Lire
la
première partie
Application `a la configuration acad´emique
de Sommerfeld et Qiu (1991)
Table des Mati`eres
6 Pr´esentation de la configuration 113
6.1 Dispositif exp´erimental . . . 113
6.1.1 Protocole exp´erimental . . . 113
6.1.2 Description du banc exp´erimental . . . 114
6.1.3 R´egime op´eratoire dans l’exp´erience . . . 115
6.2 Pr´ec´edentes ´etudes de la configuration . . . 117
6.2.1 Simulations par la m´ethode RANS . . . 118
6.2.2 Simulations par la m´ethode SGE . . . 119
6.3 Aspects num´eriques des calculs SGE . . . 120
6.3.1 Maillage pour la SGE . . . 120
6.3.2 Les conditions aux limites . . . 120
6.3.3 Param`etres num´eriques des calculs . . . 123
6.4 Organisation des calculs SGE . . . 124
7 Pr´esentation des r´esultats 127 7.1 R´esultats des calculs SGE de l’´ecoulement gazeux . . . 127
7.1.1 Visualisation de l’´ecoulement instantan´e . . . 127
7.1.2 Analyse de l’´ecoulement moyen . . . 130
7.1.3 Conclusion sur le calcul SGE de l’´ecoulement gazeux . . . 139
7.2 R´esultats des calculs SGE monodisperses de l’´ecoulement particulaire . . . 139
7.2.1 Visualisation de l’´ecoulement instantan´e . . . 139
7.2.2 Analyse de l’´ecoulement moyen . . . 142
7.2.3 Conclusion sur les calculs SGE monodisperses de l’´ecoulement particulaire . . . 168
7.3 R´esultats des calculs SGE polydisperses de l’´ecoulement particulaire . . . 174
7.3.1 Comparaison des calculs monodisperses et polydisperses . . . 174
7.3.2 Influence du param`etre u∞: comparaison des calculs P1, P2 et P4 . . . 181
7.3.3 Influence du param`etre τsep: comparaison des calculs P3, P4 et P5 . . . 188
7.3.4 Conclusion sur les calculs SGE polydisperses de l’´ecoulement particulaire . . . 194
Pr´esentation de la configuration
6.1
Dispositif exp´erimental
La configuration de Sommerfeld & Qiu [177, 178] est un mod`ele simplifi´e de l’´etage de combustion d’une turbine `a gaz. En effet, ce banc exp´erimental concentre deux caract´eristiques d’un foyer de turbine `a gaz :
• une injection de particules solides de diam`etres vari´es qui simule l’injection de gouttes de carburant dans un injecteur industriel,
• un mouvement de rotation de l’air repr´esentatif du swirl obtenu dans un injecteur industriel.
L’´ecoulement diphasique tournant pr´esent dans cette configuration met donc en jeu un grand nombre de ph´enom`enes observ´es dans les foyers a´eronautiques. On peut notamment citer les instabilit´es li´ees aux couches de m´elange ou l’interaction turbulente entre la phase dispers´ee et la phase porteuse. De plus, cette configuration se focalise uniquement sur la dispersion d’un nuage de gouttes polydisperses dilu´e, ce qui simplifie grandement la probl´ematique associ´ee `a la phase dispers´ee.
6.1.1 Protocole exp´erimental
Afin d’´etudier ces ph´enom`enes, un protocole exp´erimental tr`es rigoureux a ´et´e mis en place afin de pouvoir ´etudier les deux phases qui coexistent dans l’´ecoulement. Ce protocole exp´erimental consiste no-tamment `a :
B mesurer `a des temps r´eguliers la distribution de tailles de particules. Cette proc´edure de v´erification permet d’assurer une faible proportion de particules non sph´eriques (< 2% dans cette exp´erience) et aussi de conserver la mˆeme distribution de tailles pour les particules d’ensemencement en renouvelant la population de ces particules si besoin apr`es chaque mesure.
B utiliser des particules d’ensemencement bien plus petites mais constitu´ees du mˆeme mat´eriau que les particules repr´esentatives de la phase dispers´ee. Deux raisons expliquent ce choix : la m´ethode PDA (section 8.2.3) ´etant utilis´ee pour caract´eriser en mˆeme temps les deux phases, il faut que la taille mesur´ee des particules d´epende uniquement de leur taille r´eelle et non pas aussi de l’in-dice de r´efraction du mat´eriau qui les compose. On pourra ainsi mesurer les caract´eristiques de la phase porteuse via les particules d’ensemencement en pr´esence des particules repr´esentatives de la phase dispers´ee. De plus, le processus de comptage des particules d’ensemencement1a une probabi-1
Afin de pouvoir compter les particules d’ensemencement, il faut discriminer la population des grosses particules. Le processus de discrimination des particules par limitation de phase a ´et´e sugg´er´e par Hardalupas & Taylor [80].
lit´e maximale d’acquisition vers 1.5µm, ce qui garantit que les particules capt´ees ont un comportement de traceur de l’´ecoulement gazeux.
B acqu´erir un nombre suffisant d’´echantillons sur chaque station de mesure. Cela se traduit par la capture de 2000 ´echantillons pour reconstruire les vitesses moyennes et fluctuantes du gaz. Pour la phase dispers´ee, on reconstruit les vitesses moyennes et fluctuantes pour certaines classes de taille de particule `a partir de 18000 ´echantillons. Le temps d’acquisition se situe entre 15 et 30 minutes pour chaque station de mesure.
Ce protocole a permis d’obtenir une excellente reproductibilit´e des r´esultats exp´erimentaux tout en offrant des donn´ees d’entr´ee fiables pour les simulations num´eriques entreprises sur cette configuration (cf. la sec-tion 6.2).
6.1.2 Description du banc exp´erimental
Injecteur Chambre de test
Chambre de stagnation
Jet primaire (Gaz + Particules) Jet secondaire (Gaz)
FIG. 6.1 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Vue d’ensemble et dimensions du banc exp´erimental.
Le banc exp´erimental est `a sym´etrie de r´evolution comme on peut le voir sur la Fig. 6.1. Ce banc com-porte les ´el´ements suivants :
B l’injecteur compte 2 ´etages. L’´etage primaire permet d’injecter de l’air avec des particules. Aucun mouvement de giration n’est donn´e `a l’´ecoulement dans cet ´etage. L’´etage secondaire enserre l’´etage primaire et souffle uniquement de l’air avec un mouvement de giration, ce qui permet d’atteindre un nombre de swirl de 0.47 en sortie d’injecteur.
B la chambre de test est une chambre `a expansion brusque avec une augmentation de la section de passage de l’ordre de 9.2. Cette chambre a une longueur de 1.5m.
Sommerfeld & Krebs [176] a montr´e qu’une restriction de section en bout de chambre avait une forte influence sur l’´ecoulement en amont, notamment sur la zone de recirculation centrale.
Ce dispositif exp´erimental a fait l’objet d’un grand nombre de mesures (Sommerfeld & Qiu [177, 178]). Ainsi, on compte 8 stations de mesure non uniform´ement r´eparties sur une longueur de 315mm en aval de l’injecteur. Pour chaque station de mesure, on a ainsi acc`es aux grandeurs suivantes :
B sur la phase porteuse, les statistiques moyennes des composantes axiales, radiales et azimuthales des vitesses moyennes et fluctuantes.
B sur la phase particulaire, les statistiques moyennes des composantes axiales, radiales et azimuthales des vitesses moyennes et fluctuantes sur l’ensemble de la population de particules. Les mˆemes statis-tiques sont extraites pour trois classes de taille de 10 microns d’´epaisseur centr´ees sur 30, 45 et 60 µm.
B des profils radiaux de diam`etre moyen en nombre (D10dans la Table 3.1) ont aussi ´et´e fournis afin de
localiser spatialement les particules selon leur diam`etre.
B l’´evolution du flux axial massique en particules est aussi mesur´e `a chaque station de mesure.
La localisation des plans de mesure exp´erimentaux est donn´ee sur la Fig. 6.2. (x=0) correspond au fond de chambre. X=3mm X=25mm X=52mm X=85mm X=112mm X=155mm X=195mm X=315mm Air + Particules Air Air
FIG. 6.2 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Localisation des plans de coupe exp´erimentaux.
6.1.3 R´egime op´eratoire dans l’exp´erience
La Table 6.1 d´ecrit les caract´eristiques de l’´ecoulement diphasique dans la configuration de Sommerfeld & Qiu [177]. Les mesures exp´erimentales sont faites `a pression atmosph´erique (101325 Pa) et `a temp´erature ambiante (293K).
La distribution de taille des particules a ´et´e mesur´ee exp´erimentalement sur l’intervalle [0; 128]µm. La Figure 6.3 pr´esente les 40 classes de 3.1 µm d’´epaisseur qui repr´esentent la r´epartition exp´erimentale en nombre et en volume des tailles de particule. Le diam`etre moyen en nombre D10est ´evalu´e `a 45.0 µm dans
PHASE PORTEUSE Jet primaire
D´ebit massique [g/s] 9.9
Vitesse axiale maximale [m/s] 12.5
Nombre de Reynolds (bas´e sur D4) [−] '27000
Nombre de swirl [−] 0.0
Jet secondaire
D´ebit massique [g/s] 38.3
Vitesse axiale maximale [m/s] 18.0
Nombre de Reynolds (bas´e sur 0.5*(D2− D3)) [−] '21000
Vitesse azimutale maximale [m/s] 13.0
Nombre de swirl [−] 0.47
PHASE DISPERSEE Jet primaire
D´ebit massique [g/s] 0.34
Fraction massique [−] 3.4%
Mat´eriau des particules verre
Masse volumique [kg/m3] 2500
Diam`etre moyen en nombre des particules (D10) [µm] 45.0
Plage des tailles de particule [µm] 15 - 120
TAB. 6.1 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Propri´et´es de l’´ecoulement diphasique.
