Lois du frottement pour les conduites rugueuses

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Lois du frottement pour les conduites rugueuses

C.H. Sadron

To cite this version:

II. LOIS DU FROTTEMENT

POUR

LES CONDUITES RUGUEUSES

Par CH.

_SADRON,

Chargé

de recherches au Laboratoire de

mécanique

des fluides de l’Université de

_Strasbourg.

Sommaire. 2014 Dans ce deuxième article on examine le cas des conduites rugueuses.

1° En généralisant de façon convenable la loi du frottement lisse, on établit _{par le} calcul les résultats

trouvés expérimeatalement par Nikuradse pour de faibles nombres de Reynolds de l’écoulement dans des

conduites de section circulaire.

2° Dans le cas des _grands nombres de _Reynolds on suppose que la couche laminaire secondaire a

disparu et l’on est conduit tout naturellement à définir un coefficient de frottement 03A3 caractéristique de la surface rugueuse. On réduit alors toute famille de courbes de frottement relatives à la même surface et à

des valeurs diverses de l’aspérité relative à une courbe unique. On trouve que 03A3 tend vers une valeur

constante 03A30 quand le nombre de Reynolds augmente Les diverses valeurs numériques de 03A30 tirées des coefficients de frottement _{mesurés par} Fromm et Fritsch varient _{régulièrement} en fonction de

l’équidistance relative 03BB/l des _aspérités. On _peut d’ailleurs prévoir la forme de la loi de variation. Dans la troisième partie on examine les lois du frottement rugueux sur les plaques. Les expériences

de Kempf montrent que les hypothèses admises pour les conduites sont encore valables dans ce cas. On calcule à _partir des résultats de mesure de Hansen la même valeur de _{03A30 que celle} qui avait été _déjà obtenue à partir des mesures de Fritsch sur les mêmes plaques utilisées dans une conduite de section

rectangulaire, ce _qui constitue une _importante vérification de la théorie.

Nous concluons enfin en montrant que l’on peut se servir inversement de la courbe _03A30

(03BB/l)

pour calculer à priori le coefficient de frottement d’une conduite ou d’une plaque à condition d’avoir fait un

examen _{micrométrique} de la _rugosité.

Nous

_rappellerons

tout d’abord que le fait fondamen-tal sur

_lequel

_repose toute notre

_analyse

est que la fonction à,’ définie pur

l’équation 2

de notre

_premier

article

_(voir

J.

_Phys.,

_1935,

_{6, 117)}

est la même _{que la}

paroi

de la conduite soit lisse ou _{rugueuse. La}

_figure

_7,

tirée d’un mémoire de

_{Karman-, représente}

la distri-bution des vitesses dans une conduite lisse

_(points

blancs)

et dans la même conduite dont les

_parois

ont été rendues rugueuses

(1 représente

la dimension moyenne des

_aspérités)

Ces résultats, obtenus par Nikuradse et

par Duncb, fournissent une confirmation immédiate de

ce fait sur

_leqpel,

d’autre

_part,

_{repose toute la théorie}

de Karman.

Il nous faut donc trouver les nouvelles conditions

aux limites afin d’airiver aux lois du frottement comme an l’a fai dans le

_{chapitre précédent.}

Résumons briève-ment la suite des

_opérations

effectuées dans ce dernier

cas.

De la relation fondamentale 2 on tire :

isoit,,

à la suite dune

_intégration

_{simple :}

Fig. 1.

-

Karman). La fonction

_{;f ~a}

_pour

_expressions

dans le cas des

_{plaques parallèles}

et

dans le cas dPS conduites de section droite circulaire. Comme d’autre

_part

on a :

et 1

on obtient immédiatement la loi du frottement :

Ceci

_posé

nous _{admettrons que la loi}

_quadratique

de frottement

_exprimée

par

l’équation

(9)

dans le cas

d’une

_paroi

lisse est encore vérifiée si la

_paroi

est

rugueuse. Nous poserons dans ce dernier cas : -.

où 1 est un coefficient sans dimensions. Il est de toute

évidence que n, ne

_peut

_plus

être la vitesse à la

dis-tance 0

de la

_paroi,

mais à une

distance (

de celle-ci. Si 1

_représente

la hauteur des

_aspérités

et

_’0’1

l’épais-seur de la couche laminaire

_qui

_peut

les couvrir nous

pcserons U 7. -., /40 ....,

Fiz. 8.

