Conception intégrée assistée par ordinateur

par ordinateur

par

Mounib MEKHILEF

Maître de conférences en Productique à la faculté des sciences de Bourges Responsable de recherche au laboratoire Productique de l’École centrale de Paris et

Bernard YANNOU

Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan Maître de conférences en Mécanique

Laboratoire Productique-Logistique École centrale de Paris

’industrie manufacturière est une organisation structurée qui utilise des moyens tant humains et matériels que logiciels pour spécifier, concevoir, in- dustrialiser, fabriquer, distribuer et recycler des produits. Le champ transversal de connaissances utilisé par ce type d’industrie, qui modélise les flux de matières et d’informations de manière à optimiser le triptyque qualité, coût, délais, est celui de la productique (au sens large : science du produit) ou du génie industriel. Cette op- timisation doit intégrer de plus en plus les paramètres de tout le cycle de vie du produit ; elle doit se faire de plus en plus tôt, afin de réduire les coûts de modifica- tion, de destruction ou de création dans une des étapes de ce cycle. Elle nécessite l’intégration de tous les paramètres dès les premières spécifications, ce qui induit une organisation en parallèle des tâches afférentes au produit que l’on appelle l’in-

tiellement, par une nouvelle organisation des entreprises et de nouveaux modes de gestion des projets. La satisfaction de cet objectif ambitieux est en train de don- ner naissance à une nouvelle génération d’outils informatiques qui transcendent totalement la notion traditionnelle de conception assistée par ordinateur (CAO).

L’objectif de cet article est, à la fois, de présenter les premiers développements et les concepts établis de la CAO, ainsi que de donner au lecteur les moyens d’appréhender les nombreuses (r)évolutions actuelles et futures, en tenant compte des problématiques des industries manufacturières et des difficultés de modélisation informatique.

1. Besoin d’outils théoriques pour la CISC... BM 5 006 - 2

1.1 Classes d’informations... — 3

1.2 Modélisation du produit ... — 4

1.3 Décompositions en CISC ... — 7

2. Modeleurs géométriques en CFAO... — 10

2.1 Modélisation géométrique ... — 10

2.2 Modélisation sous contraintes ... — 15

3. Qu’est-ce qu’un logiciel de CFAO ?... — 27

3.1 Modules classiques d’un logiciel de CAO ... — 27

3.2 Modules facultatifs ... — 28

3.3 Plates-formes de conception intégrée ... — 29

3.4 Systèmes de gestion de données techniques... — 30

3.5 Plates-formes de développement d’applications CFAO ; standards ... — 31

4. Conclusion : évolutions présentes et avenir de la CAO... — 31

4.1 Futur des modeleurs ... — 31

4.2 Vers plus de CISC ... — 32 Pour en savoir plus... Doc. BM 5 006

L

L’informatique a révolutionné les habitudes de travail des entreprises manu- facturières. Elle est vite devenue indispensable pour la gestion des informations de l’entreprise, pour le calcul scientifique au travers de logiciels d’analyse ou de simulation et, enfin, pour résoudre des problèmes directement liés à la géomé- trie des produits, ce qu’on appelle communément la conception et fabrication assistées par ordinateur (CFAO).

La CFAO, et plus particulièrement la CFAO mécanique à laquelle nous nous intéressons, a atteint désormais l’objectif premier qu’elle s’était donné : savoir

la simulation de fabrication, la simulation cinématique et dynamique, le calcul de structures, l’imagerie de synthèse…

Une fois ces problèmes de représentation géométrique résolus, on s’est rendu compte qu’il était plus utile de modéliser le processus de conception de la géo-

donné naissance à la modélisation sous contraintes qui a radicalement changé la pratique de la CFAO dans les bureaux d’études. À l’heure actuelle, nous nous situons vers la fin de cette révolution.

Une autre révolution débute, qui a eu ses germes au début des années quatre- vingt-dix. Il s’agit de l’apparition du SGDT (système de gestion des données techniques), sorte de base de données unique de l’entreprise liant les données de gestion et les données issues de la CFAO et du calcul scientifique, cela à tra- vers le temps et avec une dimension gestion de projets. Les SGDT traduisent une volonté d’intégration des informations pour une mise en œuvre de la simul-

sur le marché rapide d’un produit de qualité et d’un faible prix de revient : il s’agit d’une tentative de mise en œuvre de la CISC [conception intégrée, simul- tanée et concourante (concurrent engineering en anglais)].