FIG. 6.3 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Distribution exp´erimentale en nombre et en volume des tailles de particule.
Il est possible de d´eriver les temps de relaxation par taille de particule grˆace `a l’Eq. 1.20, ce qui est r´ealis´e pour 8 tailles de particules dans la Table 6.2. Le facteur correctif f dans l’Eq. 1.20 est ici unitaire. Par d´efinition, le temps de relaxation des particules ´evolue selon le carr´e de leur diam`etre, ce qui explique sa forte augmentation avec les plus grands diam`etres.
Taille de particule [µm] 15 30 45 60 75 90 105 120 Temps de relaxation [ms] 1.8 7.3 16.4 29.2 45.7 65.8 89.5 117.0
TAB. 6.2 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Temps de relaxation pour 8 tailles de particule.
6.2
Pr´ec´edentes ´etudes de la configuration
Le dispositif exp´erimental mis en place par Sommerfeld & Qiu [177] allie de nombreux atouts pour la validation d’un code CFD capable de calculer les ´ecoulements diphasiques. La parfaite connaissance des conditions d’entr´ee coupl´ee `a une g´eom´etrie simplifi´ee permettent de mener `a bien des simulations num´eriques tout en s’affranchissant des points durs g´en´eralement rencontr´es dans les brˆuleurs r´eels. Ces deux points associ´es `a la grande quantit´e de donn´ees exp´erimentales disponibles sur cette configuration expliquent le nombre de simulations rapport´ees dans la litt´erature. La Table 6.3 recense quelques r´ef´erences bibliographiques se rapportant `a cette configuration.
R´ef´erence Approche Nombre de Type de maillage Nombre de Longueur de
particules noeuds la chambre
Simulations RANS
Sommerfeld et al. [179] Euler-Lagrange 5000 Structur´e 2D 6000 1.0m Zhou et al. [206] Euler-Lagrange non pr´ecis´e Structur´e 2D 640 0.95m
Chrigui [31] Euler-Lagrange 75000 Structur´e 3D 65000 0.5m
Simulations SGE
Apte et al. [4] Euler-Lagrange 1.1 million Structur´e 3D 2.5 millions 1.5m Oefelein et al. [129] Euler-Lagrange 2.5 millions Structur´e 3D 4.4 millions 1.5m Boileau et al. [16] Euler-Euler - Non-structur´e 3D 0.7 millions 1.5m
TAB. 6.3 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - R´ef´erences bibliographiques de simulations num´eriques.
Les premi`eres simulations RANS ont montr´e des r´esultats limit´es en particulier sur la dynamique de la phase dispers´ee ou sur l’´etendue de la zone de recirculation centrale tandis que les simulations SGE ont su capturer fid`element la dynamique de l’´ecoulement diphasique rotatif pr´esent, que ce soit sur les statistiques moyennes ou fluctuantes.
6.2.1 Simulations par la m´ethode RANS
La configuration de Sommerfeld & Qiu [177] a ´et´e d’abord ´etudi´ee num´eriquement par la m´ethode RANS. Signalons que les ´etudes par la m´ethode RANS ont syst´ematiquement tronqu´e la chambre de mesure dans les maillages utilis´es.
• Simulation de Sommerfeld et al. [179]
Les simulations de Sommerfeld et al. [179] s’appuient sur un maillage bi-dimensionnel de 6000 cel-lules. La chambre de test est maill´ee sur 1m de longueur. L’utilisation d’un maillage bidimensionnel permet de r´eduire consid´erablement la taille du probl`eme mais ne permet plus de capturer les effets li´es `a la composante azimuthale de vitesse. En accord avec la formulation Euler-Lagrange, Sommer-feld et al. [179] ne suit pas toutes les particules physiques du calcul mais les regroupe en paquets sur des plages de taille d´efinies afin de conserver un nombre de particules num´eriques mod´er´e dans le domaine de calcul (de l’ordre de quelques milliers). De plus, un mod`ele de collision in´elastique particule/paroi est pr´esent dans le code de calcul. Le mod`ele de turbulence pour le gaz est un mod`ele du type k − .
Les r´esultats montrent une forte sous-estimation des vitesses fluctuantes sur les deux phases, qui est attribu´ee selon les auteurs au mod`ele de turbulence utilis´e. La comparaison avec l’exp´erience pour les grandeurs moyennes des deux phases est par contre tr`es acceptable compte tenu du faible temps de calcul requis.
• Simulation de Zhou et al. [206]
Afin de pallier les manques des premi`eres simulations de Sommerfeld et al. [179], Zhou et al. [206] a adopt´e une mod`ele de turbulence plus ´evolu´e qui tient compte des corr´elations de vitesses fluctuantes entre les deux phases d’un point de vue Lagrangien. Le maillage est toujours bidimensionnel mais comporte un total de 640 cellules, ce qui s’av`ere un nombre de cellules particuli`erement faible. La chambre de test est maill´ee sur 0.95m de longueur.
Ce mod`ele plus ´evolu´e de turbulence conduit cependant `a une sous-estimation des vitesses fluctuantes sur la phase liquide. De plus, la vitesse axiale moyenne des particules est aussi largement sous-estim´ee sur l’axe central de la configuration, ce qui est certainement dˆu `a un d´eficit de particules lourdes sur ce mˆeme axe.
• Simulation de Chrigui [31]
La simulation RANS de Chrigui [31] fait intervenir un maillage tridimensionnel structur´e comportant un total d’environ 65000 cellules. Seul le premier tiers de la chambre de test est simul´e, ce qui n’a pas permis de pousser les comparaisons jusqu’`a l’abscisse de mesure X = 315mm, trop proche de la sortie `a X = 500mm. Afin d’assurer une bonne repr´esentativit´e statistique de la population de gouttes, un total de 75000 paquets de particules ont ´et´e suivis d’un point de vue Lagrangien dans le domaine de calcul. Le mod`ele de turbulence est un mod`ele du type k − .
Les r´esultats montrent un ´eclatement trop tardif du jet gazeux, associ´e `a une sous-estimation de l’´etendue axiale de la zone centrale de recirculation. Quant `a la phase dispers´ee, elle montre une accu-mulation de particules trop lourdes sur l’axe central, ce qui conduit `a une surestimation de la vitesse axiale sur ce mˆeme axe.
6.2.2 Simulations par la m´ethode SGE
Avec la mont´ee en puissance des ressources informatiques, la configuration de Sommerfeld & Qiu [177] a pu ˆetre ´etudi´ee num´eriquement par la m´ethode SGE.
• Simulation de Apte et al. [4]
Apte et al. [4] a r´ealis´e la premi`ere simulation SGE de la configuration de Sommerfeld & Qiu [177]. Le domaine de calcul consiste en un maillage structur´e de 2.5 millions d’hexa`edres avec une plus petite taille de maille de l’ordre de 32µm en proche paroi et dans les couches de m´elange proches de la sortie de l’injecteur. Suivant l’approche lagrangienne pour la phase dispers´ee, un total de 1.1 millions de particules sont traqu´ees dans la simulation. Le calcul d’un temps convectif prend 150 heures sur 96 processeurs d’un supercalculateur IBM.
Ces premiers r´esultats d´emontrent clairement la sup´eriorit´e de la SGE sur le RANS sur cette configu-ration. En effet, les dimensions de la zone centrale de recirculation (CTRZ) sont clairement retrouv´ees dans cette simulation, tant la localisation des deux points de stagnation que l’´evolution axiale de l’´etendue radiale de la CTRZ. De plus, les profils de valeurs RMS affichent un excellent accord avec les profils exp´erimentaux, ce qui se d´emarque nettement des pr´ec´edents calculs RANS.
• Simulation de Oefelein et al. [129]
Sommerfeld & Qiu [178] a ´etendu les premiers r´esultats exp´erimentaux de Sommerfeld & Qiu [177] en ajoutant notamment un nouveau r´egime de fonctionnement du dispositif exp´erimental (le nombre de swirl augmente alors l´eg`erement pour passer de 0.47 `a 0.49 tandis que la fraction massique en particules du jet primaire augmente de 3.4% `a 16.6%). Oefelein et al. [129] a simul´e les deux cas (Sommerfeld & Qiu [177,178]) en suivant plus de 2.5 millions de particules. Le maillage structur´e est encore plus important que dans Apte et al. [4] avec un total de 4.4 millions de cellules dont 1.5 millions rien que dans l’injecteur. A la lueur de ces chiffres, on peut avancer un coˆut de calcul au moins deux fois plus important que celui requis par Apte et al. [4].
