Lire la première partie de la thèse

Chapitre 3

Dynamique d’une bulle isolée en

ascension dans un écoulement

uni-forme descendant

Avant de s’intéresser à la dynamique d’une bulle en ascension dans le sillage d’une seconde bulle, c’est-à-dire dans un écoulement inhomogène et instationnaire, le mouvement et le sillage d’une bulle isolée en ascension dans un écoulement uniforme stationnaire descendant ont été caractérisés. Ce chapitre est plus synthétique que le précédent parce que les essais expérimentaux avec mesure PIV analysés ont été moins nombreux.

Deux débits différents ont été étudiés : 1,6 L/min et le

dé-e e V V g Figure 3.1 – Schéma d’une bulle en ascension dans un écoulement des-cendant.

bit maximal possible dans la cellule autour de 3 L/min, cor-respondant à des vitesses moyennes de V_CE = 3, 7 cm/s et

VCE =7, 1 cm/s respectivement, soit des nombres de Reynolds

dans le canal de Rec≈ 110 et Rec≈ 210 respectivement. Le

pro-fil de vitesse dans l’entrefer est supposé de type Poiseuille dans la fenêtre de mesures. La position de la fenêtre d’observation est suffisamment éloignée de l’entrée (plus de 20 cm du haut de la cellule) pour supposer un profil de vitesses parabolique établi (la distance pour la mise en place d’un profil parabolique est

δy=Rece/4, soit pour Rec≤ 210, δy ≤ 15 cm). Sur la gamme

de nombres d’Archimède considérée dans cette étude, les vi-tesses de contre-écoulement étudiées représentent entre 13% et 64% de la vitesse des bulles en liquide au repos V_b∞. Les vitesses

moyennes d’écoulement uniforme descendant explorées sont donc inférieures à la vitesse moyenne des bulles en liquide au repos. L’effet d’un tel écoulement sur la dynamique de la bulle (grandeurs moyennes et mouvement oscillatoire) est analysé dans un premier temps. Puis, les similitudes et les différences entre le sillage d’une bulle isolée en liquide au re-pos et en écoulement uniforme descendant sont décrites. Nous verrons que l’écoulement uniforme descendant a un effet particulièrement intéressant sur la structure du sillage de bulles oscillantes à partir d’un certain nombre de Reynolds du canal Re_c.

1. Cinématique de bulles en contre-écoulement 86

1

Cinématique de bulles en contre-écoulement

Dans cette partie, on s’intéresse à la modification éventuelle de la vitesse moyenne d’ascen-sion de la bulle, mais aussi à sa forme moyenne et aux caractéristiques de son mouvement oscillatoire (fréquences, amplitudes...).

1.1

Vitesse moyenne d’ascension

La vitesse moyenne d’ascension des bulles en contre-écoulement est comparée à la vitesse de bulles en liquide au repos à travers le nombre de Reynolds basé sur la vitesse des bulles :

Re=Vbd/ν. Cette comparaison est tracée sur les figures 3.2a et b en fonction du nombre

d’Archimède. On observe sur ces figures que la pente diminue à mesure que le nombre de Reynolds du canal Rec augmente, c’est-à-dire que plus l’écoulement descendant est de

grande vitesse, moins la bulle monte vite. La bulle est ralentie par le contre-écoulement et son déficit de vitesse par rapport à la vitesse en liquide au repos est relié à celle de l’écoulement uniforme descendant. Dans une première approche, on peut introduire la vitesse relative par rapport à la vitesse moyenne du contre-écoulement dans l’interstice

Vb rel = Vb+VCE et définir un nombre de Reynolds relatif basé sur cette vitesse, Rerel.

En traçant Rerelen fonction du nombre d’Archimède, on s’aperçoit que les trois courbes se

superposent (figures 3.2c et d). La vitesse moyenne relative des bulles en contre-écoulement est donc proportionnelle à la vitesse gravitationnelle √gd, de façon identique aux bulles

isolées en liquide au repos. De façon surprenante, ce résultat simple traduit que dans le référentiel en mouvement avec le liquide, la vitesse de la bulle est très proche de celle en l’absence d’écoulement. En effet, on pouvait attendre des effets qui traduisent la non linéarité du problème, en particulier liés à la forme du profil parabolique au nez de la bulle. La vitesse gravitationnelle constitue finalement la grandeur caractéristique des vitesses de bulles que ce soit en contre-écoulement ou en liquide au repos. Ce résultat va dans le sens d’un effet mineur des films de liquide entre la bulle et les parois sur la dynamique des bulles.

Peu d’études existent sur la cinématique de bulles confinées entre deux plaques dans un écoulement uniforme. Böhm et al. (2014) ont mené des expériences avec le couple eau-air dans deux cellules de 5 mm et 7 mm sur une gamme de nombres d’Archimède plus réduite que dans notre étude. Dans cette étude, les tailles de bulles explorées correspondent à des bulles peu confinées (le rapport de confinement minimal est de 0,5). L’écoulement uniforme qu’ils étudient est ascendant avec des vitesses moyennes de 0,1 m/s et 0,2 m/s équivalent à 500 < Re_c< 1400. Leurs résultats dans le plan(Re, Ar)sont présentés sur la figure 3.3a. Dans le cas du liquide au repos, leurs bulles montent plus rapidement dans la cellule que les nôtres pour le même Ar (ronds bleus sur la figure 3.3a) comme on peut s’y attendre en raison d’un confinement moindre. Pour pouvoir comparer les deux études il est nécessaire, comme cela a été réalisé au chapitre 2, d’utiliser comme échelle de longueur caractéristique le diamètre d_3D. Dans leur étude en écoulement co-courant, les bulles ont une vitesse supérieure à celle en liquide au repos. Une analyse similaire à la nôtre consiste à introduire dans leur cas la vitesse relative Vb rel = Vb− VCE. La figure 3.3b présente

l’évolution de Re_rel3D en fonction de Ar_3D construits sur ces échelles caractéristiques. On observe un très bon accord en l’absence d’écoulement (points bleus), sauf pour le point

Ar3D ≈ 1100 qui se situe très probablement dans la prolongation de la branche des bulles

peu confinées 3D. On constate par contre que dans l’étude des écoulements co-courants les données ne se regroupent pas avec l’ensemble des données. Cela indique qu’une simple superposition linéaire n’est pas représentative du couplage entre la bulle et l’écoulement

1. Cinématique de bulles en contre-écoulement 87 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Ar R e

(a) Nombre de Reynolds basé sur la vitesse moyenne d’ascension de la bulle

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 500 1000 1500 2000 2500 Ar R e (b) Zoom 0 < Ar < 3500 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Ar R er e l

(c) Nombre de Reynolds basé sur la vitesse re-lative de la bulle 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 500 1000 1500 2000 2500 Ar R er e l (d) Zoom 0 < Ar < 3500

Figure 3.2 – Comparaison des nombres de Reynolds en fonction d’Archimède pour des bulles en ascension en liquide au repos et dans deux contre-écoulements différents, + :

1. Cinématique de bulles en contre-écoulement 88 0 1000 2000 3000 0 500 1000 1500 2000 2500 Ar R e Rec= 110 Rec= 210 Rec= 0 Rec+= 0 Rec+= 500 Rec+= 1000 Rec+= 700 Rec+= 1400 (a) 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0 500 1000 1500 2000 2500 Ar3D R er e l 3 D (b)

Figure 3.3 – Comparaison avec les résultats de Böhm et al. (2014) (points en couleurs) de bulles en écoulement ascendant (0 < Re_c+< 1400)

102 103 104 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Ar χ (a) 102 103 104 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Rerel χ (b)

Figure 3.4 – Comparaison du rapport de forme moyen de bulles en contre-écoulement à des bulles en liquide au repos,+ : Re_c=0 ; ◾ : Re_c=110 ;●: Re_c=210.

porteur dans la configuration d’un écoulement ascendant et pour les nombres de Reynolds du canal considérés dans leur étude.

