1 1 : 1 -Dll/JL^~lï '•

1 • 1 1 ;- :1 ,\ n(^y). - * ^ 1

En restant dans le cas général on vérifie immédiatement que la fonction J (,r,j)possède la propriété fonctionnelle exprimée par Fégalité

(6) j(^,^)^^=^^

Solution générale de l'équation de Schrôder. — Proposons-nous maintenant de/trouver toutes les fonctions' holomorplies ou méro- morphes,à l'origine qui. sont multipliées par un facteur constant quand on effectue sur x et y la substitution donnée. Pour faire cette recherche on peut évidemment prendre pour variables les fonctions u et v elles- mêmes, car toutç fonction régulière à l'origine en x et y devient une fonction, régulière, en u et v, et réciproquernent; de mêmepo.ur les fo'nctions.méromorphés. Si F ( u , ^ ) est régulière, l'identité' ;1 •

(7) F(w,^P)^KF(«, P)

se discute aisément par identification des coefficients, Dans tous les cas F (UfV) ne peut être qu'un polynôme : ; ,: . • •1 . ; , , , .,

:^{1 :},1 1 1 ; 1 :.¹' :^{: 1 1}:^{: : 1 1} ' V ' / ' , - : -^{1 1}/¹'^{1 1} ^^•.^ ^•^'SA/^pP.'-':--¹';^^^ . - , ;''^{11 1}

K ayant pour valeur ^ ^ se réduira à un monôme s'il n'existe entre ^ et ^anciinerela

1(^{1 1}^);¹/'^{: 1 1 1};^;'^{1 1 : 1 1}• '¹'^{1 : 1} „;¹"^{1 1}.,¹',.,^{1 1},^{1 : 1 1}.'^{1 1 1}"'^{1 1},¹'¹.,.^; '^^^y?1 1 1 1 1 1 1 .¹' '^{1 1 1}/¹. ,¹ • . , , ,^{1 1}:^{1 1 1 1} , , ,^{1 1 1 1 1}

(p et q entiers). Dans le cas contraire les deux plus petits entiers positifs qui donnent lieu à cette relation, on pourra

. associer au.terme,^{1 1 1},¹\ ,^{1 1 :}'^{; 1 1 :} :¹¹ i, ^ '^{:1 1} . . ' /^{1 1}- . .^{1 1} .¹.1 1 1 1 1 1 1,¹'^{1 1 1}.¹. . :^{1 1 1 1}: ,^:• -¹• '^{1 :},^{1 1 1 1}'^{1 1}, ,1 1 1 1 1 1 1 ;1' .- ', 1 1 1 .1 - ' , ' .1 1 1' ' ;1. ^1 1 1 1 1 Ao^^tA,1 1 ' ' ' .1.1-1' 1 ;;:1 1,''1 1 :;':1'1 ; 1 : 1 : : 1/I.I I M I.I:•1 :'1.'

(8)

SUBSTITUTIONS A N A L Y T I Q U E S ET EQUATIONS FONCTIONNELLES. 7.3

des termes lels q u e Au'³' ^\ en p r e n a n t

a == ^0 -î-- /.p

P = ^ - A < 7 ( / ^ a 4- qf^ == COîisl.),

où ^ désigne un entier tel que a et ? soient positifs ou nuls. Si par exemple s ==^, on peut prendre pour F (u, <•') tous les polynômes 'homo- gènes, si j == — ^ les polynômes homog'ènes de degré pair; si .r ===• ^s

un polynôme contenant un terme en î/,4 r' pourra c o n t e n i r aussi des termes en u⁶ v ^ y U ^ ç-'⁸ et (^;fn.

Supposons maintenant que F ( M , , ç » ) ait une discontinuité-polaire à l'origine. II v a u r a un nombre fini de lignes de discontinuité de,cette espèce passant en 0 et représentables par des équations de la forme ç' == ç (u), ç ayant en 0 un point critique algébrique, si ce n'esl un point ordinaire (^<) . D'autre part l'équation fonctionnelle ( 7 ) montre que F, méromorphe autour de l'origine, est uniforme et rnéromôrphe en tout point à distance finie; l'ensemble de ses lignes de pôles est invariant par la substitution u^ ==su, ç^ ==y^; ces lignes passent à l'origine et ne sont'autres que les courbes p ==? ç (a) considérées à l'instant. On sait trouver toutes les courbes invariantes par une substitution de la forme précédente [voir LATTES, Sur les équations fonctionnelles qui définissent une courbe ou une surface invariante par une transformation^