Les variations de positionnement de la CTRZ associ´ees au changement de r´egime de fonctionnement ont ainsi ´et´e retrouv´ees. Ces deux simulations ont encore renforc´e la valeur d’une approche SGE sur cette configuration en exhibant des r´esultats tr`es satisfaisants sur chaque phase de l’´ecoulement. • Simulation de Boileau et al. [16]
La simulation de Boileau et al. [16] se d´emarque de tous les calculs pr´ec´edents par l’adoption d’un formalisme Euler sur la phase dispers´ee (Kaufmann [89]). De plus, le maillage est ici non structur´e et comporte un total de 733000 noeuds avec une plus petite taille de maille environ 50 fois plus grande que dans le cas de Apte et al. [4], ce qui ne peut pas autoriser le mˆeme niveau de pr´ecision que les simulations SGE de Apte et al. [4], Oefelein et al. [129]. Autre limitation, cette simulation SGE repr´esente la dynamique de la phase dispers´ee pour un seul diam`etre de particule (le diam`etre moyen en nombre D10, soit 45 microns dans le cas d´ecrit par Sommerfeld & Qiu [177]).
Les r´esultats SGE sur le gaz sont du mˆeme ordre de pr´ecision que les ´etudes SGE pr´ec´edentes, notamment sur les caract´eristiques de la CTRZ. Les r´esultats SGE sur la phase liquide monodisperse montrent un bon accord avec les r´esultats exp´erimentaux extraits pour la classe de taille `a 45 microns. Le formalisme Euler-Euler ne se prˆete pas aussi naturellement que l’approche Euler-Lagrange `a la gestion de la polydispersion du spray. C’est pourquoi ces r´esultats se limitent `a l’´etude d’une seule population de tailles de particule.
Dans ce travail de th`ese, l’´etude de Boileau et al. [16] est ´etendue `a deux autres classes de taille ´etudi´ees par Sommerfeld & Qiu [177] : 30 et 60µm. Dans le mˆeme temps, plusieurs simulations reposant sur l’exten-sion du formalisme Euler-Euler de Kaufmann [89] aux cas polydisperses d´evelopp´ee par Mossa [124] sont men´ees `a bien. L’organisation des calculs est donn´ee dans la section 6.4.
6.3
Aspects num´eriques des calculs SGE
Les simulations SGE ont ´et´e r´ealis´ees avec le code de calcul AVBP. Les aspects num´eriques recouvrent le choix d’un maillage appropri´e (section 6.3.1), le choix de conditions aux limites (section 6.3.2) puis le choix de param`etres num´eriques de r´esolution (section 6.3.3).
6.3.1 Maillage pour la SGE
Les caract´eristiques du maillage sont pr´ecis´ees dans la Table 6.4.
Type de maillage non structur´e Type de cellule t´etra´edrique Nombre de noeuds ' 730000 Nombre de cellules ' 4500000 Volume de cellule minimal 1.77 10−12m3 Localisation Jet primaire Volume de cellule maximal 4.43 10−5m3 Localisation Chambre de test
TAB. 6.4 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Propri´et´es du maillage
La Figure 6.4 pr´esente une vue globale du maillage retenu pour les calculs SGE. L’injecteur est maill´e sur une longueur r´eduite (5cm) avant de d´eboucher dans la chambre de test. La taille de maille est constante dans l’injecteur avant d’augmenter dans la chambre. Une coupe transverse du maillage est aussi pr´esent´ee sur la Fig. 6.4. Le raffinement de maillage est maximal dans la r´egion proche injecteur avec une augmenta-tion de la taille de maille tr`es rapide `a la fois axialement et radialement en aval de cette zone.
6.3.2 Les conditions aux limites
La configuration de Sommerfeld & Qiu [177] est ´etudi´ee `a l’air libre `a pression ambiante et par une temp´erature de 300K. Les conditions limites des calculs SGE sont localis´ees sur la Fig. 6.5.
Les valeurs des quantit´es impos´ees sur chaque condition aux limites sont pr´esent´ees dans la Table 6.5. Les profils de vitesse sur les entr´ees pour chaque phase reprennent les profils fournis par l’exp´erience `a X = 3mm.
FIG. 6.4 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - haut : Vue gobale du maillage ; bas : Coupe m´ediane verticale
avec d´etails du maillage dans l’injecteur et la chambre de test.
FIG. 6.5 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Localisation des conditions aux limites.
Sur la phase gazeuse
La m´ethode NSCBC (Poinsot & Lele [137]) est retenue pour traiter les entr´ees et les sorties du domaine de calcul. Cette m´ethode permet de contrˆoler les ondes acoustiques qui sortent et qui rentrent de la zone de calcul en ramenant le traitement des ondes caract´eristiques aux bords du domaine `a un probl`eme localement mono-dimensionnel et non visqueux (en anglais LODI pour ”Locally One-Dimensional and Inviscid”). Les profils des 3 composantes moyennes de vitesse obtenues exp´erimentalement `a la station X = 3mm sont impos´es sur les deux entr´ees du calcul SGE (entr´ee du jet primaire et entr´ee du jet secondaire), de mˆeme
PHASE PORTEUSE Entr´ee du jet primaire
D´ebit massique [g/s] 9.9
Temp´erature [K] 300
Entr´ee du jet secondaire
D´ebit massique [g/s] 38.3 Temp´erature [K] 300 Sortie de la chambre Pression [P a] 101325 Parois Lois de paroi PHASE DISPERSEE Entr´ee du jet primaire
Diam`etre [µm] 30, 45 et 60 (calculs monodisperses) 42.0 (calculs polydisperses) Fraction volumique de particules [−] 1.5 10−5
D´ebit massique [g/s] 0.34
Temp´erature [K] 300
Sortie
Convection des grandeurs liquides en sortie Parois
Condition de glissement
TAB. 6.5 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Conditions aux limites des calculs SGE.
pour la temp´erature. Dans cette configuration, une variation de l’ordre de quelques % sur les profils de vitesse en entr´ee a une influence notable sur les profils radiaux calcul´es plus loin en aval, que ce soit sur le gaz ou le liquide. La pression est impos´ee sur la sortie. Les parois sont trait´ees avec une loi de paroi logarithmique comme pr´ecis´ee dans Schmitt et al. [161].
Pour simuler l’arriv´ee d’un champ de vitesse pleinement turbulent dans la chambre de test, on pourrait laisser la turbulence s’´etablir naturellement dans les tuyaux d’amen´ee des jets. Cette m´ethode est n´eanmoins tr`es coˆuteuse en maillage et en temps de calcul car elle impose g´en´eralement de mod´eliser de mani`ere tr`es fine la turbulence de couche limite (Lund et al. [111]). Pour surmonter cette limitation, on pr´ef`ere imposer une vitesse fluctuante qui mime la turbulence. Suivant la m´ethode RFG (pour ”Random Flow Generation”) d´evelopp´ee par Smirnov et al. [174], cette partie fluctuante est construite en superposant les harmoniques issues d’une distribution normale proche de l’´echelle int´egrale. Le spectre d’´energie reconstruit `a partir de ces harmoniques a la forme suivante :
E(k) = 16 r 2 πk 4e−2k2 (6.1)
o`u k est le nombre d’onde. Pour simuler la configuration de Sommerfeld & Qiu [177], on extrait 50 modes `a l’entr´ee du jet primaire et 20 modes `a l’entr´ee du jet secondaire. L’amplitude des fluctuations de vitesse est fix´ee par les profils exp´erimentaux `a X=3mm.
Sur la phase dispers´ee
Concernant la phase liquide, les conditions limites d’entr´ee sont impos´ees suivant des conditions de type Dirichlet : on impose ainsi le nombre de gouttes par unit´e de volume, le diam`etre, le profil de vitesse et la temp´erature des gouttes sur l’injection du jet primaire. Concernant l’entr´ee du jet secondaire, la formulation eul´erienne de la phase dispers´ee impose de d´efinir une valeur non nulle de la fraction volumique de liquide sur cette entr´ee. On choisit donc une valeur de plusieurs ordres de grandeur plus faible que celle appliqu´ee sur l’injection primaire. La sortie du domaine de calcul est purement convective. Le traitement des parois est tr`es simple : la vitesse normale des gouttes est juste annul´ee `a la paroi, le rebond ou le d´epˆot de gouttes `a la paroi n’´etant pas pris en compte.
En entr´ee du jet primaire, on impose un champ de vitesse turbulent sur la phase liquide de la mˆeme mani`ere que pour le gaz. De la mˆeme mani`ere, l’amplitude des fluctuations de vitesse est fix´ee par les profils exp´erimentaux `a X=3mm.
Concernant les calculs SGE polydisperses, il convient de se donner une forme convenable pour la distri-bution des tailles de goutte. On a choisi d’utiliser les deux param`etres suivants pour la loi log-normale : d00= 42.0µm et ˆσ = 0.56. Ces deux param`etres permettent de respecter la valeur du D10tout en assurant
une repr´esentation raisonnable de la population de tailles de particule par rapport `a l’exp´erience, comme on peut le voir sur la Fig. 6.6.
8 7 6 5 4 3 2 1 0 Densité en nombre (%) 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Diamètre (µm) Distribution expérimentale
Distribution analytique (loi log-normale)
FIG. 6.6 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Histogrammes : Distribution exp´erimentale en nombre des tailles de particule ; trait avec symbole : Distribution analytique en nombre des tailles de particule (loi log-normale).