Les SGDT, tout comme la modélisation sous contraintes, et même la CISC ne sont que des moyens temporaires et un objectif limité pour répondre aux problé- matiques des entreprises manufacturières. Ainsi, de manière à mieux compren- dre l’historique de la CFAO, les enjeux et les manquements actuels des outils de la CISC et pour préparer le lecteur aux nombreuses (r)évolutions futures de l’informatique des entreprises manufacturières, nous avons délibérément choisi de commencer par évoquer les difficultés théoriques qui apparaissent à la mise en œuvre informatique de la CISC, ainsi que quelques éléments de formalisation théorique. Cela nous donnera le vocabulaire et nous permettra de situer, par la suite, le passé et le présent du cœur des logiciels de CAO : les modeleurs géo- métriques. Nous développons enfin les solutions logicielles actuelles et la mise en œuvre des principes de la CISC. Nous tenterons en conclusion d’envisager quelques tendances d’évolution de la CAO.

1. Besoin d’outils théoriques pour la CISC

La maîtrise du cycle de vie du produit et de son processus de conception dans le cadre de la conception intégrée, ne peut se

contenter de la représentation des seuls paramètres géométriques qui le définissent ni encore des seules informations liées au proces- sus suivi pour sa conception. La recherche de l’optimum dans le triptyque qualité-coût-délais nous impose de structurer les informa- tions pertinentes qui caractérisent le produit, son environnement et les événements générés pendant les phases de conception et d’industrialisation.

Définition : le cycle de vie d’un produit est l’ensemble des opérations qui contribuent à la naissance du produit, à son utili- sation puis à sa destruction.

Ce cycle comprend les phases de conceptualisation, évolu- tion, marketing, conception, de réalisation de prototype, de test, de production, de mise sur le marché, du suivi et de l’après- vente, de la gestion, de l’amélioration et de retrait ou du recy- clage du produit.

Exemple :dans l’industrie manufacturière, et dans le cadre d’un nouveau projet, il arrive souvent de reprendre la définition géométri- que d’une pièce existante pour l’adapter au nouveau besoin. Ce pro- cessus peut se répéter plusieurs fois dans le cadre de projets différents. La justification de l’existence d’une fonction mécanique sur une pièce donnée peut être perdue, il en découle trois possibilités : on retire la fonction, on la modifie ou on la garde. D’où la nécessité de garder l’information justifiant l’existence de cette fonction.

L’histoire récente de l’industrie manufacturière nous montre qu’il y a eu plusieurs étapes dans la recherche de l’optimum : maîtrise des flux de production pour réduire les coûts, des espaces de travail dans les ateliers, de l’organisation des entreprises, des composants technologiques (standardisation et regroupements) ; se pose aujourd’hui, sous la contrainte de compétitivité, le pro- blème général de la configuration optimale du produit et de son environnement. En d’autres termes, il s’agit d’intervenir sur l’ensemble des éléments qui définissent le produit durant tout son cycle de vie, pour trouver les meilleurs compromis. L’analyse sépa- rée des différents éléments qui définissent le produit et son envi- ronnement met en évidence la taille et la variété des informations nécessaires pour sa représentation. Ces informations sont souvent interdépendantes et parfois redondantes.

Dans le cadre de la conception intégrée, simultanée et concou- rante, l’objectif est de maîtriser l’ensemble de ces informations.

Pour prétendre y arriver un jour, nous avons besoin de procéder par regroupements, de structurer ces informations et de construire des modèles conceptuels susceptibles d’être génériques. Nous don- nons, dans les paragraphes qui suivent, la structuration la plus acceptée aujourd’hui ainsi que les regroupements construits pour définir des modèles conceptuels de produit.

1.1 Classes d’informations

Les besoins, aujourd’hui formulés par le concept d’ingénierie simultanée et concourante, nécessitent une représentation plus

riche et mieux organisée des informations relatives à la conception d’un produit. Il est un fait qu’un produit mécanique (mais également tout produit d’une conception) est le fruit de la conjugaison de moyens matériels, de structures physiques et logistiques, de compétences techniques et d’un cahier des charges fonctionnel.

Cette remarque permet de comprendre qu’un produit ne peut être entièrement représenté, que si l’on arrive à exprimer l’ensemble des informations relatives à sa conception, tout en gardant à l’esprit le caractère ingénierie concourante, qui autorise les acteurs interve- nant tout au long du cycle de vie du produit en conception à poser des contraintes et à prendre des décisions.

