Contributions en homogénéisation numériques pour les composites non linéaires élastiques et élastoplastiques

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Contributions en homogénéisation numériques pour les composites non linéaires élastiques et élastoplastiques

Ba Anh Le

To cite this version:

Ba Anh Le. Contributions en homogénéisation numériques pour les composites non linéaires élastiques

et élastoplastiques. Autre. Université Paris-Est, 2014. Français. �NNT : 2014PEST1027�. �tel-

01124221�

UNIVERSIT´ E PARIS-EST MARNE-LA-VALL´ EE TH` ESE DE DOCTORAT

Discipline : M´ecanique Pr´esent´ee par :

Ba Anh LE

Sujet :

Contributions en homog´en´eisation num´erique pour les composites non lin´eaires ´elastiques et

´elastoplastiques

Soutenue le 24 janvier 2014, devant le jury compos´e de messieurs :

H. ZAHROUNI Professeur, Univ. Universit´ e de Lorraine - Metz Rapporteur D. NERON Maˆıtre de Conf´ erence HDR, ENS Cachan Rapporteur Z.-Q. FENG Professeur des Universit´ es,

Universit´ e d’Evry-Val d’Essonne Examinateur

Q.-C. HE Professeur, Univ. Paris-Est Marne-la-Vall´ ee Examinateur

J. YVONNET Professeur, Univ. Paris-Est Marne-la-Vall´ ee Directeur de th` ese

Remerciements

Pour r´ ealise ce document et le travail qu’il pr´ esente, j’ai largement b´ en´ efici´ e de l’aide de nombreuses personnes. Je tiens ` a les remercier tr` es sinc` erement.

Je tiens ` a exprimer toute ma reconnaissance ` a mon Directeur de th` ese Monsieur Julien YVONNET. Je la remercie de m’avoir encadr´ e, aid´ e et conseill´ e.

Je tiens ` a remercier Monsieur Qui Chang HE de m’avoir encadr´ e durant cette th` ese et d’avoir toujours ´ et´ e disponible pour des discussions scientifiques tr` es enrichissantes.

Je suis tr` es reconnaissant envers Monsieur Zhi Qiang FENG d’avoir pr´ esid´ e mon jury de th` ese. Je remercie tr` es chaleureusement Messieurs Hamid ZAHROUNI et David NERON qui ont accept´ e la lourde tˆ ache de rapporter cette th` ese, et qui ont pris le temps d’examiner avec une grande attention mon travail en apportant des critiques profondes et constructives.

J’adresse mes sinc` eres remerciements ` a tous les professeurs, intervenants et toutes les personnes qui par leurs paroles, leurs ´ ecrits, leurs conseils et leurs critiques ont guid´ e mes r´ eflexions et ont accept´ e ` a me rencontrer et r´ epondre ` a mes questions durant mes recherches.

Je remercie ´ egalement tr` es fortement pour leur soutien, les patience et leur amour

tous mes proches : mon p` ere, ma m` ere, ma petite soeur et tous mes amis.

Table des matières

Introduction g´ en´ erale 13

1 Etat de l’art : m´ ethodes d’homog´ en´ eisation pour les probl` emes

non lin´ eaires 17

1.1 Introduction . . . . 17

1.2 M´ ethodes d’approximation analytiques et semi-analytiques . . . . 18

1.2.1 M´ ethodes incr´ ementales . . . . 18

1.2.2 M´ ethode de second ordre . . . . 20

1.3 M´ ethodes d’homog´ en´ eisation num´ eriques . . . . 21

1.3.1 M´ ethodes multi ´ echelles couplant des calculs ` a deux ´ echelles (m´ ethodes de type ”FE

”) . . . . 22

1.3.2 M´ ethodes s´ equentielles . . . . 23

1.4 Conclusion . . . . 26

2 Homog´ en´ eisation des composites ´ elastoplastiques : une m´ ethode NTFA avec domaine ´ elastique 29 2.1 Introduction . . . . 29

2.2 Le probl` eme d’homog´ en´ eisation ´ elastoplastique . . . . 29

2.2.1 Le probl` eme de localisation . . . . 29

2.2.2 Relations macroscopiques . . . . 32

2.2.3 S´ election des modes plastiques par la POD . . . . 35

2.3 Un algorithme de type return-mapping pour le calcul des compo- sites ´ elastoplastiques . . . . 38

2.3.1 Algorithme g´ en´ eral . . . . 38

2.3.2 D´ etails et expression des diff´ erents op´ erateurs . . . . 40

2.3.3 Calcul num´ erique des diff´ erents op´ erateurs . . . . 42

2.3.4 Evaluation num´ erique de f et de ses d´ eriv´ ees . . . . 45

2.4 Conclusion . . . . 48

3 Applications de la m´ ethode NTFA en homog´ en´ eisation ´ elasto- plastique 49 3.1 Introduction . . . . 49

3.2 Composite stratifi´ e ´ elastoplastique . . . . 49

3.2.1 Solution analytique . . . . 49

3.2.2 R´ esultats num´ eriques . . . . 53

3.3 Composites avec h´ et´ erog´ en´ eit´ es p´ eriodiques . . . . 56

3.3.1 Composite avec inclusions rigides . . . . 56

3.3.2 Composite anisotrope . . . . 59

3.3.3 Milieu poreux ` a matrice ´ elastoplastique . . . . 64

3.4 Conclusion . . . . 68

4 Homog´ en´ eisation des composites non lin´ eaires ´ elastiques en pe- tites et grandes d´ eformations dans des espaces param´ etriques de grandes dimensions 71 4.1 Introduction . . . . 71

4.2 Homog´ en´ eisation des composites non lin´ eaires ´ elastiques . . . . . 72

4.2.1 Homog´ en´ eisation des composites non lin´ eaires ´ elastiques en petites d´ eformations . . . . 72

4.2.2 Homog´ en´ eisation des composites non lin´ eaires ´ elastiques en grandes d´ eformations . . . . 73

4.3 M´ ethode de potentiels num´ eriques . . . . 77

4.3.1 Id´ ees de base . . . . 77

4.3.2 Construction de potentiels avec ´ echantillonnage dans des grilles r´ eguli` eres . . . . 78

4.4 Homog´ en´ eisation non lin´ eaire pour des espaces param´ etriques de grandes dimensions . . . . 83

4.4.1 Approximation de fonctions multidimensionnelles par r´ e- seaux de neurones artificiels . . . . 83

4.4.2 Tests num´ eriques : fonctions analytiques en grandes dimen- sions . . . . 86

4.4.3 Homog´ en´ eisation d’un composite non lin´ eaire compressible en petites d´ eformations param´ etr´ e par des coefficients mi- croscopiques . . . 103

4.4.4 Calcul de structure h´ et´ erog` ene non lin´ eaire . . . 105

4.4.5 Exemples en grandes d´ eformations . . . 111

4.5 Conclusion . . . 112

Conclusion g´ en´ erale 115 4.5.1 Conclusion . . . 115

4.5.2 Perspectives . . . 116

A R´ esolution par ´ el´ ements finis des probl` emes locaux non lin´ eaires119 A.1 Elasticit´ e en petites d´ eformations non lin´ eaire, loi puissance . . . 119

