LES PHÉNOMÈNES DE FROTTEMENT

LES PHÉNOMÈNES DE FROTTEMENT

Valérie Duchâteau Pierre Lambert Benoît Lagrange

Elisabeth Persenaire Année académique 2001 – 2002

Table des matières

1 PARTIE THÉORIQUE ... 4

1.1 INTRODUCTION... 4

1.2 LES FROTTEMENTS SECS... 5

1.3 STATIQUE DES SYSTEMES DE SOLIDES ... 7

2 APPLICATIONS PRATIQUES... 8

2.1 LA THEORIE DU COIN ... 8

2.1.1 Introduction théorique... 8

2.1.2 Le coin utilisé pour ajuster la position d’un élément... 8

2.1.3 Le coin utilisé pour bloquer un élément ... 9

2.1.4 Exercice d’introduction : Positionnement d’un bloc ... 10

2.1.5 Exercice suivant : Ajustement d’un joint ... 10

2.1.6 Exercice supplémentaire : Comment fendre le bois avec un coin ?... 10

2.2 LES DISQUES DE FRICTION... 11

2.2.1 Introduction ... 11

2.2.2 Exercice d’introduction: le ponçage... 11

2.2.3 Exercice suivant : frein à disques ... 11

2.3 LES TIGES FILETEES... 12

2.3.1 Exercice d’introduction : le serre-joint ... 13

2.3.2 Exercice suivant : le cric ... 14

2.4 COURROIES ET SANGLES FLEXIBLES... 15

2.4.1 Exercice d’introduction : cylindres en équilibre sur un axe fixe ... 16

2.4.2 Exercice supplémentaire : chariot... 16

2.5 RESISTANCE AU ROULEMENT... 17

2.5.1 Exercice d’introduction : Sphère sur un plan incliné ... 18

2.5.2 Exercice supplémentaire : condition de non-patinage ... 18

3 EXERCICES DE SYNTHESE ... 19

4 ANNEXES... 20

Table des figures

Figure 1 : Frottements secs, vue microscopique de la zone de contact ... 4

Figure 2 : Frottement visqueux, vue microscopique... 4

Figure 3 : Surfaces en contact et frottement ... 5

Figure 4 : Lois de Coulomb... 6

Figure 5 : Vue microscopique de l'interface de contact lorsque les deux surfaces sont en mouvement l'une par rapport à l'autre... 6

Figure 6 : Positionnement d’un élément... 8

Figure 7 : Fixation d’un élément ... 9

Figure 8 : Positionnement d’un bloc... 10

Figure 9 : Ajustement d’un joint... 10

Figure 10 : Coin pour fendre le bois... 10

Figure 11 : Frein à disques ... 11

Figure 12 : Tige filetée ... 12

Figure 13 : Elévation d’une charge... 13

Figure 14 : Descente de charge... 13

Figure 15 : Descente de charge... 13

Figure 16 : Serre-joint ... 13

Figure 17 : Cric... 14

Figure 18 : Diagramme d’un tambour ... 15

Figure 19 : Diagramme d’un élément de courroie en équilibre ... 15

Figure 20 : Cylindres en équilibre ... 16

Figure 21 : Guidage d’un chariot... 16

Figure 22 : Equilibre et déséquilibre de basculement... 17

Figure 23: Positionnement d’un bloc... 19

Figure 24 : Frein à bande... 19

Figure 25 : Laminoir... 19

Figure 26: Ascenseur... 19

1 PARTIE THEORIQUE

1.1 Introduction

Les phénomènes de frottement interviennent dans de nombreuses applications quotidiennes et industrielles : la marche, une roue qui roule, un tire-bouchon, une cale, un roulement à bille, une chaîne de vélo, une courroie, une vis sont autant d’exemples d’applications où l’on retrouve du frottement soit utile soit parasite. Le frottement est utile à la marche mais parasite dans le cas des roulements.