°

Au lieu

_{de a",}

lire : au lieu de 1 lire : (.

Nous aurons

alors,

d’après

l’équation

(20)

qui

est

toujours

valable :

d’où :

Cette

équation

ne fournit la loi du frottement rugueux

qu’autant

que l’on connaît : et

è,’l’

Il va falloir

maintc-nant nous

_reporter

aux données de

_{l’expérience.}

9. Cas où il existe encore une couche laminaire secondaire. - Examinons tout d’abord les travaux de Nikuradse,. Cet auteur étudie des conduites de

sec-tion circulaire dont il rend

_iles

_parois

_rugueuses en les recouvrant de

_grains

de sable de grosseur bien uniforme

et

_qu’il

colle avec du _{vernies. En variant la grosseur} du

_grain

il varie les

caractéristiques

de la

rugosité

et

il admet que, en _moyenne,

_{l’aspérité}

1 est

_égale

au

diamètre du

_grain.

Nous discuterons

_plus

loin la valeur de cette assertion.

Fig. 9. -

(D’après Nikuradse).

r = h

La

figure

9

_représente

les résultats de mesure. Si nous laissons de côté la

_première

courbe correspon-dant à la valeur la

_plus

élevée de

_{l’aspérité}

relative

₍₁₎

h

_{( ou -)}

et _pour

_laquelle

l’effet de la

_rugosité

se fait t

h

r

déjà sentir

en

_régime

_laminaire,

on _{constate que, pour}

1

une valeur donnée

de l,

_Ia

_rugosité

n’a d’effet

qu’au-A

tant

_qu’elle

atteint une valeur d’autant

_{plus grande}

_que l

Il

est

plus

petit.

En dessous de cette valeur la conduite

se

_comporte

absolument comme si elle était lisse. Au-dessus la courbe donnant

_Cf.

en fonction de

_Re

_part

tangentiellement

à la courbe de frottement

lisse,

pour devenir

_parallèle

à l’axe des

_B,

_{pour des valeurs}

suffi-samment élevées de ce

_paramètre.

Du _{fait que :}

1°

_Quand

_l~e

est

_petit

la conduite se

_comporte

comme

si elle était

_{lisse ;}

2° La courbe de frottement rugueux

part

tangen-tiellement à celle du frottement

_lisse,

nous concluons

qu’il

existe aussi le

_long

d’une

_paroi

_{rugueuse, pour} des valeurs assez

_petites

de une couche laminaire

secondaire

_qui

subsiste encore

_quand

l’effet de la

rugosité

commence à se faire sentir.

La

_conséquence

_logique

de cette

_hypothèse

est _que

l’équation

C) lous _employons le terme d’aspérité relative, au lieu du

terme habituel de rugosité relalive que nous estimons incorrect,

avec

(provenant

de

_{l’équation}

_(2h)

où l’on a

_posé

_~’,

et

par suite

a)

doit

représenter

non seulement la loi du frottement lisse

1

_négligeable

devant2013)

mais

h g

fi ,

encore l’ensemble des courbes de Nikuradse au voisi-nage de leur de

départ

de la courbe de frottement lisse. La vérification

_{expérimentale}

est facile.

L’équa-tion

₍₂₄₁₎

a _pour

_expression

_{numérique, d’après}

_{(22) :}

Fig. 10.

Sur la

_figure

10 on a tracé en trait

_plein

les courbes obtenues en

_remplaçant

dans

_{l’équation précédente}

l

h

par les valeurs

numériques

utilisées par

Nikuradse,

et par des

petits

cercles

_joints

_par un trait

_pointillé

les résultats des mesures. On voit _{ainsi que la}

concor-dance est excellente.

Il s’en suit donc que, au moment où l’effet de la

rugosité

commence à se faire

_sentir,

le mécanisme du

frottement est le _{même que si la}

_paroi

était lisse. Il n’en est

_plus

de même

_{quand Re}

augmente

puisque

les résultats

_{expérimentaux}

ne sont

_plus

d’accord

avec les valeurs calculées. Il est _{vraisemblable que,}

puisque

ul

augmente

en même

_temps

que il se

pro-duit derrière

_{chaque aspérité,}

_jouant

le rôle d’un

_petit

obstacle,

un

_{sillage qui,}

_pour une valeur suffisante du devient turbulent. La couche

v

laminaire secondaire doit alors

_{disparaître.}

10. Cas où la couche laminaire secondaire n’existe

_plus.