Cela se traduit par la formalisation d’informations que nous clas- sons comme suit(figure 1) :

— celles relatives à la description tant fonctionnelle et structurelle que physique du produit supposé répondre en fin de conception au cahier des charges fonctionnel (CDCF) (cf. § 3) ;

— celles relatives au processus suivi ou à suivre pour la concep- tion d’un produit, c’est-à-dire les informations sur les différentes tâches effectuées et sur leur chronologie ;

— celles relatives aux moyens humains, matériels et logiciels mis en œuvre pour le processus de conception du produit (figure 1) ;

— celles relatives à l’environnement dans lequel a évolué le pro- duit, aux objectifs tant stratégiques, tactiques ou opérationnels de l’entreprise (figure 2) ;

— celles relatives à l’interaction entre les différents acteurs du processus de conception, c’est-à-dire entre l’entreprise, le graphe de conception et le produit au travers de la connaissance qui est utili- sée et générée (figure 3).

Ce champ de connaissances n’est pas homogène ; on y relève ce qui est de l’ordre de la géométrie, de l’organisation, des machines utilisées. C’est pourquoi la description totale d’un produit doit être vue comme une définition sur plusieurs domaines (figure 4). Ces domaines sont orthogonaux et suffisent pour décrire totalement le produit et son environnement du point de vue de l’ingénierie simul- tanée et concourante.

On voit apparaître ainsi la nécessité de disposer de modèles pour la description des produits manufacturés, des ressources utilisées dans les différentes phases du cycle du produit, des processus mis en place ou envisagés pour la mise en œuvre de l’une de ces étapes.

Cet objectif est en voie d’être atteint ; cela se traduit par l’apparition sur le marché de nouveaux produits d’intégration qui tentent d’implanter ce type de classification et qui fournissent divers outils tels que ceux de conception et de gestion de projets. Citons, par exemple, les systèmes de gestion de données techniques (SGDT) dont nous reparlerons au paragraphe 3.4.

Exemple : si nous voulons représenter un produit tel qu’un moteur à combustion interne, nous devons représenter son cahier des charges fonctionnel qui nous permettra d’estimer la pertinence de l’architecture retenue et de savoir caractériser les performances. Mais nous devons donner aussi une représentation géométrique de ce produit, une justi- fication de la disposition des diverses fonctions mécaniques ainsi que les résultats des essais effectués (par outils logiciels ou sur banc d’essais). Il est aussi important de retenir le processus suivi pour sa conception, de connaître les différents acteurs ayant participé à la conception, les décisions qu’ils ont prises, les contraintes qu’ils ont subies, les moyens qu’ils ont utilisés, mais aussi ceux qui étaient dis- ponibles, sans oublier une représentation des technologies existantes à cette date. Il serait tout aussi important de garder une trace des stratégies globales de l’entreprise, des tactiques commerciales et techniques, et des implications opérationnelles sur le processus de conception et de réalisation.

Figure 1 – Classification des moyens en conception

Base de données Système

Acteur

Machine

Ressource

Moyens

Source

Document

Algorithme

Hypertexte

Logiciel

Nous donnons dans le paragraphe suivant l’organisation des informations nécessaires pour définir un produit sous la forme d’un modèle qui se veut générique, mais qui continuera à évoluer au gré des développements en recherche et des applications industrielles.

1.2 Modélisation du produit

Nota : représentation sémantique = sans perte d’information.

Un alésage ne peut pas être représenté uniquement par des nombres, il est nécessaire d’ajouter, à sa description analytique, une fonction.

Il n’existe pas encore aujourd’hui un modèle de produit unique ou une méthode universelle de représentation d’un produit technolo- gique. Cependant, on peut distinguer deux classes de modèles de produit définies par l’usage, celle construite dans le domaine de l’intelligence artificielle et celle proposée pour les systèmes de CAO- CFAO.

La première présente, en général, un fort degré de généricité au détriment du niveau sémantique, alors que la seconde favorise, au contraire, ce dernier point. La tendance, depuis quelques années, va vers une intégration des deux aspects de la représentation. L’analyse de ce constat est relativement simple, puisqu’en intelligence artifi- cielle on s’attelait, il y a encore quelques années, vers l’automatisa-

Figure 2 – L’environnement du produit

Figure 3 – Exemple d’échanges en conception Marché

impose un

stimule la

est caractérisé par les

répond à la demande du

CDCF

concurrence

technologies existantes

Produit

imposent

des contraintes à entreprise (organisation) qui définit une

qui se traduit par des

qui se traduisent par des sur le

définit une

stratégie se traduit par des

tactiques se traduisent par des

opérations sur le

Styliste

Moulage et emboutissage

échange

échange

échange

échange Chef de projet

Informations

Nouvelles connaissances et source de justification des décisions en conception

Analyse du marché

Métrologie avancée et acquisition de données sous l’impulsion du

génération de sous l’impulsion du

génération de

Figure 4 – Domaines entrant dans la définition d’un produit Environnement

(marché, CDCF...)