Thèse (Annali diMatematica, 1966, p. 29)!. Leur équatio-n générale est de la forme

1 l⁰^^^! • . '

c == //^^'^(îog'//),

co désignant une fonction périodique arbitraire, de période^— Si

•^ est incommensurable, une telle courbe ne peut avoir à l'origine

log;y i

qu'un point critique transcendant, en mettant à part les deux lignes u=Qy ^ = = 0 , qui sont évidemment invariantes et régulières en 0. Or, les courbes 9 = ç (u) étant invariantes, soit par la substitutioni donnée, soit par une de ses puissances, ne peuvent être, d'après ce qui pré- cède, que l'iine des lignes u == o, v == o, dans le cas où il n'existe entre

( î ) Voir par exempte dans le Tome 2 du Traité d'Analyse de M. Picard te Chapitre relatif aux fonctions analytiques de plusieurs variables.

^

1 1 , Ânn. Éc'.Nûrm., (.S'), XLI. —: 'MARS, 1924. ; 1 1 1;1 1 1 : 1 , ,1 1' - 1 1 1 , -1 1 , ; ' ! !, .1 1 1, 1 !. , 1 Io , , /!

(9)

74' . ! p- I^ATOU.

^ et / aucune "relation de la forme (8). En m u l t i p l i a n t V(u, r) par u^ ^, a et {3 étant des entiers convenables, on obtient alors u n e fonc- tion entière qui vérifie une équation f o n c t i o n n e l l e de même forme que (7), K étant remplacé par K ^ /^ D'après le premier cas examinée cette fonction se réduit à un m o n ô m e e n u et y ; il en sera de m ê m e :pôur F (?/,,?) -dont l'expression générale est alors A ^m ^\ m et n en, tiers positifs ou négatifs^ le multiplicateur ^ s1" sera toujours diiïerent de ï . / . -1 1 :1 1 1 1 1:1 1 ' 'iil - - , ^: 1 1 1 ! 1, , '1 1 ;; , 1 1 1 1 1 . - . 1 1 1 1

Si au contraire il existe une relation telle que (8) e n t r e m e t / , il y a également des lignes invariantes ayant à l'origine un point critique algébrique; toutes ces {ignés ont des équations de la forme

— ^? (K)-

a etp entiers positifs. Donc en m u l t i p l i a n t F (u, ^) par un nombre fini de monômes de la forme B ^ — A ^ P , on obtiendra.une f o n c t i o n entière satisfaisant encore à une relation de la forme (7 ), c'est-à-dire un polynôme d'après ce qui précède., F (u, ç'7) est donc une fraction ration- nelle. Il y en a évidemment pour lesquelles le multiplicateur K est

• ! : « ! ifp ' ' ! ' 1 !

égal à l'unité, par exemple — •

Ainsidonc^ si les deuoc fonctions u et ç exùtent — ce c/ui a toujours lieu quandlerapport y-0-- n'est pas un entier— la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une/onction méromorphe dans le domaine de ¥ origine et invariante par 'la substitution Ci) est que ce rapport soit commensurable. -¹;¹,.^{: 1}'^{1 1 1} -^:111,.;¹ \;''¹'^;>.^{111 :}' '¹^ .^{1 1 1},^{1 1 1}'^:^ ; ,¹''^{1 1};/'¹^^{1 1 1}\\¹. •^111;1 ' . . '1 : 1 1 1 1 1 ; 1,^{1 1}'¹.¹,^{1 1 1 1},^{1 / 1 1 1}'¹'^{1 1 1},¹.¹

•,,,^'l.::I^C(^••l^û,^.l^^^^ avons, laissé' d'e.-.c.Ôtédan&'cB-qui précède le, cas' :.;oÙJ;IA^éqtAâtia^.détermi:rlâufé la substitution

••^dennéé'ne:..1?^^^^ .'variables,'.être111

ramenée à la forme (i) ; on peut alors la ramen er à la forme suivante :

;,^{1 1}/^{1 1}; . ••^{1 1}' '¹ }^ⁱⁱ''ⁱ•ⁱⁱ•ⁱv[ⁱ^•^ - , . ^ . "¹\ : ^ •, ^,,.,;

• , ; 1 1,1•1 :•1•1 1 - /1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :;':^{1 1} ,;^11:•;:¹

,'f^:l:=^J.