Le phénomène de frottement n’est pas un phénomène unique. En effet, il existe plusieurs sortes de frottements :

• Le frottement sec, mis en évidence par Coulomb apparaît lorsque deux surfaces physiquement distinctes sont en contact et sont enclines à glisser l’une contre l’autre. Ce frottement est dû à l’encastrement des petites irrégularités positives d’une des surfaces dans les irrégularités négatives de l’autre surface

• Le frottement visqueux apparaît lorsqu’un fluide sépare les surfaces en contact. Le frottement visqueux est généralement moins important que le frottement sec. Il est dû à la viscosité du fluide.

Figure 1 : Frottements secs, vue microscopique de la zone de contact

Figure 2 : Frottement visqueux, vue microscopique

• Le frottement interne apparaît au sein du matériau lorsque celui-ci est soumis à un cycle de contraintes.

Il ne sera pas évoqué ici, ce phénomène relevant plus de la résistance des matériaux.

Dans le cadre de ce séminaire, nous n’aborderons que les frottements secs. Nous donnerons tout d’abord une introduction sur le phénomène de frottement sec. Ensuite, nous donnerons les différentes façons d’introduire les frottements en mécanique rationnelle et finalement, nous terminerons par une série d’applications dans la vie courante et dans la vie industrielle.

1.2 Les frottements secs

Rappelons que ce frottement apparaît lorsque deux surfaces matériellement distinctes sont en contact et ont tendance à glisser l’une contre l’autre. Ce phénomène en lui-même n’est pas un phénomène unique. En effet, il est la combinaison de plusieurs effets :

• Tout d’abord, la cause la plus intuitive du frottement réside dans le fait que les surfaces de contact ne sont pas parfaites, elles présentent des crêtes et des creux de hauteur plus ou moins variable, de géométrie plus ou moins variable. Ainsi lorsque les surfaces sont mises en mouvement l’une par rapport à l’autre, les aspérités de l’une viennent se placer dans les creux de l’autre.

• Sous l’action du poids d’un des corps (dans le cas où les surfaces de contact sont horizontales mais ceci est valable à chaque fois qu’il existe une composante de l’action d’un des corps perpendiculaire aux surfaces de contact), les corps en contact se déforment légèrement et les crêtes de l’un viennent s’encastrer plus profondément dans les creux de l’autre.

• Une troisième considération réside dans le fait qu’au niveau des points de contact, les atomes des matériaux d’une des surfaces se trouvent dans le voisinage très proche des atomes de l’autre surface. Il apparaît donc une attraction atomique entre les deux surfaces au niveau des points de contact. C’est pourquoi il est faux de penser que si les deux surfaces sont parfaitement lisses (jusqu’au niveau atomique), le glissement pourra s’opérer parfaitement.

De ces considérations, nous pouvons tirer plusieurs conclusions :

Tout d’abord, les forces de frottements n’apparaissent que lorsqu’un mouvement tangentiel ou une tendance au mouvement tangentiel (par l’intermédiaire d’une force de composante tangentielle non nulle) existe. Par exemple lorsqu’une assiette repose sur une table, la réaction de la table sur l’assiette est uniquement verticale. La force de frottement horizontale n’apparaît qu’au moment où l’on essaie de faire glisser l’assiette sur la table en lui appliquant une force horizontale.

•

a) surfaces en contact sans action perpendiculaire

c) surfaces en contact avec action normale et tangentielle

b) surface en contact avec déformation : déformation de la surface de contact

mg Ri

mg Ri F

Figure 3 : Surfaces en contact et frottement

Pour diminuer le frottement, il ne faut pas nécessairement diminuer la taille des crêtes et des creux des deux surfaces. En effet si l’on diminue la taille des crêtes et des creux, on augmente les forces atomiques entre les deux surfaces et on peut obtenir l’effet inverse de l’effet recherché.

Pour diminuer les frottements, il vaut mieux diminuer la surface totale de contact des deux matériaux. On peut ainsi dans cette optique :

‰ utiliser un matériau possédant une surface très lisse avec de toute petites crêtes et creux en combinaison avec un matériau dont la surface est plutôt rugueuse avec de grosses crêtes et des creux profonds et larges

‰ utiliser des matériaux durs moins déformables de manière à éviter que le frottement augmente sous l’effet combiné de la force normale et la déformation locale du matériau.

Il existe un lien entre la force de frottement et la force normale à la surface.

Il existe un lien entre la force de frottement et le couple de matériaux utilisés.

