X ′X ) X ′&epsilon

Texte intégral

(1)Introduction à l’économétrie. S6-LEF sc. éco. & gestion. Prof. Mohamed El Merouani. IV.- Espérance mathématique de l’estimateur Â : −1 Nous avons Aˆ = A + ( X ′X ) X ′ε. [. (). ]. −1 ˆ alors l’espérance mathématique sera : E A = E ( A) + E ( X ′X ) X ′ε ,. (). −1 ˆ soit E A = A + ( X ′X ) X ′E [ε ] , car A est une quantité certaine (non-aléatoire).. lM ®E. Par hypothèse fondamentale, on a E[ε ] = 0 ,. (). ˆ d’où E A = A . L’estimateur Â est non-biaisé.. V.- Matrice des variances-covariances de l’estimateur Â : variances-covariances L Cov(aˆ1 , aˆ k )   L Cov(aˆ 2 , aˆ k )  O M  L Var (aˆ1 ) . Â. de. est. définie. par :. ua. ero. Ω Â des matrice Cov(aˆ1 , aˆ 2 )  Var (aˆ1 )  Var (aˆ1 )  Cov(aˆ 2 , aˆ1 ) Ω Aˆ =  M   Cov(aˆ , aˆ ) Cov(aˆ , aˆ ) k 1 k 2 . La. [. [. 2. ]. ni. En remarquant que : Var(aˆ i ) = E (aˆ i − E (aˆ i ) ). = E (aˆ i − ai ). 2. E (aˆ i ) = a i. FP. ] car. = E[(aˆ i − a i )(aˆ i − ai )]. ]. [. ]. = E (aˆ i − a i ) (aˆ j − a j ). tou. On peut mettre Ω Â sous forme :. (. )(. ). )(. an. ′  Ω Aˆ = E  Aˆ − E ( Aˆ ) Aˆ − E ( Aˆ )   . (. Te. [. et que Cov (aˆ i , aˆ j ) = E (aˆ i − E ( aˆ i ) ) (aˆ j − E ( aˆ j ) ). ). ′  Ω Aˆ = E  Aˆ − A Aˆ − A    −1 Aˆ − A = ( X ′X ) X ′ε. Or. et. [Aˆ − A]′ = [( X ′X ). 6. −1. X ′ε. ]′. www.elmerouani.jimdo.com.

(2) Introduction à l’économétrie. S6-LEF sc. éco. & gestion. [Aˆ − A]′ = ε ′( X ′)′ [( X ′X ) ]′ = ε ′X ( X ′X ) −1. puisque. [(. )(. Ω Aˆ = ( X ′X ) X ′E (εε ′)X ( X ′X ) −1. soit. lM ®E E (εε ′). Remplaçons. = [X ′X ]. −1. )]. −1. , on obtient:. Ω Aˆ = ( X ′X ) X ′σ 2 IX ( X ′X ) = σ 2 ( X ′X ) −1. −1. σ 2I. par sa valeur −1. −1. ( X ′X )( X ′X )−1. −1 Ω Aˆ = σ 2 ( X ′X ). ero. Finalement :. [( X ′X ) ]′ = ( X ′X )′  −1. −1. Ω Aˆ = E ( X ′X ) −1 X ′ε ε ′X ( X ′X ) −1. Alors, on aura :. Prof. Mohamed El Merouani. La matrice (X’X)-1 est une matrice symétrique de type (k,k).. ua. Pour que l’estimateur Â soit convergent, il est nécessaire que la matrice (X’X)-1 tend vers zéro lorsque le nombre d’observations n augmente indéfiniment. Habituellement, ceci se pose comme une hypothèse technique de la régression multiple.. ni. VI.- Théorème de Gauss-Markov : L’estimateur Â est « BLUE » :. ]. L’estimateur. FP. [. −1 Aˆ = ( X ′X ) X ′ Y. est un estimateur BLUE « Best Linear Unbiased Estimator ». de A, c'est-à-dire que la variance de Â est la plus petite entre tous les estimateurs sans biais de A.. an. a) L’estimateur α doit être linéaire en Y : α =MY. tou. Considérons un estimateur quelconque α de A.. Te. Démonstration :. Α est de type (k,1). Y est de type (n,1). La matrice M est ainsi de type (k,n). Remplaçons Y par sa valeur, on obtient : α=M(XA+ε). α=MXA+Mε b) Il faut montrer que M=(X’X)-1X’ : Pour cela, on peut considérer l’expression : M=(X’X)-1X’ +N et montrer que la matrice N, de type (k,n) est égale à zéro : N=0. 7. www.elmerouani.jimdo.com.