A.1.1 Comportement compressible . . . 119

A.1.2 Comportement incompressible . . . 123

A.1.3 Discr´ etisation El´ ements Finis . . . 125

A.2 Probl` emes ´ elastoplastiques . . . 125

B Solution analytique : fibre cylindrique revˆ etue avec un mat´ eriau ´ elastoplastique 129 B.1 Formulation du probl` eme . . . 129

B.2 Phase ´ elastique . . . 131

B.3 Premier r´ egime plastique . . . 132

B.4 Deuxi` eme r´ egime plastique . . . 133

B.5 Troisi` eme r´ egime plastique . . . 134

B.6 Calculs num´ eriques . . . 135

C Interpolation de type spline cubique 137

R´ esum´ e 147

R´ esum´ e 149

Table des figures

1.1 Approche d’homog´ en´ eisation non lin´ eaire incr´ ementale. . . . 19 1.2 Repr´ esentation sch´ ematique de la m´ ethode (FE

). . . . 22 2.1 Mat´ eriau p´ eriodique et Volume Elementaire Repr´ esentatif (VER). 30 2.2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de la construction du domaine ´ elastique

macroscopique κ : (a) VER ; (b) domaines ´ elastiques associ´ es ` a trois points du VER et domaine macroscopique ´ elastique associ´ e ` a ces trois domaine. Le domaine κ est constitu´ e de l’intersection de tous les domaines κ(x) de tous les points x dans le VER (le domaine r´ eel κ est l’intersection de l’infinit´ e de domaines associ´ es aux points x ∈ Ω) . . . . 34 2.3 Illustration du sch´ ema de pr´ ediction-correction. . . . 40 2.4 Illustration de la construction de la fonction f . . . . 46 3.1 Composite stratifi´ e compos´ e de phases ´ elastoplastiques : g´ eom´ etrie. 50 3.2 R´ eponse du composite stratifi´ e ´ elastoplastique : les trois ´ etats A,

B et C correspondent respectivement ` a un ´ etat o` u les deux phases sont ´ elastiques, un ´ etat o` u l’une des phases est plastifi´ ee, et un ´ etat o` u les deux phases sont plastifi´ ees. . . . 53 3.3 Etat de d´ eformation dans le composite stratifi´ e pour l’´ etat corres-

pondant au point A (les deux phases sont ´ elastiques). . . . 54 3.4 Etat de d´ eformation dans le composite stratifi´ e pour l’´ etat corres-

pondant au point B (l’une des phases est plastifi´ ee). . . . 54 3.5 Etat de d´ eformation dans le composite stratifi´ e pour l’´ etat corres-

pondant au point C (les deux phases sont plastifi´ ee). . . . . 55 3.6 Comparaison NTFA/solution de r´ ef´ erence. . . . 55 3.7 Volume ´ el´ ementaire, microstructure p´ eriodique avec inclusions ri-

gides. . . . 57 3.8 Chargement de d´ eformations macroscopiques impos´ ees au cours du

calcul. . . . 57 3.9 Champs de d´ eformations pastiques repr´ esentatifs extraits par POD

pour le composite avec inclusions rigides. . . . . 58 3.10 Valeurs propres associ´ ees aux modes de d´ eformations plastiques

pour le composite 1. . . . . 59 3.11 R´ eponse (contrainte effective) du composite pour un chargement

cyclique, comparaison entre un calcul direct (r´ ef´ erence) et la r´ e-

ponse donn´ ee par l’algorithme de return-mapping propos´ e, pour

une ´ evaluation directe de de f (paragraphe 2.3.4.1). On constate

une divergence de la solution avec le nombre de modes. . . . 60

3.12 R´ eponse (contrainte effective) du composite pour un chargement cyclique, comparaison entre un calcul direct (r´ ef´ erence) et la r´ e- ponse donn´ ee par l’algorithme de return-mapping propos´ e, pour une ´ evaluation de f en variables s´ epar´ ees. . . . . 60 3.13 Evolution du domaine ´ elastique macroscopique κ au cours du char-

gement pour le composite ` a inclusions rigides. . . . 61 3.14 Volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif associ´ e au composite anisotrope :

(a) g´ eom´ etrie ; (b) maillage. . . . 61 3.15 Champs de d´ eformations plastiques repr´ esentatifs extraits par POD

pour le composite anisotrope. . . . 62 3.16 Convergence des valeurs propres pour les champs de d´ eformation

plastiques POD pour le composite anisotrope. . . . 63 3.17 R´ eponse (contrainte effective) du composite anisotrope pour un

chargement cyclique, comparaison entre un calcul direct (r´ ef´ erence) et la r´ eponse donn´ ee par l’algorithme de return-mapping propos´ e, pour une ´ evaluation de f en variables s´ epar´ ees. . . . . 63 3.18 Volume ´ el´ ementaire repr´ esentatif associ´ e au milieu poreux : (a)

g´ eom´ etrie ; (b) maillage. . . . 64 3.19 Champs de d´ eformations plastiques repr´ esentatifs extraits par POD

pour le mat´ eriau poreux. . . . 65 3.20 Convergence des valeurs propres pour les champs de d´ eformation

plastiques POD pour le mat´ eriau poreux. . . . . 66 3.21 R´ eponse (contrainte effective) du composite pour un chargement

cyclique, comparaison entre un calcul direct (r´ ef´ erence) et la r´ e- ponse donn´ ee par l’algorithme de return-mapping propos´ e, pour une ´ evaluation de f en variables s´ epar´ ees pour le milieu poreux. . 66 3.22 Evolution du domaine ´ elastique macroscopique κ pour le milieu

poreux. . . . 67 3.23 D´ eformations macroscopiques impos´ ees, trajet de chargement cy-

clique complexe. . . . . 67 3.24 R´ eponse (contrainte effective) du composite pour un chargement

cyclique complexe (figure 3.23), comparaison entre un calcul di- rect (r´ ef´ erence) et la r´ eponse donn´ ee par l’algorithme de return- mapping propos´ e pour le milieu poreux. . . . . 68 4.1 R´ eseau de neurones ` a une couche cach´ ee. . . . 85 4.2 Fonction f

= ∑

i=1

x

, D = 6. Le param` etre N = 4 est fix´ e, L varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 87 4.3 Fonction f

= ∑

i=1

x

, D = 8. Le param` etre N = 2 est fix´ e, L varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 88 4.4 Fonction f

= ∑

i=1

x

, D = 10. Le param` etre N = 4 est fix´ e, L

varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a)

Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur

par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 89

4.5 Fonction f

= ∑

i=1

x

, D = 6. Le param` etre L = 4 est fix´ e, N varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 89 4.6 Fonction f

= ∑

i=1

x

, D = 8. Le param` etre L = 4 est fix´ e, N varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 90 4.7 Fonction f

= ∑

i=1

x

, D = 10. Le param` etre L = 4 est fix´ e, N varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 90 4.8 Fonction f