En effet, de toutes ces considérations, Coulomb a déduit et vérifié les lois qui portent son nom. Ces lois sont expérimentales. Les expériences réalisées par Coulomb ont visé à mesurer la force de frottement en fonction de la force horizontale appliquée à un solide posé sur un plan horizontal et soumis à la pesanteur verticale. Elles ont montré que la force de frottement égalait toujours la force horizontale jusqu’à une valeur maximale de la force de frottement. Ensuite, le solide se met en mouvement et la force de frottement est constante dans une plage de vitesses pas trop élevée. Enfin, lorsque la vitesse augmente encore, la force de frottement diminue (voir figure ci-après ).

Figure 4 : Lois de Coulomb

solide sur un plan horizontal soumis à une force horizontale

bilan des forces

vue microscopique de l'interface de contact force de frottement en fonction de la force

horizontale de traction

Coulomb a établi que la force de frottement statique maximum était proportionnelle à la force normale (le poids dans ses expériences) selon un coefficient de proportionnalité dépendant du couple de matériaux utilisé et appelé coefficient de frottement statique :

F

_max

= µ

_s

N

. Étant donné que la force de frottement ne peut mettre en mouvement le solide, elle ne peut dépasser la force P. Donc la force de frottement va toujours essayer de réaliser l’équilibre dans la mesure de ses possibilités c’est-à-dire en restant toujours inférieure à la force de frottement maximale admise selon la loi de Coulomb. Donc la première loi de Coulomb s'exprime plutôt de la manière suivante :

F

_s

≤ µ

_s

N

_.

Une question se pose : pourquoi la force de frottement dynamique est-elle inférieure à la force de frottement statique maximale ? Intuitivement, on peut penser que lorsqu’il y a mouvement, les deux surfaces ne sont en contact que par l’intermédiaire des crêtes de leurs irrégularités (voir figure ci-après)

V

Figure 5 : Vue microscopique de l'interface de contact lorsque les deux surfaces sont en mouvement l'une par rapport à l'autre

De la même manière, la force de frottement va s’opposer au mouvement au maximum de ses possibilités sans toutefois arrêter le solide. C’est pourquoi, cette fois la seconde loi de Coulomb s’exprime sous la forme d’une égalité :

F

_d

= µ

_d

N

_.

Si une distinction est faite ici dans la notation entre les coefficients de frottement statique et dynamique, il arrive souvent qu’aucune distinction dans la notation ne soit faite. Le lecteur adaptera sa lecture et sa compréhension en fonction des cas.

Il existe également une approche géométrique au coefficient de frottement statique. Si on considère la réaction de liaison du support sur le solide, on constate que son support forme un angle α par rapport à la direction normale à la surface. Lorsque la force de frottement statique atteint son maximum, l’angle α atteint également son maximum φs. étant donné que la tangente de l’angle α est donné par le rapport

N

F

_s

, la tangente de l’angle maximum nous donne la valeur du coefficient de frottement statique :

s

s

µ

ϕ ) =

tan(

_.

De la même manière on peut trouver la relation géométrique nous donnant le coefficient de frottement dynamique.

1.3 Statique des systèmes de solides

Lorsqu’on cherche à résoudre un problème de statique du solide, on peut appliquer la méthode suivante (rappel du cours de mécanique rationnelle de première candidature):

1) établissement du diagramme du corps libre (= “dessin” et forces extérieures) 2) établissement des conditions d’équilibre de translation (R =0)

3) établissement des conditions d’équilibre de rotation (^{C =0}) 4) résolution des équations obtenues en 2 et 3.

Dans un problème de statique d’un système de solides, la démarche est identique, étant entendu qu’il convient de considérer qu’un système de solides est en équilibre si chacun de ses constituants (eux-mêmes des solides) sont en équilibre. On peut alors suivre la méthode rappelée ci-dessus pour chacun des solides pris isolément (en rajoutant à la liste des forces externes les forces de liaison qui agissent sur le solide en question) ou considérer les sous-ensembles du système de solides.