¹

^

^••^, '-¹.¹'.;¹,.., ,'.:,.,¹

,•

^':¹

h pouvant être rendu aussi petit que l'on veut. On peut supposer par

(10)

, SUBSTITUTIONS A N A L Y T I Q U E S ET EQUATIONS FOINCTI01NNELLES. ^5

exempter , 1 ^ . • ^ . , -, ,

ç et ^ étant toujours majorées par l'expression A ( ^| 4- i y D ^ o n o b t i e n t comme précédemment

cf ayant la va leur I^/J -+- \yn <qtl{ ^\ -4- \}' 1 ^ 4- | h ! 4- A o

(si l'on supposer + J y j ^ p ) et pouvant ^tre supposé < 1. On en déduit facilement la1 convergence Je la série

: ' '•-(f-^-^t-N ⁴ --

dont la somme représente une fonction r ('x*,,^), régulière à l'origine

et de la forme . », 11 " . • ' . '

' ! 1 1 „ .1 1,^ 11 ;1 1 1'1' , , '' / ,r+( ) ^ + . . . , '1 1 1 1 1 1 1 ^ '11 ,' • qui vérifie encore l'équation fonctionnelle

'1 : 1 1. ; 1 1 :1, ! , ! ! ^ ' ( ^ l ï j i ) ^ ^ ^ ^ ^ ^ ) . 1 1 . ! ! ! 1- ,1. \1',1 • '

• 1 ! , - . , ! ! _ . <»,

, E.n1, se servant des inégalités qui servent ^ à mîijorer, les fonctions^

^ et y^, on démontrera facilement que l'expression

: 1 1 1 ; , 1 1'1 1:1 1 1 1 1 '1 1, ^ : ^ 1, / , ^ ^1 1_:, ^ ^1 .1 1/1 ];, • .1 1 1 1: , .1.1 1 : ;"..,;,

çrt ' - . ç.K-t-1 . - ^ 1 , ! - - ! 1.

tend vers une fonction régalière; il suffit pour cela de démontrer la convergence absolue et uniforme de la série

^ -'•' ! 1.1 1 1 1 : 1 1•1 1 ! ! 1'1 1 1 - f.^Jî.îlî 1 1 ^If1 ' / '«^'^ 1 i l i 1 1 - 11 ! 1 1 1 1'

11111 , : 1 1 1,1, 1 - l i\'l 11 '1 1 1, . 1 1 1. : '1 , , 1 1: . , . , i . ç M + l 1 1 ffît •i , iffl-i-i '> 1 - • 1 1 „ • 1 , ' ! , ! ! !

ce qui Be'présente aucune-diffî.culté. Cette fonction limite, u (x, y1)1' possède un développement de la forme

';•,•' 1 1: ; , ,1 1 1 ;1.1 1'1 1 1 1• /: 1; .1 \l l-l l. ^>4 •l- ( •l' ) ^24 y ( / ) ^l- - ^ .l l. ; . , ' 1 /, 1'^:;^ . : , 1 1 1 1 1- ' ' " .1; ,_

et vérifie I^équatio n foactionnelley obtenue également par Lattes,

^10) / ' ' ' - ' . ^ ^ ^ - ^ ^ ^ j ^ ^ r r r ^ / a C ^ , ^ ,. , . ,1 1 •:•..' 1 :.,1/^ ;

(11)

•7^ p* i^ATOl'.

L'analogie est complète avec le cas général, puisque dans les deux cas,, les deux fonctions M et ^lorsqu^on effectue s u r ^ e t ^ y la transformation donnée, subissent la même transformation réduite à ses termes du premier degré. Remarquons que la fonction — » méro- morplie à Forigine, s^augmenle d''une constante quand on effectue sur x ety la substitution donnée :

1 1

'

^li

(

^{xi 7}

y

^{1 )}

^ .^^ij:') ,

^h

.

t>(,'2-i,ji) ~ ('(.r, r) .<?

Il n'y a pas ici de fonction linvariante et uniforme ^sans singularités essentielles. , ^ !' ^ ' ! . . . , .1/1, '

Cas de / —- .^. - Ce cas a été étudié également par Lattes dans son article déjà cité d u Bulletin de la Société mathématique, et d'une ma- nière e n t i è r e m e n t correcte, bien qu'il ait indiqué postérieurement des résultats inexacts à ce sujet (1).

