COUPLAGES NON LINÉAIRES THERMO-ÉLASTIQUES DANS LE RÉSONATEUR À QUARTZ

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Submitted on 1 Jan 1979

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COUPLAGES NON LINÉAIRES

THERMO-ÉLASTIQUES DANS LE RÉSONATEUR À QUARTZ

G. Theobald, J. Gagnepain

To cite this version:

G. Theobald, J. Gagnepain. COUPLAGES NON LINÉAIRES THERMO-ÉLASTIQUES DANS LE RÉSONATEUR À QUARTZ. Journal de Physique Colloques, 1979, 40 (C8), pp.C8-199-C8-202.

�10.1051/jphyscol:1979833�. �jpa-00219538�

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C8, supplément au n°ll, tome 40, novembre 1979, page C8-199

COUPLAGES NON LINÉAIRES THERMO-ÉLASTIQUES DANS LE RÉSONATEUR À QUARTZ G. Theobald et J.J. Gagnepain

Laboratoire de Physique et Métrologie des Oscillateurs du Centre National de la Recherche Scientifi- que, 32, avenue de l'Observatoire, 25000 Besançon, France

Résumé.- La propagation d'une onde dans un milieu perturbé statiquement peut se ramener au cas clas- sique de la propagation par introduction de coefficients élastiques modifiés. Ces résultats sont ap- pliqués au cas d'une perturbation d'origine thermique correspondant aux deux situations suivantes : sources de chaleur à l'intérieur du cristal dues â des pertes par dissipation visqueuse d'une part et fluctuations thermiques externes d'autre part.

1. Introduction.- Les phénomènes élastiques non li- néaires dans les cristaux introduisent une interac- tion entre l'onde et elle-même qui entraîne une dé- pendance de la vitesse de l'onde et donc de la fré- quence de résonance dans le cas d'ondes stationnai- res, à l'amplitude de la vibration.

Lorsque, de plus, il y a au sein du résonateur une répartition non uniforme de la température, apparaissent des contraintes thermiques couplées avec l'onde par l'intermédiaire des coefficients élasti- ques d'ordre supérieur. La répartition non uniforme peut provenir des sources internes, telles que des pertes par dissipation, ou de perturbations thermiques externes.

Nous donnerons brièvement les résultats con- cernant la propagation d'une onde en présence d'une répartition non homogène de température. Puis nous appliquerons ces résultats, d'une part à l'étude du déplacement de fréquence de résonateurs à quartz vibrant en cisaillement d'épaisseur, lorsque le niveau d'excitation varie, et d'autre part à l'étude du spectre de la fréquence d'un résonateur soumis à un bruit thermique externe.

2. Propagation d'une onde élastique dans un cristal en présence d'une répartition non homogène de tem- pérature . -

a) Equations générales.- On considère un solide de masse spécifique p . Soient a. les coordonnées d'une particule lorsque ce solide n'est pas déformé et donc dans l'état naturel. Après déformation sta- tique et superposition de la vibration, la particule vient dans l'état final de masse p caractérisé

par les coordonnées X. et le déplacement U-= Xi-ai. L'équation de mouvement rapportée à l'état final est /!/ :

où T.. sont les contraintes par unité de surface et F. (X.) les. forces de volume rapportées à l'état final.

L'équation de diffusion de la chaleur en pré- sence d'une source $ et de couplage thermoélastique s'écrit :

T et T représentent la température respectivement dans l'état non déformé et dans l'état déformé, X. • est le coefficient de conductivité thermique, C<- la chaleur spécifique à déformation constante, S.^ les déformations et 6-• est lié au coefficient de dila- tation thermique a.. et aux constantes élastiques

T J

cijkA Pa r :

La relation contrainte déformation s'écrit alors :

t.- sont les tensions thermodynamiques, r. .K» les coefficients de viscosité dans le modèle de Newton et c.-k. les coefficients élastiques du 3e ordre.

14 Abstract.- Propagation within a medium under static deformation can be reduced to the classical propagation by introducing modified elastic constants. These results are applied to the case of a thermal perturbation in the two following cases : first internal heat sources due to the viscous dissipation and then external thermal fluctuations.