= e

, D = 6. Le param` etre N = 4 est fix´ e, L

varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 91 4.9 Fonction f

= e

, D = 8. Le param` etre N = 4 est fix´ e, L

varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 92 4.10 Fonction f

= e

, D = 10. Le param` etre N = 4 est fix´ e, L

varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 93 4.11 Fonction f

= e

, D = 6. Le param` etre L = 4 est fix´ e, N

varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 94 4.12 Fonction f

= e

, D = 8. Le param` etre L = 4 est fix´ e, N

varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 95 4.13 Fonction f

= e

, D = 10. Le param` etre L = 4 est fix´ e, N

varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 96 4.14 Fonction f

= √∑

i=1

x

, D = 6. Le param` etre N = 2 est fix´ e, L varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 97 4.15 Fonction f

= √∑

i=1

x

, D = 8. Le param` etre N = 2 est fix´ e,

L varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a)

Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur

par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 98

4.16 Fonction f

= √∑

i=1

x

, D = 10. Le param` etre N = 2 est fix´ e, L varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . . 99 4.17 Fonction f

= √∑

i=1

x

, D = 6. Le param` etre L = 2 est fix´ e, N varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . 100 4.18 Fonction f

= √∑

i=1

x

, D = 8. Le param` etre L = 2 est fix´ e, N varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . 101 4.19 Fonction f

= √∑

i=1

x

, D = 10. Le param` etre L = 2 est fix´ e, N varie, le nombre de points d’´ echantillonnage est de M = 10

; (a) Approximation pour x

= x

... = x

; (b) Convergence de l’erreur par rapport au nombre de points ´ echantillonn´ es. . . 102 4.20 Microstructure and VER du mat´ eriaux composites p´ eriodique . . 103 4.21 Contraintes et composantes du tenseur ´ elastique effectifs pour un

´

etirement uniaxial (ε

varie, σ

/σ

= 10 ; m = 0.3, f = 0.035). . . 106 4.22 Contraintes et composantes du tenseur ´ elastique effectifs pour un

chargement complexe (ε

= ε

varie, σ

/σ

= 10 ; m = 0.3, f = 0.035). . . . 107 4.23 Contraintes et composantes du tenseur ´ elastique effectifs pour ε

=

ε

= 10

, σ

/σ

= 10, f = 0.035, pour une ´ evolution de m. . . . 108 4.24 Contraintes et composantes du tenseur ´ elastique effectifs pour u

ε

= ε

= 10

, m = 0.55, f = 0.035, et σ

varie. . . 109 4.25 Calcul de structure utilisant le mod` ele homog´ en´ eis´ e construit par

potentiel num´ erique : g´ eom´ etrie, conditions aux limites et maillage. 110 4.26 Calcul de structure utilisant le mod` ele homog´ en´ eis´ e construit par

potentiel num´ erique : d´ eform´ ee de la structure et champ de d´ efor- mations. . . 111 4.27 Potentiel macroscopique et contraintes effectives pour le probl` eme

en grandes transformations, cas d’´ etirement uniaxial. . . 113 4.28 Potentiel macroscopique en grande d´ eformation . . . 114 A.1 Vue sch´ ematique de l’algorithme de pr´ ediction-correction (return-

mapping) avec projection normale sur le domaine ´ elastique. . . 128 B.1 Fibre revˆ etue par une couche ´ elastoplastique. . . 129 B.2 Crit` ere de Tresca. . . 131 B.3 R´ eponse de la fibre revˆ etue. Les points A, B, C et D indiquent la

fin du r´ egime ´ elastique, des premier, deuxi` eme et troisi` eme r´ egime plastique. . . . 135 B.4 Modes POD associ´ es au mod` ele fibre. . . 136 C.1 Base de S

(∆). Fonctions de base u

, u

, ..., u

de l’espace des

fonctions splines S

(∆) sur l’intervalle [a, b] pour des nœuds ´ equi-

distants. . . 138

Introduction générale

Les m´ ethodes d’homog´ en´ eisation ont pour objectif de d´ eterminer le compor- tement macroscopique de mat´ eriaux dont la microstructure est h´ et´ erog` ene ` a une

´ echelle inf´ erieure, souvent associ´ ee ` a une ´ echelle microscopique. A cette ´ echelle, des informations sont suppos´ ees connues sur la morphologie et le comportement des diff´ erents constituants. L’homog´ en´ eisation est d’un int´ erˆ et fondamental en ing´ enierie et science des mat´ eriaux, car elle permet ainsi de pr´ evoir le compor- tement de mat´ eriaux complexes associ´ es aux composites, au b´ eton ou aux ma- t´ eriaux cimentaires pour le g´ enie civil, ou aux tissus biologiques. Par rapport

`

a des caract´ erisations exp´ erimentales enti` erement macroscopiques, les approches microm´ ecaniques, reliant les propri´ et´ es des constituants de ces mat´ eriaux et leur arrangement avec les propri´ et´ es macroscopiques permet d’am´ eliorer la compr´ e- hension des m´ ecanismes conf´ erant les propri´ et´ es ` a ces mat´ eriaux, en vue d’en concevoir de nouveaux avec des performances am´ elior´ ees.

Les m´ ethodes d’homog´ en´ eisation analytiques ont permis d’´ etablir des bornes et des estimations pour un tr` es grands nombres de cas, en particulier pour les cas o` u le comportement est lin´ eaire (voir par exemple [72, 97, 66, 79]). Dans le cas non lin´ eaire, les difficult´ es inh´ erentes ` a la non validit´ e du principe de superposition,

`

a la d´ ependance ` a des variables internes et ` a la difficult´ e de r´ esoudre analyti- quement les probl` emes locaux non lin´ eaires limitent les approches propos´ ees ` a des cas restreints sur le comportement et les morphologies de microstructures.

En vue de pouvoir pr´ edire le comportement de mat´ eriaux h´ et´ erog` enes non li- n´ eaires plus complexes, et dont la microstructure est d´ ecrite plus finement, des approches num´ eriques ont ´ et´ e d´ evelopp´ ees r´ ecemment. Ces approches se classent en deux grandes cat´ egories : a) les approches concourantes, ou couplant des cal- culs ` a deux ´ echelles simultan´ ement (voir par exemple [22]), qui permettent de prendre en compte des comportements arbitraires au niveau microscopiques, y compris des changements de microstructure, mais au prix de coˆ uts de calculs prohibitifs ; b) les approches s´ equentielles, dans lesquelles des quantit´ es sont ´ eva- lu´ ees par le biais de calculs pr´ eliminaires sur la microstructure, et permettant ensuite, sans retour ` a cette ´ echelle de construire le comportement pour l’´ echelle macroscopique. Ces techniques permettent ainsi des gains de calculs importants lors du calcul de structure ` a l’´ echelle macroscopique, mais sont restreintes ` a des cas sp´ ecifiques. Cependant de nombreuses avanc´ ees ont ´ et´ e propos´ ees r´ ecemment et permettent aujourd’hui de traiter une large gamme de comportements locaux, tels que la viscoplasticit´ e, la visco´ elasticit´ e, et l’´ elasticit´ e non lin´ eaire. Dans ce m´ emoire de th` ese, nous proposons une contribution ` a cette seconde famille de m´ ethode d’homog´ en´ eisation num´ erique. Le plan du m´ emoire est le suivant.