. . Nous allons retrouver son résultât en employant u n e ' m é t h o d e un peu différente, qui utilise une transformation a u x i l i a i r e , non b i u n i - forme, souvent utile dans ce genre de questions \cf. P. FATOII, Sur les équations fonctionnelles QL S. M. F . y K)Ï(), Ier mémoire, § 11)],

Nous savons qu'il existe une solution de l'équation fonctionnelle Schrôder relatives au plus grand multiplicateur .y'(Y = ^). On sim- plifie un peu l'exposition en prenant cette fonction comme variable destinée à remplacer <zy et que nous continuons à appeler x pour ne pas avoir trop de notations. La substitution donnée est alors

1 1 1. , , ! !' 1 1 •' / . ! ( ^i :=: sœ 1- 11 :1 . , 1 1'"1 - ' ' - , ! -1 1 1 1 1 1 1'1 1 ' 1 1 -! 11 . 1 1 1

'(i0,;^{1 1},..,¹:¹..¹,¹.^{1 1};'¹.¹'.''¹'^{1 1 1},¹/¹ ', 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1"¹,^{1 1 1}.^{1 1}. . •1 1 ; 1 1 1 : 1 1,1 1 1 1 1 1 1 (^=¹¹¹^¹'^>^IQ^I.•^{1 1 1} '¹ .¹¹ ,^ ,,\,,,.¹.,¹¹,/•..,,,-,:1,^^^^ .; _^{1 1}^^{1 1}- .¹;^{1 1} • , ^ •

Nous avons déjà vu que l'on peut, en transformant cette substitution ''par'ta^^ubstitut:!^^^ 1 1,1 1' 1 ^ 1 , '1 / . ! '

^

1 1 1 1 ' • •, , l:l:l l l; ,l l' - , ; .l;;ï .l. ' , .i' ( o c • .l l;a?-l;,l l l-Y: l l• •lil 1 ^ / , i l i l . ! ! 1 1 .1 1

, . . • 1; , ^•.>:,,'.1'1/^'1^ , ^ '1 ^ , •.1^1•,:^ !

(1) C.R. Âccul. Sc^ i. 16^ 1918, p. i 5 î . Les deux fonctions vérifianfcles équatioïïs (a^

ci-après, cessent en général d'exister pour .y' == SP, contrairement à rafBrTOalioïl côn- tei^ue dans cette Note. - ..^1 1 ' : • • : ' , ! . , • 1 1 ! , './,. 1..1;1 1 l i l: ::11111\11..:1111111;1:•'

(12)

SURSÎITUTI01SS ANALYTIQUES ET ÉQUATIONS FONCTIONKELLES. ₇₇

faire disparaître dans ^ («r, o) tous les termes de degré -<?, mais non pas le terme en xp. Nous supposerons que cela a1 été fait.

En posant alors

( ,..^=X, !

( 1 2 )_{' '} _I _I _{) "V} ( ,:yï=:Xi,

on déduit, de ( ! i )

„..,. 11 "1 X^.X, 1 ^ ' ^ . (l o) • . v / ^fi = = ^ r + a X 4 - - y . ( ^ , r),

a pouvant ètre^ remplacé par un nombre aussi petit que l'on veut grâce à un changement de variable de-la forme ( ^ ^ ) •

. 'Nous supposerons donc

-ce qui est possible puisque le second membre est ^> o, à cause de M <^ T- Quant à j^ Çx, y),,il ne renferme que des termes en .z'^4"1 au

1 ' 11 " 1 1 1 ^ ' 1 , moins, p o u r j === o. Comme a? == Xp (1 ), on a

Z(^J.) < C | J X J P -4- X^LrI+ljpJ.

pour X | e t j r i <^p. D'après ( i 3 ) e t ( i 5 ) " o n aura, en m e t t a n t / en facteur dans les termes qui le contiennent dans l'expression dey^

[ r i l<|j [|^|+-^] + lx| [ ^ . ^ l - + • ^ ] ou a fortiori

lyi <l:ljl^|x '^

Y] étant aussi petit que l'on veut pour suffisamment p petit. Comme a <^ i diaprés (16), on peut donc faire en sorte que

On aura alors

(16)

j./ --h I a \ -4- j -f] | < î .

ly//l<rA.