Article published online by EDP Sciences and available at

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1979833

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c8-200 JOURNAL DE PHYSIQUE

b) Couplage thermoé1astique.- En présence s i - multanée dans l e s o l i d e d'une v i b r a t i o n e t d'une p e r t u r b a t i o n thermique, l e s déformations S.. q u i

1 J apparaissent dans l e terme de couplage thermoélas- t i q u e -T p . . S . . de l a r e l a t i o n ( 2 ) , présentent

O 1J 1J

une composante à l a fréquence w de l a v i b r a t i o n e t une v a r i a t i o n l e n t e due aux sources de chaleur, q u e l l e s s o i e n t i n t e r n e s ou externes. E t a n t donné que l a constante de d i f f u s i o n thermique D =

-Zr

'ij e s t

P

s

grande comparée à l a période de v i b r a t i o n , l e terme o s c i l l a n t à l a fréquence w, s o l u t i o n de ( 2 ) e s t t r è s rapidement atténué, donc n é g l i g e a b l e . S i T ne présente pas de v a r i a t i o n s r a p i d e s ou de d i s c o n t i - n u i t é s , l e terme de couplage e s t t r è s f a i b l e e t son e f f e t sera n é g l i g é . L ' é q u a t i o n ( 2 ) peut a l o r s é t r e découplée de 1 'é q u a t i o n ( 1 ) e t e l l e prend l a forme :

En conséquence, on peut considérer que l a r é - p a r t i t i o n de température non uniforme i n t r o d u i t une prédéformation q u a s i s t a t i q u e e t l a propagation de l ' o n d e se ramène à c e l l e d'une onde se propageant dans un m i l i e u é l a s t i q u e prédéformé.

c ) Propagation en m i l i e u prédéformé.- Nous u t i l i s o n s l e s n o t a t i o n s h a b i t u e l l e s de Thurston e t d i s t i n g u o n s l e s t r o i s é t a t s :

-

n a t u r e l (ai, po, To) où l e s c o n t r a i n t e s e t l e s déformations sont n u l l e s ;

-

i n i t i a l (xi, p. T) où l e c r i s t a l e s t prédéformé ;

-

f i n a l (Xi, p. T) où l a v i b r a t i o n e s t superposée à l a prédéformation.

L ' a m p l i t u d e de v i b r a t i o n de 1 'onde é t a n t g é n é ralement p e t i t e , on peut admettre que dans l e couplage n o n - l i n é a i r e , l ' i n f l u e n c e de l ' o n d e s u r l a déformation s t a t i q u e e s t négligeable. L ' é t u d e de l a propagation d'une onde en m i l i e u prédéformé e s t donc équivalente aux deux problèmes s u i v a n t s :

-

c e l u i de l a déformation s t a t i q u e caractérisé par, d'une p a r t l ' é q u a t i o n d ' é q u i l i b r e s t a t i q u e r a p portée à l ' é t a t n a t u r e l :

e t d ' a u t r e p a r t l ' é q u a t i o n de d i f f u s i o n de l a tem- p é r a t u r e sans couplage thermoélastique :

-

c e l u i de l ' é q u a t i o n de mouvement de l ' o n d e rapportée à 1 ' é t a t i n i t i a l :

où Biskr sont t e s c o e f f i c i e n t s é l a s t i q u e s m o d i f i é s i s e n t r o p i q u e s . I l s sont f o n c t i o n des c o n t r a i n t e s , des déformations e t des g r a d i e n t s du déplacement - s t a t i q u e

T&, su\r

e t

2 au .

q

-

1 ax axs axk axr c _S

' i s k r

- J

aaj aa, aap aaq jmpq

-

1 axi axS axk axr S

-

- - -

^C

" i s k r

- 5

aaj

aam

aap

, a,

jmpquv 'UV (''1 c . sont l e s c o e f f i c i e n t s é l a s t i q u e s du 3e o r -

JmPquV

- Po d r e e t J = -=

.

P

3. A p p l i c a t i o n aux résonateurs à quartz.- D a ~ s l e cas d ' u n c r i s t a l de q u a r t z v i b r a n t en c i s a i l l e m e n t d'épaisseur, nous avons adopté un modèle unidimen- s i o n n e l . Nous considérons une plaque d ' é p a i s s e u r L, de dimensions t r a n s v e r s a l e s t r è s grandes. Les deux faces planes p e r p e n d i c u l a i r e s à Ox2 s o n t en i L/2.

L ' é q u a t i o n de propagation obtenue à p a r t i r de (8) s ' é c r i t :

Le problème s t a t i q u e e s t d é c r i t p a r l ' é q u a t i o n ( 6 ) e t par 1 'é q u a t i o n de d i f f u s i o n de l a températu- r e :

Les déformations e t déplacements s t a t i q u e s apparaissant dans l ' é q u a t i o n (12) s'expriment en f o n c t i o n de AT(x2) = T(x2)

-

^,^T, ^{de :}

Nous avons appliqué ces équations à l ' é t u d e de deux problèmes p a r t i c u l i e r s au résonateur à

(4)

G .

