Conductivité dûe à une bande d'impuretés dans le silicium

HAL Id: jpa-00207040

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Submitted on 1 Jan 1971

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Conductivité dûe à une bande d’impuretés dans le silicium

J.F. Roux, R. Schuttler

To cite this version:

J.F. Roux, R. Schuttler. Conductivité dûe à une bande d’impuretés dans le silicium. Journal de

Physique, 1971, 32 (2-3), pp.177-183. �10.1051/jphys:01971003202-3017700�. �jpa-00207040�

CONDUCTIVITÉ DUE A UNE BANDE D’IMPURETÉS ^{DANS LE SILICIUM}

par J. F. ROUX

(*)

^{et R. SCHUTTLER}

(~) (Reçu

^{le 21}

septembre 1970)

Résumé. ²⁰¹⁴ Nous proposons

l’interprétation

^{de mesures} de conductivité et d’effet Hall sur du Silicium N fortement

dopé

^en

phosphore

^et

compensé

^à

l’aluminium,

à l’aide d’un modèle de conduction _par deux bandes. Dans le domaine de concentration étudié

(1018

^{à 1019}

impuretés

par centimètre

cube),

il existe une véritable bande

d’impuretés

^non localisées. Des modèles théo-

riques

connus, ^nous retenons comme

paramètres susceptibles

^d’être

comparés

^à

l’expérience,

une

pseudo-densité

^de porteurs ^ainsi

qu’une pseudo-mobilité

dans la bande

d’impuretés.

^Une

méthode

numérique d’ajustement

par moindres carrés des écarts entre les valeurs

expérimentales

et

théoriques,

^nous permet d’atteindre ^la valeur de ces

paramètres

^et leur variation avec les concen-

trations en donneurs et en accepteurs. ^{Ce modèle}

simple

^{donne un} bon accord entre

expérience

et théorie.

Abstract. ²⁰¹⁴ In this paper it is shown that

conductivity

and Hall effects measurements in

heavily phosphorus doped

^{and Al}

compensated

ⁿ type ^{silicon can be}

explained by introducing

^{a second}

energy band in addition to the conduction band. In this model more than 1018

impurities/cm3

create a true

impurity

^{band whose states have}

only pseudo

^{momentum. From} theoretical

models,

we extract, ^as

experimentally

^sensible

quantity,

^the

pseudo mobility

of carriers. An elaborated

non linear least _squares

fitting

is used for

unfolding

your

expérimental

data. This

sample

^model

gives

^a

good

agreement ^between

experiment

^and

theory.

Classification

physics

^Abstracts

17.27

1. Introduction. ^- La conduction

électrique

^dans

le silicium fortement

dopé (plus

^de

¹⁰¹⁸ impuretés

par centimètre

cube)

^est

profondement

^influencée

à basse

température

par ^un

phénomène appelé

^{« bande}

d’impuretés ».

Si nous nous intéressons au cas d’un

dopage impor- tant,

^{sans toutefois}

qu’il

entraîne la

dégénérescence

de la distribution des

porteurs

^{de la} bande de conduc-

tion,

^{on constate}

expérimentalement

^{un maximum}

dans la constante de Hall.

Les autres

conséquences

^{sont :}

- une diminution de

l’énergie

d’ionisation des

impuretés,

- une diminution

importante

des mobilités

(sen-

sible dès la

température ambiante).

Les études

théoriques entreprises

^{dans ce domaine}

de concentrations

[1], [2]

^montrent

qu’il

y ^a

élargisse-

ment du niveau donneur et formation de ^« _queues de densité d’état » au-dessous de la bande de conduction.

L’expression analytique

^{de ces} densités d’état est

encore

imprécise

^et difficilement utilisable : la distri- bution au hasard des

impuretés

^{interdit de décrire}

leurs états

électroniques

^{en termes de fonctions de}

Bloch. La

quantité

^{de mouvement} d’un électron n’est pas ^un invariant mais une valeur

approchée peut

^{être définie. Ceci}

distingue

^ce

phénomène

^{de la}

conduction _par ^« saut » d’un électron lié à une

impu-

(*) Institut Universitaire de Technologie, ^Toulouse.

(t)

Institut National des Sciences Appliquées, Toulouse.

reté sur une

impureté

^ionisée

(« hopping »).

^{Ce dernier}

phénomène

^décrit par Abrahams et Miller

[3]

^est

afférent aux faibles concentrations

(par exemple

^moins

de

1015 impuretés

par centimètre

cube).