Ressources (utilisées) Savoir-faire

(généré)

Présentation du produit

Définition propre (du produit)

Processus (suivis)

Un modèle de produit est une représentation sémantique de l’information géométrique et technologique attachée à un pro- duit technologique.

tion des tâches par implantation de règles génériques, alors qu’en CAO-CFAO les applications ont toujours été développées dans un cadre très précis tel que la conception, l’usinage ou l’assemblage.

1.2.1 Définitions

L’analyse d’un processus de conception d’un produit fait appa- raître une manipulation à différents niveaux dont les principaux pourraient être : le fonctionnel, le structurel, le volumique, le tech- nologique et le comportemental (tableau 1).

Parmi les objectifs de la conception intégrée simultanée et concourante, nous pouvons relever celui qui consiste à passer d’un niveau à un autre de façon automatique ou avec une aide tout en gardant la cohérence. Beaucoup de travaux de recherche se consa- crent à cet aspect de la modélisation, et les derniers outils de conception commencent à fournir des liaisons partielles entre quel- ques-uns de ces niveaux. La difficulté réside dans le fait qu’il n’existe pas toujours une unicité dans les relations. À titre d’exem- ple, la fonction d’un mécanisme dépend des paramètres géométri- ques. Pour contourner ce type de difficultés, on ajoute au niveau comportemental des règles, dites règles de cohérence, pour assurer l’intégrité du modèle produit. Cela peut se traduire au niveau d’un mécanisme par des limitations d’amplitude de mouvement, par des liaisons cinématiques ou encore par des choix arbitraires de confi- gurations.

Le tableau 2 fournit une série d’exemples de concepts utilisés en conception d’un système de réduction de vitesse.

La modélisation d’un produit utilise un certain nombre d’entités (cahiers des charges ; fonctions ; surfaces ; liaisons ; objets technolo- giques ; comportements ; aménagements ; géométries ; matériaux ; procédés) que nous décrivons dans les paragraphes suivants.

1.2.2 Cahier des charges

Il constitue un support permettant, entre autres :

— de réaliser des recherches sélectives par des critères définis par l’utilisateur, ce qui autorise la conception par différence ;

— de vérifier la cohérence et la complétude ;

— de maintenir la cohérence du produit, à tous les niveaux de description, avec le cahier des charges fonctionnel, par réduction des intervalles et des listes de paramètres sur les variables de conception.

Le cahier des charges évolue et sa version définitive exprime les exigences fonctionnelles du client ou, de façon générale, de celui qui commande le produit. Il contient des exigences sur :

— la conception (besoin fonctionnel) ;

— le processus (temps, risques) ;

— les moyens mis en jeu (technologies, ressources) ;

— les aspects économiques (coûts).

1.2.3 Notion de fonction

La notion de fonction est primordiale dans le contexte de la CISC.

En effet, elle permet à l’utilisateur de toujours manier des entités ayant un sens. Le sens donné à une fonction est directement lié à l’utilisation et aux objectifs de l’utilisateur.

On peut ainsi faire des décompositions différentes d’un même produit, selon que l’on étudie l’usinabilité, l’assemblage ou encore la conception. On a vu ainsi apparaître les différents design for…

(design for assembly, design for manufacturing, design for molding, etc.), outils préalables à la conception concourante, qui ont attiré Un produit manufacturé est un assemblage structurel d’une

ou de plusieurs fonctions élémentaires, destinées à satisfaire un besoin exprimé dans un cahier des charges fonctionnel. Ce peut être une pièce ou un assemblage de plusieurs pièces.

Tableau 1 – Différents niveaux d’analyse

Niveau Objet Entités

Fonctionnel Fonctions à remplir par l’objet

Flux fonctionnels

Fonctions

Liaisons fonctionnelles Surfaces fonctionnelles Structurel Décomposition

des ensembles Position des ensembles

Objets technologiques Positions

Architecture Volumique Définition géométrique

Caractérisation des matériaux

Géométrie/

aménagements Matériaux Paramètres

Surfaces géométriques Technologique Modes de fabrication

Modes d’assemblage Tolérances

Traitements

Procédés Assemblages Traitements Propriétés technologiques Comportemental Caractérisation

des phénomènes physiques

Comportement État fonctionnel Paramètre

Un concept technologique est une caractérisation particulière d’un objet technologique. Cette caractérisation est une informa- tion sur l’objet selon une vue particulière (cf. § 1.3.2). Elle per- met de créer une liaison avec les informations disponibles sur d’autres objets technologiques.