-

Nous supposerons donc que

lorsque

R.

devient très

grand )

b

est

_négligeable

devant

De

h A

plus,

comme nous _{supposons aussi que la couche}

lami-naire n’a pas conservé la même structure en même

temps qu’elle

diminuait

_{d’épaisseur,}

le coefficient!. de 2

la formule 25 n’est pas

égal

à -.

(J..

Bien que nous ne

_puissions

_pas

_prévoir

la valeur de

1 nous _pouvons

_cependant

_{dire que} ce

coefficient,

étant sans

_dimensions,

_{doit être le même pour deux}

surfaces

_{géométriquement}

semblables.

On

_{peut reprendre}

la

_{représentation déjà}

utilisée pour en tirer

_quelques

_{conséquences.}

Si donc

_chaque

aspérité joue

le rôle d’un obstacle élémentaire le frot-tement To est

égal

à la résistance à l’avancement

_{n f}

des

n

_{aspérités portées}

_{par l’unité de} surface. D’autre

_part,

on _{pourra écrire :}

où s est une surface

_dépendant

des dimensions de

l’as-périté (jouant

le rôle du maître

_couple)

et 6 un coeffi-cient de résistance à l’avancement. On a dès lors:

~ =

₍₂₆₎

Comme s _pour une surface de

_type

donné

_dépend

uni uement

de

R

Ul

en _{sera de même our 1.}

unlquemen e z ==

-

1 en sera e meme pour .

T

On

_peut

écrire :

Or,

d’après (f0’)

et

_puisque

1

_{- ~}

-.

soit

Nous arrivons donc finalement aux deux relations fondamentales de notre

_{analyse :}

où la

fonction ~

a les

_expressions

₍₂₁₎

ou

₍₂₂₎

selon le

_type

de la conduite.

Ce groupe de formule conduit à une vérification

expérimentale

de nos

_hypothèses.

En

effet,

à

_chaque

type

de _{surface rugueuse}

_correspond

une famille de courbes donnant

_Cf

en fonction de R. Ces courbes sont

données par les

équations

(27)

si l’on connaît la loi de variation de Z en fonction de

RI.

et

_{de Ri}

_{correspondant}

à un mème

_couple

de

va-leurs de

_{C f}

et de R relatifs à

un -

quelconque,

se trou-vent

_placés

sur la même

courbe.

La

famille de courbes données par

l’expérience

sera

alors

réduite

à une courbe

unique.

a)

Réduction des résultats de mesures de

Fromm

et de Fritsch. - Nous

utiliserons tout d’abord les résultats des mesures de Fromm sur des surfaces artificiellement rugueuses constituant les deux faces

larges

de conduites dont la

section,

rectangulaire,

pré-sente des

_grands

côtés de 150 mm de

_long

et des

_petits

côtés dont la

_longueur

peut

prendre

diverses valeurs

comprises

entre

_8,4

mm et 34 mm.

Pour une

_paire

de

_plaques

donnée on fait

varier h

h

en faisant varier h.

liiig. -{D’après Fromm).

La

_{figure 11}

tirée du 4lé Fromm donne un

exemple

des résultats _{obtenus par cet auteur dans le}

cas _{où la surface étudiée est constituée par}

_{une plaque}

de tôle striée selon un

quadrillage

dont la

_figure

12

-,Fig. 12.

donne une

_{reproduction photographique.}

Une section

de la

_paroi

effectuée

_{perpendiculairement}

à celle-ci ;et

lparallèlement

à

la

direction

_générale

de l’écoulement

"présente l’aspect

marqué

sur

_{la figure}

12.

L’auteur,

qui

a effectué .ne étude

_{microscopique}

d’une semblable coupe, fournit pour lla valeur

0, 954

mm _{et pour}

l’équi-distance À

_(distance

entre deux

_aspérités

_successives)

la valeur

3,58

mm.

_{L’équidistance}

relative est donc

4,19.

c0n immédiatement _q;ue, au c-ontraire de

ce

_qui

se _{passe dans les}

_expériences

de

Nikuradse,

les courbes .de frottement

_présentent

-une discontinuité

très .nette,. En de.ssous de la valeur

_{correspondante}

de .R_ on

_{me peut}

voir clairement si la conduite se

_comporte

comme si elle était lisse. Nous

_admettrons,

selon le

schéma que nous avons

_{déjà adopté, qu’au-dessus}

de cette valeur la couche laminaire secondaire a

brusque-ment

_disparu,

sans _que se

_produise

la transition obser-vée dansles courbes de Nikuradse. Nous sommes donc .dans le domaine

_{d’application}

des

_équations

27.