(1) Nous déaignons par A, B, C, ... des coiiôlanleà positives qui n'ont pas besoin d'être^

connaes avec précision. La mêraie lettre pourradésigner quelquefois deux constantes différentes... ! l l i , ! 1 1 1 ^ 1 - ! -; :1 -1. •• "' - 1 ' .1 ^ • '1 1' . . " '1 1 1"1' . - ! . ,1 1 1 •' , -

(13)

7^ , ' ! - î*. FATOU. . , / '

Dénionirons m a i n t e n a n t que i'-, ^ - , , - , . / (17) n,^.^ -....^x-^-?^^

.v^ .y' A ~ .s-'// .s-' "

tend vers u n e fonction régulière en 0, c'est-à-dire d'après r i d e n t i t é que la série

tï^-i — (r/< == /^ %(^, }'n)

tU

-w ~7/7::^i[' | '/, {^fiî y ii )

'.coïïvergeuniformèment. ^Or/^apres, ( i.5 ),' J;c-;l^nne générale de cette série est inférieur à

C \ 1 1 1 { ) + l 1 1' 1 1 1 1 1 1 1 l i l 1 1 ! ! : 1 • '

—[|X.jT"+|X.H7.,-l-!jJ^^

' E.n'. tenant compte d e ' ( i 5 ) et de la valeur ^ X.deX^ on voit que cette expression est inférieure à, la somme'-des termes de trois pro- gressions géométriques ayant pour, rai son respectivement.

! • ': „ . k^ ^^|~'1'^, •^l^l1--1,.' - ' :

Le'premier nombre.lestl<:^, le;;se coud le sera'^^^^^^^ , •1, ' / •1 .1, 1 'l i l • .1 1 .,.-. .^ • 1;' i;il -1 1 1 ''/^--j.11 1 1 l l l ; l l l l i l-1'1 1 1 1 1 1 1- ^ ! ! ! ; 1 1 ! 1 1 '

1 ! ':'1' , : ! ,1 ' •1 1- , ^' q<\^\fï , • ! ! ! , , :1' 1 1' , , ' •1,:' • 11 1

,ceq'ui:esfc possible diaprés (14) en prenant YJ, donc passer petit. Le troisième, également, si ç < ^F, Inégalité/vérifiée'd'elle-même'si la précédente1 l'est puisque? ^2. , .1 ;''111.11:1^1111'111^ 1 / ::1 1 1 1' .111;. • :1 1 1 1 1 : •1

^ ,1 Dans ces'1 eôn:ditioïïâ••re,xpression:(J7J/telnd vei-s^w^, y) holomorplie 1111''

,lnlmlpoi•nt,enX,JI:[cal^ll(^,^^^ ,•

llll,dlont-lîexpo^antlnïestpa$;;mul:tip ^^. L'analyse qua1 1'- nous venons de faire est.très .'voisine^deia précédente concernant l^'eas.'' de s =: s\ avec une coinpiicatiôri résultant de cette remarque (me X et .y^neJ_solnl;,paBllho:llûmorp^ieft:l:en' et^r. '"1, • '^ 1, . . :1 . 1 1 " \. '\\1:1\,::111:11;!11::111:1:1('1•,:1-1111•.11

;,;,l•Lal'fo1W(ion:<p'(^l,^)l,

déilizitiôh./'vènâe^l'éq^ ; 1' ^ 1 : 1 1 1 1/.:^•^;^\.;,,•1.;:\11••,-.^.11•/,•,^'1'.;,'1111,,

1 : 1 1 1 ^^ / 1\,1 1 1 1,.„ 1 1- ll,l,/lï,•:,l;llll; l•:l'::'l'l•l:ll^l^l;<^^^lll^l)—l^w<^, 7) ==,rt^.1 '1': 1, ,"^ l;:/:;llll•y:i::llll::l:; :;*::1•,1/;.^.:::/11-,';,,:'.11:::1.:^^

(14)

SUBSTITUTIONS ANALYTÏQUK.S -ET ÉQUATIONS F01N€TIO^NELS,ES. 7^

Revenons aux variables initiales, nous obtenons en délioitive, dans le cas de ^== s ' ^ Q) > 2),. deux fonctions régulières qui, la substitution donnée étant de la forme ( r ) , ont pour expressions :

M ( . T , j ) = = ^ + ( . ^-H ) ^ ? ' 4 " . . . , ,

__ , p ( ^, r ) ==j +. ( ).z^ -f- (•• ).ry -+-..., ,

et vérifient le système d'équations fonctionnelles :

^^ (^/(.^i.ji)==-^/(^j), ' . .. / / ,

k t " . J t'(.rt, J,) r r r . s - / ' P ( ; r , r ) -1- - ^ [ / / ( A - ' , , , ^ " ) ] ^ ( . S ^ — : y ) . '

/^^ système des fonctions u et v lorsqu'on effectue surx et y la substitu- tion donnée subit une transformation Inrationnelle et entière^ meds non In linéaire comme clans le cas général.