Nous pr´ esentons dans un premier chapitre un ´ etat de l’art des m´ ethodes d’ho-

mog´ en´ eisation pour les probl` emes non lin´ eaires. Les m´ ethodes analytiques et semi-

analytiques sont rappel´ ees. Ensuite, plusieurs m´ ethodes sont pr´ esent´ ees, telles que la m´ ethode des ´ El´ ements Finis multi niveaux (m´ ethode ”FE

”), la m´ ethode NTFA (Non Uniform Transformation Field Analysis) et une m´ ethode r´ ecente baptis´ ee m´ ethode de potentiels num´ eriques. Les diff´ erentes difficult´ es et verrous actuels de ces techniques sont mis en ´ evidence.

Dans le second chapitre, nous proposons une m´ ethode d’homog´ en´ eisation nu- m´ erique originale ´ etendant la m´ ethode NTFA au cas des mat´ eriaux ´ elastoplas- tiques. L’approche introduite est bas´ ee sur un algorithme de type pr´ ediction- correction (”return-mapping”) permettant l’actualisation des variables internes macroscopiques. Dans le cadre de la NTFA, le champ ´ elastoplastique local est d´ ecompos´ e en une somme finie de modes plastiques, calcul´ es sur un Volume ´ El´ e- mentaire Repr´ esentatif (VER) par des calculs ´ El´ ements Finis. En utilisant le principe du maximum de dissipation plastique, nous d´ eveloppons un algorithme associ´ e permettant de construire la loi de comportement homog´ en´ eis´ e pour un

´ etat de d´ eformation macroscopique donn´ e et un ensemble de variables internes associ´ ees aux modes plastiques. Une technique de repr´ esentation de la fonction d’´ ecoulement en variables s´ epar´ ees permet d’´ eviter d’avoir recours ` a des calculs de post-traitement sur le VER lors du calcul de structure.

Dans le troisi` eme chapitre, nous appliquons la m´ ethode d´ evelopp´ ee dans le cha- pitre pr´ ec´ edent ` a des exemples de composites ´ elastoplastiques. Nous appliquons tout d’abord la m´ ethode pour un composite stratifi´ e unidirectionnel dont la so- lution analytique est disponible dans la litt´ erature. Nous appliquons ensuite la m´ ethode pour des composites p´ eriodiques en chargements cycliques, dont la solu- tion de r´ ef´ erence est donn´ ee par un calcul ´ el´ ement finis pour des microstructures plus complexes et anisotropes.

Dans le quatri` eme chapitre, nous proposons une deuxi` eme m´ ethode, se basant sur la m´ ethode des potentiels num´ eriques, pour l’homog´ en´ eisation des composites non lin´ eaires ´ elastiques en petites et grandes d´ eformations. La m´ ethode initiale- ment propos´ ee dans [101, 103] ´ etait jusqu’` a pr´ esent limit´ ee pour des probl` emes en deux dimensions en raison du tr` es grand nombre de calculs pr´ eliminaires ` a effectuer pour construire le potentiel effectif du composite. Pour lever ce verrou, nous introduisons une approximation de type ”r´ eseaux de neurones” permettant

`

a partir d’un ´ echantillonnage de valeurs discr` etes dans l’espace param´ etrique de reconstruire le potentiel ` a partir d’un nombre plus faible de points que par les tech- niques d’interpolation classiques. Apr` es avoir rappel´ e les principes de la m´ ethode des potentiels num´ eriques, nous testons la qualit´ e de l’approximation par r´ eseaux de neurones et l’appliquons sur plusieurs exemples num´ eriques, incluant des cal- culs d’homog´ en´ eisation de VERs tridimensionnels, et dont le comportement et la microstructure peuvent ˆ etre param´ etr´ es, impliquant des espaces param´ etriques de dimensions de l’ordre de 10.

Nous pr´ esentons enfin des conclusions et tra¸cons quelques perspectives pour

ce travail.

Notations

a Scalaire

˙

a D´ eriv´ ee temporelle de a, a ˙ = da/dt

A, a Tenseurs du second ordre, matrices et vecteurs A Tenseur du quatri` eme ordre

A

Transpos´ e de A

⟨ . ⟩ Moyenne spatiale sur un domaine Ω associ´ e au VER

⟨ . ⟩

Moyenne spatiale sur un domaine ω

∇ (.) Op´ erateur gradient

∇ · (.) Op´ erateur divergence

⊗ Produit tensoriel (a ⊗ b)

= a

b

⊗ (A ⊗ B)

=

(A

B

+ A

B

) a · b Produits scalaire a · b = a

b

A : B Produit doublement contract´ e A : B = A

B

D

(.) D´ eriv´ ee de Gˆ ateaux dans la direction v

T r(.) Op´ erateur trace d’un tenseur du second ordre : T r(A) = A

χ

(x) Fonction caract´ eristique associ´ ee ` a la phase r

telle que χ

(x) = 1 dans la phase r et z´ ero ailleurs 1 Tenseur identit´ e du second ordre

I Tenseur identit´ e du quatri` eme ordre

σ Tenseur des contraintes de Cauchy microscopiques σ Tenseur des contraintes de Cauchy macroscopiques ε Tenseur des d´ eformations microscopiques

ε Tenseur des d´ eformations macroscopiques C Tenseur des propri´ et´ es ´ elastiques locales

C Tenseur des propri´ et´ es ´ elastiques homog´ en´ eis´ ees

ε

Tenseur des d´ eformations plastiques microscopiques

ε

Tenseur des d´ eformations plastiques macroscopiques

Chapitre 1

Etat de l’art : méthodes

d’homogénéisation pour les problèmes non linéaires

Dans ce chapitre introductif, nous pr´ esentons plusieurs m´ ethodes dont l’objectif est de d´ eterminer la r´ eponse effective de mat´ eriaux h´ et´ erog` enes dont les phases sont d´ ecrites par un comportement non lin´ eaire. Dans un premier temps, nous

´ etablissons un bref rappel des techniques analytiques et semi-analytiques. Nous pr´ esentons ensuite des m´ ethodes d’homog´ en´ eisation num´ eriques, qui permettent de d´ epasser les limitations des m´ ethodes analytiques.

1.1 Introduction

Les tissus biologiques, les polym` eres renforc´ es ou les mat´ eriaux cimentaires

sont des exemples de mat´ eriaux h´ et´ erog` enes dont les phases sont d´ ecrites par un

comportement non lin´ eaire. L’homog´ en´ eisation de leur comportement est d’un

int´ erˆ et consid´ erable pour les applications en ing´ enierie et pour la conception de

nouveaux mat´ eriaux, mais repr´ esente un d´ efi sur le plan scientifique pour les rai-

sons suivantes : (i) dans le cas non lin´ eaire, il n’est pas possible, connaissant le

comportement de chaque phase, de d´ efinir a priori la forme de la loi de comporte-

ment effective ; (ii) le principe de superposition ne s’appliquant plus, les th´ eories

et approches propos´ ees dans le cas lin´ eaire ne sont plus applicables ; (iii) dans

le cas de comportements dissipatifs, la loi constitutive macroscopique d´ epend

des champs an´ elastiques locaux dans la microstructure, et cette loi est associ´ ee

th´ eoriquement ` a l’histoire d’une infinit´ e de variables internes. Le probl` eme d’ho-

mog´ en´ eisation non lin´ eaire a entraˆın´ e un nombre d’´ etude consid´ erables aux cours

des derni` eres d´ ecennies, avec des progr` es r´ ecents importants rendus possibles no-

tamment par les m´ ethodes bas´ ees sur les simulations num´ eriques.