1.2

Rapport de forme moyen

La forme qu’adoptent les bulles en écoulement uniforme descendant est similaire à celle que présentent les bulles en liquide au repos. Le rapport de forme moyen est présenté sur la figure 3.4 en fonction du nombre d’Archimède et du nombre de Reynolds relatif. On remarque dans un premier temps un bon accord entre la forme globale des bulles en contre-écoulement et celle en liquide au repos. En observant plus précisément la figure 3.4a, le rapport d’aspect semble légèrement inférieur pour des bulles en contre-écoulement à Ar équivalent. Cette différence est plus marquée sur les toutes petites bulles à Ar < 800. Si l’on regarde le rapport de forme des bulles en fonction de Re_rel(figure 3.4b) on s’aperçoit que pour les faibles vitesses relatives, on obtient un meilleur accord entre la forme moyenne et le nombre de Reynolds relatif. Par contre, pour 1000 < Re_rel < 3000 qui correspond

1. Cinématique de bulles en contre-écoulement 89 −20 −1 0 1 2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x (cm) y (cm) (a) Ar=2872, Rec=0 −20 −1 0 1 2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x (cm) y (c m ) (b) Ar=2696, Rec=110 −20 −1 0 1 2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x (cm) y (c m ) (c) Ar=2725, Rec=210

Figure 3.5 – Illustration de la forme des bulles au cours de son ascension sur une période d’oscillation en fonction de Re_c.

à 1500 < Ar < 5000 la forme des bulles en contre-écoulement semble légèrement moins étirée en moyenne. On peut noter que, si le rapport de forme change légèrement entre la configuration en liquide au repos et en contre-écoulement, par contre, il apparaît comme indépendant de l’intensité du contre-écoulement. L’écoulement descendant qui contourne la bulle dans le plan de la cellule réduit leur aplatissement. On remarque également sur les plus grands nombres d’Archimède Ar > 10500, un plateau plus marqué (autour de

χ=3, 5) en contre-écoulement qu’en liquide au repos. On observe effectivement moins de rupture sur les plus grosses bulles en écoulement descendant. Ce dernier semble stabiliser la forme et donc la dynamique des bulles en forme de calottes, permettant ainsi d’atteindre des nombres d’Archimède plus importants qu’en liquide au repos. De plus, en présence d’un contre-écoulement, les modulations de l’ordre de la longueur capillaire ne sont plus observées sur le contour des bulles. De manière qualitative, on peut observer ces différences sur la figure 3.5. Les modulations de la forme d’une bulle à Ar ≈ 3000 en liquide au repos sont visibles sur la figure 3.5a notamment sur les contours bleus. On n’observe plus ces modulations lorsque Re_c 6= 0 (figure 3.5b et c). Une étude plus approfondie serait nécessaire pour étudier plus précisément l’effet d’un écoulement descendant sur la forme de bulles confinées entre deux plaques.

1.3

Caractéristiques du mouvement oscillatoire des

bulles en contre-écoulement

La fréquence d’oscillation des bulles en contre-écoulement ne semble pas significativement modifiée à Ar équivalent. Le nombre de Strouhal basé sur la vitesse relative est présenté sur la figure 3.6a. On constate un bon accord entre les données pour les trois Re_c considé-rés même si quelques écarts sont pconsidé-résents aux plus faibles Ar. En regardant les amplitudes d’oscillation de la vitesse horizontale des bulles (figure 3.6b), pour les écoulements contre-courant, et indépendamment de la valeur de l’intensité du contre-écoulement, on observe deux branches d’amplitude croissante à faible Ar. Ces branches se développent à partir des nombres d’Archimède critiques d’environ 200 et 450 qui correspondent à la transition d’un mouvement rectiligne vers un mouvement en zigzag. Des oscillations de trajectoire des bulles apparaissent donc pour des nombres d’Archimède plus faibles en contre-écoulement

1. Cinématique de bulles en contre-écoulement 90 102 103 104 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ar S t = ωx d / Vb r el

(a) Nombre de Strouhal

102 103 104 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ar ˜ V/x Vb r el

(b) Amplitudes de vitesse horizontale

102 103 104 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Ar ˜ V/y Vb r el

(c) Amplitudes de vitesse verticale

102 103 104 0 10 20 30 40 50 60 Ar ˜ βn

(d) Amplitudes de l’inclinaison de la bulle

102 103 104 −50 0 50 100 Ar ∆ φ( ◦)

(e) Déphasage entre l’inclinaison de la bulle et de l’inclinaison de sa vitesse 102 103 104 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ar ˜χ

(f) Amplitudes des oscillations de forme

Figure 3.6 – Fréquences, amplitudes et déphasage de la trajectoire des bulles en liquide au repos et en écoulement uniforme descendant,+ : Rec=0 ; ◾ : Re_c=110 ; ●: Re_c=210.

1. Cinématique de bulles en contre-écoulement 91

par rapport au cas de bulles en liquide au repos. L’écoulement uniforme semble avoir pour effet de déclencher les instabilités de trajectoire dans le plan de la cellule plus tôt. Néanmoins ces bulles peuvent osciller dans l’entrefer, de la même manière qu’en liquide au repos, et peuvent présenter les deux dynamiques (oscillations dans le gap puis dans le plan) lorsque leur Ar est proche du nombre d’Archimède critique Ar_c1 ≈ 500. C’est pourquoi on observe deux branches d’amplitudes croissantes en contre-écoulement, l’une d’elles se superposant à celles des oscillations de bulles en liquide au repos. Cette bifurca-tion est donc aussi complexe et difficile à interpréter qu’en liquide au repos (voir § 1.3.1). Les imperfections du dispositif expérimental et plus particulièrement les inhomogénéités de valeurs de l’entrefer ne nous permettent pas de trancher sur la nature de l’instabilité de trajectoire. L’existence d’une deuxième branche constitue néanmoins la signature d’os-cillations des bulles dans le plan de la cellule pour des nombres d’Archimède plus petits en contre-écoulement puisqu’elle n’est pas obtenue en liquide en repos. On peut observer cette branche sur les autres figures présentées : les amplitudes d’inclinaison de la bulle figure 3.6d et moins nettement sur les amplitudes de vitesse verticale figure 3.6c. Ces am-plitudes étant faibles l’erreur sur la caractérisation de l’oscillation de vitesse verticale est plus importante. Il est intéressant de noter que les amplitudes de vitesses sont normali-sées par la vitesse relative de la bulle, qui est proportionnelle à la vitesse gravitationnelle. Une normalisation par la vitesse absolue de la bulle ne permettrait pas de rassembler les résultats pour tous les Re_c comme cela est le cas sur la figure 3.6. Les déphasages entre l’inclinaison de la bulle et celle de sa trajectoire suivent également la même tendance qu’en liquide au repos (figure 3.6e). Pour la plus grande partie de la gamme d’Ar explorée, on remarque un accord entre les caractéristiques oscillatoires des bulles correspondant aux ré-gimes C à F (800 < Ar < 10500) en contre-écoulement et en liquide au repos. On pourrait s’attendre à ce que le contre-écoulement modifie les amplitudes d’oscillation de forme des bulles puisqu’on a remarqué que la forme des bulles en contre-écoulement est légèrement moins aplatie qu’en liquide au repos. On peut observer ces amplitudes d’oscillation sur la figure 3.6f. Étant donné que cette mesure est relativement bruitée, il est difficile de voir une tendance nette sur ces courbes. Les résultats ne semblent cependant pas différer significativement du cas des bulles en liquide au repos.

La dynamique des bulles en contre-écoulement présente donc les mêmes régimes qu’en liquide au repos, régimes ayant été déterminés et détaillés au paragraphe 1.3. Finalement, le mouvement oscillatoire des bulles en contre-écoulement n’est pas significativement modifié lorsque l’on regarde ses caractéristiques en mouvement relatif ou par rapport à la vitesse gravitationnelle à Ar donné. Le paramètre décrivant les limites des différents régimes d’oscillations dans le plan de la cellule est, en bonne approximation, le nombre d’Archimède basé sur le diamètre équivalent de la bulle et l’échelle pertinente de la vitesse est√gd.

Il reste à déterminer si le sillage est lui aussi inchangé en contre-écoulement. A priori, puisque la dynamique des bulles ne semble pas modifiée de manière significative dans le repère relatif, et puisque cette dynamique résulte d’un couplage avec son sillage, on peut s’attendre à ce que le sillage proche soit inchangé dans le repère relatif. Mais aux temps longs, le sillage a oublié la bulle et va donc présenter des caractéristiques différentes par rapport à celles du sillage de bulles en liquide au repos. Dans le paragraphe suivant, les sillages de bulles oscillantes à Ar ≈ 2800 pour des nombres de Reynolds du canal différents, Re_c = 0, 110 et 210, sont comparés. Les principales caractéristiques des trois configurations comparées sont regroupées dans le tableau 3.1.