Tableau 2 – Exemples de concepts

Concept Exemples

Fonctions Réduction de vitesse

Interface avec le moteur Liaisons fonctionnelles Contact mécanique

Contact électromagnétique Surfaces fonctionnelles Surface solide-solide

Surface solide-champ

Géométrie Tambour

Plan

Architectures 1 étage de réduction

Plusieurs étages de réduction

Procédés Usinage traditionnel

Tour à commande numérique

Matériaux Acier

Alliage

Une fonction (souvent désignée par le mot anglais feature), est une entité (mécanique, hydraulique…) qui rend un ou plu- sieurs services, ou qui participe à la réalisation d’un service au sein d’un produit.

Exemple : un alésage n’est pas la soustraction d’un prisme par un cylindre plat ; c’est une fonction mécanique (de guidage, par exemple) à laquelle correspond une fonction de fabrication (perçage, alésage).

l’attention des concepteurs sur différentes étapes du cycle de vie du produit. Rétrospectivement, la conception d’un produit ne peut donc pas se faire en figeant une vue ou une étape de son cycle de vie ; par exemple, la décomposition en entités de fabrication n’est pas tou- jours possible, en raison du fait qu’il peut exister des formes deman- dant plusieurs processus de fabrication.

On identifie un certain nombre de fonctions de base, pour la modélisation de l’information, de la matière et de l’énergie telles que : diminuer ; augmenter ; transformer ; guider ; stocker ; combi- ner ; décomposer ; bloquer ; retourner.

Différents produits logiciels, sur le marché, proposent des envi- ronnements de conception, notamment mécanique, à base de fonc- tions. Il faut retenir alors que le produit est l’assemblage de plusieurs fonctions classées selon des considérations techniques et parfois simplement commerciales. Le logiciel Pro/ ENGINEER offre ainsi trois classes de fonctions :

— les fonctions dites solides : elles ont un effet sur la matière par ajout, retrait ou modification ;

— les fonctions dites de référence : elles sont des outils de posi- tionnement et d’assemblage ;

— les fonctions dites de surface : elles permettent de concevoir des formes complexes.

Cependant, on ne voit pas encore, dans ce type d’approche, de description purement fonctionnelle du produit ; la conception est encore (dans les modes classiques) vue comme un assemblage de fonctions de forme (géométriques) souvent proches de l’usinage.

L’orientation, tant théorique qu’industrielle, des recherches sur les environnements de conception intégrée va vers une vue plus abs- traite qui nous permet d’introduire une autre définition des fonc- tionsfeatures.

À partir d’un certain niveau de décomposition fonctionnelle, les fonctions sont réalisées par des liaisons fonctionnelles. Les liaisons fonctionnelles sont elles-mêmes réalisables par des objets technolo- giques.

Par ailleurs, des objets technologiques différents peuvent réaliser la même fonction.

1.2.4 Notion de surface

En conception mécanique, on distingue les surfaces fonction- nelles des frontières des objets technologiques, les surfaces de contrôle et les surfaces géométriques qui caractérisent la forme des surfaces fonctionnelles.

Cette classification autorise la création a priori de toutes les sur- faces fonctionnelles dans un domaine particulier et leur mise dans une bibliothèque, leur association à un ensemble potentiel de sur- faces de contrôle, les surfaces géométriques étant obtenues par opérations topologiques entre des entités géométriques.

Dans une description fonctionnelle du produit, les surfaces fonc- tionnelles sont reliées par des liaisons fonctionnelles.

1.2.5 Notion de liaison

Il existe plusieurs types de liaisons fonctionnelles, leur description tient essentiellement au métier (domaine technologique) ; ainsi peut-on distinguer les liaisons hydrauliques, mécaniques, ther- miques ou encore électriques, etc. Les liaisons fonctionnelles sont

donc attachées au domaine technologique. Une liaison fonction- nelle ne peut pas relier n’importe quelles surfaces fonctionnelles, elle est aussi décomposable en d’autres liaisons fonctionnelles de façon récursive. Toutes les liaisons ne sont pas obligatoirement réa- lisables avec des objets technologiques, mais elles disposent de caractéristiques et de contraintes.