Theobald e t

J . J .

Gagnepain

quartz

:

d'une part l a variation de l a fréquence d'un résonateur observée lorsqu'on augmente sa puis- sance d ' e x c i t a t i o n /4/ e t qui met en jeu des sources de chaleur créées par dissipation visqueuse, e t d ' a u t r e part l e s fluctuations de sa fréquence propre sous l ' e f f e t d'un b r u i t thermique.

a ) Variation de fréquence due

à

l a dissipa- tion visqueuse.- Dans l'hypothèse de pertes Newto- niennes, l a fonction de dissipation

@

de l'équation (13) a l a forme suivante

:

. .

1

@ =

7 r i

j k ~ j

'kg (14)

dans laquelle nous ne gardons que l e terme constant

dû à

l a vibration. L'équation de diffusion pour u n résonateur de coupe

Y

vibrant en cisaillement d ' é - paisseur, prend l a forme

:

où u l e s t l a solution d'ordre zéro de 1 'équation de mouvement

:

O

wX2

u1

=

( a coswt +

b

sinwt) s i n avec

:

v2

= -

'66

"O

e t

w

e s t l a fréquence angulaire de l a vibration.

L'équation (15) devient

:

Cette équation a é t é résolue dans d i f f é r e n t s cas de conditions aux limites thermiques e t l e s ré- s u l t a t s comparés aux r é s u l t a t s expérimentaux

:

a ) une température constante To e s t imposée

à

l a surface

;

b) l a surface e s t recouverte d'un film métallique mince par 1 'intermédiaire duquel u n échange l i - néaire avec l e milieu e x t é r i e u r

à

l a température

To

a l i e u

;

c ) 1 'échange avec l e milieu extérieur

à

température To s e f a i t par conduction de l a chaleur dans des connections métalliques de f a i b l e section.

Le cas ( a ) ne permet pas de rendre compte de l a longue constante de temps

(T =

14 s ) observée expérimentalement lorsqu'on modifie l e niveau d'ex- c i t a t i o n

du

quartz.

Le modèle

( b )

permet d ' o b t e n i r une constante de l ' o r d r e de 14 s , l ' é l é v a t i o n de température cor- respondante é t a n t de - 3 . 1 0 - ~

K

pour une variation de l a tension d ' e x c i t a t i o n de 48

mV à

45 mV.

Le modèle ( c ) avec des connections faiblement conductrices, de longueur

!L =

1 0 - ~ m , donne une constante de temps

T =

10 s e t

AT =

- 6 . 1 0 - ~

K.

Le changement

wl

de l a fréquence correspondant

à

ces variations de température e s t obtenu par ré- solution de l'équation

(12) à

l ' a i d e d'une méthode de perturbation

:

nous constatons que l e modèle ( c ) donnant une variation de fréquence égale

à

-0,9 Hz permet seul de rendre compte de l a valeur expéri- mentale égale

à

-2,4 Hz. En e f f e t l a valeur expéri- mentale i n c l u t l a variation due aux variations thermiques des c o e f f i c i e n t s élastiques e t du coeffi -

c i e n t de d i l a t a t i o n (qui ne sont pas i n t r o d u i t s dans notre modèle). Elle e s t évaluée en u t i l i s a n t l a ca- r a c t é r i s t i q u e fréquence température du résonateur s o i t -1,9

Hz.

E n conséquence, l a variation due aux contraintes thermiques e s t de -0,5 Hz, valeur en bon accord avec l a valeur théorique - 0,9 Hz.

b) Spectre de fréquence sous 1 'influence d'un b r u i t d ' o r i g i n e thermique.- Notre but e s t d ' a p p l i - quer l e modèle de milieu prédéformé thermiquement

à

l ' é t u d e d'une perturbation thermique sur l e spectre de fréquence du résonateur. Pour cela nous supposms que l e s fluctuations de température externes ont u n spectre blanc. El l e s peuvent ê t r e représentées par une perturbation harmonique de fréquence angulaire variable

Q

e t dont l a r é p a r t i t i o n spectrale s u i t l a même l o i que l a source de b r u i t . Le spectre des pep turbations de l a fréquence

du

résonateur e s t obte- nu par 1 'étude de 1 'enveloppe des raies de modula- t i o n produites par l a perturbation harmonique. Nous aurons donc

à

é t u d i e r

1

' inf 1 uence de chaque compo- santes de Fourier de l a source s u r l a fréquence

U.