TABLEAU II. Dans le tableau 1 nous donnons les valeurs de

~

(llh)

calculées

_d’après

la formule

₍₂₁₎

pour les

di-verses valeurs utilisées de

_{l’aspérité}

relative. Dans le

Fig.13.

tableau II

_figurent

_g les

valeurs

calculées

de ’

et de

/z

RI.

Les résultats sont

_reportés

sur la

_figure

13

_qui

montre que la réduction s’effectue d’une manière très satisfaisante.

Sur la

_figure

14 nous avons

_reporté

l’ensemble des résultats déduits des mesures de Fromm et de Fritsch. La courbe 1 est

celle

dont nous avons donné à l’ins-tant le détail.

La courbe 2 est relative à une

_{rugosité analogue,}

mais dont les

_{caractéristique}

sont

La courbe 3 est relative à une surface striée seule-ment dans la direction

_{perpendiculaire}

à celle de

l’écoulement.

Le

_profil

est en dents de scie

_(fig.

₁₅₎

1 - 1,50 mm X--0,25 7 = 12.833

et les valeurs de

_Cf

que nous avons réduites

correspondent

à l’écoulement dans la direction de la flèche. Les valeurs de

_C~.

cor-Fig. 14.

respondant

à l’écoulement en sens contraire sont beau-coup

plus élevées ;

-, de

plus,

au lieu de diminuer

_quand

f~

_augmente,

elles

_{augmentent également.}

Il _y a

certai-nement là un fait intéressant et

_peut-être

une

_analogie

avec les

_expériences

de Nikuradse. Malheureusement les données

_numériques

_{fournies par l’auteur dans} ce cas

_particulier

sont

_trop

_{peu nombreuses pour que}

268

La courbe 4 est relative aux mesures

_queFritsch

effec-tua avec un

_appareil

_identique

à celui de

_Fromm,

mais sur des surfaces

_{irrégulièrement}

_rugueuses. Celles-ci

sont constituées par des

plaques

de verre

_dépoli

dont la

_figure

U6 montre _{la coupe.}

Fig. 16

W,Nous

sommes

_obligés

d’utiliser ici des valeurs moyennes de i et de À que nous déterminons en ira

Fig. i 1.

çant

une courbe

_tangente

à lous les creux du

_profil,

(Figure 17)

et en

_prenant

la _moyenne des distances 1

des sommets des

_aspérités

_{à cette courbe ainsi que la} moyenne des distances À entre les

_aspérités.

°

Nous avons ainsi trouvé :

/=0,SOmm X2013=1,7

mm

~

La courbe 5 est relative aux mesures de Fritsch sur

de nouvelles

plaques

de verre

_{dépoli présentent}

_le

pro-fil

_indiqué

sur la

_figure

18.

_{L’aspérité}

et

_{l’équidistance}

moyennes ont pour valeurs : 1 =

0,203

mm ~ = 2 8 mm

Fig. 18.

11 est _{manifeste que si la réduction est} excellente pour toutes les mesures de

Framm,

il n’en est pas de même pour celles de Fritsch. Il faut d’ailleurs

remar-quer que dans ce dernier cas les écarts

_{expérimentaux}

sont

_plus

élevés et l’intervalle des nombres de

_Reynolds

utilisés

_beaucoup

_plus

restreint.

b)

Réduction des résultats de mesure de Niku-radse. - Nous avons fait subir aux résultats de

Nikuradse le même traitement en utilisant

l’expres-sion 22 de la

_{fonction @}

( 1/h) .

La

_figure

1~) montre les résultats obtenus.

On voit que l’on

peut

distinguer

trois

_régions

dis-tinctes du

_graphique.

Dans la

_région

1 les

_{points expérimentaux}

corres-pondent

au frottement lisse et au frottement rugueux avec couche laminaire dont nous nous sommes

_déjà

occupés..

Dans la

_région

III ils se

_placent

sur une même droite

avec une

_{grande précision.}

Les

équations (27)

s’appli-quent

par

conséquent

et la couche laminaire a

_disparu.