6.3.3 Param`etres num´eriques des calculs
Les calculs SGE ont ´et´e men´es `a bien avec le sch´ema num´erique TTGC (Colin & Rudgyard [33]) qui est d’ordre 3 en espace et en temps. Le sch´ema TTGC est environ 2.3 fois plus coˆuteux en temps que le sch´ema Lax-Wendroff (LW) qui est du second ordre en espace et en temps (Sch¨onfeld & Rudgyard [162]). Ce surcoˆut en temps de calcul se traduit par une meilleure repr´esentation de l’´ecoulement instantan´e et moyen par rapport `a un sch´ema d’ordre inf´erieur comme le sch´ema LW. Concernant la m´ethode SGE, le mod`ele
de sous-maille pour les vitesses du gaz est le mod`ele de Smagorinsky abord´e dans la section 2.2 tandis que la phase liquide b´en´eficie du mod`ele mixte d´ecrit dans la section 2.4. Le couplage entre les deux phases fait intervenir la train´ee en couplage direct car la fraction volumique maximum en particules dans le domaine de calcul est de l’ordre de 5 × 10−5, ce qui autorise cette approximation. Aucun mod`ele d’´evaporation de goutte n’est requis car les particules sont constitu´ees de verre dans l’exp´erience. La contribution du mouvement d´ecorr´el´e (section 2.3.3) n’est pas explicitement prise en compte mais sera reconstruite a posteriori pour les 3 calculs monodisperses dans la section 7.2.2.
La Table 6.6 r´ecapitule les param`etres num´eriques communs `a toutes les simulations SGE. Sch´ema num´erique TTGC (3i`emeordre en espace et en temps) Mod`eles de couplage Traˆın´ee (couplage direct)
Evaporation d´esactiv´ee
Mod`ele de RUM non activ´e
Mod`ele SGS (gaz) Smagorinsky [173]
Mod`ele SGS (liquide) Mod`ele mixte ( Yoshizawa [204] + Smagorinsky [173]) Viscosit´e artificielle (gaz) Colin [32]
Niveau `a l’ordre 2 (smu2) 0.07
Niveau `a l’ordre 4 (smu4) 0.007
Viscosit´e artificielle (liquide) Jameson et al. [86] Niveau `a l’ordre 2 (smu2,T P F) 0.25
Niveau `a l’ordre 4 (smu4,T P F) 0.15
TAB. 6.6 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Param`etres num´eriques des calculs SGE.
6.4
Organisation des calculs SGE
Les calculs SGE sont r´epartis de la mani`ere suivante :
1. un calcul SGE monodisperse est r´ealis´e pour chacune des trois classes de taille rapport´ee dans les me-sures exp´erimentales de Sommerfeld & Qiu [177,178], c’est-`a-dire pour 30, 45 et 60 microns (calculs M30, M45 et M60 dans la Table 6.7). Pour chaque classe de taille de particule, on compare la simu-lation SGE aux mesures exp´erimentales fournies par Sommerfeld & Qiu [177,178]. L’´ecoulement de la phase dispers´ee pr´esentant des variations de topologie ´etroitement li´ees `a la taille de particules, on v´erifie que ces variations sont retrouv´ees dans la s´erie de calculs SGE monodisperses.
2. en parall`ele, des calculs SGE polydisperses sont men´es `a bien afin de v´erifier l’influence de deux param`etres cl´es du mod`ele : le temps de s´eparation des classes de particules τsep ainsi que la
vi-tesse de relaxation des plus grosses particules u∞ (calculs P1 `a P5 dans la Table 6.7). Ces calculs
sont syst´ematiquement compar´es aux mesures de Sommerfeld & Qiu [177,178], mesures qui sont moyenn´ees sur toute la population de particules. Les comparaisons sont faites sur les profils radiaux des trois composantes de vitesse ainsi que sur les profils radiaux de diam`etre moyen en nombre des particules.
La Table 6.7 r´ecapitule les simulations SGE r´ealis´ees sur la configuration de Sommerfeld & Qiu [177]. Pour obtenir des moyennes converg´ees pour chaque phase, un total de 150000 it´erations (soit 0.375s de temps physique) s’est r´ev´el´e raisonnable.
Identifiant de Diam`etre u∞ Temps de
la simulation [µm] [m/s] s´eparation [ms] CALCULS SGE MONODISPERSES
M30 30 -
-M45 45 -
-M60 60 -
-CALCULS SGE POLYDISPERSES
P1 10 `a 130 12 15
P2 10 `a 130 8 15
P3 10 `a 130 u˘p* 50
P4 10 `a 130 u˘p* 15
P5 10 `a 130 u˘p* 7
* ˘ulcorrespond `a la vitesse corr´el´ee obtenue `a l’it´eration pr´ec´edente du calcul.
TAB. 6.7 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Organisation des calculs SGE en fonction du traitement de la phase dispers´ee.
Les calculs SGE monodisperses ont ´et´e men´es `a bien sur 128 processeurs du supercalculateur MareNostrum localis´e au centre BSC en Espagne. Pour avancer de 150000 it´erations un calcul SGE monodisperse, il faut compter environ 48 heures de temps de calcul.
Les calculs SGE polydisperses ont ´et´e r´ealis´es sur 32 processeurs du supercalculateur IBM JS21 localis´e au CERFACS. 300 heures de temps de calcul s’av`erent n´ecessaires pour avancer de 150000 it´erations un calcul SGE polydisperse.
Les calculs SGE sont ´etudi´es dans l’ordre qui suit :
1. Sachant que la charge volumique en particules reste faible dans le domaine de calcul, il est raisonnable de consid´erer un couplage direct entre la phase porteuse et la phase particulaire. Dans ces conditions, les statistiques de la phase porteuse ne sont pas affect´ees par l’´ecoulement de la phase particulaire. L’´ecoulement de la phase porteuse est donc ´etudi´e en premier lieu `a partir des donn´ees recueillies sur le calcul SGE monodisperse `a 45 microns, sachant que les statistiques moyennes du gaz sont identiques pour tous les calculs SGE.
2. Dans un deuxi`eme temps, les statistiques des calculs monodisperses sont ´etudi´ees en les comparant aux donn´ees exp´erimentales recueillies par Sommerfeld & Qiu [177,178]. De plus, les simulations SGE monodisperses sont aussi compar´ees entre elles afin de v´erifier que les tendances reli´ees aux variations de diam`etre sont bien retrouv´ees num´eriquement.
3. En dernier lieu, une ´etude param´etrique sur deux param`etres cl´es du mod`ele polydisperse est conduite afin de pouvoir quantifier la d´ependance du mod`ele vis-`a-vis de ces deux param`etres. Les simulations polydisperses sont syst´ematiquement compar´ees aux mesures exp´erimentales fournies par Sommer-feld & Qiu [177,178].
Pr´esentation des r´esultats
7.1
R´esultats des calculs SGE de l’´ecoulement gazeux
L’´etude de l’´ecoulement gazeux est divis´ee comme suit :
Section 7.1.1 : l’´ecoulement instantan´e est visualis´e afin de mieux comprendre la g´en´eration puis le mou-vement des structures instationnaires.
Section 7.1.2 : l’analyse de l’´ecoulement moyen implique l’observation de champs moyens afin de d´efinir la structure de l’´ecoulement mais aussi la comparaison avec les mesures exp´erimentales relev´ees pour les 8 stations de mesure (localis´ees sur la Fig. 6.2).
7.1.1 Visualisation de l’´ecoulement instantan´e
L’´ecoulement instantan´e du gaz pr´esente l’´eclatement caract´eristique d’un ´ecoulement `a nombre de swirl mod´er´e < 0.6 (Syred & Beer [186], Lilley [106], Lucca-Negro & O’Doherty [110], Syred [185]). Ainsi, on note la pr´esence d’une zone centrale toro¨ıdale de recirculation (CTRZ) assez massive sur l’axe central coupl´ee `a des zones de recirculation en coin (CRZ) peu ´etendues. La Figure 7.1 donne une id´ee de l’´ecoulement instantan´e gazeux dans chacune des coupes axiales correspondant aux stations de mesure. Le jet secondaire est de forme parfaitement annulaire dans la coupe `a X = 3mm et perd peu `a peu sa coh´erence `a mesure que l’on s’´eloigne de la bouche de l’atomiseur. En effet, d`es l’abscisse X = 52mm, le jet secondaire observ´e selon une coupe axiale est un anneau tr`es irr´egulier et morcel´e. Dans le mˆeme temps, les niveaux de vitesse axiale d´ecroissent, ce qui traduit le ralentissement du jet `a l’entr´ee dans la chambre de test. La Figure 7.2 montre une isosurface de vorticit´e instantan´ee du gaz ~ω = ~rot(~ug). Des structures
toubillon-naires sont d´etect´ees dans la chambre et s’att´enuent tr`es rapidement d`es que l’on s’´eloigne de l’injecteur. L’activit´e tourbillonnaire dans les tubes d’amen´ee correspond au frottement du gaz en proche paroi.