^{Ce mécanisme}

de conduction n’est décelable

qu’à

^{très basse}

tempé-

rature

(quelques degrés Kelvin) : lorsque

^{la contri-}

bution de la bande de conduction devient du même ordre de

grandeur

^ou inférieure à celle due au «

hop- ping ».

Pour des concentrations

supérieures,

^{le recouvre-}

ment des

.fonctions

^d’onde d’électrons liés à des centres donneurs est suffisamment

important

^pour

former une véritable ^« bande

d’impuretés »

^non

localisées. Ce

phénomène apparaît

^{à d’autant}

plus

haute

température

que le

dopage,

^{donc le recouvre-}

ment des orbitales est

important.

^La

présence

^des

centres

accepteurs augmente

^encore l’accessibilité de

ce

phénomène

^{à la mesure, en réduisant le nombre de}

porteurs

libres dans la bande de conduction. C’est

ce

qui

^{nous a}

permis

de limiter nos mesures à 60 "K.

Nous

présentons

^une

interprétation

^{de nos résultats}

expérimentaux

^{de mesures} de résistivité et d’effet Hall.

Dans ce domaine de

température

^{et de concentra-}

tion,

^{les courbes}

log RH

⁼

F(IIT)

^{- où}

RH

^{est la}

constante de Hall ^{- ne}

présentent

pas de

parties rectilignes

comme, par

exemple,

^les

régions

^d’ioni-

sation ou

d’épuisement.

^{On ne}

peut

^{donc sur nos}

échantillons,

^{obtenir les} concentrations en

dopants ND

^et

NA

^et

l’énergie

d’ionisation des

impuretés donnatrices E;

^{en mesurant la}

pente

^{de ces oourbes.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01971003202-3017700

178

Nous avons traité le

problème

^{de la}

façon

suivante : On _compare les valeurs mesurées de

RH

^et PH

(mobilité

de

Hall),

^aux différentes

températures

^{avec les valeurs}

calculées

d’après

^{un certain modèle. On minimise la}

fonction somme des carrés des écarts.

Cette méthode _pour être

acceptable

nécessite de choisir le mieux

possible,

^{le modèle}

physique

^de

conduction. Nous avons dû _pour

cela,

^introduire l’effet d’une deuxième bande

(bande d’impuretés),

et donner une formule rendant

compte

^{de sa contri-} bution à la conduction.

De

plus,

^un calcul d’erreur nous a

permis

^{de tester}

différents modèles

physiques,

^la

règle adoptée

^était

la suivante : nous dirons

qu’un

modèle à n + 1 _para- mètres est meilleur

qu’un

modèle à n

paramètres

^s’il

conduit à des incertitudes inférieures ^sur les n

premiers paramètres.

II. Méthode

expérimentale

^et résultats. ^- Nos échantillons

proviennent

^de

lingots

^fournis par la S. I. L. E. C.

(*).

^{Ils ont} été obtenus par

tirage

^à

partir

^{de bains contenant en}

quantité déterminée,

^les

impuretés

donnatrices et

acceptrices

^désirées

(phos- phore majoritaire

^et

aluminium).

Ils sont

découpés

^{à la forme}

classique

^{pour des}

mesures d’effet Hall à l’aide d’une machine à ultra-

son. Les soudures sont faites à

l’étain-plomb, après sablage

^et

nickelage

^« electroless »

[4].

Ainsi réalisés les contacts sont

ohmiques

^{et résistent en}

général

^bien

à

plusieurs cycles

^de

température.

FIG. 1. ^- Constante de Hall.

(*) S. I. L. E. C., 32, ^{av. de la} République, 94, Villejuif.

Nous utilisons un

cryostat qui permet

de descendre

jusqu’au point triple

de l’azote

(63 °K).

^Le

champ magnétique

^{est fourni par un} électro-aimant

qui permet

d’obtenir 15

kilogauss,

valeur suffisante _pour les mesures, mais assurant un

angle

^{de Hall 0 tel} que

tg 0 «

^1.

Pour des relevés à

température variable,

^{nous avons}

automatisé la mesure en commandant à

partir

^d’un

sélecteur

téléphonique :

- les

opérations

d’inversion du

champ magnétique,

- l’inversion du courant dans

l’échantillon,

- les différentes commutations des tensions ^au

cours d’un

cycle

^{de mesure}

(relais

^{à contacts mouillés}

au

mercure).

La chaîne de mesure se

complète d’amplificateurs

différentiels et d’un voltmètre

numérique

suivi d’un

système imprimant [5].