2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 92

Rec Ar d (cm) Vb∞ (cm/s) VCE (cm/s)

0 2815 0,93 19,04 0 110 3000 0,97 19,45 3,7 210 2862 0,94 19,15 7,1

Tableau 3.1 – Caractéristiques des cas de contre-écoulement traités en PIV et de la réfé-rence en liquide au repos.

2

Sillage d’une bulle oscillante en

contre-écoulement

L’analyse du sillage d’une bulle en contre-écoulement emploie les mêmes outils que ceux utilisés pour l’étude de sillages de bulles isolées en liquide au repos. Une décomposition du sillage en un flux ascendant et des tourbillons a donc été réalisée. Le flux ascendant et la position des tourbillons sont déterminés à partir des vitesses relatives du fluide. Pour cela, dans les champs PIV, on soustrait la vitesse moyenne de l’écoulement descendant à la composante verticale de la vitesse du liquide. En relatif, on considère ainsi un liquide au repos à l’infini. D’un point de vue pratique, l’étude du sillage en vitesse relative permet de le comparer plus facilement à celui d’une bulle en ascension dans un liquide au repos. Une illustration du sillage brut mesuré par PIV derrière une bulle à Ar = 2862 en ascension dans un écoulement uniforme descendant de vitesse VCE = 7, 1 cm/s (Rec = 210) est

présentée sur la figure 3.7a. Compte tenu du mouvement moyen du liquide vers le bas, il est plus difficile de distinguer le flux ascendant et les tourbillons sur ce champ de vitesses. Le champ de vitesses relatives est présenté sur la figure 3.7b. On peut remarquer que l’allure du sillage des vitesses relatives ressemble davantage à celui d’une bulle isolée en liquide au repos. On remarque notamment le flux ascendant central derrière la bulle et dont les vitesses relatives décroissent sur de faibles distances. L’analyse du sillage d’une bulle en contre-écoulement est moins précise qu’en liquide au repos et plus particulièrement aux temps longs. Ceci provient du fait que les champs PIV sont calculés à partir d’un intervalle de temps entre deux images fixé de manière à calculer toute la gamme de vitesses présentes dans le champ avec la meilleure précision. Les plus petites vitesses sont alors moins bien estimées. Aux temps longs, les vitesses dans le sillage de la bulle sont nettement inférieures à la vitesse débitante du contre-écoulement, les tourbillons sont alors moins bien détectés. L’intervalle de temps sur lequel les tourbillons peuvent être suivis est plus court en écoulement uniforme descendant. Il est difficile de savoir si cela est dû à une difficulté de mesure ou si les tourbillons disparaissent plus rapidement en écoulement uniforme descendant. On s’attachera dans cette section à décrire l’évolution du sillage d’une bulle dans deux écoulements d’intensité différente en le comparant au sillage d’une bulle à Ar équivalent en liquide au repos. Cette comparaison sera réalisée sur des temps suffisamment longs pour présenter les deux dynamiques présentes dans le sillage de bulles en liquide au repos et mises en évidence au paragraphe 2 du chapitre 2.

2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 93

(a) Vitesse absolue V

(b) Vitesse relative : Vrel=V − VCE

Figure 3.7 – Illustration d’un champ PIV à t=0, 6 s derrière une bulle à Ar =2862 et

2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 94

(a) Ar=2815, Rec=0 (b) Ar=3000, Rec=110 (c) Ar=2862, Rec=210

Figure 3.8 – Trajectoires des tourbillons détectés dans le sillage de bulles oscillantes (Ar ≈ 2900), en liquide au repos et en écoulement uniforme descendant. Les pointillés correspondent aux tourbillons provenant du bas de la fenêtre de mesure.

2.1

Structure du sillage de bulle en contre-écoulement

2.1.1 Trajectoires des tourbillons

Dans un premier temps, on peut comparer comment se structurent les tourbillons derrière la bulle en fonction de Re_c. Les trajectoires des tourbillons détectés derrière la bulle sont présentées dans le reférentiel du laboratoire sur la figure 3.8, superposées à la trajectoire de la bulle et à sa représentation au moment du lâcher. On remarque la similarité entre la forme, l’inclinaison et la position de la bulle sur sa trajectoire au moment du lâcher que ce soit en contre-écoulement ou sans mouvement moyen du liquide. Plus l’intensité de l’écoulement descendant est importante, plus le nombre de tourbillons lâchés augmente. Ceci provient du fait que la bulle est de plus en plus freinée en vitesse absolue lorsque Re_c augmente, et donc un plus grand nombre de tourbillons sont observables dans la même fe-nêtre de mesure. La fréquence temporelle de lâchers de tourbillons est la même, par contre la distance parcourue par la bulle en une période T_x diminue avec le contre-écoulement. La longueur d’onde spatiale est donc plus courte dans le repère du laboratoire. En liquide au repos, il a été montré au chapitre 2 que le sillage d’une bulle présentait deux temps ca-ractéristiques : un temps court lié à la période d’oscillation de la bulle T_x et un temps long lié au frottement visqueux entre les plaques τ_ν. Les temps courts et intermédiaires sont le siège d’une réorganisation du sillage qui passe par l’appariement de deux tourbillons d’un même côté de l’allée. Aux temps longs, la structure du sillage est figée avec une longueur d’onde deux fois supérieure à celle du mouvement de la bulle, le centre des tourbillons ainsi que leur taille n’évoluent plus. Le contre-écoulement joue un rôle important sur les positions et la forme des tourbillons. L’effet le plus marquant à la vue de la figure 3.8 réside dans le fait que les tourbillons montent puis descendent en s’écartant en contre-écoulement alors qu’en liquide au repos, les tourbillons montent puis se figent. Au départ, au moment du lâcher, les trajectoires sont similaires au cas du liquide au repos, les tourbillons sont éjectés et montent à peu près tout droit sur une distance plus ou moins courte en fonction de la valeur de Rec. Pour Rec = 110, les tourbillons montent davantage par rapport au

cas Rec=210 et ils s’apparient. Par contre, pour Rec=210, les tourbillons montent peu

2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 95

temps longs. Ces effets sont bien plus observables sur l’évolution temporelle des positions des centres des tourbillons détectés (figure 3.9). Sur ces figures, l’appariement tourbillon-naire a lieu lorsque l’on peut voir sur une paire de tourbillons du même côté de l’allée (de la même couleur sur la figure 3.9) que l’un des deux disparaît et l’autre (au-dessus et plus récent) perdure aux temps longs. Malheureusement, sur les figures 3.9a et b des positions de tourbillons observés en liquide au repos, l’appariement a lieu en-dehors de la fenêtre PIV, cette dernière n’étant pas assez grande pour caractériser la fusion de deux tourbillons dans le champ de mesure. En contre-écoulement, lorsque Re_c = 110, deux appariements sont observables, de chaque côté de l’allée (figure 3.9c et d). En comparant Rec = 0 et

Rec=110, on constate qu’en liquide au repos les tourbillons montent tout droit aux temps

courts (leurs composantes en x sont à peu près constantes), puis aux temps longs ils ne bougent presque plus. En revanche, après un certain temps de l’ordre de 0,4 s après le lâcher, les tourbillons en contre-écoulement présentent un déplacement horizontal de signe opposé selon leur position latérale (d’un côté ou de l’autre de l’allée), ils s’éloignent alors horizontalement (figure 3.8) tout en descendant (figure3.9d). Cet effet est la signature du contre-écoulement sur les trajectoires empruntées par les tourbillons.

À Re_c =210, on observe les mêmes effets à la différence près que les tourbillons montent moins et sur une durée équivalente (autour de 0,4 s). Chaque tourbillon lâché s’éloigne laté-ralement et descend. Mais, dans ce cas aucun appariement n’est observé. Nous reviendrons sur ce point important plus loin.

À l’éjection, la distance entre la bulle et le tourbillon demeure d’un diamètre de bulle indépendamment de la valeur d’Ar et du nombre de Reynolds du canal Rec. Ce résultat

est visible sur la figure 3.10a. Comme pour la bulle en liquide au repos, l’instant du lâcher correspond à l’instant où la vitesse transversale de la bulle est maximale. La vitesse à l’éjection du tourbillon est reliée à la vitesse du flux ascendant (en vitesse relative) à sa hauteur, de manière identique aux tourbillons lâchés en liquide au repos (figure 3.10b). Un grand nombre de caractéristiques de la bulle et des tourbillons au moment du lâcher se retrouvent malgré la présence du contre-écoulement.