Dans la

_région

Il la réduction ne s’effectue pas, les

formules

₍₂₇₎

ne sont _{pas valables : c’est la}

_région

de transition dont nous avons

_{déjà signalé}

l’existence.

c)

Le coefficient

_intrinsèque

de frottement rugueux. - Le fait bien connu _{que le coefficient de}

frottement reste constant

_lorsque

R devient suffisam-ment

_grand

a _pour

_{conséquence,}

_d’après

la forme même des

_{équations (27), que 1}

reste constant

_quand

III

est devenu assez

_grand.

Soit

_so

cette valeur

cons-tante : elle

_est,

comme £,

absolument

_{caractéristique}

de la surface et

_peut

_par

_conséquent

servir à la définir

sans

_ambiguïté.

Il sera de

_plus

inutile de

_préciser

_pour

quelle

valeur

_{de RI}

elle est

_valable,

à condition d’ad-mettre que celle-ci soit

grande.

C’est pour ces

rai-sons _que nous

_désignerons

le coefficient

~o,

dont

l’im-portance.pratique

est

_évidente,

sous le nom de coeffi-cient

_intrinsèque

de frottement _rugueux.

TABLEAU III.

Nous savons _que

_Io

_dépend

des

_{paramètres qui}

caractérisent la

_rugosité

et

_qui

sont la forme de

l’aspé-rité élémentaire et - ainsi que _nous l’avons

déjà

fait

,

remarquer - la valeur de

l’équidistance

_{relative -. L}

Dans toutes les surfaces que nous avons étudiées

précédemment,

le

_profil

de la

_{rugosité possède}

un

aspect

sensiblement

_identique

et _{par suite} nous devons

nous attendre à ce _{que le}

_paramètre

dont

_dépend

principalement

la valeur de

10

soit

Nous avons

1 dorté dans le tableau III les diverses valeurs

0

JO

que nous avons calculées et les valeurs

_{correspondantes}

de

l ~.

_(Nous

donnerons dans le

_chapitre

suivant le cal-cul Io à

_partir

des mesures de

_Hansen.)

Dans la

_figure

20

X

nous avons

_porté

en abscisses les valeurs

de 1

et en

J2

ordonnées celles de

_B/2013

Les

_{points correspondants}

V

""’0.

se

_placent

sur une courbe bien

_régulière,

ce

_qui

con-firme que - tout au moins dans les

exemples

étu-diés - les variations de la forme des

aspérités

ont

peu

d’importance

sur le frottement.

Fig. 20.

On

_peut

d’ailleurs

_{prévoir jusqu’à}

un certain

_point

l’allure de la courbe de la

_figure

20.

_{Reportons-nous}

en effet à

_{l’équation}

_{(26). Puisque n représente}

le nombre

_{d’aspérités}

_{par unité de surface} on a :

Comme s est une surface

_{proportionnelle}

au maître

couple

de l’obstacle élémentaire on a :

d’où

où a est un nombre sans dimension mais

_qui,

remar-,

quons-le,

doit

_{dépendre légèrement}

de

.

En

_première

_{approximation}

nous _{pourrons donc}

admettre que

lo

est

_{proportionnel}

à l .

C’est ce _que

l’on vérifiera

_{grossièrement}

en consultant les valeurs de

io

À

portées

dans le tableau III.

de

2:0

_X

_portées

dans le tableau III.

il s’en suit que

r;

doit avoir comme va leur limite

V o

a

= 1 1, 5,

ce

_qui

est bien vraisemblable

_d’après

_l’aspect

de la courbe de la

_figure

20.

Corrélativement il serait intéressant de savoir

com-,

ment se

_comporte

le coefficient

Yo

quand -

tend vers

1

zéro et à

_partir

de

_{quelle petite}

valeur

de

la surface

se

_comporte

comme si elle était lisse. On serait ainsi

conduit à une définition absolue de la

rugosité

tolérable

(ou nuisible)

dont Karman a donné seulement une

valeur relative.

Fig. 21.

On remarquera que dans le tableau III ne

_figure

_pas

la valeur de

10

tirée des mesures de

Nikuradse.

Nous

ignorons

en effet la valeur

de -

car les

_grains

de sable sont loin d’être

_{régulièrement disposés.}

comme

l’in-dique

la

_{reproduction microphotographique}

de la

sur-face donnée par l’auteur

(fig. 21).

Certains d’entre

eux se chevauchent et si nous accordons

_quelque

vrai-semblance à l’affirmation que

l’aspérité

élémentaire est

_égale

au diamètre du

_grain

de sable c’est

qu’elle

conduit à un calcul correct du

_point

de

_départ

des courbes de frottement rugueux.

