Swaps de volatilité et modélisation GARCH : Evaluation et application à l indice TMP du marché financier marocain

Swaps de volatilité et modélisation GARCH : Evaluation et application à l’indice TMP

du marché financier marocain

Mohammed MRAOUA ^∗ Ingénieur financier, actuaire

Groupe OCP, Casablanca Décembre 2003

Résumé

Mots-clés : Evaluation, GARCH, Swaps, TMP, Volatilité.

Les swaps de volatilité et de variance sont des produits dérivés nouveaux, à la mode depuis 1998. cet article présente une solution analytique pour évaluer les swaps de volatilité, basée sur un processus GARCH(1,1) et développée par Javaheri et al. (2002). Nous commençons par introduire les concepts de base des swaps de volatilité. Nous appliquons par la suite la solution analytique pour évaluer un swap de volatilité sur l’indice TMP du marché financier marocain.

Abstract

Keywords : GARCH, Pricing, Swaps, TMP, Volatility.

Volatility swaps and variance swaps are new derivative products, in fashion since 1998. This paper presents an analytical solution for pricing volatility swaps, based on a GARCH (1,1) volatility process and developed by Javaheri et al. (2002).

First, we introduce the concepts of volatility swaps. Second, we apply the ana- lytical solution to price a swap on the volatility of the TMP Moroccan index.

∗Hay Wahda, Rue 196, N˚ 4778, Kénitra, Maroc ; Téléphone : (+212) 67 15 19 67 ou (+212) 74 25 84 72 ; Email : mraoua@lexpress.net ou mraoua@altern.org.

1 Introduction

Il est bien connu que la volatilité de la majorité des prix des actifs financiers évolue de façon imprévisible une fois que les niveaux des actifs sous-jacents changent, Hestonet al.(2000).

Les marchés OTC (Over-The-Counter ou marchés de gré à gré) ont développé le trading des swaps de volatilité. Ces derniers produits offrent un moyen simple pour traiter les opérations de trading relatives à la volatilité.

Les swaps de volatilité n’ont commencé à être utilisés qu’à partir de l’année 1998 suite à l’effondrement de la société LTCM (Long Term Capital Mana- gement) quand les niveaux des indices dépendant de la volatilité ont flambé de façon spectaculaire et inattendue. Les fonds de couverture ont tiré avan- tage de cette situation en payant la variance sur les swaps et en achetant la volatilité implicite réalisée à des niveaux élevés.

L’objectif de cet article est de présenter la méthode d’évaluation (pricing) des swaps de volatilité en se basant sur un modèle GARCH(1,1). Dans ce cadre, nous présentons la solution analytique proposée par Javaheri et al. (2002) que nous appliquons à l’indice TMP du marché interbancaire marocain. Les équations obtenues à partir de la solution analytique sont programmées en code VBA (Visual Basic for Applications) et implémentées sur un tableur Excel, ceci dans le but de construire un pricer de swaps de volatilité.

2 Définitions

Le swap de variance (ou de volatilité) est un contrat à terme sur la variance annualisée dans lequel un investisseur qui paye un montant fixeK_var/1 MAD comme nominal à l’échéance, reçoit le montant variableσ²_R/1 MAD comme nominal.K_varest le prix d’exercice (variance annualisée) etσ_R² est la variance réalisée annualisée.

La mesure de la variance réalisée qui va être adoptée est définie au début du contrat, une formule typique de cette mesure serait

1 T−1

XT

i=1

µS_i−S_i−1 S_i−1

¶₂

(1) où T est égale au nombre de jours travaillés jusqu’à l’échéance etS_i repré- sente le prix clôturé du sous-jacent.

En temps continu, l’équation (1) s’écrit de la façon suivante σ²_R= 1

T Z _T

0

σ²(t)dt (2)

Le payoff à l’échéance est égale à¡

σ_R² −K_var¢

. Donc à l’échéance, le déten- teur du swap de variance reçoitN dirhams pour chaque point par lequel la variance réalisée σ²_R du sous-jacent excède le prix fixeK_var

¡σ²_R−K_var¢

×N (3)

Le détenteur swappe¹ ainsi une volatilité fixe K_var en une volatilité future réelle ou variable σ²_R. Le prix fixe K_var (ou K_vol) est coté comme une vo- latilité, par exemple 15%. Le montant notionnel est typiquement côté en dirhams par point de volatilité, par exempleN = 1 000 000MAD/(point de volatilité).