L’évolution des dimensions des tourbillons après leur lâcher ne semble pas modifiée lorsque

Rec=110. Les dimensions des tourbillons constituent une mesure délicate et bruitée qui

l’est d’autant plus qu’il y a d’incertitudes sur le calcul du champ de vitesse. En contre-écoulement, cette mesure est donc plus bruitée et n’est pas tracée pour ne pas surcharger le document, les tendances générales sont simplement commentées. La dimension transversale

D⊥augmente après le lâcher. Elle atteint jusqu’à 2, 5d lorsque Rec=110 et pour le

contre-écoulement le plus intense Re_c=210, cette dimension semble atteindre 2d. Cependant, il est difficile d’interpréter cette différence de dimension transversale entre les deux valeurs de Rec, celle-ci étant faible. Néanmoins, un effet nettement plus marqué est observable

sur la dimension longitudinale entre les deux valeurs de vitesse d’écoulement descendant

VCE. La dimension longitudinale D// des tourbillons atteint λw au bout d’une durée de

l’ordre de Tx lorsque Rec=110, de la même manière que pour les tourbillons de bulles en

liquide au repos à 1800 < Ar < 5000. En revanche, lorsque Re_c = 210, cette dimension ne semble pas évoluer de manière significative, la taille longitudinale des tourbillons en présence du contre-écoulement le plus intense considéré dans cette étude est autour de la demi-longueur d’onde d’oscillation de la bulle λ_w/2. Or, nous avons pu remarquer que pour cette valeur de Re_c = 210, aucun appariement de tourbillons n’était observé. La dimension longitudinale des tourbillons est liée à cette réorganisation du sillage aux temps courts. Cet effet signifie que lorsque le contre-écoulement est suffisamment intense, aucun appariement n’a lieu et la dimension finale des tourbillons est alors plus petite aux temps longs.

2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 96 0 0.5 1 1.5 2 −3 −2 −1 0 1 2 3 t (s) x / d (a) 0 0.5 1 1.5 2 0 5 10 15 t (s) y / d (b) Ar=2815, Rec=0 0 0.5 1 1.5 2 −3 −2 −1 0 1 2 3 t (s) x / d (c) 0 0.5 1 1.5 2 0 5 10 15 t (s) y / d (d) Ar=3000, Rec=110 0 0.5 1 1.5 2 −3 −2 −1 0 1 2 3 t (s) x / d (e) 0 0.5 1 1.5 2 0 5 10 15 t (s) y / d (f) Ar=2862, Rec=210

2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 97 1000 2000 3000 4000 5000 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 DΩ 0 / d Ar

(a) Distance entre la bulle et le tourbillon au moment du lâcher 1000 2000 3000 4000 5000 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Ar Vi− r elΩ 0 / Vi− r elm a x

(b) Vitesse initiale des tourbillons, en

noir : Vx−relΩ0/Vx−relmax, en vert :

Vy−relΩ0/Vy−relmax

Figure 3.10 – Caractéristiques des tourbillons au moment du lâcher, ● : Rec = 0, ◾: Re_c=110,⧫ : Re_c=210.

2.1.2 Forme du flux ascendant

L’écoulement uniforme descendant ne semble pas affecter l’espacement latéral entre les tourbillons aux temps courts ni jouer un rôle sur les dimensions transversales des tourbillons, on peut donc s’attendre à ce que l’extension transversale de la perturbation de vitesse induite par le passage de la bulle ne soit pas modifiée en contre-écoulement. Les mesures sont plus bruitées, cependant on peut remarquer sur les profils transverses de vitesse derrière la bulle (figure 3.11) que la signature du passage de la bulle s’étend peu latéralement. On retrouve ici une perturbation de vitesse qui s’étend sur environ ±2d que ce soit en liquide au repos ou en contre-écoulement. Les différents profils tracés sur la figure 3.11 comparent des distances relatives équivalentes derrière la bulle, c’est-à-dire calculées à partir de la vitesse relative Vb relet de l’intervalle de temps depuis le passage de

la bulle au point considéré : δy =Vb relδt. Malgré la présence de l’écoulement descendant,

le temps caractéristique de diffusion dans le plan de la cellule est grand devant le temps de diffusion visqueuse entre les plaques, on observe donc le même effet qu’en liquide au repos : le mouvement du liquide induit par le passage de la bulle ne diffuse pas dans le plan de la cellule.

La différence entre les trajectoires des tourbillons observées en contre-écoulement aux temps longs se retrouvent sur la forme de la ligne de V_max. Plus le contre-écoulement est intense, moins la ligne de V_max semble s’étirer dans la direction transverse. Cet effet est illustré sur la figure 3.12. En liquide au repos, le flux ascendant se déforme de manière importante jusqu’à atteindre une extension latérale d’environ 2, 5d. De manière similaire à ce qui a été décrit au paragraphe 2 du chapitre 2 pour une bulle à Ar = 1535 en liquide au repos, on peut observer sur la figure 3.12a que les points de courbure de la ligne de V_max montent puis s’étirent latéralement. Lorsque Re_c = 110, le flux ascendant se déforme sur une largeur équivalente au cas d’un sillage de bulle en liquide au repos (figure 3.12b). Par contre, lorsque Rec = 210, le flux ascendant s’étend nettement moins

latéralement puisque son extension est inférieure à d. Un effet très net sur la structure du sillage en contre-écoulement est donc mis en évidence : l’écoulement uniforme

descen-2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 98 −100 −5 0 5 10 0.5 1 1.5 (x − xVmax)/d Vrel / Vb r el (a) Rec=0 −100 0 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 δy= 2.5 cm δy= 5 cm δy= 10 cm δy= 20 cm δy= 30 cm δy= 55 cm −100 −5 0 5 10 0.5 1 1.5 (x − xVmax)/d Vr el / Vb r el (b) Rec=110 −100 −5 0 5 10 0.5 1 1.5 (x − xVmax)/d Vr el / Vb r el (c) Rec=210

Figure 3.11 – Profils transverses de la norme des vitesses relatives à différentes distances relatives (δy =Vb relδt) derrière la bulle et pour différents Rec.

2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 99 −30 −2 −1 0 1 2 3 2 4 6 8 10 12

(x − x

) /d

y

/

d

Figure 3.12 – Évolution de la forme du flux ascendant dans la fenêtre de mesure PIV derrière une bulle à Ar ≈ 2900 à divers Re_c.

2. Sillage d’une bulle oscillante en contre-écoulement 100 1000 2000 3000 4000 5000 0.6 0.8 1 1.2 Ω0 d / Vb r el χ 3/ 2 Ar

Figure 3.13 – Vorticité initiale moyenne des tourbillons lâchés, ● : Rec=0,◾: Re_c=110, ⧫ : Re_c=210.

dant restreint la déformation de la ligne de V_max lorsque son intensité est suffisamment importante. Ce résultat est en accord avec l’observation faite sur les tourbillons lâchés par la bulle à Re_c=210 et plus précisément concernant leur réorganisation aux temps courts. Lorsque Re_c=210, les tourbillons ne s’apparient plus, or la forme du flux as-cendant est fortement liée à l’organisation des tourbillons et à leurs dimensions. Ainsi, lorsque le contre-écoulement est suffisamment intense, les tourbillons ne se réorganisent pas et leurs dimensions évoluent moins.

2.2

Intensité du sillage d’une bulle dans un écoulement

uniforme descendant

L’intensité des tourbillons au moment du lâcher suit la même loi d’échelle qu’en liquide au repos à condition de considérer la vitesse relative de la bulle. La vorticité initiale des tourbillons lâchés Ω0 est présentée sur la figure 3.13. On peut remarquer que la valeur

de Ω₀ avec ou sans contre-écoulement est autour de V_{b rel}χ3/2/d. Il est intéressant de regarder comment cette vorticité évolue en temps en présence d’un écoulement uniforme descendant. Cette évolution est reportée sur la figure 3.14a, on remarque que la décrois-sance de la vorticité moyenne des tourbillons lâchés derrière une bulle en ascension en contre-écoulement suit la même évolution qu’en liquide au repos. De manière similaire, la décroissance du flux ascendant en vitesse relative se superpose à celle de bulles en liquide au repos (figure 3.14b). En considérant la vitesse relative, on obtient donc les mêmes lois d’échelles qu’en liquide au repos et on observe également deux temps caractéristiques l’un étant lié à l’oscillation de la bulle (Tx aux temps courts) et le second traduisant les effets

visqueux par frottements aux parois (τ_ν aux temps longs). L’atténuation du mouvement sur l’échelle des temps longs τ_ν n’est pas représentée car les tourbillons ne sont pas suivis suffisamment longtemps avec notre méthode de mesures. Aux temps longs, il est difficile de capturer la structure du flux ascendant et des tourbillons dans le champ de vitesses relatives car ces structures correspondent à des vitesses très faibles comparées à celle de l’écoulement uniforme descendant. Le traitement PIV tel qu’il a été utilisé ne permet pas d’étudier ces évènements aux temps longs avec une précision suffisante. Néanmoins, on peut supposer que les mêmes taux de décroissance seraient obtenus compte tenu du fait qu’aux temps courts mais aussi au delà de 2Tx les courbes de décroissance de vitesse et