Afin de mieux comprendre la structure de l’´ecoulement, la vorticit´e axiale doit ˆetre distingu´ee de la vorticit´e azimutale. La Figure 7.3 montre une isosurface de vorticit´e axiale instantan´ee du gaz colori´ee par le rayon. Ainsi, la vorticit´e axiale est visible dans les tubes d’amen´ee de l’injecteur puis s’att´enue tr`es rapidement en sortie d’injecteur. L’activit´e tourbillonnaire observ´ee traduit le frottement pari´etal dans la direction axiale et un pr´emice d’instabilit´e azimutale `a l’interface des deux jets qui disparaˆıt presque aussitˆot dans la chambre de test.
a.
X = 3mm X= 25mm X= 52mm X=85mm
X= 112mm X= 155mm X= 195mm X=315mm
b.
FIG. 7.1 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ de vitesse axiale gazeuse instantan´ee (a. coupe transverse (Y=0) avec les 8 coupes axiales des stations de mesure ; b. les 8 coupes axiales).
Cependant, la Figure 7.3 montre qu’une grande partie de l’activit´e tourbillonnaire vue sur la magnitude de la vorticit´e (Fig. 7.2) n’est pas repr´esent´ee par la vorticit´e axiale. La partie manquante de cette activit´e correspond `a la vorticit´e azimutale repr´esent´ee sur la Fig. 7.4. La vorticit´e azimutale est observ´ee aussi bien dans les tubes d’amen´ee qu’`a l’interface entre les deux jets. Le frottement pari´etal puis les instabilit´es de Kelvin-Helmholtz sont `a l’origine de la vorticit´e azimutale d´etect´ee. Les instabilit´es de Kelvin-Helmholtz se forment dans la direction axiale et plus pr´ecis´ement dans le sillage du s´eparateur de l’injecteur et sur le pourtour externe du jet secondaire. Ce sillage voit son extension radiale grandir sous l’effet du mouvement
FIG. 7.2 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticit´e gazeuse instantan´ee `a 4000s−1 colori´ee par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale).
FIG. 7.3 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticit´e axiale gazeuse instantan´ee `a 4000s−1 colori´ee par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale).
giratoire du jet secondaire, ce qui explique la d´etection de filaments de vorticit´e de plus en plus loin de l’axe central `a mesure que l’on s’´eloigne de l’injecteur.
La Figure 7.5 pr´esente une isosurface de crit`ere Q extraite d’un champ instantan´e de vitesse du gaz. Le crit`ere Q fait intervenir le tenseur des taux de d´eformation S et le tenseur des taux de rotation Ω selon la relation (Hussain & Jeong [84]) :
Q = 1 2(||Ω||
2− ||S||2) (7.1)
Les structures tourbillonnaires sont fortement d´estructur´ees et s’att´enuent tr`es vite d`es que l’on s’´ecarte de l’injecteur. Le crit`ere Q indique aussi que le coeur du jet primaire pr´esente peu d’activit´e turbulente.
FIG. 7.4 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de vorticit´e azimutale gazeuse instantan´ee `a
4000s−1colori´ee par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale).
FIG. 7.5 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Isosurface de crit`ere Q colori´ee par le rayon (gauche : vue transverse ; droite : vue axiale).
7.1.2 Analyse de l’´ecoulement moyen
L’analyse de l’´ecoulement gazeux moyen est organis´ee comme suit :
• les profils de vitesse axiale moyenne et fluctuante le long de l’axe central caract´erisent la CTRZ. • l’observation des champs moyens et fluctuants des diverses composantes de vitesse permet
d’appro-fondir la connaissance de l’´ecoulement.
• la comparaison entre les profils exp´erimentaux et num´eriques permet finalement d’estimer la pr´edictivit´e de la m´ethode SGE sur cette configuration.
La vitesse du gaz ug se d´ecompose en (ug,r, ug,θ, ug,x)T pour les composantes radiale, azimutale et axiale
Profils des vitesses axiales moyenne et fluctuante sur l’axe central
La Figure 7.6 compare les profils de vitesse axiale moyenne < ug,x > le long de l’axe central pour
l’exp´erience, le calcul M45 (cf. la Table 6.7) et le calcul SGE de Apte et al. [4]. Le symbole < . > indique une moyenne temporelle.
12 10 8 6 4 2 0 -2 Vitesse axiale (m/s) 0.28 0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 X (m)
Vitesse axiale moyenne dans l'expérience Vitesse axiale moyenne dans le calcul M45
Vitesse axiale moyenne obtenue par Apte et al. (2003)
FIG. 7.6 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils de vitesse axiale moyenne < ug,x> le long de l’axe
central (symboles : mesures exp´erimentales ; traits plein : calcul M45 ; trait pointill´e : calcul de Apte et al. [4]).
L’´etendue axiale de la zone centrale de recirculation (CTRZ) est marqu´ee par deux points de stagnation. Le point de stagnation amont est bien situ´e dans le calcul M45 par rapport aux mesures exp´erimentales tandis que le calcul SGE de Apte et al. [4] montre un l´eger d´ecalage de ce point vers l’amont. L’´etendue axiale de la CTRZ est globalement bien pr´edite dans le calcul M45. Elle s’´etend approximativement entre les abscisses X = 100mm et X = 330mm pour une longueur axiale totale de 230mm. Le niveau minimal de vitesse est satisfaisant dans le calcul M45 tandis que le calcul de Apte et al. [4] montre une surestimation de ce minimum de vitesse.
La Figure 7.7 compare les profils de vitesse axiale fluctuante moyenne le long de l’axe central pour l’exp´erience, le calcul M45 et le calcul SGE de Apte et al. [4].
Sur la Fig. 7.7, la localisation du pic est d´ecal´ee en amont dans le calcul M45, ce qui n’est pas le cas du calcul de Apte et al. [4]. Ce d´ecalage peut ˆetre dˆu `a un d´eraffinement du maillage `a cet endroit dans le calcul M45, ou `a l’utilisation du mod`ele SGS de Smagorinsky quand le calcul de Apte et al. [4] repose sur le mod`ele SGS de Smagorinsky dynamique (cf. la section 2.2). On notera que les deux calculs injectent de la turbulence dans les directions axiale et azimutale en entr´ee.
Le calcul M45 a aussi tendance `a surpr´edire le niveau de ce pic tandis que Apte et al. [4] le sous-pr´edit l´eg`erement. Cette surpr´ediction se traduit par une plus grande fluctuation de l’extr´emit´e du jet primaire. A l’int´erieur de la CTRZ, les niveaux de vitesse axiale fluctuante sont trop faibles dans le calcul M45, avec un niveau de fluctuation qui stagne aux alentours de 1m/s (Fig. 7.7).
3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 Vitesse axiale (m/s) 0.28 0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04 X (m)
Vitesse axiale fluctuante dans l'expérience Vitesse axiale fluctuante du calcul M45
Vitesse axiale fluctuante obtenue par Apte et al. (2003)
FIG. 7.7 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils de vitesse axiale fluctuante moyenne uRM S
g,x le long de
l’axe central (symboles : mesures exp´erimentales ; traits plein : calcul M45 ; trait pointill´e : calcul de Apte et al. [4]).
Dans le r´egime de fonctionnement pr´esent´e dans la Table 6.1, la CTRZ ne remonte pas dans l’injecteur, ce qui est en accord avec la valeur mod´er´ee du nombre de swirl et la disposition des tubes primaire et secondaire (Syred & Beer [186], Lilley [106], Lucca-Negro & O’Doherty [110], Syred [185]). Comme l’a montr´e Sommerfeld & Qiu [178], une augmentation mˆeme l´eg`ere (4%) du nombre de swirl dans le circuit d’alimentation secondaire entraˆıne une remont´ee du point de stagnation amont de la CTRZ mais n’a pas d’effet perceptible sur la localisation du point de stagnation aval.
Topologie de l’´ecoulement
La Figure 7.8 montre la structure de l’´ecoulement de la phase porteuse en sortie d’injecteur. Dans la section 7.1.1, l’isosurface de vorticit´e azimutale (Fig. 7.4) a permis de localiser les instabilit´es de Kelvin-Helmholtz g´en´er´ees par le cisaillement transverse aussi bien entre les deux jets qu’entre le jet secondaire et le gaz au repos dans la chambre. Le profil de vitesse axiale moyenne (Fig. 7.6) a clairement mis en avant un ralentissement de la vitesse du gaz dans le jet primaire suivi par la pr´esence d’une zone centrale toro¨ıdale de recirculation (CTRZ). Le swirl du jet secondaire limite l’extension radiale de la CTRZ et donne lieu `a des zones de recirculation en coin (CRZ).
Observation des champs moyens et fluctuants
La Figure 7.9 montre le champ moyen de vitesse axiale gazeuse. L’observation des champs dans deux plans de coupe permet de v´erifier que l’´ecoulement moyen calcul´e est bien axi-sym´etrique. La CTRZ est visualis´ee par une iso-ligne de vitesse axiale nulle. L’extension radiale de la CTRZ est maximale vers l’abscisse X = 150mm. Le diam`etre de la CTRZ diminue ensuite de mani`ere continue jusqu’`a s’annuler en X = 335mm. La CTRZ est suivie d’une nouvelle zone de recirculation centr´ee sur l’axe de la chambre et
Air + Particules Air Air Jet secondaire Jet secondaire Jet primaire Zone centrale de recirculation Zone de recirculation en coin
Point de stagnation amont
Point de stagnation aval Instabilités de
Kelvin-Helmholtz aux interfaces
Instabilités de Kelvin-Helmholtz aux interfaces
Zone de recirculation en coin
FIG. 7.8 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Topologie de l’´ecoulement de gaz en sortie d’injecteur.
d’extension radiale tr`es r´eduite.