3 Méthode d’évaluation

3.1 Introduction

Cet article présente une solution analytique pour évaluer les swaps de volati- lité, cette solution est basée sur un processus GARCH(1,1) et a été dévelop- pée par Javaheri et al. (2002). Dans cette section nous présentons dans un premier temps, l’approche générale de construction de la solution que nous détaillons dans le cas particulier d’un processus GARCH(1,1), et dans un deuxième temps, nous traitons un cas pratique en évaluant un contrat de swap de volatilité sur l’indice TMP du marché interbancaire marocain.

Notons que les swaps de volatilité peuvent avoir comme sous-jacent une multitude de produits financiers (des taux d’intérêt, des taux de change, des indices boursiers, etc.). Le choix de l’indice TMP² dans cet article n’est pas fortuit. En effet ce choix répond à des considérations et contraintes qui carac- térisent le marché financier marocain, dont nous citons les deux principales : – Les opérations sur les swaps en général exigent qu’il y ait des taux de référence (variables) sur le marché comme c’est le cas du taux LIBOR sur la place de Londres ou le taux PIBOR sur la place de Paris. Le marché des taux au Maroc et plus particulièrement le marché interbancaire ne fournit comme taux variable (officiel) que le TMP qui est un taux journalier. Tou- tefois, il est possible qu’à partir du TMP nous puissions dériver d’autres taux variables dont la maturité dépasse une journée par exemple le TMP mensuel, le TMP annuel, etc. (Cf. mraoua (2002)).

1C’est-à-dire il y a échange de volatilités fixe contre variable, d’où l’origine du mot swap qui veut dire échanger en anglais.

2TMP : Taux Moyen Pondéré, est la moyenne des taux échangés sur le marché des dépôts interbancaires au jour le jour, pondérés par les capitaux correspondants. Ce taux est publié chaque jour par Bank Al Maghreb (Banque centrale marocaine). Il correspond aux transactions du jour ouvré précédent.

– Le seul taux variable de référence que nous avons au niveau du marché in- terbancaire à savoir le TMP est un taux post-compté (à l’instar de quelques taux de référence français), tandis que la majorité des taux de référence variables sur les autres places sont pré-comptés.

3.2 Approche générale

Avant d’aller plus loin, Demeterifi et al. (1999) nous rappellent que pour le calcul de la volatilité réalisée il y a quelques aspects qui doivent être pris en considération :

– La fréquence de la source et des observations des actions ou des indices de prix. Par exemple, dans notre cas, nous avons utilisé l’indice TMP.

– Le facteur d’annualisation pour passer des observations quotidiennes à la volatilité annualisée, par exemple nous avons utilisé 261 jours travaillés par an comme facteur multiplicatif pour calculer la variance annualisée à partir des rendements quotidiens de l’indice TMP.

Dans un swap de variance, la variable inconnue est l’espérance de la volatilité réalisée. Donc afin de l’évaluer, nous utilisons dans un premier temps, une approche basée sur les équations aux dérivées partielles pour la détermination du premier et du second moment de la variance réalisée et ce dans les deux contextes discret et continu et dans un deuxième temps, nous approximons la volatilité réalisée.

La variable inconnue estE[σ²] =E[V]avecσ²la volatilité au carré. Elle peut être retrouvée en utilisant les modèles stochastiques standard de volatilité.

Le prix délivré du swap de variance est E[σ²] = E[V] car le prix de tout swap est égal à zéro à l’émission. Pour le swap de volatilité, l’espérance de la volatilité réalisée est E[√

V] = E[σ]. Cette mesure n’est pas disponible directement à partir du processus stochastique des modèles standard. Dans ce cas, nous devons utiliser une approximation comme celle de Brckhaus et Long³ pour la trouver, mais avant, nous devons calculer tout d’abord le swap de variance.

Comme il a été dit, la volatilité réalisée est la racine carrée de la variance et nous savons que l’espérance de la racine carrée d’une variable aléatoire est plus petite que la racine carrée de son espérance (inégalité de Jensen).