1.2 Méthodes d’approximation analytiques et semi- analytiques

Les approches analytiques qui ont ´ et´ e propos´ ees depuis les travaux pionniers de Hill [36] ont pour objectif d’estimer ou de borner le comportement des mat´ eriaux h´ et´ erog` enes non lin´ eaires. Dans le cas des mat´ eriaux non lin´ eaires en petites d´ e- formations, des extensions au cas non lin´ eaire de certaines techniques classiques dans le cadre lin´ eaire ont ´ et´ e propos´ ees (voir par exemple Nemat-Nasser & Hori [72] ; Torquato [97] ; Milton [67]), les travaux de Willis [100], Dvorak [20], Qiu and Weng [78], Ponte Casta˜ neda [75], Hu [41], Milton et Serkov [67]. Dans le cas des grandes d´ eformations, plusieurs auteurs ont ´ egalement ´ etendu certaines approches d’homog´ en´ eisation analytiques issues du cadre lin´ eaire pour des cas sp´ ecifiques.

Dans une s´ erie de travaux, (voir par exemple [18, 1, 32] entre autres), des estima- tions et des solutions exactes pour certaines classes de composites hyper´ elastiques ont ´ et´ e d´ eriv´ ees. Ponte-Casta˜ neda [77] a propos´ e une m´ ethode d’homog´ en´ eisation du second ordre pour d´ eterminer la loi de comportement effective de mat´ eriaux composites non lin´ eaires poreux et renforc´ es, suivi par plusieurs autres auteurs (voir par exemple [50, 48, 7]).

1.2.1 Méthodes incrémentales

Les m´ ethodes d’homog´ en´ eisation incr´ ementales sont des extensions de la for- mulation propos´ ee par Hill [36] dans lesquelles les contraintes et les d´ eformations sont reli´ ees par une loi sous la forme :

σ(t) = ˙ C (t) : ˙ ε(t) (1.1) o` u ˙ σ est le taux de contraintes macroscopiques, ˙ ε(t) le taux de d´ eformations et C (t) est un op´ erateur tangent d´ ependant de l’´ etat de d´ eformation et de l’histoire du chargement. Pour le probl` eme lin´ earis´ e, il est possible d’appliquer le principe de superposition et de calculer le module tangent C (t) ` a chaque it´ eration, connais- sant la loi de comportement non lin´ eaire dans chaque phase et la d´ eformation ` a l’it´ eration pr´ ec´ edente.

Pour un sch´ ema d’homog´ en´ eisation donn´ e (Mori-Tanaka, mod` ele auto-coh´ erent, etc.), connaissant l’incr´ ement de d´ eformation ∆ε appliqu´ e sur le VER ` a un ins- tant t

, il est possible d’´ evaluer les modules tangents associ´ es aux mod` eles non lin´ eaires dans chaque phase (voir [42], [3], [85]) qui sont utilis´ es pour calculer le module effectif ` a l’instant t

. Un sch´ ema, propos´ e par Doghri et al. [42], consiste

`

a chercher, pour un instant t

, la d´ eformation moyenne dans les inclusions. Un algorithme it´ eratif est n´ ecessaire pour calculer cette d´ eformation moyenne. Soit

⟨ ∆ε ⟩

= ∆ε l’incr´ ement de d´ eformation, not´ e ` a l’instant t

, ⟨ ∆ε

⟩

= ∆ε

. On d´ efinit la matrice comme ´ etant associ´ ee ` a l’indice 0 et les inclusions ` a l’indice 1.

On note ⟨ ∆ε ⟩

et ⟨ ∆ε ⟩

les d´ eformations moyennes dans la matrice et dans les inclusions, respectivement. Pour une pr´ ediction de ⟨ ∆ε

⟩

, on peut ´ evaluer la moyenne dans la matrice ⟨ ∆ε ⟩

grˆ ace ` a la relation :

∆ε = ⟨ ∆ε ⟩

(1 − f

) + f

⟨ ∆ε ⟩

, (1.2)

avec f

la fraction volumique d’inclusions. A partir des modules tangents calcul´ es

dans chacune des phases, le tenseur d’Eshelby E peut ˆ etre ´ evalu´ e (voir par exemple

Figure 1.1 – Approche d’homog´ en´ eisation non lin´ eaire incr´ ementale.

[19]). On peut alors calculer le tenseur de concentration B

permettant de relier la d´ eformation moyenne dans chacune des phases ` a la d´ eformation macroscopique par :

⟨ ∆ε ⟩

= [f

B

+ (1 − f

) I ]

: ε, (1.3)

⟨ ∆ε ⟩

= B

: [f

B

+ (1 − f

) I ]

: ε, (1.4) o` u B

est exprim´ e par

B

= {

I + E : [

C

: C

− I ]}

, (1.5)

avec C

et C

les modules tangents associ´ es au probl` eme non lin´ eaire dans chaque phase, et enfin le module effectif (tangent), donn´ e par :

C = [f

C

: B

+ (1 − f

) C

] : [f

B

+ (1 − f

) I ]

. (1.6) Pour un sch´ ema de Mori-Tanaka, un algorithme, propos´ e par Doghri et al.

[42], est d´ ecrit ci-dessous. Soit un intervalle de temps [t

, t

]. Connaissant ε

et

∆ε

et les variables d’histoire dans les phases au temps t

, le probl` eme consiste

`

a d´ eterminer la contrainte σ

et le module tangent C

, o` u n + α d´ esigne le temps t

= t

+ α∆t. Les ´ etapes de l’algorithme sont les suivantes :

– Initialisation ⟨ ε ⟩

= ∆ε

.

– Tant que ∥ R ∥ > T OL , o` u T OL est une tol´ erance num´ erique

– 1. Connaissant ⟨ ε

⟩

et ⟨ ∆ε ⟩

, calculer ` a partir du mod` ele non lin´ eaire de l’inclusion le module tangent C

.

2. Calculer la d´ eformation moyenne dans la matrice grˆ ace ` a (1.2) :

⟨ ∆ε ⟩

= ∆ε

− f

⟨ ∆ε ⟩

1 − f

. (1.7)

3. Connaissant ⟨ ε

⟩

et ⟨ ∆ε ⟩

, calculer ` a partir du mod` ele non lin´ eaire

de la matrice le module tangent C

.

4. Extraire la partie isotrope C

de C

(voir justification et d´ etails dans [42]).

5. Calculer le tenseur d’Eshelby pour le module C

6. Calculer les valeurs ` a t

des modules C

et C

:

C

= (1 − α) C

+ α C

i = 0, 1, α ∈ ]0, 1] . (1.8) 7. Calculer le tenseur de concentration B

avec (1.5).