Enfin une vérification fondamentale

s’impose :

on

doit en effet calculer la même valeur du coefficient

intrinsèque

d’une _{surface rugueuse que celle-ci}

cons-titue la

_paroi

d’une conduite de section

_{rectangulaire,}

circulaire,

ou d’une

_plaque

isolée. Nous n’avons mal-heureusement pas trou vé

_d’exemple

où la même

_paroi

ait été utilisée dans les deux

_types

de conduites. Il faut nous

_reporter,

_{pour obtenir la}

_{vérification,}

aux

travaux effectués sur les

_plaques

_rugueuses.

III. Lois du

frottement

pour les

plaques

rugueuses.

Nous nous

_placerons

tout de suite dans le cas où

l’on

_peut

i

_égliger

la couche

laminaire,

de

façon à

pouvoir

où ul

représente

la vitesse au sommet d’une

_aspérité.

Cette

_équation

_fournit,

en divisant les deux membres

où

_~‘~

_représente

bien entendu le coefficient local de frottement à la distance x du bord

d’attaque

de la

plaque.

En donnant à K la valeur

_0,40

et en

_passant

aux

logarithmes vulgaires

on obtient la formule

numé-rique :

qui

fournit la loi du frottement

Nous pouvons encore la mettre sous une autre

forme. En nous

_reportant

à

_{l’équation}

18 : -.

0==

O,38xV Cf’

_{(Cf’ coefficient}

local de frottement

_lisse)

on a :

Plaçons-nous

dans le domaine des valeurs élevées de

_Ri

c’est-à-dire de

_Rx,

de

_façon

_{que 1 atteigne}

sa

valeur constante

~o.

Nous aurons alors :

Cette

_équation

montre que, en toute

_rigueur,

on

n’ob-servera _{pas, dans le} cas des

_plaques

lisses,

que

_{G f}

est

indépendant

de

_Hx

_{même pour de}

_grandes

valeurs de

ce

_paramètre.

Cependant

le terme variable entre _par

_{l’expression}

long -

y C’f.

D’autre

_part

_{lorsque R,}

est

_grand

_{C’ f}

varie peu, il s’en suit donc que,

approximativement,

on doit observer la constance

_{de Cf}

pour

Rx

très

_grand.

Il est facile de voir

_quel

est l’ordre de

_grandeur

de

l’approximation.

Prenons

_l’exemple

_numérique

sui-vant,

tiré des travaux de

_Kempf.

Comme d’autre

_part

est de l’ordre de 10 la

varia-y c /

tion relative est de l’ordre de

_0,3

_pour 100, c’est-à-dire

plus

de 10 fois

_plus

_{faible que les} erreurs

expérimen-tales.

a)

Expériences

de

_{Kempf. -}

_Kempf

a mesuré

directement la valeur du coefficient de frottement

local,

en mesurant la force

qui s’exerçait

sur un

_petit

élément mobile

_découpé

dans la surface frottante. Cette dernière avait des

_proportions

considérables : c’était la

_paroi

d’un

_ponton

_long

de

_plus

de soixante-dix-huit mètres. La

_rugosité

était obtenue en collant sur la

_paroi

des

_grains

de sable dont le diamètre

moyen était de

1,~~

mm.

Fig. 22.

On a

_reproduit

sur la

_figure

22 les résultats de l’auteur. _{Nous n’avons pas}

_figuré

les

_points

expéri-mentaux

_eux-mêmes,

car les écarts accidentels sont

considérables

_(parfois

_{de l’ordre de 10 pour}

_100),

la

figure

serait

_trop

confuse.

On voit que, pour chacune des valeurs de ,x

uti-lisées,

la courbe donnant

_Cf

en fonction de

_7~

tend à devenir horizontale

_quand

_Rx

a atteint une valeur assez

_grande.

On

_{peut calculer,}

à l’aide de

l’équa-tion

₍₂₉₎

ou des

_équations

₍₁₈₎

et

_(28),

la valeur

cor-respondante

de

TABLEAU IV.

Le tableau IV fournit les diverses valeurs numéri-ques trouvées. On voit que la réduction

s’opère

encore

d’une

façon

très satisfaisante

_puisque

les valeurs

trou-vées pour

J2

diffèrent au _{maximum de 3 pour} 100.

y

On

_pourrait

être

_tenté,

en constatant _{que la valeur}

moyenne de est voisine de

11,5

c’est-à-dire de a, de

se demander s’il

_n’y

a _{pas là}

_plus

_qu’une

coïncidence

numérique.