3. Synthèse 101 0 2 4 6 8 10−2 10−1 100 δt/Tx Ω d / Vb r el χ 3 /2 Rec= 0 Rec= 107 Rec= 198

(a) Évolution de la vorticité moyenne des tour-billons lâchés 0 2 4 6 8 10−2 10−1 100 δt/Tx Vr el m a x / √ g d Rec= 0 Rec= 107 Rec= 198

(b) Évolution du flux ascendant en vitesse rela-tive après le passage de la bulle

Figure 3.14 – Décroissance de l’intensité du sillage sur l’échelle de temps d’oscillation de la bulle (Tx pour les temps courts) normalisée par les lois d’échelles présentées au

chapitre 2 en considérant la vitesse relative à différent Rec.

vorticité se superposent bien (figure 3.14) indépendamment de la valeur de Re_c ou Ar en appliquant les lois d’échelles en vitesses relatives.

3

Synthèse

Le mouvement de bulles dans deux contre-écoulements a été étudié. La cinématique des bulles est moins bruitée en écoulement uniforme descendant. Les modulations de forme de la bulle de l’ordre de la longueur d’onde capillaire ne sont plus observées lorsqu’on impose une vitesse dans le liquide. Le passage en vitesse relative permet d’obtenir des lois de vitesses similaires à celles des bulles en liquide au repos sur toute la gamme de nombres d’Archimède explorée. Les caractéristiques d’oscillation des bulles sont également norma-lisées par la vitesse relative pour les nombres de Reynolds du canal considérés (Rec=110

et 210). La vitesse gravitationnelle√gd est l’échelle de vitesse qui contrôle le mouvement

des bulles en l’absence et en présence d’un contre-écoulement modéré. La fréquence tem-porelle d’oscillations des bulles est inchangée avec le contre-écoulement mais se traduit par une longueur d’onde plus faible dans le repère du laboratoire. Le sillage derrière des bulles à Ar ≈ 3000 a été caractérisé pour Rec = 110 et 210. La structure et l’intensité de ces

sillages ont été comparées à celles du sillage d’une bulle équivalente en liquide au repos. L’effet le plus marquant de ces mesures est la disparition de l’appariement des tourbillons lorsque Rec = 210. La taille des tourbillons ainsi que la structure du sillage diffèrent de

celles obtenues en liquide au repos ou pour un faible contre-écoulement Rec = 110. Les

trajectoires des tourbillons sont également modifiées. Les tourbillons suivent l’ascension de la bulle sur un temps de l’ordre de 2Tx, puis ils s’éloignent horizontalement et

des-cendent pour les deux valeurs de contre-écoulement. Il serait intéressant de caractériser les vitesses des tourbillons et d’étudier leurs composantes en fonction de la vitesse du contre-écoulement. Il serait également pertinent de traiter davantage de cas de bulles iso-lées à différents Ar et sur une plus large gamme de Rec pour mettre en évidence un seuil

3. Synthèse 102

de tourbillons en fonction de la vitesse du contre-écoulement est également à envisager pour apporter des éléments de réponse à la question du développement de l’instabilité sous-harmonique du flux ascendant en fonction de l’advection du contre-écoulement.

Chapitre 4

Interaction de deux bulles

L’étude de l’interaction entre deux bulles dont la trajectoire en bulle isolée est oscillante et donc instationnaire est très complexe. Le couplage du mouvement des deux corps par l’écoulement qu’ils induisent donne lieu à une très grande variété de phénomènes, qui n’ont été jusqu’à présent que partiellement identifiés et peu caractérisés quantitativement. De nombreux paramètres entrent en effet en jeu : la taille des bulles, les distances horizontales et verticales relatives entre elles, les conditions de l’injection, etc... Ce chapitre est ainsi de nature plus exploratoire que les précédents. Les expériences menées consistent à injec-ter deux bulles soit en ligne soit décalées horizontalement et à suivre leur trajectoire par ombroscopie. Le mouvement des bulles peut alors être comparé à celui qu’elles auraient s’il n’y avait pas d’interaction. Il se dégage de ces observations des mécanismes d’inter-action bien distincts (éjection du sillage, entrainement ...). A l’aide de mesures par PIV de l’écoulement autour des bulles en interaction et de la caractérisation du sillage d’une bulle isolée, nous tenterons alors d’apporter des éléments d’explication de ces mécanismes d’interaction.

Deux bulles sont injectées dans la cellule, soit à partir d’un même point, soit de deux points séparés horizontalement par une distance 0 ≤∆x₀ ≤ 2 cm au bas de la cellule. L’es-pacement entre les deux points d’injection est connu ∆x0, cependant, dans le dispositif

considéré, l’intervalle de temps entre les deux injections∆t0n’est pas mesurable. Ces deux

paramètres ont été ajustés manuellement de manière à avoir des phénomènes d’interaction variés dans la fenêtre de mesure qui se situe à environ 20 cm au-dessus du point d’injec-tion. La taille des bulles est mesurée a posteriori par ombroscopie, de la même manière que pour la bulle isolée. À partir de cette mesure, on définit un nombre d’Archimède pour chaque bulle Ar1 et Ar2. Dans la configuration de bulles en ligne ou en tandem, la bulle 1

correspond à la bulle de tête et la bulle 2 à la bulle suiveuse. Lorsque les bulles sont injec-tées en deux points différents, la bulle 1 est à gauche dans le plan de la cellule et la bulle 2 à droite. Ces bulles ne sont pas nécessairement alignées horizontalement. En fonction de la valeur de ∆t0, on peut avoir deux bulles décalées horizontalement et verticalement

(∆t₀ 6= 0) ou deux bulles côte à côte (alignées horizontalement ∆t₀ ≈ 0). Ces différentes configurations et notations sont représentées sur la figure 4.1. Les mesures d’ombroscopie de bulles en interaction permettent de suivre la position et donc la vitesse, mais aussi la forme de chaque bulle. Il est alors intéressant de considérer le mouvement relatif des corps, défini par la distance relative entre les deux bulles, horizontale ∆x(t) =x1(t)− x2(t) et

verticale∆y(t) =y1(t)− y2(t).

Ce chapitre est organisé de la manière suivante. Dans un premier temps, un aperçu gé-néral des couples d’Archimède considérés sera présenté et une description qualitative des différents mécanismes d’interaction identifiés sera proposée. Nous décrirons ensuite pour certains de ces mécanismes l’effet de l’écoulement induit par les deux bulles sur leurs tra-jectoires. Enfin, la modification des sillages des bulles liée à leur interaction sera analysée.

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 104 e e 1 2 ∆ e e

g

Injecteur identique Injecteurs différents

∆x0

Figure 4.1 – Schéma de deux bulles en interaction, injectées du même point ou de deux points séparés horizontalement.

1

Mécanismes

d’interaction

observés

entre

deux bulles

Le mouvement relatif de deux bulles en interaction résulte d’une succession de mécanismes qui dépendent des phases du mouvement précédentes. Cette partie est consacrée à la description de ces mécanismes et à la fréquence à laquelle ils sont observés en fonction des couples de nombres d’Archimède (Ar1,Ar2) obtenus expérimentalement. Une synthèse des

mécanismes d’interaction et de leur succession sera présentée en distinguant ∆x₀ ≈ 0 et ∆x0 6=0.