2 APPLICATIONS PRATIQUES

2.1 La théorie du coin

2.1.1 Introduction théorique

Le coin est un des outils les plus simples, utilisé pour bloquer un élément ou pour le déplacer de manière plus ou moins précise. Il est caractérisé par deux faces planes, non-parallèles, formant donc un angle α.

Ce coin est imbriqué entre deux pièces, qui vont exercer sur lui des réactions. Ces réactions auront, chacune, une composante normale et une composante tangentielle s’opposant au mouvement du coin. On représentera ces réactions sous la forme d’une seule force, dont la direction est inclinée d’un angle φ par rapport à la normale à la surface sur laquelle cette force s’applique. Cet angle est tel que le coefficient de frottement µs = tanφ.

La résolution d’un problème de frottement impliquant un coin peut, le plus souvent, être effectuée graphiquement. En effet, l’incertitude sur les états de surface et donc sur le coefficient de frottement entre deux surfaces est suffisamment importante pour que l’on ne se formalise pas des erreurs introduites par le manque de précision des schémas.

Voyons le principe de résolution des deux principaux problèmes : 2.1.2 Le coin utilisé pour ajuster la position d’un élément

Figure 6 : Positionnement d’un élément

Le système est scindé en deux sous-systèmes : le coin, d’une part, et l’élément M, d’autre part. On introduit dès lors une réaction de liaison R2 dans chacun des sous-systèmes. Celle s’appliquant sur le coin, due à M, est égale et opposée à celle s’appliquant sur M, due au coin. Cette liaison se fait avec frottement, ce qui justifie l’introduction d’un angle φ pour la direction de cette réaction de liaison.

R3 et mg étant déterminés, l’équilibre nous livre la valeur de R2 (ou de N2 et T2), qui représente l’effet du coin sur M, et inversement. Dès lors, en considérant le système “coin”, pour lequel R2 est connu, ainsi que R1, on trouve la valeur de P.

2.1.3 Le coin utilisé pour bloquer un élément

Pour que le coin bloque un élément, il faut que le glissement soit empêché sur l’une et/ou l’autre face du coin sans intervention d’une force extérieure P. Ceci amène aux limites décrites ci-dessous.

De plus, dans le cas d’un blocage, les deux réactions de liaison aux faces du coin doivent être colinéaires.

Si ceci peut être réalisé, étant donné l’angle α et les coefficients de frottement (ils peuvent changer suivant la face du coin), on entre dans la configuration permettant l’”auto-blocage” du système.

Figure 7 : Fixation d’un élément

2.1.4 Exercice d’introduction : Positionnement d’un bloc

Figure 8 : Positionnement d’un bloc

La position horizontale d’un bloc de 500 kg de béton est ajustée par un coin de 5°

d’ouverture, sous l’action de la force P. Le coefficient de frottement pour les deux faces du coin est de 0,3 et le coefficient de frottement entre le bloc et le sol est de 0,6.

Déterminez la valeur minimale de P permettant de mettre le bloc en mouvement.

REP : P≈2505 N

2.1.5 Exercice suivant : Ajustement d’un joint

Figure 9 : Ajustement d’un joint

On considère un joint destiné à connecter deux arbres en utilisant un coin plat de 5°

d’ouverture. Les arbres sont sous tension constante de T=900 N. On désire ajuster la position du coin de manière à faire disparaître les jours (zones noires sur le schéma). Quelle est la force P minimale à appliquer sur le coin pour réaliser cela, sachant que le coefficient de frottement entre le coin et les faces du joint est de 0,2, tandis que les frottements horizontaux sont négligeables ?

REP: P=442 N

2.1.6 Exercice supplémentaire : Comment fendre le bois avec un coin ?

Figure 10 : Coin pour fendre le bois

Déterminez l’angle α maximal que peut avoir le coin, afin qu’il ne ressorte pas de la bûche après que celle-ci ait été fendue. Le coefficient de frottement entre les fibres du bois et le coin est de tanφ.

REP : αmax=φ

2.2 Les disques de friction

2.2.1 Introduction

On rencontre le frottement entre deux surfaces circulaires sous pression dans le cas de freins à disques, d’embrayages, de ponceuses... Ici, la force de frottement, tangente au mouvement, va donner lieu à un moment de freinage. Illustrons ce problème par le calcul du couple maximum transmissible par un embrayage. C’est celui à partir duquel l’un des disques va se mettre à glisser sur l’autre.