Il serait alors

_logique

de rechercher si l’on ne

_peut

_pas

_écrire,

comme nous l’avons fait dans le cas des

_expériences

de

Nikuradse,

d’où :

Cette loi fournirait en effet

pour J2

la valeur

11,5.

V

F.

Mais elle entraîne d’autre

_part

_{le passage continu des} courbes de frottement rugueux à celles du frottement

lisse,

ce

_qui

ne semble pas d’accord avec

_{l’expérience.}

Nous ferons de

_plus

_{remarquer que} nous ne _pouvons

accorder une

_grande

confiance à la valeur

_numérique

de

2 . Il

faudrait en

_effet,

_pour

_qu’il

en fut

autre-§Zo

ment,

que l’on soit sûr de la

grandeur

de

l’aspérité

1. Nous l’avons

_{posée égale}

au _{diamètre moyen des}

grains

de sable mais nous n’avons aucune _{preuve du}

bien-fondé de cette

_hypothèse.

La réduction des courbes s’effectuerait aussi bien si l’on

_remplaçait

1 par une

_grandeur

_{proportionnelle}

c. 1. La valeur

commune des nombres calculés serait alors

Il est clair _{que si} nous avions dans ce cas - _comme

dans celui des mesures de

Nikuradse* -

des données

numériques

sur le

_profil

de la

_rugosité,

il nous serait

possible

de tirer des conclusions

_{beaucoup plus}

pré-cises.

1b) Expériences

de Hansen. - Dans les

_expériences

précédentes

la mesure de

_Cf

offre une

_grande

sûreté

puisqu’elle

est effectuée directement. Au contraire on

manque de

précisions

sur la nature de la

_rugosité.

Inversement,

dans les

_expériences

de

_Hansen,

la

rugosité

est bien définie -

puisque

l’auteur étudie des

_plaques

_{constituées par le même} verre

_{dépoli déjà}

utilisé par Fritsch - mais le coefficient de frottement

local est déduit du frottement total sur la

_plaque,

à

partir

de calculs assez

_longs

et _que leur nature même

rend incertains. Nous essaierons

_cependant

d’utiliser

au mieux les résultats donnés.

L’auteur les résume dans le

_graphique

_que nous

reproduisons

dans la

_figure

1 23. En ordonnées

figurent

C les valeurs de

20132013

c’est-à-dire de

C21,

et en abscisses

p

Uo-

2

trois courbes obtenues

_{respectivement}

_{pour des}

vi-tesses uo

_égales

à

16,

24,

et 32 mètres-seconde dans la

°

soufflerie.

Pour calculer

Io

il faut déterminer la valeur de b

correspondant

à une valeur donnée de la distance .x au

bord

_d’attaque,

de

_façon

à

_{pouvoir appliquer}

l’équa-tion

_(~8).

Il faut en même

_temps

être _{sûr que}

_Rx

est assez

_grand

_{pour que}

_{C f}

soit

_pratiquement

constant. Nous allons donner le détail des

_opérations

dans le

cas où la surface utilisée est celle dont le

_profil

est

représenté

dans la

_figure

16. Dans ce cas 1 = 0 mm, 50

et à _-_.1 mm, 70.

Prenons

_d’abord,

pour une des vitesses utilisées

-

par

exemple

32 m. sec - _une valeur de

par

exemple

7 UUO. Si nous _{prenons v} =

_0,1~~

pour

l’air,

nous avons alors :

8 =

0,317

cm.

Nous pouvons maintenant calculer la valeur de x

cor-respondante.

Pour cela nous utiliserons les formules

suivantes

_proposées

_{par Karman :}

Connaissant

R8

l’une des

_équations

donne z et l’autre donne alors x.

Pour les valeurs

_numériques

choisies on trouve :

Le

_graphique

de la

_figure

23 fournit alors

Prenons maintenant une autre valeur de uo, par

exemple

24 m. _{s. ; pour la valeur calculée de x, il y}

correspond

et les formules

_{(30) permettent}

alors de calculer que l’ona:

soit 1 =

0,328

mm. La

_figure

23 fournît alors

Fig. 23. On trouvera de même

_qu’à

la même abscisse x

l’épais-seur de la couche limite

est,

pour uo =10

m/s,

c’est-à--3

dire pour

Rae

=

_116,960,

R

= 3 890 et

Cf _-_-

6,0.10-3.