1.1

Cartographie des comportements d’interaction

iden-tifiés

Les trajectoires de deux bulles injectées du même point ou de deux points différents ont été suivies sur un champ de 40 cm de haut et 20 cm de large (campagne “mai 2” avec 2 caméras rapides). Une gamme de couples (Ar₁,Ar₂) la plus large et avec le plus grand nombre de cas possibles a été explorée. La cartographie des nombres d’Archimède de la bulle 1 et la bulle 2 est représentée sur la figure 4.2. Au total, 233 cas d’interaction entre deux bulles en grand champ ont été traités. On distingue les cas où les deux bulles partent du même point au bas de la cellule de ceux de bulles injectées à partir de points différents. Une forte concentration de cas est visible sur la figure pour Ar1 ≤ 2000 et Ar2 ≤ 2000,

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 105 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Ar1 Ar 2 0 1000 2000 0 1000 2000 Ar1 Ar 2

Figure 4.2 – Cartographie des couples (Ar1,Ar2) explorés avec distinction du mode

d’in-jection : ◦ : injecteur identique ;◊ : injecteur différent ; ●: cas PIV

pointillés correspond à Ar₁ = Ar2, on observe quelques cas de bulles en interaction de

taille équivalente jusqu’à Ar₁ ≈ Ar₂ ≈ 5000. Peu de calottes (Ar > 5000) en interaction ont pu être obtenues, car il est difficile de générer deux grosses bulles successivement. Cependant trois cas de calottes injectées à partir d’un point identique ont été traitées. Les cas d’interaction entre une bulle petite comparée à la première bulle peuvent être explorés sur une large gamme de taille de la première bulle. En effet, pour 1000 ≤ Ar1 ≤ 12000, la

plupart des cas correspondent à 800 ≤ Ar2≤ 2000.

Des mesures de vélocimétrie du liquide autour de bulles en interaction ont été réalisées, les points correspondants sont représentés sur la figure 4.2. On peut remarquer que la gamme balayée par la trajectographie comprend les points explorés par PIV. Cette mesure nous permettra de comprendre certains mécanismes d’interaction ainsi que les effets du passage des deux bulles sur le sillage résiduel. Les caractéristiques du mouvement et de la forme des bulles isolées équivalentes à celles considérées dans les cas PIV sont reportées dans le tableau 4.1. Tous les cas PIV concernent des bulles issues du même injecteur à l’exception du cas J (bulles côte à côte à Archimède équivalent) pour lequel les bulles ont été injectées de points différents, à un intervalle de temps ∆t0 ≈ 0. Deux de ces séquences présentent

une deuxième bulle en tandem plus grande que la première (cas K et L : Ar₂ > Ar1).

Les cas A et B présentent deux bulles à Archimède équivalent, les bulles sont alignées verticalement en A (∆x ≈ 0) et en diagonale en B (∆x 6= 0 et∆y 6= 0). Les autres cas C à I concernent une deuxième bulle plus petite que la bulle de tête, plusieurs mécanismes d’interaction sont observés successivement sur ces séquences. L’analyse de ces mécanismes en lien avec le champ de vitesse dans le liquide est présentée dans les sections 2 et 3 de ce chapitre.

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 106 cas Ar1 Ar2 d1 (cm) d2 (cm) χ1 χ2 Vb1∞ (cm/s) Vb2∞ (cm/s) A 1091 915 0,50 0,44 1,15 1,02 13,88 13,09 B 1015 1089 0,47 0,49 1,10 1,15 13,55 13,88 C 2049 585 0,75 0,33 1,75 1,41 17,13 20,95 D 2120 920 0,77 0,44 1,79 1,03 17,33 13,12 E 3510 880 1,08 0,43 2,51 1,00 20,50 12,92 F 3900 1160 1,16 0,52 2,69 1,20 21,23 14,17 G 3020 810 0,98 0,41 2,27 0,94 19,49 12,57 H 10000 1000 2,17 0,47 3,25 1,09 24,90 13,49 I 9750 7100 2,13 1,73 3,25 3,20 24,70 22,22 J 2300 2240 0,81 0,80 1,89 1,86 17,80 17,65 K 1477 2482 0,61 0,86 1,41 1,99 15,36 18,26 L 1826 2688 0,70 0,90 1,62 2,10 16,48 18,75

Tableau 4.1 – Caractéristiques des bulles en interaction pour les cas de mesures PIV

1.2

Description qualitative des mécanismes

d’interac-tion observables sur les trajectoires des bulles

Nous présentons ici une tentative de classification et de définition des différents mécanismes d’interaction identifiés à partir d’observations des trajectoires des bulles en interaction. On distingue les interactions n’affectant que la trajectoire de la bulle 2, mais aussi celles qui présentent une modification du mouvement de la première alors que la deuxième ne semble pas perturbée par l’interaction et enfin, les mécanismes qui semblent affecter la trajectoire des deux bulles en interaction.

Concernant deux bulles alignées verticalement (bulles en tandem), le phénomène le plus souvent observé concerne l’entrainement vertical de la deuxième bulle dans le sillage de la première. Ce mécanisme d’entrainement vertical peut mener à un autre mécanisme d’interaction qui est un enjeu important dans les procédés industriels puisqu’il contrôle la taille des inclusions : la coalescence. De nombreuses études plus ou moins récentes traitent de cette succession de mécanismes (entrainement + coalescence). En milieu non confiné plusieurs études ont mis en évidence l’accélération de la deuxième bulle sous l’effet de l’entrainement du sillage de la bulle de tête (Crabtree et Bridgwater, 1971; Bhaga et Weber, 1980). En milieu confiné entre deux plaques, Huisman et al. (2012) ont étudié des situations dans lesquelles la phase de coalescence est précédée d’entrainement vertical, la deuxième bulle rattrapant la première. Une illustration de cette succession est présentée sur la figure 4.3a correspondant à une interaction entre deux bulles alignées verticalement dont les nombres d’Archimède sont différents Ar1 = 3819 et Ar2 = 1525. D’après les

résultats du chapitre sur la bulle isolée, la vitesse de la bulle de tête isolée est supérieure à celle de la deuxième (Vb1∞ > Vb2∞). Cependant, on remarque que la deuxième bulle

rattrape la première, ce qui signifie que sa vitesse d’ascension verticale en interaction est plus importante que celle de la première (V_b2 > Vb1). Cette survitesse constitue la

caractéristique de l’entrainement vertical de la bulle 2 dans le sillage de la première. On peut observer cette survitesse sur la figure 4.3b sur laquelle sont reportées en pointillés les vitesses des bulles isolées de mêmes diamètres. On remarque que la vitesse verticale de la bulle 2 est nettement supérieure à celle qu’elle aurait si elle était isolée et cette accélération croît en fonction du temps. À noter que la distance entre les deux bulles diminue en fonction du temps, et donc plus la seconde bulle s’approche de la bulle de tête, plus sa vitesse est importante. On remarque également que sa vitesse diminue avant la coalescence alors que celle de la bulle de tête augmente. La vitesse de la première bulle

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 107 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 10 20 30 40 50 t (s) y (c m )

(a) Illustration de l’évolution de la forme et de la distance verticale entre les deux bulles 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 10 15 20 25 30 35 40 t (s) Vy (c m / s)

(b) Vitesse des bulles avant et après coalescence. En poin-tillés : vitesse moyenne d’une bulle isolée de diamètre équi-valent

Figure 4.3 – Évolution des trajectoires et vitesses de bulles en tandem à Ar1 =3819 et

Ar2 =1525, en noir : bulle 1 ; en vert : bulle 2 et en bleu : bulle après coalescence.

ne semble pas modifiée par rapport à celle qu’elle aurait eu si elle était seule. La vitesse de la bulle après coalescence est inférieure à celle d’une bulle isolée équivalente.

Le phénomène de coalescence ne sera pas étudié en détail dans cette étude, la méthode de mesure n’étant pas adaptée à cette caractérisation. Le travail de Huisman et al. (2012) montre que la phase de coalescence (drainage et rupture du film) se produit sur des temps très courts, la vitesse de drainage du film étant de l’ordre de 1, 5 m/s. Pour étudier en détail ce phénomène, il faut donc à la fois une résolution spatiale très fine et filmer la coalescence à très haute cadence (Eri et Okumura, 2007). Nous avons choisi de suivre les bulles sur un grand champ de manière à caractériser les diverses interactions en fonction de la taille des bulles, les résolutions spatiales et temporelles de nos mesures ne sont donc pas suffisamment précises pour étudier la phase de coalescence. Nous pouvons néanmoins car-tographier les couples de nombres d’Archimède pour lesquels il y a coalescence (voir § 1.3).

La phase d’entrainement n’est pas seulement obtenue lorsque les bulles sont injectées en ligne à partir du même point. On peut en effet observer de l’entrainement vertical après une phase de rapprochement horizontal des bulles. On peut distinguer deux situations de rapprochement horizontal. Si la deuxième bulle, au départ décalée horizontalement, se recentre derrière la première sans que cette dernière ne soit affectée, nous parlerons de

recentrage ; si les deux bulles présentent une dérive horizontale et se dirigent l’une vers

l’autre, nous parlerons d’attraction horizontale.