Des zones de recirculation de coin (CRZ) sont visibles sur la Fig. 7.9, ce qui ´etait pr´evisible pour un ´ecoulement `a nombre de Swirl mod´er´e dans une configuration confin´ee dot´ee d’une expansion brusque (Syred & Beer [186], Lilley [106], Syred [185]). Les CRZ s’´etendent axialement sur environ 100mm avant d’ˆetre d´etruites par l’´eclatement du jet secondaire swirl´e.
FIG. 7.9 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ moyen de vitesse axiale (coupe transverse en (Z = 0)) avec une iso-ligne de vitesse axiale nulle en blanc.
La Figure 7.10 pr´esente le champ moyen des fluctuations de vitesse axiale. L’´ecoulement pr´esente une topologie similaire entre les 3 composantes fluctuantes de vitesse. Ainsi, les niveaux maximums sont atteints dans la chambre de test, sur les bords du jet secondaire tandis que l’int´erieur de la CTRZ et les CRZ arborent de faibles niveaux de fluctuation.
Les pics de fluctuations sont donc localis´es au niveau des couches de m´elange. En effet, un pic de fluctuation apparait `a la fronti`ere entre le jet primaire `a vitesse axiale positive et la CTRZ qui marque une zone de
vitesse axiale n´egative. La localisation de cette fronti`ere r´esulte donc d’un fragile ´equilibre entre le jet primaire qui pousse l’´ecoulement et la CTRZ qui au contraire retient l’´ecoulement. Il s’agit donc d’une r´egion de fort cisaillement axial, ce qui explique le pic de fluctuation observ´e `a cet endroit sur la Fig. 7.10. Les maxima de fluctuations de vitesse sont encore plus prononc´es dans les zones o`u un fort cisaillement existe `a la fois dans la direction axiale et azimutale, c’est-`a-dire typiquement `a l’interface entre la CTRZ et le bord interne du jet secondaire. Les niveaux de vitesse axiale fluctuante sont plus importants que pour les deux autres composantes de vitesse. Cette observation est certainement due au fait que les niveaux de vitesse axiale moyenne sont globalement bien plus forts que ceux des deux autres composantes.
FIG. 7.10 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champ moyen de vitesse axiale fluctuante (coupe transverse en (Z = 0)).
Profils radiaux des vitesses moyenne et fluctuante : comparaison SGE/Exp´erience Les profils de vitesses moyenne et fluctuante ont ´et´e obtenus en deux ´etapes :
1. Les champs de vitesse ont d’abord ´et´e moyenn´es temporellement sur une dur´ee de 0.375s, soit 150000 it´erations.
2. Ces champs moyens ont ensuite ´et´e moyenn´es azimutalement sur 16 plans de coupe transverses. Cette proc´edure a ´et´e syst´ematiquement appliqu´ee `a tous les calculs, que ce soit sur les grandeurs de la phase gazeuse ou sur celles de la phase dispers´ee.
Les Figures 7.11, 7.12 et 7.13 comparent les profils radiaux des vitesses moyennes axiale, azimutale et ra-diale aux mesures exp´erimentales obtenues par Sommerfeld & Qiu [177,178]. L’accord est globalement bon entre le calcul SGE et les mesures pour les trois composantes de vitesse moyenne. On retrouve notamment une localisation correcte de la CTRZ et des CRZ. Les niveaux de vitesse sont aussi bien retrouv´es dans les jets ainsi que dans la CTRZ, en particulier sur les profils de vitesse axiale moyenne (Fig. 7.11). De plus, les profils radiaux de vitesse azimutale moyenne permettent de distinguer clairement deux zones `a partir de X = 155mm :
B une zone interne comportant une croissance lin´eaire de la vitesse azimutale avec le rayon, ce qui indique une zone en rotation solide. Cette zone correspond grossi`erement `a la CTRZ.
B une zone externe `a vitesse azimutale constante. Cette zone correspond approximativement au sillage du jet secondaire qui contourne la CTRZ.
B la chute de vitesse axiale moyenne est l´eg`erement sous-pr´edite dans le jet primaire par rapport `a l’exp´erience sur le profil `a X = 85mm (Fig. 7.11), ce qui a tendance `a d´ecaler un peu en aval le point de stagnation amont de la CTRZ dans le calcul SGE (profil `a X = 112mm sur la Fig. 7.11).
B tout comme le jet primaire, le pic de vitesse axiale correspondant au jet secondaire est l´eg`erement surpr´edit (profils `a X = 25 et 52mm de la Fig. 7.11).
B La vitesse radiale `a X = 155mm (Fig. 7.13) est trop basse pr`es de l’axe central avec un minimum de -0.6m/s. La vitesse radiale semble globalement trop basse dans la CTRZ (profils de X = 112mm `a X = 315mm de la Fig. 7.13). 90x10-3 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Rayon (m) 15 0 x=3mm Calcul SGE Mesures expérimentales x10 -3 15 0 x=25mm x10 -3 -5 5 x=52mm x10 -3 4 2 0 x=85mm x10 -3 5 0 x=112mm x10 -3 5 0 x=155mm x10 -3 4 2 0 x=195mm x10 -3 2.0 1.0 0.0 x=315mm
FIG. 7.11 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse axiale moyenne < ug,x> aux 8
90x10-3 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Rayon (m) 10 0 x=3mm x10 -3 10 0 x=25mm x10 -3 5 0 x=52mm x10 -3 2.5 0.0 x=85mm x10 -3 2.0 1.0 0.0 x=112mm x10 -3 2.5 0.0 x=155mm x10 -3 2.5 0.0 x=195mm x10 -3 2.5 0.0 x=315mm Calcul SGE Mesures expérimentales
FIG. 7.12 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse azimutale moyenne < ug,θ> aux
8 stations de mesure (symboles : mesures exp´erimentales ; trait plein : calcul SGE).
90x10-3 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Rayon (m) -4 -2 0 x=3mm x10 -3 4 0 x=25mm x10 -3 5 0 x=52mm x10 -3 4 2 0 x=85mm x10 -3 -0.5 0.5 1.5 x=112mm x10 -3 -0.6 0.0 x=155mm x10 -3 -0.5 0.0 x=195mm x10 -3 -0.6 0.0 x=315mm Calcul SGE Mesures expérimentales
FIG. 7.13 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux de vitesse radiale moyenne < ug,r> aux 8
Les Figures 7.14, 7.15 et 7.16 comparent respectivement les profils radiaux moyens des vitesses fluctuantes axiale, azimutale et radiale aux mesures exp´erimentales obtenues par Sommerfeld & Qiu [177,178]. Les profils de vitesse axiale fluctuante (Fig. 7.14) montrent un pic de fluctuation `a un rayon de 32 mm `a X = 3mm, ce qui correspond `a la d´etection d’instabilit´es de Kelvin-Helmholtz sur le pourtour du jet secondaire. Ce second pic n’est cependant pas observ´e dans les mesures exp´erimentales alors que Apte et al. [4] et Oefelein et al. [129] ont aussi retrouv´e un tel pic dans leurs calculs respectifs. Sur les profils plus ´eloign´es de l’injecteur, les r´esultats num´eriques sont proches des mesures avec toutefois une l´eg`ere sous-estimation des niveaux dans la CTRZ `a partir de X = 112mm. Cette observation peut s’expliquer par un maillage bien moins raffin´e dans ces zones ainsi que par des fluctuations d’amplitude plus faibles par rapport aux premiers plans de coupe. La discr´etisation spatiale est donc moins bien adapt´ee pour capturer les fluctuations de moindre amplitude dans ces zones.
Les profils de vitesse azimutale fluctuante (Fig. 7.15) pr´esentent des niveaux fid`eles `a l’exp´erience. Les deux pics de fluctuation observ´es `a X = 3mm sont li´es aux couches de m´elange et s’att´enuent rapidement en accord avec les mesures exp´erimentales.
Les profils de vitesse radiale fluctuante (Fig. 7.16) sont globalement en accord avec les mesures. Les niveaux de fluctuation sont maximaux dans les couches de m´elange (profils `a X = 3 et X = 25mm) avant de diminuer dans le reste de la chambre.
90x10-3 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Rayon (m) 5 4 3 2 1 0 x=3mm x10 -3 5 4 3 2 1 0 x=25mm x10 -3 6 4 2 0 x=52mm x10 -3 5 4 3 2 1 0 x=85mm x10 -3 2.5 0.0 x=112mm x10 -3 2.0 1.0 0.0 x=155mm x10 -3 1.5 0.0 x=195mm x10 -3 1.0 0.0 x=315mm Calcul SGE Mesures expérimentales
FIG. 7.14 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse axiale fluctuante uRM S g,x
90x10-3 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Rayon (m) 2.5 0.0 x=3mm x10 -3 3 2 1 0 x=25mm x10 -3 3 2 1 0 x=52mm x10 -3 2.5 0.0 x=85mm x10 -3 2.5 0.0 x=112mm x10 -3 2.0 1.0 0.0 x=155mm x10 -3 1.5 0.0 x=195mm x10 -3 1.5 0.0 x=315mm Calcul SGE Mesures expérimentales
FIG. 7.15 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse azimutale fluctuante
uRM S
g,θ aux 8 stations de mesure (symboles : mesures exp´erimentales ; trait plein : calcul SGE).