Considérons deux surfaces plates circulaires en contact grâce à une force axiale P. Celle-ci donne lieu à une pression répartie, supposée uniforme, p. La force de frottement agissant sur un élément de surface dA est µpdA, avec dA=rdrdθ et µ est le coefficient de frottement entre les deux surfaces. Cette force de frottement s’oppose au mouvement, et est tangente au cercle de centre 0 et de rayon r. Elle donne donc lieu à un moment de freinage par rapport à l’axe de rotation, qui vaut dM=µprdA.

Le moment total s’obtient en intégrant celui-ci sur la surface de contact. On obtiendra différents résultats suivant la variation de p et µ sur l’ensemble de la surface.

2.2.2 Exercice d’introduction: le ponçage

Une ponceuse de 3 kg est actionnée par un ouvrier. Celui-ci impose un moment M et une force additionnelle de 40 N dirigée vers le bas.

En régime, le coefficient de frottement entre le disque abrasif et la surface à poncer décroît linéairement avec la distance au centre.

(µ_centre=0,8 et µ_extr=0,5). Le disque a un diamètre de 150mm. Si la pression est uniformément répartie sous le disque, quelle est la valeur de M ?

REP : M=1,996 Nm

2.2.3 Exercice suivant : frein à disques

Figure 11 : Frein à disques

Un frein à disque est représenté ci-dessus. On considère que la pression (due à l’application d’une force P derrière chacun des patins) est répartie uniformément sur tout le patin. Montrez que le moment de freinage appliqué au moyeu de la roue est indépendant de la mesure angulaire β des patins.

Quel peut être dès lors l’intérêt de recourir à des patins de plus grande ouverture angulaire?

Ce moment serait-il différent si la pression, au lieu d’être uniforme, dépendait de θ ?

REP: ^{2 2}

3 3

3 4

i o

i o

R R

R P R

M −

= µ −

2.3 Les tiges filetées

Les tiges filetées sont utilisées pour fixer des objets , pour leur transmettre de la puissance ou pour leur imprimer un mouvement. Dans chacun de ces cas, ce sont les forces de frottement qui permettent à la tige de remplir son rôle. Les filets de section carrée sont généralement plus efficaces que ceux à section triangulaire, c’est pourquoi nous nous limiterons à l’étude des tiges filetées à filets de section carrée.

Soit une tige filetée de section carrée soumise à une charge axiale W et à un moment M appliqué autour de son axe. La tige filetée est caractérisée par un pas L et un rayon moyen r. (le pas L est la valeur du déplacement de la tige le long de son axe quand on lui imprime un tour complet).

Figure 12 : Tige filetée

La force R exercée par l’écrou (le support fileté) sur une surface élémentaire du filet est située dans un plan tangeant à la tige. Elle est inclinée d’un angle φ par rapport à la normale (avec tanφ = µ, coefficent de frottement), elle même inclinée de α par rapport à la verticale (inclinaison du filet).

Une force R similaire intervient pour chaque surface élémentaire du filet en contact avec l’écrou .

Le moment de R par rapport à l’axe vertical est Rr sin ( α + φ ), et le moment total dû à toutes les forces R de la tige est ΣRr sin ( α + φ ) = r sin ( α + φ ) ΣR car r, α et φ sont constants.

Si M est le moment minimum à exercer pour tourner la tige filetée et la déplacer vers le haut, l’équilibre des moments s’écrit:

M = [r sin ( α + φ )] ΣR

D’autre part, l’équilibre des forces suivant l’axe de la tige s’écrit:

W = ΣRcos ( α + φ) = [cos ( α + φ )] ΣR De ces deux équations, on déduit:

M = W r tan ( α + φ ) (1)

L’angle α se détermine en utilisant la développée du filet de la tige sur un tour complet, on voit tout de suite que α = arctan (L/2πr). (Fig. 13)

On peut utiliser cette développée pour retrouver autrement la relation (1) (cf Fig 13)

Figure 13 : Elévation d’une charge

Sur ce schéma, le moment M exercé sur la tige pour la faire tourner équivaut à une force P qui s’exerce sur le filet, dans le plan de sa développée, et distant de r par rapport à l’axe de la tige.