8. V´ erifier la compatibilit´ e de la d´ eformation moyenne dans l’inclusion en calculant le r´ esidu :

R = B

: [f

B

+ (1 + f

) I ]

: ∆ε − ⟨ ∆ε ⟩

. (1.9) 9. SI ∥ R ∥ ≤ T OL ALORS FIN des it´ erations

10. SINON aller en (1) avec la nouvelle d´ eformation moyenne dans l’inclu- sion ⟨ ∆ε ⟩

= ⟨ ∆ε ⟩

+ ξR, ξ ∈ ]0, 1] (1.10) – A convergence, calculer le module tangent C

et la contrainte macrosco-

pique par : C

= [

f

C

: B

+ (1 − f

) C

] : [f

B

+ (1 − f

) I ]

, (1.11)

∆σ = C

: ∆ε, (1.12)

σ

= (1 − α)σ

+ α∆σ. (1.13)

1.2.2 Méthode de second ordre

La m´ ethode d’homog´ en´ eisation non lin´ eaire du second-ordre, propos´ ee par Ponte-Casta˜ neda dans (voir par exemple [76]), est une approche dans laquelle la loi de comportement non-lin´ eaire est de la forme

¯

ε = ∂ u( ¯ ¯ σ)

∂ σ ¯ , (1.14)

o` u la fonction de densit´ e d’´ energie ¯ u du mat´ eriau est obtenue par le probl` eme de minimisation :

¯

u( ¯ σ) = inf σ

σ

∑

c

⟨

u

(σ, x) ⟩

, (1.15)

o` u u

est le potentiel convexe associ´ e au comportement non-lin´ eaire d’une phase

(r). Ce type de loi permet de d´ ecrire la plasticit´ e dans le cadre de la th´ eorie de

la d´ eformation (chargements monotones sans retour ´ elastique), ou de la visco-

plasticit´ e. Dans ce cas, σ et ε sont remplac´ es par leurs d´ eriv´ ees temporelles ˙ σ et

ε, respectivement. La m´ ˙ ethode du second ordre [76] consiste ` a approximer u(σ)

sous la forme :

u(σ) = Argmin

M^(s)0

{

˜ u

(

σ, σ ˘

, M

) −

∑

c

V

(

˘

σ

, M

)}

. (1.16) Dans (1.16), ˜ u

est le potentiel effectif d’un composite lin´ eaire de comparaison avec la mˆ eme microstructure que le composite non lin´ eaire, et o` u M

sont des tenseurs de souplesse d’ordre 4 constants dans chaque phase (inconnus), et o` u V

est une fonction d’erreur. Les tenseurs ˘ σ

sont des contraintes r´ esiduelles uniformes par phase (` a choisir). La fonction erreur est telle que :

V

(

σ ˘

, M

)

= Argmin σ

{

˜ u

(

σ, ˆ σ ˘

, M

) − u

(

σ ˆ

)}

(1.17) ou

∂u

∂σ (

ˆ σ

) − ∂u

∂σ (

˘ σ

)

= M

( ˆ

σ

− σ ˘

)

. (1.18)

L’Eq. (1.16) donne des relations suppl´ ementaires reliant les variables ˆ σ

aux variables ˘ σ

et M

dans le composite lin´ eaire de comparaison. La relation (1.16) peut ˆ etre r´ e´ ecrite comme :

˜ u(σ) =

∑

[ u

( ˆ σ

) − ∂u

∂ σ (

˘ σ

) :

( ˆ

σ

− σ

)]

. (1.19) Le choix de M

est discut´ e, par exemple dans [43]. Les ´ equations (1.18) et (1.16) permettent de d´ eterminer les variables inconnues ˆ σ

et M

pour tout choix de tenseur de r´ ef´ erence ˘ σ

. Dans [76] il est sugg´ er´ e de choisir ˘ σ

= σ

, ou, pour ´ eviter certaines difficult´ es ´ evoqu´ ees dans le mˆ eme article, ˘ σ

= σ.

Cette m´ ethode n´ ecessite d’´ evaluer le tenseur de souplesse effectif du mat´ eriau lin´ eaire de comparaison, avec une m´ ethode d’homog´ en´ eisation lin´ eaire analytique (Mori-Tanaka, mod` ele auto-coh´ erent, etc.).

1.3 Méthodes d’homogénéisation numériques

Dans le cas des mat´ eriaux non lin´ eaires, les estimations de comportement et les

bornes analytiques sont d’une grande importance th´ eorique et pratique lorsque

celles-ci sont applicables. Cependant, en raison des difficult´ es inh´ erentes ` a la r´ eso-

lution des probl` emes locaux non lin´ eaires, ces solutions sont en g´ en´ eral obtenues

pour des hypoth` eses assez restrictives sur la morphologie de la microstructure

et sur les lois de comportement utilis´ ees, et sont insuffisantes pour ˆ etre utilis´ ees

dans des calculs de structures, pour des chargements complexes arbitraires. Les

m´ ethodes d’homog´ en´ eisation num´ eriques, d´ evelopp´ ees depuis quelques ann´ ees,

permettent de d´ epasser ces limitations. Nous pr´ esentons ci-dessous quelques m´ e-

thodes repr´ esentatives de cette classe de techniques d’homog´ en´ eisation.

k k 1 p ¬p +

Conditions aux limites

sur

Résolution du problème Eléments nis non fi

Linéaire Modélisation macroscopique

Résolution Eléments Finis

Figure 1.2 – Repr´ esentation sch´ ematique de la m´ ethode (FE

).

1.3.1 Méthodes multi échelles couplant des calculs à deux échelles (méthodes de type "FE

")

La premi` ere classe de m´ ethode est parfois d´ esign´ ee dans la litt´ erature sous le nom de ”M´ ethode d’El´ ements Finis au carr´ e” (FE

method) [22], ou ”El´ e- ments Finis multi-niveaux”. L’id´ ee de ce type de m´ ethode est de coupler des probl` emes m´ ecaniques ` a deux ´ echelles simultan´ ement, les uns ` a l’´ echelle micro- scopique, l’autre ` a l’´ echelle macroscopique. Ce type de m´ ethode suppose une s´ eparation des ´ echelles, ce qui signifie que les longueurs d’onde caract´ eristiques associ´ ees aux champs de d´ eformations macroscopiques sont beaucoup plus grandes que la longueur caract´ eristique des h´ et´ erog´ en´ eit´ es ` a l’´ echelle microscopique. Le calcul macroscopique (` a l’´ echelle de la structure) fournit les champs de d´ eforma- tions aux diff´ erents points de Gauss du calcul El´ ements finis, ` a une it´ eration de Newton-Raphson, permettant de d´ efinir des conditions aux limites pour tous les VER (Volume El´ ementaires Repr´ esentatifs) correspondants (voir figure 1.2). La r´ esolution de tous les probl` emes non lin´ eaires en chaque point de Gauss fournit par moyenne des contraintes les contraintes macroscopiques et permet de d´ efinir implicitement une relation de comportement contraintes/d´ eformations ` a l’´ echelle macroscopique, pour des comportements et des microstructures arbitraires. Il est

´ egalement possible de prendre en compte des microstructures dont la morpho-

logie ´ evolue. La m´ ethode, nomm´ ee FE

par F. Feyel dans [22], a ´ et´ e propos´ ee

de fa¸con ind´ ependante par un certain nombre d’autres auteurs (voir par exemple

[81],[86],[96],[25]). Des extensions ont ´ et´ e propos´ ees r´ ecemment pour les cas de

l’homog´ en´ eisation du second ordre [46, 47] ou encore pour la r´ eduction des cal-

culs locaux en combinant cette m´ ethode avec des techniques de r´ eduction de

mod` ele par POD [102, 68].