90x10-3 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Rayon (m) 2.0 1.0 0.0 x=3mm x10 -3 4 3 2 1 0 x=25mm x10 -3 4 3 2 1 0 x=52mm x10 -3 2.5 0.0 x=85mm x10 -3 2.5 0.0 x=112mm x10 -3 1.5 0.0 x=155mm x10 -3 2.0 1.0 0.0 x=195mm x10 -3 2.0 1.0 0.0 x=315mm Calcul SGE Mesures expérimentales
FIG. 7.16 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Profils radiaux moyens de vitesse radiale fluctuante uRM Sg,r
7.1.3 Conclusion sur le calcul SGE de l’´ecoulement gazeux
Concernant l’´ecoulement gazeux, la simulation SGE a fourni plusieurs r´esultats :
B la structure de l’´ecoulement est qualitativement bien retrouv´ee. En particulier, la position et l’´etendue de la CTRZ ainsi que l’´eclatement du jet secondaire sont correctement pr´edits par le calcul.
B les niveaux de vitesse calcul´es sont quantitativement proches des mesures exp´erimentales, que ce soit dans les jets ou dans la CTRZ.
Le second r´esultat appelle une comparaison des r´esultats du calcul M45 avec les pr´ec´edents calculs SGE de la configuration de Sommerfeld & Qiu [177,178] (Apte et al. [4], Oefelein et al. [129] dans la Table 6.3). Sur les vitesses moyennes, les trois calculs sont de pr´ecision comparable malgr´e une r´esolution de maillage bien plus importante dans les calculs de Apte et al. [4] et Oefelein et al. [129]. Par contre, les vitesses fluctuantes sont moins bien pr´edites par le calcul M45, surtout sur les profils les plus ´eloign´es de l’injecteur o`u le maillage est bien plus grossier que dans les deux autres calculs.
La qualit´e des r´esultats sur le gaz autorise l’analyse du champ de vitesse liquide.
7.2
R´esultats des calculs SGE monodisperses de l’´ecoulement particulaire
L’´etude de l’´ecoulement particulaire par classe de taille est organis´ee comme suit :
Section 7.2.1 : l’´ecoulement instantan´e des particules est visualis´e pour chacune des trois classes de taille ´etudi´es : 30, 45 et 60 microns. On esp`ere ainsi diff´erencier quelques tendances fortes de l’´ecoulement particulaire en fonction de la taille des particules.
Section 7.2.2 : l’analyse de l’´ecoulement moyen permet d’affiner les observations faites sur les champs instantan´es. Pour ce faire, la structure de l’´ecoulement est d´eduite de la topologie des champs moyens mais aussi de la comparaison des profils exp´erimentaux et calcul´es. En dernier lieu, on compare les profils calcul´es pour chaque classe de taille toujours dans le but d’identifier des tendances ca-ract´eristiques de chaque population de particules.
7.2.1 Visualisation de l’´ecoulement instantan´e
La Figure 7.17 montre le champ instantan´e de fraction volumique de particules dans le jet primaire pour chaque classe de taille ´etudi´ee. La principale diff´erence observable sur ces champs instantan´es concerne la p´en´etration axiale des particules au sein du jet primaire. On notera que les 3 calculs monodisperses comportent les mˆemes profils de vitesse en entr´ee. La charge volumique en particules est conserv´ee dans les 3 calculs en adaptant le nombre volumique de gouttes en entr´ee au diam`etre des particules.
Les particules les plus l´eg`eres (diam`etre de 30 microns) sont les plus susceptibles de suivre le mouvement de la phase porteuse. Par cons´equent, la pr´esence de la CTRZ sur le chemin de ces petites particules constitue un obstacle sur lequel elles viennent buter. Les particules s’accumulent et forment une poche compacte dont la forme est tr`es irr´eguli`ere et instationnaire (Fig. 7.17). Dans le cas `a 30 microns, la poche d’accumulation de particules est l´eg`erement en aval du point de stagnation amont de la CTRZ. Les particules accumul´ees subissent ensuite une centrifugation (le profil `a X = 85mm de la Fig 7.13 montre une vitesse radiale positive de l’air au niveau de la poche) qui leur permet de contourner la CTRZ.
Pour les plus grands diam`etres de particule (45 et 60 microns), la poche d’accumulation p´en`etre plus profond´ement dans la CTRZ, ce qui traduit la plus grande inertie de ces particules. Sommerfeld & Qiu [178] a montr´e que seules les particules de diam`etre sup´erieur `a 80 µm parvenaient `a traverser la CTRZ. On
Fraction volumique
de particule (-)
FIG. 7.17 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs instantan´es de fraction volumique de particules au sein du jet primaire en coupe transverse (Y = 0) (haut : calcul `a 30µm ; milieu : calcul `a 45µm ; bas : calcul `a 60µm).
s’attend donc bien `a voir ces deux classes de particule s’arrˆeter dans la zone centrale de recirculation comme le montre la Fig. 7.17. On remarque cependant que la diff´erence de p´en´etration axiale du jet primaire entre le calcul `a 45 microns et celui `a 30 microns est sensiblement plus grande qu’entre les calculs `a 60 et 45 microns. L’inertie des particules ne varie donc pas lin´eairement avec le diam`etre, un r´esultat attendu compte tenu de l’expression en d2pdu temps de relaxation des particules (Eq. 1.20).
La Figure 7.18 compare les champs instantan´es de vitesse particulaire. Le champ gazeux instantan´e pr´esentant globalement la mˆeme structure sur les 3 calculs SGE monodisperses, seul le champ gazeux du calcul M45 (cf. la Table 6.7) est montr´e. Cette comparaison soul`eve les remarques suivantes :
B les champs liquides pr´esentent des structures moins fines que les champs gazeux quel que soit le diam`etre des particules consid´er´ees dans la simulation SGE monodisperse. On rappelle que seul le mouvement corr´el´e des particules est repr´esent´e sur la Fig. 7.18.
B les structures instantan´ees du champ liquide sont de moins en moins fines `a mesure que le diam`etre des particules augmente. Cette observation confirme le fait que les particules les plus lourdes sont celles qui ressentent le moins l’agitation turbulente de la phase porteuse.
B comme sur la Fig. 7.17, les particules plus lourdes p´en`etrent plus profond´ement dans la CTRZ et donc ralentissent bien moins vite que les particules plus l´eg`eres.
beau-coup moins sur le champ de la phase dispers´ee. Cette remarque semble indiquer que l’agitation turbu-lente acquise par les particules provient de la turbulence du gaz via la traˆın´ee.
a.
b.
c.
d.
FIG. 7.18 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs instantan´es de vitesses particulaire et gazeuse en coupe transverse (Y = 0) (a. champ gazeux ; b. champ particulaire du calcul M30 ; c. champ particulaire du calcul
7.2.2 Analyse de l’´ecoulement moyen
L’analyse de l’´ecoulement particulaire moyen est organis´ee comme suit :
• l’analyse de champs moyens de fraction volumique de particules permet de clarifier la localisation des zones d’accumulation de particules.
• la traˆın´ee ´etant la force pr´epond´erante qui s’exerce sur la particule, un champ de traˆın´ee axiale est ´etudi´ee pour chaque calcul monodisperse.
• des nombres de Stokes caract´eristiques de l’´ecoulement sont calcul´es, suivant l’approche de Sommer-feld & Qiu [178]. Des pseudo-lignes de courant sont trac´ees afin de v´erifier les indications fournies par ces nombres de Stokes.
• la distribution statistique des vitesses axiales particulaires dans la CTRZ permet de confirmer certaines tendances identifi´ees pr´ec´edemment.
• la comparaison entre les profils exp´erimentaux et num´eriques permet finalement d’estimer la pr´edictivit´e de la m´ethode SGE sur cette configuration.
Observation des champs moyens de fraction volumique de particules dans le jet primaire
La Figure 7.19 compare les champs moyens de fraction volumique de particules au sein du jet primaire. Les tendances observ´ees sur les champs instantan´es de la Fig. 7.17 sont confirm´ees. En particulier, les particules les plus lourdes s’avancent profond´ement dans la CTRZ avant de s’arrˆeter.
FIG. 7.19 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de fraction volumique de particules au sein du jet primaire en coupe transverse (Y = 0) (haut : calcul M30 ; milieu : calcul M45 ; bas : calcul M60).
Observation des champs de traˆın´ee axiale
Dans les calculs monodisperses, la correction de Schiller & Nauman [160] (cf. la Table 1.1) est utilis´ee dans l’expression de la force de train´ee mais cette relation est valide uniquement pour un nombre de Rey-nolds particulaire Rep < 1000.