Les

figures

^{1 et 2 montrent les résultats obtenus}

pour la ^constante de Hall

log RH

⁼

f (IIT)

^{et la mobi-}

lité de Hall

log

PH ⁼

f (log T).

FiG. 2. ^- Mobilité de Hall.

III.

Interprétation

^{des mesures. -}

A)

^MODÈLES

PHYSIQUES UTILISÉS. ^-

L’interprétation

^{des mesures}

de résistivité et d’effet

Hall,

^{nécessite la} connaissance du nombre de

porteurs

^{et des} mécanismes de diffu- sion

responsables

^{de leur mobilité.}

Tous nos calculs sont effectués dans le cas des forts

dopages.

1. Modèle à ^une bande. ^-

a)

^{nombre de}

porteurs :

Nous le calculons à

partir

de l’ionisation des deux niveaux les

plus profonds

^du

spectre

^{des états}

complets

du

phosphore

dans le silicium

[6].

^En

effet,

^Bonch

Bruevitch

[7]

^montre que l’effet de

l’écrantage (impor-

tant à fort

dopage)

^{est de} ne conserver que les états les

plus

liés. Cet auteur montre que l’écart entre les niveaux

profonds

^est conservé. Nous introduisons donc un

paramètre AEi

diminution de

l’énergie

^d’io-

nisation,

pour tenir

compte

^{de cet effet.}

Cette variation de

l’énergie

d’ionisation _pour les forts

dopages

^{a été}

expérimentalement

^constatée par de nombreux auteurs

[8], [9].

Le calcul du niveau de Fermi est fait dans

l’appro-

ximation de

Ehrenberg [10],

^{valable au}

voisinage

^de

la

dégénérescence

du matériau.

Le nombre de

porteurs n

^est finalement obtenu par

l’équation

^{du second}

degré :

avec :

b)

^{Mobilité des} porteurs de la bande de conduction :

nous avons retenu les trois modes de diffusion _par le

réseau,

^les

impuretés ionisées,

^les

impuretés

^{neutres :}

-

Diffusion

par le Réseau.

Nous avons considéré la contribution

globale

^au

temps

de relaxation de la diffusion des

phonons acoustiques

^et

optiques d’après

les résultats de D.

Long

[11].

L’indice i

correspond

^à

chaque phonon

^intervallé

de

température caractéristique Ti.

W; représente

^le

couplage

^{des électrons avec les}

phonons optiques.

WA représente

^le

couplage

^{des électrons avec les}

phonons acoustiques

purs.

D.

Long

montre que l’on

peut

considérer deux

phonons ;

^un

phonon optique

^{vrai de}

température caractéristique

un

phonon

intervallé de

température caractéristique

To

^{est une}

température

de référence où la mobilité due aux

phonons acoustiques

^{purs a été} déterminée.

On a utilisé une variation de la mobilité due aux

phonons acoustiques

purs de la forme :

On a

ajusté f.l; (30 OK)

^de

façon

que la mobilité de Hall due aux

phonons,

^soit

égale

^{à 1 900}

cm2/V. s

^à

300 oK

d’après

^{les travaux de Morin et Maita}

[12],

sur du Silicium très _pur.

- Impuretés

^ionisées.

Nous utilisons les formules

classiques

^{de Brooks}

[13]

avec :

mT, mL : ^masses effectives

transversales, longitudinales

K : Cte

diélectrique

^du

^silicium,

NI :

nombre total

d’impuretés ionisées,

Ce dernier terme

peut

^{s’écrire en tenant}

compte

^de la neutralité

électrique :

où les

signes

^{+ et 0}

signifient

^{ionisées et neutres.}

Il est intéressant de remarquer que le ^terme

supplé-

mentaire

Nô ND /D qui figure

^dans la formule donnée

180

sans

justification,

par

Brooks,

^est

identique

^à

l’expres-

sion que ^nous donnerons de la ^«

pseudo-densité »

de

porteurs

dans la bande

d’impuretés.

Plus récemment

Grigor’ev

^{et al.}

^[14]

^{en étudiant}

l’équilibre

^d’un

niveau

accepteur

^en

présence

^d’un

champ électrique,

ont redémontré la formule de Brooks.

Un calcul

plus

^exact

peut

^{être fait}

[15]

^{à condition}

de connaître

uniquement

^la densité d’état dans la bande

d’impuretés.

- Impuretés

^neutres.

Il est usuel d’utiliser une formule due à

Erginsoy [16] qui s’inspire

^{de travaux de}

Massey

^{et Moisse-}

witch

[17]

^sur les collisions électron-atome

d’hydro- gène.