Du triangle des forces appliquées au filet, on déduit immédiatement la relation (1).

Si le moment M n’est plus appliqué, la force de frottement change de direction, φ est donc compté positivement de l’autre côté de la normale au filet. La tige filetée demeure immobile si α < φ, et l’état limite (la tige filetée est sur le point de tourner toute seule) est caractérisé par α = φ.

Pour descendre la charge en tournant la tige filetée, il faut exercer un moment dans le sens opposé (Figure 14) aussi longtemps que α < φ. Dans ce cas, le triangle des forces nous donne:

M = Wr tan ( φ - α ) (2)

Si α > φ, comme représenté à la Fig 15, la tige filetée tournera toute seule, et le moment à appliquer pour l’en empêcher sera

M = Wr tan ( α - φ ) (3)

Figure 14 : Descente de charge Figure 15 : Descente de charge 2.3.1 Exercice d’introduction : le serre-joint

Figure 16 : Serre-joint

Soit le serre-joint représenté à la figure 3. La tige filetée a un filet de section carrée, un diamètre moyen de 25 mm et un pas de 5 mm. Le coefficient de frottement dans le filet est de 0,20. Lorsque l’on tire sur le levier en A avec une force de 300N, une force de serrage de 5 kN s’exerce entre les mâchoires du serre-joint.

1) Déterminer le moment de frottement MB, développé en B dans l’axe de la tige filetée, suite à la poussée de celle-ci contre le corps du serre-joint. (REP: 33.3Nm)

2) Déterminer la force Q, appliquée normalement au levier en A, nécessaire pour desserrer le serre-joint. (REP: 234N)

2.3.2 Exercice suivant : le cric

Figure 17 : Cric

Le cric représenté à la figure 17 est composé de tiges métalliques articulées et d’une tige filetée avec un filet de section carrée (diamètre moyen 10mm et pas de 3 mm). Le coefficient de frottement dans le filet est de 0,20.

Calculer le couple M à appliquer dans l’axe de la tige filetée pour soulever une charge L de 1000 kg à partir de la position dessinée sur la figure.

Calculer le couple M’ à appliquer dans l’axe de la tige filetée pour descendre la même charge à partir de la même position.

On supposera que la plateforme AB et l’axe DG restent horizontaux sous l’effet de la charge, et on négligera le frottement ailleurs que dans la tige filetée.

REP: M=35.7Nm et M’=12.15Nm

2.4 Courroies et sangles flexibles

Le glissement des câbles ou des courroies le long des tambours qui les soutiennent est d’une grande importance dans la conception, notamment de mécanismes d’entraînement par courroie ou dans la conception de freins à bande.

Figure 18 : Diagramme d’un tambour

θ d

2 θ 2 d

θ d

µdN dN dT T T+

Figure 19 : Diagramme d’un élément de courroie en équilibre On voit à la figure 18 un tambour soumis aux deux tensions T1 et T2 de la courroie, le moment M nécessaire pour éviter la rotation, ainsi que la réaction du roulement R. Lorsque M a la direction indiquée sur le dessin, T2 est plus grand que T1.

A partir du diagramme du corps libre d’un élément de courroie de longueur

rd θ

représenté à la figure 19, écrivons les équations d’équilibre suivant la tangente et la normale à l’élément de courroie :

 



 



+ +

=

+

= +

sin 2 sin 2

) (

cos 2 ) 2 (

cos

θ θ

µ θ θ

T d dT d

T dN

dT d T d dN

T

Etant donné qu’à la limite cosd2

θ

tend vers 1 et sind2

θ

tend vers 2

θ

d

, et que le produit de deux différentielles peut être négligé en regard du terme du premier ordre,

 



=

= θ µ

Td dN

dT dN

Nous obtenons ainsi l’équation différentielle du premier ordre qui régit la variation de tension en fonction de l’angle

θ µ

d T dT =

ou encore,

∫

∫ ⁼

^β

^{µ θ}

0

2

1

T d

T

dT

T

On obtient enfin

e

µβ

T T

₂

=

₁

Dans cette expression, l’angle β beta est exprimé en radian.