Le mécanisme de recentrage est illustré sur la figure 4.4 pour un cas d’interaction entre deux bulles de diamètres différents d₁ = 1, 21 cm et d₂ = 0, 61 cm. Les trajectoires des bulles dans le plan sont reportées sur la figure 4.4a, on peut directement observer que la trajectoire de la première bulle reste périodique et ne présente pas de dérive horizontale significative. En revanche, la deuxième bulle semble nettement affectée par le sillage derrière la première bulle puisque sa trajectoire dévie significativement de la verticale. La deuxième bulle est attirée transversalement et se recentre derrière la bulle de tête.

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 108 17 18 19 20 21 22 10 15 20 25 30 35 40 45 x(cm) y (c m )

(a) Trajectoire dans le plan de la cellule, en noir : bulle 1 ; en vert : bulle 2

0 0.5 1 1.5 −2 0 2 4 6 8 10 t(s) ∆ (c m ) ∆x ∆y

(b) Positions relatives∆x et ∆y en fonction du temps

Figure 4.4 – Illustration du mécanisme de recentrage, Ar1 =4957 et Ar2=1668

Sur l’évolution temporelle des positions relatives entre les deux bulles (figure 4.4b), on note que l’écart de position horizontale entre les deux bulles diminue lentement jusqu’à osciller autour de ∆x = 0. Le recentrage est un mécanisme progressif qui s’opère sur environ 0, 75 s dans le cas considéré. La distance relative verticale ∆y augmente au cours du recentrage. En effet, la deuxième bulle ayant un mouvement préférentiel transversal lors de cette phase, sa vitesse verticale diminue. Cependant, une fois recentrée derrière la première bulle, l’écart vertical relatif diminue, la vitesse verticale de la bulle 2 augmente, la bulle 2 rattrape la première. Après le phénomène de recentrage, on observe donc une phase d’entrainement de la deuxième bulle.

L’attraction horizontale est caractérisée par une modification des positions horizontales des deux bulles en interaction. Ce mécanisme est illustré sur la figure 4.5 pour deux bulles à nombres d’Archimède proches : Ar₁ = 1545 et Ar₂ = 1146. Les trajectoires dans le plan (figure 4.5a) montrent que les deux bulles se rapprochent l’une de l’autre, leurs trajectoires présentent des dérives de positions horizontales significatives dirigées vers une position centrale entre les deux bulles. De manière similaire au recentrage, ce mécanisme semble progressif, les bulles dérivent lentement l’une vers l’autre, |∆x| diminue progressivement (figure 4.5b).

Après une phase d’entrainement ou de recentrage, la deuxième bulle peut ressortir latéralement du sillage de la première sous l’effet d’un tourbillon qui lui donne une impulsion sur son mouvement transversal, on appellera cet effet : éjection du sillage. Derrière le terme d’éjection est sous-entendu le fait que seulement la deuxième bulle est éjectée du sillage, la trajectoire de la première bulle n’étant pas affectée.

À l’inverse de l’attraction horizontale, les deux bulles peuvent se repousser horizontale-ment. Si elles sont proches, cet effet est souvent combiné à une augmentation des vitesses verticales des deux bulles, on parle alors de propulsion/répulsion horizontale. Si les deux bulles sont relativement éloignées et présentent une dérive horizontale de signe opposé sans modification de leurs vitesses verticales, on parlera de répulsion horizontale.

L’éjection de la deuxième bulle du sillage de la première est représentée sur la figure 4.6. Les deux bulles sont en ligne au départ, la bulle de tête est plus grande (d1 = 1, 12 cm)

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 109 18 19 20 21 22 10 15 20 25 30 35 40 45 x(cm) y (c m )

(a) Trajectoire dans le plan de la cellule, en noir : bulle 1 ; en vert : bulle 2

0 0.5 1 1.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 t(s) ∆ (c m ) ∆x ∆y

(b) Évolution temporelle des positions relatives∆x et

∆y

Figure 4.5 – Illustration du mécanisme d’attraction horizontale, Ar1 = 1545 et Ar2 =

1146 18 19 20 21 22 10 15 20 25 30 x(cm) y (c m )

(a) Trajectoires des bulles dans le plan, en noir : bulle 1 ; en vert : bulle 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −4 −2 0 2 4 6 t(s) ∆ (c m ) ∆x ∆y

(b) Évolution temporelle des position relatives entre les deux bulles

Figure 4.6 – Illustration du mécanisme d’éjection de la deuxième bulle, Ar1 = 4166,

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 110 16 18 20 22 25 30 35 40 45 50 55 x(cm) y (c m )

(a) Trajectoire dans le plan de la cellule

0 0.5 1 1.5 2 10 15 20 25 30 t(s) Vy (c m / s)

(b) Évolution temporelle des composantes de vitesses verticales, en pointillés : la référence bulle isolée équi-valente

Figure 4.7 – Illustration du mécanisme de propulsion/répulsion horizontale, en noir : bulle 1 ; en vert : bulle 2, Ar1 =1477, Ar2 =2482.

que la bulle suiveuse (d₂ = 0, 45 cm). Les trajectoires des deux bulles dans le plan sont représentées sur la figure 4.6a. On observe que le mouvement de la première bulle ne semble pas significativement affecté par la présence de la deuxième bulle tout au long de l’interaction (cet effet est plus visible sur les évolutions temporelles des composantes de vitesse de la bulle 1, voir § 2). En revanche, on remarque que la bulle 2 est chassée horizontalement. En observant les positions relatives entre les deux bulles en fonction du temps (figure 4.6b), on note que, lorsque t < 0, 5 s, les deux bulles sont alignées (∆x ≈ 0) et la distance verticale entre les deux bulles diminue (la bulle 2 est accélérée, on a ici une phase d’entrainement avant éjection). À t = 0, 5 s, la distance horizontale entre les deux bulles augmente fortement et est accompagnée d’une augmentation de la distance verticale. La deuxième bulle est alors chassée horizontalement du sillage de la première bulle, sa vitesse verticale chute jusqu’à revenir à la vitesse moyenne d’ascension d’une bulle isolée équivalente.

Le mécanisme de propulsion/répulsion horizontale est illustré sur la figure 4.7, il s’agit d’un cas de bulles en ligne, le diamètre de la bulle suiveuse est plus important

d2 =0, 86 cm que celui de la bulle de tête d1 =0, 61 cm, et donc sa vitesse lorsqu’elle est

isolée l’est aussi. En observant les trajectoires des deux bulles dans le plan, on observe que les deux bulles sont toutes deux fortement déviées horizontalement. L’éloignement hori-zontal des deux bulles semble symétrique. À partir des vitesses verticales de chaque bulle tracées sur la figure 4.7b, on peut voir que la deuxième bulle (en vert) est en survitesse avant de contourner la bulle 1, mais on peut également remarquer que la première bulle présente elle aussi une survitesse (V y_b1(t < 0, 5 s) > Vb1∞ et V yb2(t < 0, 5 s) > Vb2∞).

La deuxième bulle pousse donc verticalement et horizontalement la bulle 1 tout en étant éjectée horizontalement. On a donc ici un effet combiné de poussée verticale de la deuxième bulle sur la première associé à une répulsion horizontale des deux bulles, d’autant plus forte qu’elles sont proches.

Nous avons également observé des situations où les deux bulles sont relativement distantes (quelques diamètres) et pour lesquelles une répulsion horizontale des deux

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 111 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 0 2 4 6 8 t(s) ∆ (c m ) ∆x ∆y

(a) Évolution temporelle des positions relatives entre les deux bulles

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −10 −5 0 5 10 t(s) Vx (c m / s)

(b) Vitesses des bulles, en noir : bulle 1 ; en vert : bulle 2

Figure 4.8 – Illustration du mécanisme de répulsion entre les deux bulles, Ar1 = 2300,

Ar2 =2240.

bulles se produit. Ce mécanisme est généralement observé lorsque les bulles sont dans la configuration côte à côte. Il est parfois difficile d’attribuer l’origine des faibles dérives du mouvement des bulles détectées à leur interaction, compte tenu des imperfections du dispositif expérimental. Dans certains cas néanmoins, la dérive est significative et semble réellement résulter d’une répulsion entre les deux bulles, comme illustré sur la figure 4.8 pour des nombres d’Archimède proches (Ar1 = 2300 et Ar2 = 2240). En observant

l’évolution temporelle des positions relatives entre les deux bulles sur la figure 4.8a, on constate que celles-ci sont alignées horizontalement (∆y = 0) et que l’écart des positions horizontales augmente progressivement de 4 cm à 5, 5 cm. Sur l’évolution temporelle des vitesses horizontales de chaque bulle (figure 4.8b), on observe que les deux corps présentent une dérive opposée (tracée en pontillés sur la figure), la vitesse horizontale de la bulle 1 (en noir) a une dérive décroissante alors que la bulle 2 (en vert) a une légère dérive croissante.