Cette proc´ edure ne n´ ecessite pas de sp´ ecifier la loi de comportement macro- scopique qui est d´ eduite des non-lin´ earit´ es dans le comportement de la micro- structure associ´ ee. Les ingr´ edients de la m´ ethode sont r´ esum´ es ci-dessous :

1. Une mod´ elisation du VER ` a l’´ echelle microscopique

2. Des conditions aux limites impos´ ees sur le VER en fonction des d´ eformations macro en chaque point d’int´ egration

3. Une r´ esolution compl` ete du probl` eme non lin´ eaire sur le VER en chaque point d’int´ egration, pour calculer par moyenne la contrainte macroscopique.

4. une r´ esolution de type Newton-Raphson au niveau macro.

La r´ esolution du probl` eme macroscopique non lin´ eaire n´ ecessite d’´ evaluer l’op´ e- rateur tangent en chaque point d’int´ egration. Une fa¸con d’´ evaluer ce tenseur est d’utiliser une m´ ethode de perturbation (diff´ erences finies) ` a partir des calculs de contraintes moyennes sur le VER [22] :

C

≃ σ

(

ε + δε

)

− σ

(ε)

∆ε

(1.20)

o` u δε

d´ esigne une perturbation sur la composante (kl) et ∆ε

l’amplitude de la perturbation. Ce point est une difficult´ e de la m´ ethode car cette ´ evaluation induit une augmentation importante du nombre de calculs locaux non lin´ eaires ` a effectuer.

Les m´ ethodes de type FE

offrent l’avantage de fournir un cadre g´ en´ eral pour tout type de comportement ou de morphologie, sans restriction. La m´ ethode est tr` es largement r´ epandue, et a ´ et´ e r´ ecemment introduite dans des codes ´ el´ ements finis g´ en´ eraux tels qu’Abaqus [92]. L’inconv´ enient majeur reste cependant la com- plexit´ e des calculs num´ eriques. En effets, le nombre de calculs non lin´ eaires ` a effectuer d´ epend du nombre de points d’int´ egration de Gauss, et donc de la taille du maillage macroscopique. Pour cette raison, les calculs 3D sont prohibitifs ` a l’heure actuelle, et les probl` emes mettant en jeu plus de deux ´ echelles ne sont pas aujourd’hui envisageables. Pour ces raisons d’autres approches, dites s´ equen- tielles, ont ´ et´ e propos´ ees. Bien que beaucoup plus sp´ ecifiques ` a certaines classes de comportements, celles-ci n´ ecessitent des calculs pr´ eliminaires sur un VER, puis le comportement macroscopique est construit a posteriori ` a partir d’informations extraites de ces calculs. Des exemples de ce type de m´ ethodes sont pr´ esent´ ees par la suite.

1.3.2 Méthodes séquentielles

1.3.2.1 Méthode NTFA (Non Uniform Transformation Field Analysis)

Dans cette approche, les constituants sont suppos´ es ˆ etre des mat´ eriaux stan- dards g´ en´ eralises (voir [28] ou [24]). En tout point de chaque mat´ eriau, le com- portement est d´ ecrit par l’´ etat de d´ eformation infinit´ esimal ε et un ensemble de variables internes α d´ ecrivant les ph´ enom` enes irr´ eversibles tels que la plasticit´ e ou l’endommagement. Les contraintes et forces thermodynamiques sont donn´ ees par les relations

σ = w

∂ε (ε, α), Ξ = − ∂w

∂α (ε, α). (1.21)

L’´ evolution des variables internes est donn´ ee par

˙ α = ψ

∂ Ξ (Ξ), ou Ξ = ∂φ

∂ α ( ˙ α), (1.22)

o` u φ et ψ sont des potentiels duaux convexes. Nous d´ ecrivons dans un premier temps bri` evement la m´ ethode TFA (Transformation Field Analysis), propos´ ee initialement par Dvorak [20]. On consid` ere les ´ equations suivantes associ´ ees au probl` eme local d´ efini sur le VER d´ efini dans un domaine ouvert Ω contenant des interfaces d´ esign´ ees collectivement par Γ :

∇ · σ(x) = 0 dans Ω \ Γ, (1.23)

⟨ ε(x) ⟩ = ε (1.24)

σ(x) = C (x) : (ε(x) − ε

(x)) (1.25) o` u (1.24) est associ´ ee ` a des conditions aux limites sur le bord du VER, pour une d´ eformation macroscopique donn´ ee ε (voir Eqs. (2.10)-(2.11) dans le cha- pitre 2) et o` u C (x) est le tenseur ´ elastique, et ε

(x) un champ de d´ eformations an´ elastiques, dues aux ph´ enom` enes dissipatif (plasticit´ e, endommagement, etc.).

En introduisant (1.25) dans (1.23) et en consid´ erant (1.24), la solution en d´ efor- mation du probl` eme lin´ eaire (1.23), (1.24), (1.25) peut ˆ etre exprim´ ee, grˆ ace au principe de superposition, comme :

ε(x) = A (x) : ε +

∫

Ω

D (x, y) : ε

(y)dy. (1.26) Dans (1.26), D est une op´ erateur de Green du quatri` eme ordre d´ efini sur Ω et dy d´ esigne une int´ egration par rapport ` a la variable y. Sous cette forme, en utilisant (1.25) et en exprimant la moyenne des contraintes σ = ⟨ σ(x) ⟩ , on aboutit ` a une expression d´ ependante du champ local an´ elastique complet ε

(x) au niveau microscopique, correspondant ` a un nombre infini de variables internes pour la loi de comportement ` a l’´ echelle macroscopique. L’id´ ee de la m´ ethode TFA est de r´ eduire ce nombre de variables internes en d´ ecomposant ε

(x) sous la forme

ε

(x) =

∑

ε

χ

(x) (1.27)

o` u χ

(x) est une fonction caract´ eristique telle que χ

(x) = 1 dans la phase r et 0 dans le reste du domaine, et ε

un champ de d´ eformations libres uniforme dans chaque phase.