' O n peut dàinontrer que toute solution.de l'équation^{: 1 1}

^,; , •F(^,\)-0=KF(..r,r),

où K désigne une c o n s t a n t e , se confond avec // Çoc, y) ou u n e d e ses puissances, si on la suppose holomorphe ou méromorphe àrorigine.

En prenant u et v comme variables indépendantes on est conduit à chercher les solutions m,éromorphes d^e l'équation , ^

(19) F(^/, .^c -\- a / / ^ ) = : K ¥ [ { / , r).

C'est là une discussion tout à fait analogue à celle que nous ayons faite pour traiter le même problème dans le cas de .y' =^ ^. Com- mençons par étudier l'itération de la substitution

, '1; '1 1 1 ^ ; ' : ; . ! , ! - , :,1 ! ^ ^ ' u^^i's-u^ •1 1 1 1. ' ^ 1111- ;. •1 1 1 '. • ! . ! ' , ! ! „ . . . .

1;1 1-1 .! 1 1 1; ' -1 1 1 1 1 ,1 1 1 1/1 1 1. -1 1 1 1 • ,1 1-1. ^ . . , 1 ^ •: • (^.rr,^ ,ç^(î + att^. . : . 1 1, . - ! 1 1 . ' 1;;-

On trouve par récurrence les formules

(20)

Uft~= S '1 U, ' . . , ,, •1 '1 : 1 1 1'1 • ' •1

•{.^^^ p -+-: nas^^-^PïfP. -

"Comme ]^]<^ i, ^ et ^ tendent imiformém en t vers zéro dans tout domaine borné des U y V . On a inversement pour définir les antécédents

•

(15)

Sa • , , " p. ^ mou. , d'un point les formules

U^f^ US"'1)

v^n= vs-"?—nas-C^^^u-^^.

En écrivant la seconde ainsi '

(„„-=.<—"^(c — / z r / . v - ^ / /4- ^ ) ,

il est visible q u e ç^ tend vers l'infini avec 71 sauf si ^ et ^ sont nuls à la fois; de même u..^ tend vers l'infini sauf pour u = o. En particulier les antécédents d'un petit domaine entourant l'origine et défini par exemple par

| // | -+- 1 (' |.^û

sont, comme nous le savons/des domaines emboîtés les u n s dans les autres, et qui finissent par comprendre un point analytique (i^) quelconque à distance finie. On déduit de là qu'une fonction holomorphe (ou méromorphe)à l'origine et vérifiant l'équation (19) conserve le même caractère en tout point à distance finie. Remarquons enfin que

lim ^ • r - = l i m .v^"-1)71^ 4-n^.^"--1^^"-^//^"1"^ o,

rt :=-+- as ^ 7l •1 /»;==:-+- oo ^

sauf pour 11 -= o. Toutes les courbes invariantes, sauf l'axe des (-7, sont donc tangentes à l'axe des u, si ellesontune tangente. Si c =fÇu) est l'équation d'une de ces courbes, on a ,

( 2 1 ) f(s, u)•-^f(u)^auf),

équation fonctionnelie qui n'a pas de solution régulière pour ^ — o . On trouvera aisément la solution générale de cette équation en déri- vantjo fois. Mais il est inutile de nous y attarder. Il nous suffit de remarquer qu'elle n'a pas non plus de solution algébroïde à l'origine, comme on le voit en remplaçant fÇu) par un développement de la forme ; • • ' ! ! •1,111111 •'• . ' •• \/. / 1,1 1 1 11 ;, „ ' - ' ^ 1' 11 '-"•; 11 ,

! ! ! ,^{1 1},¹-^{11 1}.^{1 1}.¹ ',' ,^{1 1 1}.¹, hic^^r ki^^.,., • ,¹ ••^{1 ! !} /^{1 1}'^{1 1}/ . • \^{1 : 1 1}

où a, p,... sont des nombres réels positifs. Il s'ensuit que les lignes de discontinuité polaire que peut avoir la fonction F {u, ^coïncident nécessairement avec la droite u == o. Par suite, en multipliant F par

(16)

SUBSTITUTIONS ANALYTIQUES ET ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. 8l

une puissance entière de u, on est ramené à une fonction liolomorplie vérifiant une équation de même forme. Il ne doit pas être difficile de trouver par identification toutes les solutions holomorphes de l'équa- tion (19). C'est même probablement le moyen le plus simple d'y parvenir, mais cela n'a aucun intérêt. La méthode suivante a l'avan- tage de s'appliquer, mulalis mutandis^ à beaucoup d'autres équations fonctionnelles.