La différence entre le swap de volatilité et le swap de variance réside dans l’ajustement convexe qui lie les deux grandeurs, ce qui donne le résultat

3Cette approximation est un développement de Taylor d’ordre 2 de la fonction racine carrée appliquée à la variable V au voisinage du point E[V0]. L’annexe [A] donne les aspects formels de cette approximation.

suivant, équation (4) E[√

V]≈p

E[V]− var(V)

8E[V]^3/2 (4)

avec _8E[V^var(V_]3/2⁾ est l’ajustement convexe.

3.3 Modèle de volatilité, cas particulier : GARCH(1,1) Le modèle stochastique de la variance dans un contexte temporel continu est donné par l’équation (5)

dv =κ(θ−v)dt+γvdX (5)

avecκ la vitesse d’ajustement au tour de la valeur centrale θ,γ la volatilité du carré de la volatilité etdX un processus de Wiener.

Dans le cadre de la modélisation GARCH(1,1), nous pouvons écrire⁴ θ= V

dt (6)

κ= 1−α−β

dt (7)

γ =α

rξ−1

dt (8)

où α et β sont les paramètres du modèle GARCH(1,1) : α =ARCH(1,1), β=GARCH(1,1)etξ la kurtosis de Pearson.

Soit

I = Z _T

0

v(t)dt (9)

Pour calculer l’ajustement convexe, nous avons besoin deE[I] et de var[I].

Iest la variance durant toute la vie du contrat etvest la variance instantanée en chaque point de l’axe temps. Plus exactement, nous devons écrire

I = 1 T

Z _T

0

v(t)dt (10)

En faisant cela, nous nous rendons compte que la volatilité va coïncider avec la volatilité instantanée et nous pouvons ainsi évaluer le swap tout au long

4Pour la relation entre un processus GARCH(1,1) et un processus stochastique, nous nous sommes inspiré de Javaheriet al.(2002), qui avec Théoretet al.(2002) constituent les articles de base pour ce papier.

de sa durée de vie. Toutefois et pour des raisons de simplicité, nous n’allons pas en tenir compte.

La formule de Feynman-Kac nous permet d’écrire

∂

∂t+1

2g(v)² ∂²

∂v² +f(v) ∂

∂v +v ∂

∂I = 0 (11)

NotonsF(v, I, T) =E[I]etG(v, I, T) =E[I²].

La variance deI est donnée parvar(I) =G−F². Dans le cas d’un processus GARCH(1,1), nous pouvons utiliser la formule de Feynman-Kac pour trouver F, et nous pouvons écrire

∂F

∂t +1

2γ²v²∂²F

∂v² +κ(θ−v)∂F

∂v +v∂F

∂I = 0 (12)

En résolvant l’équation (12), la solution pour F(v, I, T) est donnée par l’équation (13)

F(v, I, T) =θ Ã

T−t+e^{−κ(T−t)−1} κ

! + 1

κ

³

1−e^−κ(T−t)

´

v+I (13) G(v, I, T) satisfait l’équation (12) avec G(v, I, T) =I² et nous obtenons

G(v, I, T) =f(t) +g(t)v+h(t)v²+l(t)I+n(t)vI+I² (14) avec

f(t) = θ²(T−t)²−4θ²(γ²−κ) κ(γ²−2κ)

Ã

T −t+e^−κ(T−t)−1 κ

!

(15)

− 4θ²κ² (γ²−κ)²(γ²−2κ)

Ã

1−e^{(γ2−2κ)(T−t)}

(γ²−2κ) + 1−e^−κ(T−t) κ

!

− 2θ²(γ²+κ) (γ²−κ)

µ

e^−κ(T−t)T−t κ + 1

κ²(e^−κ(T−t)−1)

¶

g(t) = 2θ

κ(T−t)− 4θ(γ²−κ) κ²(γ²−2κ)

³

1−e^−κ(T−t)

´

(16)

+ 4θκ

(γ²−κ)²(γ²−2κ)

³

e^{(γ2−2κ)(T−t)}−e^−κ(T−t)

´

+ 1

(γ²−2κ) +4θ(γ²+κ)

κ(γ²−κ) (T−t)e^−κ(T−t)

h(t) = 2

κ(γ²−2κ)

³

e^{(γ2−2κ)(T−t)}−1

´

(17)

− 2 κ(γ²−κ)

³

e^{(γ2−2κ)(T−t)}−e^−κ(T−t)

´

l(t) = 2θ Ã

T−t+e^−κ(T−t)−1 κ

!