Etant donné que le rayon r du tambour n’intervient en aucune façon dans la détermination de l’équation ci- dessus, elle reste d’application pour des sections non-circulaires où l’angle total est β _.

Lorsque l’ensemble (poulie et courroie) est en rotation à vitesse constante modérée, la relation ci-dessus reste encore d’application.

Lorsque la vitesse de rotation augmente, des effets centrifuges ont tendance à écarter la courroie du tambour et l’utilisation de la formule ci-dessus entraîne des erreurs.

2.4.1 Exercice d’introduction : cylindres en équilibre sur un axe fixe

Figure 20 : Cylindres en équilibre

Sachant que l’on observe l’équilibre des deux cylindres de masse m et 10

m

, déterminez le coefficient de frottement µ^sminimum entre la corde et l’arbre encastré.

Les dimensions de l’arbre jouent-elles un rôle ? Le nombre d’enroulements ? m ?

REP:µ=0,244

2.4.2 Exercice supplémentaire : chariot

Figure 21 : Guidage d’un chariot

Le chariot mobile ci-dessous consiste en un châssis sur lequel sont fixés trois cylindres et six petites roulettes de guidage, la masse de l’ensemble faisant 20 kg. On demande de déterminer la masse minimale m pour que le chariot soit en équilibre dans n’importe quelle position permise par son guidage vertical.

Le coefficient de fottement entre le câble (léger) et les cylindres est 0.3.

REP: m=9,79 kg

2.5 Résistance au roulement

g m T

N

α

g m T

N

α

g T m

N

α

a) Non basculement b) Cas limite c) Basculement

g m T

N

α P

x

y mg

T

N

α a P

d) Contact ponctuel e) Surface de contact: couple de frottement Figure 22 : Equilibre et déséquilibre de basculement

L’équilibre d’un corps solide indéformable placé sur un plan incliné est assuré si les équations d’équilibre sont satisfaites:







=

=

(2) 0

(1) 0 C R

Si l’équation (1) est vérifiée, le corps est en équilibre de translation.

Si l’équation (2) est vérifiée, il est en équilibre de rotation, ce qui signifie qu’il ne bascule pas.

La condition de non basculement s’exprime également à l’aide de la notion de polygone d’appui: si la projection verticale du centre de masse se trouve à l’intérieur du polygone d’appui, le corps ne bascule pas (règle illustrée à la fig. 22a). Si elle se trouve à l’extérieur, le corps bascule (fig. 22c)

Dans le cas d’une sphère indéformable posée sur un plan indéformable lui aussi, le contact est ponctuel et le polygone d’appui est réduit à un point. Dès que le plan s’incline, la projection du centre de masse ne se trouve plus à l’intérieur du polygone d’appui: la sphère “bascule” et se met à rouler (fig. 22 d). L’équation d’équilibre de la sphère n’est plus satisfaite et il apparaît un couple Γqui provoque la rotation de la sphère.







= Γ

=

=

α α

α sin sin

cos mgR mg T

mg N

(ig. 22d)

Dans la réalité, le contact n’est jamais ponctuel, il s’effectue toujours sur une certaine surface. Dans le cas d’une sphère réelle déposée sur un plan réel, cette surface de contact est un disque. La réaction du support se répartit sur l’ensemble de ce disque de contact et la résultante de tous les efforts normaux exercés par le plan sur la sphère se trouve décalée d’une distance a par rapport au support du poids. Dès lors, on voit que le moment total par rapport à P est réduit:

Na mgR −

=

Γ sinα

a est une longueur appelée coefficient de frottement de roulement statique, et ne dépend que de la nature des matériaux en contact.

2.5.1 Exercice d’introduction : Sphère sur un plan incliné

Une sphère de rayon R = 0.30m est placé sur un support plan horizontal. Sachant que le coefficient de frottement statique vaut 0.2 et que le coefficient de roulement statique vaut 0.02 cm, calculer la pente maximale que l’on peut donner au support plan avant que la sphère ne se mette à rouler.