Peu de positions d’équilibre ont été observées entre les deux bulles. Dans le régime des bulles oscillantes, nous observons plusieurs situations où les deux bulles sont séparées de quelques diamètres, horizontalement et verticalement, et conservent une distance moyenne constante dans le temps. En outre, elles oscillent avec des caractéristiques très proches de celles qu’elles auraient si elles étaient isolées. Cependant, les mesures par PIV du champ de vitesse pour certaines de ces situations indiquent une interaction forte entre la bulle suiveuse et le sillage de la première. L’écoulement qui en résulte est alors complexe car il est le fruit de l’interaction hydrodynamique des deux bulles et est différent de deux sillages indépendants côte à côte. Cette situation sera illustrée dans la section 2. A partir de la seule cinématique, il est ainsi parfois difficile de s’assurer de la présence d’une interaction et de définir une distance critique d’interaction.

Dans la suite de ce chapitre, nous concentrerons notre attention sur les mécanismes d’interaction qui se traduisent par des effets bien marqués sur la cinématique et qui ne sont pas tributaires des imperfections du dispositif expérimental. Nous utiliserons lorsque cela sera possible les mesures PIV dans la phase liquide pour apporter un éclairage sur ces mécanismes et présenter la situation d’équilibre qui vient d’être évoquée.

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 112

1.3

Discussion des fréquences et successions de

méca-nismes

Nous avons défini au paragraphe précédent les différents mécanismes d’interaction que nous avons distingués dans notre configuration et qui peuvent s’enchaîner au cours du mouve-ment des bulles. Certains de ces mécanismes constituent des phases d’interaction, que l’on peut appeler forte car leurs effets sont très nettement observables sur la trajectoire des bulles. Il s’agit de l’éjection, du recentrage, de la coalescence, de la propulsion/répulsion transverse. A l’inverse, les situations dans lesquelles les interactions de type attraction ou répulsion horizontale présentent des effets faibles sur les trajectoires des bulles, et sont alors difficiles à distinguer des perturbations engendrées par la variation de l’interstice, ne seront pas discutées dans ce paragraphe. Compte tenu de l’incertitude sur ces méca-nismes il serait vain de regarder des fréquences d’apparition de ces évènements. Ces types d’interaction seront néanmoins conservés dans la présentation générale des enchaînements possibles de mécanismes en fonction des conditions initiales.

On retrouve une phase d’entrainement sur un grand nombre de séquences correspondant à une gamme étendue de couples (Ar₁, Ar₂). Sur les 233 cas d’interaction présentés sur la cartographie (Ar1, Ar2) de la figure 4.2 (page 105), 78% présentent une phase

d’entraine-ment. Les cas d’entrainement sont reportés sur la cartographie (Ar1, Ar2) de la figure 4.9.

On peut observer ce mécanisme sur une très large gamme de nombres d’Archimède de bulles interagissant. Il est intéressant de noter qu’on peut avoir une accélération de la deuxième bulle même si cette dernière est plus grande que la bulle de tête (Ar2 > Ar1 :

points au-dessus de la courbe en pointillés sur la figure 4.9). Notons également que ce mécanisme est par définition observé uniquement si les bulles sont alignées verticalement. De plus, on peut observer une accélération de la deuxième bulle à des distances élevées jusqu’à 15d₁ (par exemple si d₁ =4 mm la deuxième bulle peut être en survitesse à une distance de 6 cm derrière la première). Concernant le mode d’injection, nous indiquons sur la figure 4.9 si les bulles proviennent d’un injecteur unique ou de deux injecteurs différents. On s’aperçoit qu’on peut avoir de l’entrainement dans la fenêtre de mesure même si les bulles ne sont pas alignées au départ et sont injectées à partir de points différents au bas de la cellule. Cette observation montre donc que les bulles se sont alignées verticalement au cours de leur ascension et se sont recentrées l’une par rapport à l’autre soit par mécanisme de recentrage (seulement la bulle 2 est modifiée) soit par attraction horizontale (les deux bulles se rapprochent horizontalement). La phase d’entrainement est très récurrente dans les interactions, il sera donc intéressant de comprendre les taux d’entrainement des bulles en fonction de leur nombre d’Archimède (§ 2).

Sur les 233 cas d’interaction, 44% finissent par une coalescence des deux bulles. L’effet le plus marquant dans ces cas est le suivant : toutes les coalescences sont précédées d’en-trainement, cela signifie qu’aucune coalescence ne se produit lorsque les bulles sont côte à côte. La coalescence a systématiquement lieu par le bas de la première bulle dans une configuration de bulles alignées verticalement. La phase de coalescence (drainage et rup-ture du film) peut néanmoins se produire en présentant une dérive horizontale d’ensemble des deux bulles et est également associée à une forte déformation de celles-ci (Huisman

et al., 2012).

Suite à une phase d’entrainement dans laquelle les bulles sont en ligne, trois mécanismes peuvent être observés : la coalescence, l’éjection de la deuxième bulle du sillage de la pre-mière sous l’effet d’un tourbillon ou la propulsion/répulsion horizontale, où les deux bulles se contournent et s’éloignent horizontalement. Les cas d’éjection concernent des configu-rations où la deuxième bulle est nécessairement plus petite que la première Ar2 < Ar1.

1. Mécanismes d’interaction observés entre deux bulles 113 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 Ar1 Ar 2 0 1000 2000 0 1000 2000 Ar1 Ar 2

Figure 4.9 – Cartographie des couples (Ar1, Ar2) présentant une phase d’entrainement

de la deuxième bulle, ◦ : tous les cas (injecteur identique) ; ◊ : tous les cas (injecteur

différent) ;●: entrainement (injecteur identique) ; ⧫ : entrainement (injecteur différent)

deuxième bulle sans affecter le mouvement de la première. Il est alors logique qu’il soit nécessaire que la taille de la première bulle soit nettement supérieure pour ne pas être perturbée par une deuxième bulle. 40% des cas d’entrainement sont suivis d’une éjection, 56% sont suivis de coalescence et les 4% restants correspondent au mécanisme de propul-sion/répulsion horizontale, cette phase est observée lorsque les bulles sont très proches et ne semble pas montrer de tendance en fonction des nombres d’Archimède des deux bulles. Cette situation peut aussi bien être observée pour des bulles de taille comparable, que pour une bulle suiveuse plus grande ou plus petite que la bulle de tête. Il apparaît cependant clairement que, plus la bulle 2 est grande par rapport à la bulle 1, plus elle augmentera la vitesse de celle-ci par une poussée liée à son écoulement potentiel.

L’éjection de la deuxième bulle n’est pas nécessairement précédée d’entrainement visible dans la fenêtre d’observation, on peut en effet observer une deuxième bulle décalée ho-rizontalement qui se recentre puis est éjectée de façon cyclique. On appelle cette boucle d’interaction un looping. La première bulle n’est pas affectée. Les couples de nombres d’Archimède pour lesquels on observe des loopings doivent présenter un écart important entre Ar₁ et Ar₂, plus précisément la deuxième bulle doit être nettement plus petite que la première (Ar2/Ar1≤ 0, 4). Sur la figure 4.10, les points représentant des cas de looping

correspondent à Ar1 > Ar2 et Ar2 < 1000, ces points laissent deviner une bande

hori-zontale à 400 < Ar₂ < 800 pour tout Ar1 caractérisant la plage d’observation de looping.

Les couples (Ar1, Ar2) proches (autour de la ligne en pointillés) présentant une phase de

recentrage et d’éjection comportent systématique une phase d’entrainement. Au final, 4% des cas d’interaction dont nous disposons sont des looping (recentrage+éjection), et 3% des cas de recentrage-entrainement-éjection.

La répartition des points expérimentaux dans le plan (Ar1, Ar2) résulte du mode

d’injec-tion et ne permet pas une analyse statistique totalement sans biais des condid’injec-tions d’exis-tence ou d’absence de tel ou tel type d’interaction, d’autant que pour un couple (Ar₁, Ar₂)