(3) Introduction à l’économétrie. S6-LEF sc. éco. & gestion. Prof. Mohamed El Merouani. c) L’estimateur α doit être non-biaisé, c'est-à-dire qu’il doit vérifier E(α)=A :. E(MXA+Mε)=A => MXA+M E(ε)=A => MXA=A puisque E(ε)=0. C'est-à-dire la condition MX=I. -1 Ou encore [(X’X) X’+N]X=I => (X’X)-1(X’X)+NX=I => I+NX=I => NX=0. lM ®E. d) L’estimateur α doit être de variance minimale : La matrice Ωα des variances-covariances de α Ω = E (α − E (α ) )(α − E (α ) )′  α   est : α = MXA + Mε Mais. ero. = I A + Mε. = A + Mε = E (α ) + Mε ⇒ α − E (α ) = Mε. ni. ua. ′ Ω α = E (Mε )(Mε )  = E[Mεε ′M ′] = ME (εε ′)M ′ = Mσ 2 IM ′   ⇒ Ω α = σ 2 MM ′. Cette expression peut aussi s’écrire : −1. [ [( X ′X ). ][. ][( X ′X ). −1. X′+ N. −1 −1 = σ 2 ( X ′X ) X ′ + N X ′( X ′X ) + N ′ −1. ( X ′X )( X ′X )−1 + ( X ′X )−1 X ′N ′ + NX ( X ′X )−1 + NN ′]. −1. = σ 2 ( X ′X ) + N N ′ −1. ]. −1. (NX )′ + NX ( X ′X )−1 + NN ′ . puisque NX=0. tou. = σ 2 ( X ′X ) + ( X ′X ) . [. ]. Te. =σ 2. ]′. FP. [. Ω α = σ 2 ( X ′X ) X ′ + N. an. Les variances se trouvent sur la diagonale principale de Ωα. Il faut minimiser ces termes. Mais, σ2 et (X’X)-1 étant des constantes, il faut donc minimiser les éléments de la diagonale de NN’. Ces éléments qui sont des variances, sont obligatoirement positifs ou nuls.. 8. www.elmerouani.jimdo.com.

(4) Introduction à l’économétrie. S6-LEF sc. éco. & gestion.  ω11  ω11 ω12 L ω1n    ω NN ' =  M O M  12 ω  M  k 1 ω k 2 L ω kn  ω  1n.  n 2  ∑ ω1 j  j =1 ω k1    ωk 2   = M    ω kn     . L L O L. O n. ∑ω j =1. lM ®E. n. Ils sont minimums lorsqu’ils sont nuls, c'est-à-dire. ∑ω j =1. Prof. Mohamed El Merouani. 2 ij. ij.         O n  ω kj  ∑ j =1 . = 0; ∀i. Cette dernière relation est vérifiée si et seulement si ωij=0, pour tout i et pour tout j, en d’autres termes si N=0.. Conclusion : L’estimateur Â est ainsi « BLUE » .. ero. VII.-Estimateur de σ2 :. σ2 est lui-même inconnu, alors on l’estime. On peut montrer que. ua σˆ 2 =. e′ ⋅ e n−k. ni. n. 2 où e’.e est la somme des carrées des résidus, c'est-à-dire : e′ ⋅ e = ∑ ei. degré de liberté.. FP. [ ]. σ̂ L’estimateur. E σˆ 2 = σ 2 est sans biais,. .. Γ = I − X ( X ′X ) X ′ −1. avec. tou. Y ′ ΓY n−k. Te. On peut montrer aussi que :. σˆ 2 =. et (n-k) est le. i =1. Γ est une matrice carrée d’ordre n (c’est la différence de deux matrices), symétrique (Γ’=Γ) et idempotente (Γ2=Γ). Bien sur, Y’ΓY=e’.e=Σei2.. an 9. www.elmerouani.jimdo.com.