Remarquons d'abord que Inéquation ( 19} implique pour toute solution entière un mode de croissance q u i est nécessairement celui d'un polynôme. On a en effet pour n entier, u^ et ?„, étant définis par les formules (20),

( 2 2 ) F ( ^ t Q = ^ F ( ^ , ^ ) .

Donnons à u une valeur fixe ^o? différente de zéro mais d'ailleurs quel- conque, puis faisons croître y indéfiniment suivant une loi quel- conque, et à chaque valeur de v faisons correspondre le plus petit entiers pour lequel u^ et ^ sont comprisdans un domaine borné, fixé une fois pour toutes, par exemple celui qui est défini par

( D o ) ^n\ < i ^o |,

^n | < 1 t!o I-

La première condition est vérifiée d'elle-même pour n^>o. La seconde implique que n croit indéfiniment avec I ^ I .

Comme (^a-y^^^o) tend vers zéro avec -? on aura, pour n très grand,

/ i ^ |^{/ ^ /}1 (^;| — £ , . < | « o ï < l ^( / M / / >l^{( ;}l - ^ ^ .

£ étant très petity d'où

' .^(^^^^^!M^L^^

¹

1

; . "

1 1

. :

1 1 1

6 compris enÊre o et i, par suite

11. 1 : 11 • ' 1' 1 .,, ! ! ' ; '1' ,1 1 .1 1 1 1/^< A, log^[. ,1 1- ' . 1 1 ^., 1 1, , 11.11 1 1' , i-' Si M est le module m a x i m u m de F dans le domaine (Do), on a

^ f / î W . f f c . ^ < > r / 7 î . / ( 3 ) , X H . - - M A R S i 9 2 4 . u

(17)

82 ! ,

d'après (22)

(23), [ F ( ^ o , (-') < K"

P. FATOU.

» v -r» s- A lotî lï Iog 1 ^ 1 T» T 1 »(

M < Me I K I ==M P IV

II s'ensuit que F ( u ^ , v) est un polynôme en p; comme ^est arbitraire;, le développement

F ( « , r ) = / , ( ^ ) + ^ ^ ( ^ ) + . . .

ne contient q u ' u n n o m b r e limité de termes (1).

Donnons maintenant à ' v une valeur fixe ^o et raisonnons de la même manière en faisant croître ^ indétiniment et faisant correspondre à {u, <^) le plus p e t i t e n t i e r n pour lequel

( D o )

Comme on a

^ 1 < |<vl,

^/r|< | ^ o | -

^^r^^-h bn^u.Y

^^ )'

_{^ 7}

et q u e /z croît indéfiniment, nous aurons si i'o est compris entre \Vn

e t ^ ,1:1-1'1 1 1 1' „ ,; 1; -1 1 1, .1. ' ' 1 1' , . '1 1 ' : ,1•1 : 1 . ^ 1. • 1 . 1 1 1 1 11

• |po|=Ê,,+|^ ( n - + - Ô ) ^ | ^ ( " -+•6? | ^ < | ^ ,

9 et £„ ayant des significations analogues a celles de tout à l'heure. Sin vérifie cette condition on voit que [s\ ^ \u\ 'est de l'ordre ^^ donc

' \1 1- 1 ! 1'1 1 1 1 ! : - '! • : ^ '^ ! , !' ! - 1 ! ! 1, - . : • ^ 1'/111 1- , ;, nP 1 ! ! \1

infinimeilt petit; s^u-^u^ est donc infiniment petit et la relation

^ i ^ ^ o est vérifiée. On aura pour cette valeur de n

//, ..'^ogJ'^^l.^^iQgC^;1^^ ^^. ,

Gomme^^^^l^^

;^,::,11;111^1:^.'1:;1^^ l i l-::1 1 '1 l l l i ^1 1 , 11 , : 1; 1,1 1\1;