(18)

n(t) = 2 κ

³

1−e^−κ(T−t)

´

(19)

3.4 Application numérique

Nous examinons ici un cas pratique où un trader voudrait évaluer la jambe fixe d’un swap de volatilité ayant comme sous-jacent la volatilité de l’indice TMP du marché interbancaire marocain.

Nous avons travaillé sur une série de sept années de l’indice TMP (du 01 jan- vier 1996 jusqu’au 31 décembre 2002). Nous n’avons pris en considération que les cinq jours travaillés de la semaine⁵, ce qui nous a fait un total de 1827 observations.

Echantillon 1/01/1996 - 12/31/2002

Observations 1827

Moyenne -0.000432

Médiane 0.000000

Maximum 0.710000

Minimum -0.490000

Ecart Type 0.065045

Skewness 0.602065

Kurtosis 23.96675

Jarque-Bera 33575.28

Probabilité 0.000000

Tab. 1 – Statistiques descriptives des rendements logarithmiques du TMP L’examen de l’histogramme de la figure Fig. 1 montre que la distribution des rendements logarithmiques de l’indice TMP est très luptokurtique.

La figure Fig. 2 montre une grande volatilité de la série des rendements logarithmiques de l’indice TMP ce qui nous fait penser à un effet d’hétéros- cédasticité conditionnelle. Une analyse économétrique approfondie, qui ne fait pas l’objet de cet article, prouve cette affirmation et suggère une régres- sion du type GARCH(1,1).

Les résultats de la régression GARCH(1,1) (coefficientsα =ARCH(1,1)et

5Notons que le TMP des samedi, dimanche et des jours fériés est celui du dernier jour travaillé.

Fig.1 – Histogramme des rendements logarithmiques du TMP

Fig. 2 – Volatilité des rendements logarithmiques du TMP

β =GARCH(1,1)) ainsi que l’ensemble des inputs dont nous avons besoin pour évaluer notre swap de volatilité apparaissent dans le tableauTab. 2 I est égal à 0 à la date d’émission du swap.

En appliquant la solution analytique proposée par Javaheri et al.(2002) et que nous avons implémentée à l’aide du code VBA au niveau d’un pricer Excel, nous avons trouvé les résultats présentés dans le tableau Tab. 3⁶. Le graphiqueFig. 4 montre que l’ajustement convexe du swap de volatilité décroît avec sa maturité, cela s’explique par le fait que la volatilité de la volatilité sur une longue période est faible.

6Ces estimations sont faites pour une maturité d’une année.

Input Description Valeur

α ARCH(1,1) 0.2542485836

β GARCH(1,1) 0.0003270370

ζ Kurtosis de Pearson 23.96675

V _{(1−α−β)}^c 0.0042271644

dt ₂₆₁¹ 0.003831

θ ^V_dt 1.1032899320

κ ^{(1−α−β)}_dt 194.5557629877

γ α

q(ξ−1)

dt 19.4689443354

v Dernière variance observée 7.00%

Tab. 2 – Inputs pour l’évaluation du swap de volatilité

Output Valeur

F(v, I, t) =E[I] 109.7978910077%

f(t) 268.3439513859%

g(t) 2.2390738715%

h(t) 0.5070767742%

l(t) 219.5238232115%

n(t) 1.0279829131%

G(v, I, t) =E[I²] 268.5031712331%

var(I) =G−F² 147.9474025357%

Ajustement convexe 16.0740886945%

Prix non ajusté 104.7844888367%

Prix ajusté 88.7104001422%

Tab. 3 – Résultat de l’évaluation du swap de volatilité sur TMP

Fig.3 – Prix non ajusté vs Prix ajusté du swap de volatilité sur TMP

Fig. 4 – Ajustement convexe du swap de volatilité sur TMP

4 Conclusion

Dans cet article, nous avons présenté un nouveau produit financier à savoir les swaps de volatilité. Nous avons utilisé, pour leur évaluation, la solution proposée par Javaheri et al. (2002). Nous avons appliqué cette solution sur des données du marché financier marocain par l’exemple de l’indice TMP du marché interbancaire.