(5) Introduction à l’économétrie. S6-LEF sc. éco. & gestion. Prof. Mohamed El Merouani. VIII.-Formule de l’analyse de la variance, coefficient de détermination et coefficient de corrélation linéaire multiple empirique : 1) Formule de l’analyse de la variance : D’après les hypothèses de la régression et comme on a vu dans le chapitre précédent :. lM ®E. Variance   Variance   Variance    =   +    totale   exp liquée   résiduelle . Cette même relation, on peut l’exprimer par :. (Y ′ Y ) = (Aˆ ′X ′ Y ) + (Y ′ ΓY ). ero. 2) Coefficient de détermination R2 :. Par définition, on appelle coefficient de détermination, noté R2 le rapport : Variance exp liquée Aˆ ′X ′ Y = Variance totale Y ′Y. ua. R2 =. R2 représente la proportion de la variance de Y expliquée par l’influence linéaire des variables. On rappelle aussi que :. ni. exogènes X.. 0≤R2≤1.. FP. Il est autant proche de 1 que le « nuage de points » est plus alongé et étiré. Néanmoins, ce coefficient dépend essentiellement de l’échantillon observé, d’où l’adjectif « empirique ». En. Te. effet, R2 est une variable aléatoire puisqu’il dépend d’un échantillon aléatoire.. Ainsi, l’information fournie par R2 n’est pas primordiale pour l’étude du modèle considéré.. tou. 3) Coefficient de corrélation linéaire empirique multiple R :. La racine carrée du coefficient de détermination R2 est le coefficient de corrélation linéaire. an. multiple R. Comme on a déjà vu. -1≤R≤1.. Le coefficient R est lui-même empirique car il dépend de l’échantillon aléatoire choisi.. 10. www.elmerouani.jimdo.com.

(6) Introduction à l’économétrie. S6-LEF sc. éco. & gestion. Prof. Mohamed El Merouani. IX.- Utilisation des tests statistiques : La théorie statistique classique des tests consiste en établir une hypothèse au paravent. Le vecteur aléatoire ε suit une loi normale de moyenne nulle et de variance σ2I.. ε → N (0; σ 2 I ) Mais, nous avons vu que Â dépend linéairement de ε. En effet,. lM ®E avec E(Â)=A et. −1 Aˆ = A + ( X ′X ) X ′ε. −1 Ω Aˆ = σ 2 ( X ′X ). (. Aˆ → N A; σ 2 ( X ' X ) −1. ). . Donc. Il est possible, alors, de construire par les méthodes usuelles de l’analyse de la variance un test de signification des coefficients estimés précédemment.. ero. Les tests « classiques » sont les tests de t de Student et celui de F de Fisher-Snedecor.. ua. 1) Test de t de Student :. Il consiste en tester si ai =0 (un seul parmi i=1,2,…,k). ni. On calcul l’indicateur (ou la statistique) :. aˆ i − ai. FP. t=. σ aˆ. i. −1 Ω Aˆ = σ 2 ( X ′X ). Te. où σâi est l’écart-type estimé, obtenu à partir de la matrice des variances-covariances. σ aˆ = σ vii i. où vii est l’ième terme de la diagonale de la e′ ⋅ e σˆ 2 = n−k matrice (X’X)-1 et σ est estimé par ainsi. tou an. on compare t avec tα lue dans la table de la loi de Student, pour un seuil (ou niveau de confiance) α, et n-k-1 degré de liberté. Si |t|>tα alors ce ai est différent de zéro. Si |t|<tα alors ce ai est égale à zéro.. 11. www.elmerouani.jimdo.com.

(7) Introduction à l’économétrie. S6-LEF sc. éco. & gestion. Prof. Mohamed El Merouani. 2) Test de F de Fisher-Snedecor: Il consiste en tester si a1=a2=…=ai=…=ak=0 (tous). R2 k F= (1 − R 2 ) (n − k − 1) On calcul l’indicateur (ou la statistique) :. lM ®E. Où R2 est le coefficient de détermination.. On compare la valeur de F avec une valeur Fα lue dans la table de Fisher à un seuil α et en fonction des degrés de liberté k et (n-k-1). Si F>Fα alors au moins un des coefficients ai est différent de zéro.. ero. On peut aussi utiliser le tableau de l’analyse de la variance (pour ce cas de régression linéaire multiple) :. Source de variation Régression. Somme des carrées ∑ Yˆi 2. Degré de liberté. Résidus. ∑e. n-k-1. ni. 2 i. ∑Y. 2. ∑ Yˆ. FP. MCR = MCE.  e2   MCE =  ∑ i (n − k − 1)   . n-1. i. F= On calcul. k. ua. Total. Moyenne des carrées  Yˆ 2   MCR =  ∑ i k   . i. ∑e. 2 i. 2. k. (n − k − 1). Te. Que l’on compare avec Fα lue dans la table de Fisher.. Si F>Fα, alors cela veut dire qu’il existe au moins un des ai qui est différent de zéro.. tou an 12. www.elmerouani.jimdo.com.

(8)

X &prime;X ) X &prime;&epsilon

X ′X ) X ′&epsilon