(1) Car s'il exist-all une suite infiûîô de fonctions identiquement nulles, . fâ»(M), X(^), ..., f^(u) ...,

leurs zéros formeraient uû ensernble dénombrable., et pour u étranger à cet ensémhie la 'sértô'en.^ serai t^ilimilée.1;'11,1:',1;111"1•;11 :-1 1.1 1 1^1.1 1-1 1 1 1 '1 .- . . - •1. 1..;\.':1^'.:,.^11;1.•:•11^.••!'1^1^,1:1//, :,':... ••/..•'^

(18)

SUBSTITUTIONS ANALYTIQUES ET ' ÉQUATIONS FONCTIONNELLES. 83

et comme plus haut, en .appelant M' le maximum de Fj dans (D'^),

J(^ ^'^M^010' i ^'^M'I^i0'.

Donc F (^, ç⁷) est un polynôme en u. C'est donc un polynôme en u el (^?. -On est -donc ramené à chercher les polynômes en u et v qui vérifient l'équation (xg). Ici encore nous emploierons un raisonnement général qui se rattache à la théorie des groupes. Le groupe discontinu des substitutions (20) est contenu dans le groupe à deux paramètres :

(^^r. O-^ (> -4- T U/'.

L'équation (22) exprime que l'on a pour une infinité de valeurs cr et T une relation , , •

F(U^ ^) =5F((7M, ( 7 ^ P + T Z ^ ) = = H F ( M , F),

H étant indépendant de u et de ^ Exprimons donc que F vérifie cette relation, a- e t r étant regardés comme des inconnaes. On a pour déter- miner ces quantités un certain nombre de relations algébriques qui par hypothèse sont compatibles, puisqu'elles ont lieu pour

(24) , / • ^ ; ! ! (7==.^\ ! 1 r=nbai\ ^ , , , ^ ^ ! ; :, • \

quel que soit l'entier n. Ces relations .

1 ! .1 1» ,/ 1 1 1 1 1 1 1 1 - R ^ ^ T l ^ O1, 1- -1. . , , ^(^T)=0 1 1 .-. '; , 1 1 ,

avant une infinité de solutions communes^ il faut ou bien qu'elles se réduisent toutes à des identités, ou que leurs premiers membres admettent le plus grand commun diviseur

:; 'ⁱⁱ. Y^{1 1}'¹'^{1 1}. '^{1 1 1 1}'¹;^{1 1 1 1 1}- ,¹ ,^{1 1 1} :^l'^{l l}/PCo•^)\^{l l l 1 1}'^{1 ;} ; . '^{1 1} , 1 1 1 l i i 1 1 1 1; '¹ , , , .•:

qui égalé à zéro représente une courbe algébrique, décomposable ou ' non, mais contenanttous les points (24). "

Cette dernière hypothèse est manifestement impossible, car en fai- sant tendre n vers rinfini/cr et^ tendent vers zéro (x>o) et l'on a

• ^ 1 1 1/: 1 1'1 1 1 1 1 1 1 1 1•1 1' ^ :1 1 :,1 1 1 1 1' ;1 1'1 / 1-1 1 - . ' ' ' " ^ ^ 1 b . ,1 1 1- '1•1 1 1 1 1 1 1 1 1 1'1 1"1,1• :1'1 1;1 ::1 1 1 : 1 1 1 1 1 1' I1 1-1' 1 1 ;^ 1 1 1.

1 1 '1 1 1 1 1 1 . 1 , . , 1 , 1 ! 1 . — _. —.——lo^cr.1.1 1 1 1 1 ! ' ! . ! ' ' ' '• • ! ! 1;- 1-1 1' .

1. , .1 ^1 1 1 . -1.1 1:1 1 1, , 1,.1., /• 1; ^,. - ••'ç^'/log^1. ^ '.. . 1 1 1^1,:1'— l-i l l r:l 1 1 1, - ^1::;1 1.1 1 1 1 1' 1 1;1 1 1 1

Substitutions analytiques et équations fonctionnelles à deux variables

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

P. F

SUBSTITUTIONS ANALYTIQUES

ÉWATIONS" FÔNCTIONNELIIS A D E U 1 VARIABLE

PREMIÈRE PARTIE.

v y \ ^

/

,(,„„=., -.^.-,)-,-...^

^=.-À&n-i—...

d'où

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