Comme nous l’avons montré

[5],

^on

peut

^utiliser les résultats de

Massey

^et Moissewitch dans un domaine

d’énergie plus important

que celui de validité de la formule

d’Erginsoy (kaô 0.5).

Nous avons

suggéré l’approximation :

avec :

Q :

^section différentielle de

collision,

aô :

rayon de l’orbite de Bohr

effectif,

k : vecteur d’onde de

l’électron incident,

c’est-à-dire la formule

d’Erginsoy, puis :

Plus

récemment, Blagosklonskaya

^{et al.}

[18]

^ont

fait une extension similaire mais utilisant des résultats

plus

^{récents sur} les sections efficaces de diffusion électron-atome

d’hydrogène.

Ce

qui

^{donne :}

avec

Nn :

^nombre

d’impuretés neutres,

WB :

énergie

^de

Rydberg

^effective.

-

Composition

^{des trois} mécanismes :

En considérant les trois modes de diffusion comme

indépendants

^{les uns} des autres, ^nous obtenons _pour le

temps

de relaxation

global

Ce

qui

permet de calculer ainsi les valeurs

classiques

dans le modèle à une bande

(noté

¹

B).

Mobilité de conductivité :

Mobilité de Hall :

Constante de Hall :

avec

les valeurs notées a > ^sont des _moyennes de la forme

qui

^{sont calculées} par

quadrature

^{de Gauss}

Laguerre

2. Modèle à deux bandes. ^- Au-dessus d’une concen-

tration

critique [19],

^il

peut

exister des états électro-

niques

^{non localisés sur une}

impureté précise,

^c’est

la bande

d’impuretés.

^{Une mesure}

expérimentale

^de

cette concentration

critique

^a été faite par Jérôme

[20].

Pour le

phosphore

^{dans du silicium non}

compensé,

elle

correspond

^à

2,5

^x

1018 impuretés/cm3.

^Cette

valeur est inférieure d’un facteur

3,

^à la concentration

critique

^de

dégénérescence.

^Sous l’effet de la _compen- sation cet écart

augmente.

Etant donné la distribution au hasard des

impuretés

dans le

cristal,

^{les états}

électroniques

^{liés aux}

impuretés

ne sont pas des états de Bloch. Une étude de la structure de bande des milieux désordonnés faite par Bonch Bruevitch

[21] ]

^montre que la conductivité « locale » est fonction de la densité d’état « locale ». Par

locale,

on entend une moyenne ^sur des distances

supérieures

à la distance entre

impuretés.

Pour le calcul de la mobilité de

conductivité, ayant

remarqué

que le _rayon d’écran était

comparable

^{à la}

distance _moyenne entre centres

donneurs,

^{le recou-}

vrement entre deux fonctions d’onde locales sur deux centres voisins est suffisamment faible _pour utiliser

l’approximation

des liaisons fortes.

Dans cette

approximation,

^{un calcul a} été fait par Matsubara et al.

[22].

De leur résultat nous retiendrons que l’ordre de

grandeur

de la conductivité

peut

^{s’écrire :}

0’1

proportionnel

^à

NDO N +

Dans le but de _comparer nos résultats avec les modèles

théoriques,

^nous posons :

plutôt

que de

prendre

no

= ND (modèle

^{à un}

électron)

nous avons

pris

c’est-à-dire le terme

supplémentaire

^{de la}

pseudo-den-

sité n de la formule de Brooks

[13].

Fukuyama

^{et al.}

[23]

^ont calculé le facteur de Hall

f

⁼

m,H/mC

^facteur

qui

^{tend vers 2 dans le cas}

qui

^est intentionnellement le nôtre : concentration

supérieure

^à la concentration

critique

^mentionnée

auparavant,

^{mais assurant une} conduction non

métallique.

^{Ceci est}

possible grâce

^{à la}

compensation.

En combinant les contributions des deux bandes :

B)

DÉPOUILLEMENT DES RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX.

- Les

grandeurs

accessibles à

l’expérience

telles que

RH

et PH sont calculables dans ces deux modèles en

fonction des

paramètres.

ND

^nombre

d’impuretés donnatrices, NA

^nombre

d’impuretés acceptrices,

,àEi

^réduction

d’énergie

d’ionisation due à l’écran-

tage,

y* pseudo-mobilité

^{dans la bande}

d’impureté.