Les résultats obtenus sont vraisemblables, mais il faut que des praticiens du marché financier marocain puissent les tester afin d’examiner leur étendue pratique. Les mêmes modèles utilisés dans cet article ont été testés sur des données américaines (S&P 500 SPX) et canadiennes (S&P 60 Canada in- dex). Les résultats étaient alors satisfaisants et rejoignent ceux trouvés par Javaheriet al.(2002) pour le marché américain et Théoretet al.(2002) pour le marché canadien. Toutefois, nous tenons à signaler la très forte luptokur- ticité de la distribution de l’indice TMP sur la période prise en compte pour l’estimation des paramètres du GARCH(1,1) (ξ= 23.96675À3).

Un intérêt particulier a été accordé dans cet article aux techniques d’estima- tion et d’implémentation des modèlesGARCH, dans ce sens nous avons es- sayé différents outils pour l’estimation des paramètres tels que Excel, EViews et RATS.

Remerciements

Je tiens à remercier Said Akram (Office des Changes, Rabat), Mouhama- dou Bamba Diop (UNIDEP, Dakar) et Sanaa Sabbagh (Groupe OCP, Casa- blanca) d’avoir bien voulus lire le manuscrit et me faire part de leurs com-

mentaires. Je remercie particulièrement Alireza Javaheri (Royal Bank of Ca- nada, RBC Capital Markets, NY) pour l’intéressant échange de courrier que j’ai eu avec lui et pour l’aide qu’il m’a apportée au niveau de l’estimation des paramètres du GARCH, ce qui m’a permis de revoir et de corriger mes premières estimations.

Les opinions exprimées dans cet article sont de la responsabilité de l’auteur et ne reflètent en rien celles de l’organisme où il travaille.

Références

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Annexes

A Une preuve rapide de l’approximation de Brock- haus et Long

Nous voulons approximer la fonctionF(x) =x^1/2 qui a la forme prise par la volatilité.

Le développement de Taylor de degré deux appliqué à la fonctionF(x) au voisinage du pointx₀ donne

F(x)≈F(x₀) +F⁰(x₀)(x−x₀) +1

2F⁰⁰(x₀)(x−x₀)² Et sachant que

F⁰(x) = 1 2x^1/2 F⁰⁰(x) =− 1

4x^3/2 Nous obtenons alors par substitution

F(x) ≈ x^1/2₀ +1 2

x−x₀ x^1/2₀ −1

8

(x−x₀)² x^3/2₀

≈ x+x₀

2x^1/2₀ −(x−x₀)² 8x^3/2₀

En remplaçantx parv etx₀ parE[v], nous obtenons v^1/2 ≈ v+E[v]

2E[v]^1/2 −(v−E[v])² 8E[v]^3/2

et en appliquant l’opérateur espérance E[.] des deux côtés de la formule précédente, nous obtenons

E[√

v]≈ E[v] +E[v]

2p

E[v] −E£

(v−E[v])²¤ 8E[v]^3/2 Soit finalement

E[√ v]≈p

E[v]− var(v) 8E[v]^3/2 qui est l’approximation de Brockhaus et Long.

B Estimation du GARCH(1,1) et implémentation sur un chiffrier Excel

Dans cette annexe, nous décrivons très brièvement le modèle GARCH (Gene- ralized Conditional Autoregressive Heteroscedasticity) qui a été implémenté au niveau d’un chiffrier Excel pour estimer les inputs de notre swap de vola- tilité. Pour de plus amples explication, on peut voir par exemple Gouriéroux (1997).

Nous avons

σ_t² =γV +ασ_t−1² +βU_t−1² avecγ+α+β = 1

Si nous posonsω=γV, le modèle GARCH(1,1) devient σ_t²=ω+ασ_t−1² +βU_t−1²

avecV = _1−α−β^ω Ou bien

σ_t²= (1−α−β)V +ασ_t−1² +βU_t−1² avecV = _1−α−β^ω

(1,1) dans GARCH(1,1) indique que σ_t² est basée sur les observations les plus récentes deU² et sur la plus récente estimation de σ².

Pour l’estimation des paramètres du GARCH(1,1), nous utilisons la méthode du maximum de vraisemblance, et nous cherchons les paramètresα,β etω qui maximisent les quantités

Yn

i=1

√1

2πv_i exp µ−U_i²

2v_i

¶

ou bien

Xn

i=1

µ

−ln(v_i)−U_i² v_i

¶

La maximisation peut être obtenue avec un tableur Excel en ajoutant les contraintes suivantes sur la fonction-objectif, à savoir





0< α <1 0< β <1 α+β <1