REP: ^{tan =} R^=0.038° α a

(comme α^{lim/glissement} >α^{lim/roulement}, la sphère se met à rouler avant de glisser)

2.5.2 Exercice supplémentaire : condition de non-patinage

Etudions le patinage d’une roue motrice d’une voiture lors du démarrage. Soit un disque de rayon R, supportant une masse M en plus de son poids propre m. Le frottement statique entre le caoutchouc et le bitume est caractérisé par µs, et le coefficient de frottement de roulement statique est caractérisé par la longueur a.

Quel est le plus grand couple moteur que l’on puisse appliquer à la roue lors du démarrage dans une côte de α avant qu’elle ne se mette à patiner?

REP: Γ_lim =a(M +m)gcosα+R(M +m)gsinα

3 EXERCICES DE SYNTHESE

Figure 23: Positionnement d’un bloc

Dans la figure ci-contre, la position verticale du bloc de 100 kg peut être ajustée en déplaçant le coin à l’aide d’une tige filetée.

La tige filetée, dont le filet a une section carrée, a un diamètre moyen de 30 mm et un pas de 10 mm.

Le coefficient de frottement dans la tige filetée est de 0,25, et les coefficients de frottement de toutes les surfaces en contact (bloc et “guide”, coin et bloc, coin et support) est de 0,40. On néglige le frottement dans la bille A.

Calculer le moment M à appliquer à la poignée de la tige filetée pour soulever le bloc.

Figure 24 : Frein à bande

Dans le but de dimensionner le frein à bande ci-contre, on demande de trouver la valeur du couple M requise pour vaincre le frottement du frein et faire tourner le tuyau cylindrique dans son guide en V.

Une force P=100N est appliquée au levier, qui pivote autour de O.

Le coefficient de frottement entre la sangle et le tuyau vaut 0.3 et celui entre la sangle et le châssis vaut 0.4.

Les poids sont négligeables.

Figure 25 : Laminoir

Les éléments d’un laminoir sont représentés ci-contre. Dans le but de déterminer l’espace a entre les cylindres, déterminez l’épaisseur maximale b du lingot pour qu’il entre dans les rouleaux par la seule force de frottement.

On suppose que (b-a) est petit devant d et que le coefficient de frottement dynamique vaut µ^k .

Voir aussi à ce sujet le cours de Technologies.

Figure 26: Ascenseur

Un container de 10Mg est transporté dans un sous-sol grâce à un ascenseur à deux tiges filetées. Chaque tige filetée, à filet de section carrée, a un diamètre moyen de 120 mm, un pas de 11 mm et un poids de 0,9Mg. Les tiges sont actionnées de manière synchronisée par un seul moteur. Le poids total du container, des tiges, et de la plate-forme de l’ascenseur (3Mg) est supporté par les deux écrous en A. Ceux-ci ont un diamètre exterieur de 250 mm et un diamètre intérieur de 125 mm. La pression subie par ces écrous est supposée uniforme sur toute la surface de contact.

Le coefficient de frottement entre un écrou et une tige filetée en B étant de 0,15, calculez le moment M à appliquer à chaque tige pour (a) lever la plate-forme et

(b) descendre la plate-forme.

4 ANNEXES

Matériaux µ_s Source

Métal sur métal 0.15 – 0.20 (1)

Métal sur bois 0.20 – 0.60 (1)

Bois sur bois 0.25 – 0.50 (1)

Caoutchouc sur béton 0.50 – 0.90 (1)

Acier sur acier (sec) 0.60 (2)

Acier sur acier (graissé) 0.10 (2)

Acier sur téflon 0.04 (2)

Acier sur babbitt (sec) (*) 0.40 (2)

Acier sur Babbitt (graissé) 0.10 (2)

Acier sur laiton (sec) 0.50 (2)

Pneus en caoutchouc sur un

pavé lisse (sec) 0.90 (2)

Elingue métallique sur une

poulie en fer (sec) 0.20 (2)

(1) Mechanical Engeneer’s Handbook

(2) J.L.Meriam & L.G.Fraige, Engineering Mechanics: Statics, 4^th Edition (SI), Wiley Edition (*) Le dictionaire Routledge parle à propos de Babbitt d’un alliage antifriction