En introduisant (1.27) dans le probl` eme (1.23), (1.24), (1.25), ε(x) peut ˆ etre d´ ecompos´ e comme :

ε(x) = A (x) : ε +

∑

D

(x) : ε

(1.28)

o` u D

(x) sont des tenseurs du quatri` eme obtenus en r´ esolvant le probl` eme (1.23),

(1.24), (1.25) pour ε = 0 et pour des composantes unitaires de ε

(voir plus de

d´ etails dans le chapitre 2.4). En utilisant (1.25) et en prenant la moyenne spatiale sur Ω, on obtient la loi de comportement macroscopique suivante :

σ = C : ε +

∑

D

: ε

(1.29)

avec

C = ⟨C (x) : A (x) ⟩ (1.30)

et D

= ⟨

C (x) : {

D

(x) − I χ

(x) }⟩

(1.31) avec I le tenseur identit´ e du quatri` eme ordre. La loi de comportement d´ epend ` a pr´ esent d’un nombre fini N de variables internes, dont l’´ evolution est donn´ ee par (voir [65]) :

˙

ε

= ∂ψ

∂Ξ

( Ξ

, Ξ

)

, β ˙

= ∂ψ

∂Ξ

( Ξ

, Ξ

)

, (1.32)

o` u

Ξ

= σ

− X

, X

= ∂ (w

)

∂ε

(ε

) , (1.33) Ξ

= − ∂ (

w

)

∂ β (β

) , σ

= ⟨ σ(x) ⟩

. (1.34) Il a ´ et´ e montr´ e que la m´ ethode TFA donnait des r´ esultats peu pr´ ecis en pratique [89]. Une solution pour am´ eliorer la qualit´ e de l’approximation est de subdiviser les sous-domaines associ´ es aux champs de d´ eformations an´ elastiques uniformes, mais au prix d’un accroissement important du nombre de variables internes.

La m´ ethode NTFA (Non Uniforme Transformation Field Analysis) propos´ ee par Michel et Suquet [65] remplace la d´ ecomposition (1.27) par une d´ ecomposition o` u les champs de d´ eformations libres an´ elastiques sont non uniformes :

ε

(x) =

∑

ε

(x)α

. (1.35)

Cette d´ ecomposition est compl´ et´ ee par plusieurs hypoth` eses sur les modes an´ elastiques, comme l’incompressibilit´ e des modes plastiques (tr (ε

(x)) = 0), l’orthogonalit´ e des modes ( ⟨ ε

(x) : ε

(x) ⟩ = 0, s ̸ = r) et la normalit´ e de ceux- ci (

⟨ (ε

)

⟩

= 1), avec (.)

d´ esignant la partie d´ eviatorique d’un tenseur du second ordre. Plus de d´ etails sont fournis dans le chapitre 2.4.

Un mod` ele a ´ et´ e propos´ e dans [65] pour d´ ecrire l’´ evolution des variables in-

ternes. Les modes an´ elastiques ε

(x) peuvent ˆ etre d´ etermin´ ees par simulations

num´ eriques en appliquant des chargements repr´ esentatifs sur le VER. Une m´ e-

thode efficace pour la s´ election des modes est la m´ ethode POD (Propper Ortho-

gonal Decomposition) [39], qui permet de s´ electionner les modes orthogonaux les

plus repr´ esentatifs ` a partir d’une collection de modes ´ echantillonn´ es [82]. L’´ evolu-

tion des variables internes est un point cl´ e et d´ elicat. Dans le cas ´ elastoplastique

parfait avec retour ´ elastique, la m´ ethode NTFA n’a ` a notre connaissance pas ´ et´ e

d´ evelopp´ ee, en particulier avec une m´ ethodologie permettant de d´ ecrire l’´ evolution des variables internes macroscopiques pouvant d´ ecrire l’´ evolution d’un domaine

´ elastique macroscopique. Ce point fera l’objet du chapitre 2.4 de cette th` ese.

1.3.2.2 Méthodes d’interpolation de bases de données

D’autres approches ont ´ et´ e propos´ ees, dans l’objectif de construire des m´ e- thodes multi ´ echelles num´ eriques s´ equentielles ne n´ ecessitant pas de retour ` a l’´ echelle microscopique lors des calculs macroscopiques de structures h´ et´ erog` enes.

Plusieurs auteurs ont notamment introduit des m´ ethodes s´ equentielles o` u des bases de donn´ ees pr´ e-calcul´ ees sur un VER sont utilis´ ees pour d´ eduire la loi de comportement ` a l’´ echelle macroscopique [95, 91, 93, 94, 101, 98, 15].

Dans [101, 103], une m´ ethode a ´ et´ e propos´ ee, baptis´ ee m´ ethode de potentiels num´ eriques, dont l’id´ ee est de repr´ esentater num´ eriquement le potentiel effectif associ´ e ` a la loi de comportement homog´ en´ eis´ ee du mat´ eriau h´ et´ erog` ene non li- n´ eaire. Nous d´ eveloppons plus en d´ etails cette m´ ethode dans le chapitre 4.5 et en proposons des extensions pour les probl` emes d’homog´ en´ eisation non lin´ eaires ´ elas- tiques dont les param` etres de la microstructure (fraction volumique, param` etres du comportement des phases) peuvent ´ evoluer.

1.4 Conclusion

Nous avons pr´ esent´ e dans ce chapitre plusieurs m´ ethodes, analytiques et num´ e- riques, pour r´ ealiser l’homog´ en´ eisation des mat´ eriaux h´ et´ erog` enes non lin´ eaires.

Bien que ces m´ ethodes soient de plus en plus d´ evelopp´ ees, un certain nombre de points restent bloquants pour des applications en calcul des structures :

1. Les m´ ethodes analytiques et semi-analytiques restent limit´ ees ` a des cas simples de comportement et de morphologies de microstructures.

2. Les m´ ethodes num´ eriques de type FE

sont extrˆ emement coˆ uteuses en temps de calcul et ne permettent que de traiter des probl` emes de petite taille et pour deux ´ echelles au plus.

3. Les m´ ethodes num´ eriques s´ equentielles permettent de lever la difficult´ e des coˆ uts num´ eriques en s´ eparant les calculs micro (pr´ eliminaires) des calculs macroscopiques de structures. Cependant celles-ci sont g´ en´ eralement sp´ e- cialis´ ees pour un type de comportement donn´ e et entraˆınent un nombre de calculs num´ eriques locaux tr` es important lorsque les espaces des param` etres d´ ecrivant le comportement, d´ efini par les d´ eformation macroscopiques et ` a d’autres coefficients associ´ es aux phases, est grand.

4. Dans le cadre de la m´ ethode NTFA, il n’a pas ´ et´ e propos´ e, ` a notre connais- sance, de m´ ethode permettant l’actualisation des variables internes pour des composites ´ elastoplastiques permettant de d´ ecrire un domaine ´ elastique macroscopique avec de possibles cycles de charge et d´ echarge.

Motiv´ es par ces constats, nous proposons dans le cadre de cette th` ese des exten-

sions ` a deux m´ ethodes s´ equentielles num´ eriques. Premi` erement, nous ´ etendrons

la m´ ethode NTFA au cadre ´ elastoplastique parfait. En effet dans la litt´ erature

la m´ ethode n’a ´ et´ e d´ evelopp´ e jusqu’` a pr´ esent que pour les cas viscoplastiques

[82] ou visco´ elastiques [23] et ne prend pas en compte un domaine ´ elastique ma-

croscopique. Deuxi` emement, nous proposerons une extension ` a la m´ ethode des

potentiels num´ eriques [101, 103] permettant de traiter les probl` emes 3D, aujour- d’hui limit´ es par le nombre de calculs pr´ eliminaires, associ´ es ` a un domaine d´ efini dans un espace de dimension 6 et pour des param` etres microstructuraux pouvant

´ evoluer.