La Figure 7.20 montre des champs de nombres de Reynolds particulaires extraits des champs moyens de vitesse. Ce nombre est compris entre 1 et 100 dans les 3 calculs, ce qui impose de prendre en compte la correction de Schiller & Nauman [160] dans les simulations.
a.
b. c.
FIG. 7.20 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de nombres de Reynolds particulaires axiaux en coupe transverse (Y = 0) (a. calcul M30 ; b. calcul M45 ; c. calcul M60).
La force de traˆın´ee qui s’exerce sur une particule sph´erique s’´ecrit : FD =
ug− ul
τp
(7.2) avec τpd´efini dans l’Eq. 1.20.
La Figure 7.21 pr´esente le champ de traˆın´ee axiale (membre de droite de l’Eq. 7.2) obtenu dans chaque calcul monodisperse. Deux zones apparaissent clairement :
1. une zone de ralentissement au bout du jet primaire. Cette zone est plus allong´ee et plus ´eloign´ee de la bouche de l’injecteur dans le calcul M60 que dans les deux autres calculs. Cette observation rejoint le fait que la poche d’accumulation des particules soit plus allong´ee dans le calcul M60 (Fig. 7.19). 2. une zone d’acc´el´eration assimil´ee au jet secondaire. Cette zone est plus courte pour les particules les
plus massives, ce qui refl`ete une r´eponse plus faible des particules lourdes `a l’acc´el´eration de l’air sortant du tube annulaire.
FIG. 7.21 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Champs moyens de traˆın´ee axiale en coupe transverse (Y = 0) (haut : calcul M30 ; milieu : calcul M45 ; bas : calcul M60).
Nombres de Stokes et pseudo-lignes de courant
Afin de caract´eriser qualitativement la dynamique axiale des particules en fonction de leur localisation dans l’´ecoulement, Sommerfeld & Qiu [178] a propos´e de consid´erer deux nombres de Stokes. Un troisi`eme nombre de Stokes est construit afin de repr´esenter le mouvement azimutal des particules une fois qu’elles ont quitt´e la CTRZ.
• D´efinition du nombre de Stokes S1
Le premier nombre de Stokes not´e S1 caract´erise le comportement des particules dans la zone qui
s’´etend de la sortie de l’injecteur jusqu’au point de stagnation amont de la CTRZ (i.e. le jet primaire). Ce nombre s’´ecrit de la mani`ere suivante :
S1 =
τp
τs
(7.3) avec τs = (∆xs/ug0) un temps de convection des particules dans le jet primaire et τple temps de
re-laxation des particules d´efini dans l’Eq. 1.20. ∆xsest la distance axiale s´eparant le point de stagnation
amont de la sortie de l’injecteur et ug0est la vitesse du gaz `a l’injection. Pour le facteur correctif f qui
apparaˆıt dans l’Eq. 1.20, on reprend la formule de Sommerfeld & Qiu [178] : f = 2ρl ρg+ 2ρl 1 +1 6Re 0.66 p (7.4) avec Rep = dp|up0− ug0| νg
o`u up0est la vitesse axiale particulaire en sortie d’injecteur, dp est le diam`etre des particules et νgest
la viscosit´e dynamique du fluide porteur.
Sommerfeld & Qiu [178] proposent des valeurs pour les variables ∆xs, ug0et up0 mais ces valeurs
peuvent ˆetre extraites directement des calculs SGE. La Table 7.1 r´ecapitule les valeurs propos´ees par Sommerfeld & Qiu [178] et celles trouv´ees dans les calculs SGE.
Calculs SGE Calcul de [178]
∆xs[m] 0.100 0.073
up0[m/s] 13.0 12.0
ug0[m/s] 12.65 12.5
TAB. 7.1 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Donn´ees n´ecessaires au calcul de S1.
La distance ∆xs est sous-estim´ee dans le calcul de Sommerfeld & Qiu [178] par rapport `a la valeur
donn´ee par le calcul SGE (Fig. 7.6). up0est l´eg`erement surestim´ee dans le calcul SGE, r´esultat d’une
relaminarisation de l’´ecoulement particulaire dans le tube d’amen´ee du jet primaire. Les deux valeurs de ug0sont tr`es proches.
• D´efinition du nombre de Stokes S2
Le second nombre de Stokes not´e S2 d´ecrit la dynamique des particules une fois qu’elles ont p´en´etr´e
dans la CTRZ (tp0) par un temps de convection de la particule dans la CTRZ (tint) :
S2=
tp0
tint
(7.5) avec tint d´efini par tint = (LCT RZ/up avg). LCT RZ est la longueur de la CTRZ et up avg est une
vitesse moyenne des particules dans la CTRZ.
Sommerfeld & Qiu [178] s’appuient sur le d´eveloppement analytique d’un ´ecoulement de Stokes monodimensionnel pour d´eriver S2. Ainsi, dans un tel ´ecoulement et en n´egligeant la gravit´e, il est
possible d’´ecrire la forme int´egr´ee sur le temps ∆t de l’´equation du mouvement des particules : dup dt = ug− (ug− ups) exp −∆t τp (7.6) o`u upest la vitesse de la particule, ug est la vitesse du gaz et upsest la vitesse de la particule au point
de stagnation amont. La vitesse upsest obtenue `a partir de :
ups = up0exp −1 τp ∆xs up0 (7.7) Si la particule p´en`etre dans la CTRZ, le temps tp0requis pour que la particule s’arrˆete s’´ecrit :
tp0= τpln
ug min− ups
ug min
(7.8) avec ug min la vitesse axiale gazeuse minimum dans la CTRZ. L’Equation 7.8 permet d’´ecrire une
vitesse moyenne up avgdes particules dans la CTRZ :
up avg =
Rtp0
0 updt
tp0
(7.9) Sommerfeld & Qiu [178] proposent des valeurs pour les variables LCT RZ, up avg, ups et ug minmais
ces valeurs peuvent ´egalement ˆetre extraites des calculs SGE. La Table 7.2 r´ecapitule les valeurs propos´ees par Sommerfeld & Qiu [178] et celles trouv´ees dans les calculs M30, M45 et M60.
Calcul M30 Calcul M45 Calcul M60 Calcul de [178]
LCT RZ [m] 0.230 0.230 0.230 0.252
up avg[m/s] 1.15 1.60 3.19 —
ups[m/s] 2.30 3.20 6.39 —
ug min[m/s] -1.70 -1.70 -1.70 -2.15
TAB. 7.2 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Donn´ees n´ecessaires au calcul de S2.
Les vitesses axiales moyennes des particules d´ecroissent lin´eairement le long de l’axe central dans la CTRZ comme on peut le voir sur la Fig. 7.22. A partir de cette d´ecroissance de up, on d´eduit
up avg = 0.5 ups. La longueur de la CTRZ (LCT RZ) est sup´erieure dans le cas de Sommerfeld & Qiu
[178] car le point de stagnation amont est d´ecal´e dans ses calculs (cf. la Table 7.1). • Comparaison SGE/Exp´erience des valeurs de S1et S2
La Table 7.3 compare les nombres de Stokes S1 et S2 reconstruits `a partir des grandeurs directement
7 6 5 4 3 2 1 0
Vitesse axiale des particules (m/s)
70x10-3 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 X (m) Calcul M30 Calcul M45 Calcul M60
FIG. 7.22 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Diminution de la vitesse axiale moyenne des particules le
long de l’axe central dans la CTRZ (— — : calcul M30 ; —— : calcul M45 ; —4— : calcul M60). L’abscisse (X
= 0) correspond ici au point de stagnation amont de la CTRZ.
nombres de Stokes obtenus analytiquement par Sommerfeld & Qiu [178].
Diam`etre [µm] Nombre de Stokes S1 Nombre de Stokes S2
Calcul de [178] Calcul SGE Calcul de [178] Calcul SGE
30 1.02 0.84 0.05 0.03
45 2.27 1.80 0.21 0.12
60 3.92 3.09 0.47 0.61
TAB. 7.3 - Configuration de Sommerfeld & Qiu [177] - Nombres de Stokes caract´eristiques des particules dans le jet
primaire (S1) et dans la CTRZ (S2).
Les valeurs de S1d´eduites des simulations sont toujours inf´erieures aux valeurs de Sommerfeld & Qiu
[178], ce qui est principalement dˆu au d´ecalage du point de stagnation amont dans l’analyse de Som-merfeld & Qiu [178]. Concernant S2, les diff´erences r´esident majoritairement dans la d´etermination
des valeurs de up avg et ups.
Dans le jet primaire caract´eris´e par le nombre de Stokes S1 , les valeurs trouv´ees `a partir des calculs
SGE sont en bon accord avec les valeurs d´eriv´ees par Sommerfeld & Qiu [178].
Un point int´eressant concerne les particules de diam`etre 30 microns : la valeur de S1 l´eg`erement
inf´erieure `a l’unit´e trouv´ee dans le calcul SGE indique que ces particules sont entraˆın´ees par le gaz et vont donc s’arrˆeter avant le point de stagnation amont de la CTRZ.
Par contre, pour les classes de particules plus grosses, S1 est sup´erieur `a 1. Ces particules sont donc
plus inertielles et peuvent p´en´etrer dans la CTRZ. Le nombre S2 nous donne alors une information
suppl´ementaire sur leur comportement dans la CTRZ : sachant que S2 < 1, les particules de 45 et 60