Afin de résoudre l'équation de propagation ( 1 2 ) , i l convient de déterminer l a r é p a r t i t i o n de l a température au sein.du c r i s t a l . C ' e s t pourquoi nous avons résolu 1 'équation de diffusion sans fonc- tion de dissipation

@

dans divers cas de perturba- tion thermique

:

a ) l a surface limite du résonateur e s t directement soumise

à

une perturbation harmonique

;

b) l e résonateur e s t en contact avec u n milieu pré- sentant une variation harmonique de l a tempéra- ture

;

c ) l a perturbation harmonique e s t appliquée

à

l ' e x - trémité d!une t i g e de longueur L ' , en contact avec l e résonateur e t e l l e e s t transmise au c r i s - t a l par conduction l e long de c e t t e t i g e .

Dans l e cas ( a ) , où l a fluctuation de tempé-

r a t u r e

à

l a surface

du

résonateur e s t de l a forme

(5)

C8-202 JOURNAL DE PHYSIQUE

TM

s i n

nt,

l a température correspondante en régime permanent dans l e résonateur prend l a forme /5/ :

cos h 2b x 2 ( 1

+

j ) s i n n t

AT(x2) = TM c o s h b ( l + j ) (17)

En r e p o r t a n t l a s o l u t i o n (17) dans l ' é q u a t i o n de propagation ( 12), nous déterminons l a v a r i a t i o n de fréquence correspondante. En sommant s u r t o u t e s l e s composantes Q , nous pouvons déterminer l ' é v o l u - t i o n de l a d e n s i t é s p e c t r a l e de puissance S (F) des f l u c t u a t i o n s r e l a t i v e s de fréquence y ( y = YA, ) .

Aux fréquences de F o u r i e r F << Fc =

4 ^,

^{l e}

spectre e s t blanc, t a n d i s que pour F >> F~: Lil dé- c r o i t comme 1/F. Pour un q u a r t z d ' é p a i s s e u r L = 1,65 mm l a fréquence Fc e s t égale à 0,2 Hz.

L ' i n t r o d u c t i o n d'un t r a n s f e r t de chaleur 1 i- n é a i r e c a r a c t é r i s é par l e f a c t e u r h e n t r e l a s u r f a - ce du c r i s t a l e t l e m i l i e u e x t é r i e u r à l a temp6ra-

~ h 2 t u r e T s i n _m

nt,

montre que pour F >> Fh =

--,

^{l e}

~ h 2 spectre obtenu précédemment e s t m u l t i p l i é par 7;F.

On peut s ' a t t e n d r e à ce que Fh << Fc c a r l e f a c t e u r de t r a n s f e r t e s t généralement f a i b l e , s i b i e n que l e s p e c t r e d é c r o i t comme 1/F pour Fh < F < Fc e t comme 1/F pour F > Fc. ( F i g u r e 1 ) .

2

Par contre, s i 1 'échange de chaleur a l i e u pr conduction l e l o n g de f i l s de longueur L ' e t de constante de d i f f u s i o n K a , l e s p e c t r e présente l a même forme que dans l e cas (a), l a fréquence de cou- pure devenant Fd = lorsque L I > L ; pour un f i l

aL'2

de longueur L ' = IO-' m, Fd = 1,3. Hz.

Ces r é s u l t a t s montrent que dans l e s p e c t r e des f l u c t u a t i o n s de fréquence des résonateurs à quartz, une p a r t importante peut ê t r e a t t r i b u é e à l ' i n f l u e n c e des f l u c t u a t i o n s de température e t e l l e se s i t u e principalement dans l a p a r t i e basse f r é - quence du spectre. Dans ce cas, l a forme du s p e c t r e dépend e s s e n t i e l l e m e n t des c a r a c t é r i s t i q u e s du r é - sonateur e t en p a r t i c u l i e r de l a n a t u r e des échanges avec l e m i l i e u e x t é r i e u r .

Fig. 1: Spectre des f l u c t u a t i o n s de fréquences : ( a ) p e r t u r b a t i o n appliquée s u r l a s u r f a c e du r é s o n a t e u r , ( b ) t r a n s f e r t l i n é a i r e de chaleur vers l e mi- l i e u e x t é r i e u r , ( c ) l e résonateur e s t en c o n t a c t avec une t i g e conductrice.

References

/1/ Thurston, R.N., Wave Propagation i n f l u i d and normal s o l i d s , Physical Acoustics, v o l . 1, p a r t A, W.P.Mason, ed., Academic Press, 1964.

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/5/ Carslaw, H.S. and Jaeger, J.C., Conduction o f heat i n s o l i d s , Clarendon Press, Oxford, 1959.