On ne _{remarquera pas} sans

_inquiétude

_que, au

contraire de ce que montrent les travaux de

_Kempf,

la valeur de

_{C f}

décroît

_{quand R~}

diminue.

Si l’on se

_reporte

d’ailleurs aux _{résultats fournis par}

l’auteur pour les

plaques

lisses, on _{remarque que les}

courbes donnant

_Cy

en fonction de Re ne sont _pas

con-fondues selon que l’on

expérimente

avec une vitesse

ou une

_autre,

ce

_qui

montre l’existence d’une erreur.

En examinant les choses de

_{plus près,}

on trouve que pour uo = 32

_m,~sec,

les

points expérimentaux

corres-pondent

bien à la loi

_numérique

_{( i 8’)}

tirée des mesures

de

_Kempf.

Il y a donc tout lieu de croire _{que pour cette}

vitesse,

qui

est la

_plus

_élevée,

les valeurs de Hansen

sont sensiblement correctes.

Il faut alors

_corriger

de 5 pour

100~ les

résultats rela-tifs à uo = 2fi

_m/sec

et de 20 pour 100 ceux

_qui

corres-pondent

à 16

_{m f sec.}

/-Y

Pour _{la surface rugueuse} in choisie, les valeurs de

f

2 sont

_alors,

avec ces corrections :

On

_peut

alors calculer à

_partir

de

_{l’équation}

₍₂₈₎

les valeurs

_{correspondantes}

de

~

s 0

et l’on trouve :

Les mêmes

_opérations

effectuées sur les mesures

relatives à la

_rugosité

dont le

_profil

est donné dans la

figure

18 fournissent

Ces valeurs

_(voir

tableau

_IV)

coïncident d’une

façon

satisfaisante avec celles que nous avons calculées à

par-tir des mesures de Fritsch en conduites de section

rectangulaire,

et nous avons là une vérification

impor-tante de notre théorie.

Conclusions.2013Nous pouvons maintenant

reprendre

en sens _{inverse le chemin que} nous venons de

parcou-rir,

et déterminer la _{valeur du frottement rugueux à}

partir

de la courbe fondamentale donnant le coefficient

intrinsèque

de

_rugosité

en fonction de

_{l’équidistance}

relative. Pour

cela,

on _{examinera des coupes de la}

sur-face rugueuse

donnée,

faites

_{parallèlement}

à la

direc-tion

_générale

de

l’écoulement,

de

façon

à déterminer la valeur moyenne de

l’aspérité

et de

_{l’équidistance.}

On

a dès _{lors la valeur moyenne de}

_{l’équidistance}

relative,

et la courbe

fondamentale

fournit la valeur du coeffi-cient

_intrinsèque

de la surface.

Les

_équations

₍₂₇₎

_complétées

_{par les formules}

₍₂₁₎

et

₍₂₂₎

_permettent

alors de calculer la valeur de

_Cf

relative aux

_grands

nombres de

_Reynolds,

s’il

_s’agit

de conduites de sections circulaire ou

_{rectangulaire.}

S’il

_s’agit

d’une

_plaque

_rugueuse,

l’équation

(28)

com-plète

par la formule

(18)

ou les formules

₍₃₀₎

fournit la

valeur du coefficient local de frottement relatif aux

grandes

valeurs de

_Rx.

Sans même utiliser la courbe

_{fondamentale,}

les for-mules

_{précédentes}

_permettent

de calculer le coefficient de frottement d’une conduite de section circulaire ou

rectangulaire,

ou encore d’une

plaque,

à

_partir

des

mesures faites sur un seul de ces

_dispositifs.

Certes,

nous _{admettrons que} les bases

expérimen-tales de notre théorie ont besoin d’être

_{complétées,}

et

nous avons

_suggéré

nous-mêmes en différents

_endroits,

dans

_quel

sens les travaux devaient être

_poussés.

Aussi

sommes-nous bien loin de

_prétendre

avoir éclairci

défi-nitivement la difficile

_question

des frottements _{rugueux ;}

nous

_{espérons seulement,}

devant les

_premiers

résultats

obtenus,

avoir ouvert une voie

_qui

se montrera féconde.

Manuscrit reçu le 20 janvier 1935.

Bibliographie.

Se

_reporter

au

_précédent

article du même

_auteur,

Journal de

_Physique,

t.

_6,

_p.

_122,