Nous avons

ajusté

les valeurs

théoriques

^aux

valeurs

expérimentales,

^{par une} méthode de moindres carrés. Les variations de

RH

^{et de} PH sont très loin d’être linéaires. Nous avons donc choisi la méthode de minimisation de Fletcher et Powell

[24]

^{où la}

FIG. 3. ^r-- Constante de Hall.

direction

d’ajustement

n’est pas la

ligne

^de

plus grande

pente,

^{mais est}

corrigée

d’une itération sur

l’autre,

par le calcul d’une matrice

qui

^{tend vers l’inverse}

de la matrice des dérivées secondes évaluée au

point

minimum.

Les

figures

^{3 et 4 montrent} le résultat de

l’ajuste-

ment dans les deux modèles

physiques :

++±,+ 2C2 : modèle à 2 bandes

(ajustement

^des

4

paramètres ND, NA, AEi, M*).

- - - - 1C2 : modèle à 1 bande pour les mêmes valeurs de ^ces

paramètres (sauf

évidemment

,u *

⁼

0).

ICI : modèle à 1 bande

(ajustement

^{des 3}

paramètres ND, NA, AEi).

FIG. 4. ^- Mobilité de Hall.

On voit _que seul le modèle à 2 bandes

permet

d’obtenir :

- un maximum _pour la constante de Hall

RH,

- une variation aussi

rapide

^de y, ^avec la

tempé-

rature.

Notre étude a

porté

^sur

plusieurs

échantillons _pro- venant du même

tirage.

^{On a} pu ainsi déterminer les

profils

^{de nos}

paramètres

^le

long

^{de ce}

lingot, figures

⁵

et 6.

On

peut

noter que :

1. Le coefficient de

ségrégation

^{obtenu à}

partir

du

rapport

^entre les concentrations ^en

dopant

^{dans le}

bain et en début de

tirage,

^{est en} bon accord avec la valeur connue

[25].

Cependant,

^les

gradients

^de concentrations le

long

du

lingot,

^sont

trop importants

pour ^{rester en} accord

avec ce coefficient de

ségrégation.

182

FIG. 5. ^- Profil de concentration en dopant.

- ND --- NA

2. Les réductions

d’énergie

d’ionisation

Api

que

nous obtenons _{par cette}

méthode,

^{sont moins}

impor-

tantes que celles fournies _par d’autres auteurs

[8].

En

général

^{ces auteurs se}

placent

^{dans un modèle}

classique

^{à une} seule bande et calculent

quelle

^nouvelle

valeur

de Ei

attribuerait tous les

porteurs

^{mesurés à}

cette seule bande de conduction.

Or,

le domaine de concentration où ils notent une

variation

de E;

^{avec le}

dopage,

semble être

justement

celui où il _y a début de formation d’une bande d’im-

puretés.

^En

effet,

^{cette réduction}

apparente

^de

l’énergie

d’ionisation ne fait _que traduire

l’élargissement

^du

niveau donneur et

l’apparition

^de queues de densité d’état dans le bas de la bande de conduction.

A titre

d’exemple,

nous avons

dépouillé

les résul- tats obtenus _par

Ray

^{et Fan}

[26] qui indiquaient :

-

7VD = 3,18

^x

101’.

-

NA

⁼

0,15

^x

10i7.

-

AEi

^{= 23 MeV.}

FIG. 6. ^- Variation des paramètres ^{AEi et} p* ^le long ^du lingot.

Nous obtenons _{par notre} méthode :

- ND = 5,5

^x

101’.

- NA

⁼

0,18

^x

^101’.

-

AEi

^{= 15 MeV.}

- J.1 ⁼

0,05 cm2/V.

^s.

Enfin,

^la

figure

^{6 semble}

indiquer

^{que si}

AE;

^croît

avec le

dopage,

il diminue _par contre avec la _compen- sation. Ce résultat ^a été énoncé _par Benoît à la Guil- laume et J.

Cernagora [27].

Conclusion. ^- La conduction simultanée _par la bande de conduction et une bande

d’impuretés, permet d’expliquer

^{les mesures d’effet Hall} effectuées sur du Si N

compensé

^{entre 60 °K et} 300 OK. Des mesures

ultérieures

permettront

^de

préciser

^{les relations entre}

les concentrations en

dopants

^{et les}

paramètres

^intro-

duits dans la bande

d’impuretés.

Nous tenons à remercier MM. J. Barrau ^et A. Roi- zes, pour l’aide

qu’ils

^{nous ont}

apportée

^{à la mise au}

point

^du

dispositif

^{de mesure et} du programme de calcul

numérique.

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