1.2.6 Notion d’objet technologique

Les objets technologiques sont, en général, propres au domaine technologique ; ils disposent de surfaces fonctionnelles, de lois de comportement, de caractéristiques et de contraintes. On appelle composant technologique la plus petite partie physique du produit pour laquelle il est possible de faire une étude de conception.

L’agrégation de composants technologiques constitue des ensem- bles technologiques. Cette agrégation utilise une architecture qui est la caractérisation des positions relatives des composants technolo- giques. L’architecture d’assemblage de composants technologiques n’est pas toujours unique ; il convient de se doter d’outils d’analyse pour effectuer un choix judicieux (figure 5).

1.2.7 Notion de comportement

Un objet technologique peut être régi par plusieurs lois, il met alors en œuvre plusieurs phénomènes qui sont décrits par des lois physiques. Ces lois peuvent être des relations exactes ou empiri- ques, continues ou discrètes. À l’heure actuelle, il n’existe pas sur les plates-formes de développement (tout au moins en mécanique) de modèle de comportement. Les lois sont inscrites directement dans les codes de calcul tels que les outils d’analyse par éléments finis. Il existe cependant certains codes (principalement les codes de calcul par éléments finis) dits ouverts qui permettent à l’utilisateur d’introduire de nouvelles lois ou de modifier celles existantes.

On peut distinguer des comportements thermiques ; thermo- dynamiques ; électromagnétiques ; électriques ; électrostatiques ; hydrauliques ; mécaniques…

Une fonction est une description abstraite et générale d’un effet d’interaction entre des données d’entrée et de sortie et l’état du système pour la réalisation d’un objectif.

Une liaison fonctionnelle représente une interaction fonction- nelle entre des surfaces fonctionnelles.

Exemple : la liaison mécanique.

L’entraînement en rotation entre deux arbres peut avoir comme carac- téristique la vitesse de rotation et le couple transmis. Au niveau techno- logique, la liaison peut être assurée par des engrenages ou encore une courroie. Si nous adoptons un entraînement par engrenage, les surfaces fonctionnelles sont attachées aux composants engrenages et sont défi- nies par le profil des dents et leur forme. La liaison fonctionnelle est ici une liaison du type contact qui n’a pas besoin d’un composant technolo- gique mais qui peut avoir certaines contraintes et caractéristiques comme, par exemple, la nature du contact (ponctuelle, linéique, surfaci- que) ou la contrainte mécanique sur le contact (pour vérifier, par exem- ple, les contraintes de Hertz pour un contact ponctuel).

Un objet technologique est une partie physique du produit.

Un comportement est une caractérisation d’un phénomène physique lié à un objet technologique.

Figure 5 – Deux architectures différentes d’une bielle-manivelle

Dans un processus de conception, les comportements définissent des états fonctionnels correspondant à des étapes dans le processus.

L’état du produit est ainsi défini par un ensemble de paramètres.

1.2.8 Notion d’architecture

L’aménagement des composants dans un ensemble technologi- que est directement lié à la géométrie des composants, il fait appel aux volumes des composants. L’aménagement est aussi régi par des règles d’aménagement propres au domaine technologique considéré.

On dispose aujourd’hui, sur le marché, de produits logiciels offrant des boîtes à outils pour l’aménagement des composants technologi- ques tels que:

— le placement à vue ;

— les schémas de conception.

1.2.9 Géométrie

La représentation géométrique du produit constitue aujourd’hui le domaine le mieux maîtrisé et cela pour des raisons historiques ; nous développons, dans le paragraphe 3 l’ensemble des modèles aujourd’hui disponibles, leurs domaines d’utilisation et leur intérêt.

1.3 Décompositions en CISC

Les besoins liés à la manipulation des informations relatives au produit tout au long de son cycle de vie exigent une organisation de la connaissance générée et/ou utilisée. En ingénierie simultanée, nous définissons cinq grands espaces de représentation du produit (figure 6) :

— l’espace d’abstraction qui autorise, par une représentation multi-niveau du produit, une structuration sémantique des informa- tions propre à être réutilisée dans des conceptions futures. Cette représentation est une nécessité pour la conception innovante (cf. § 1.3.1) ;

— l’espace des vues qui permet d’adapter les interfaces de communication et donc le langage au métier de l’utilisateur (domai- nes de compétences) et à sa position dans la hiérarchie de l’entre- prise (responsabilités) ;

— l’espace de granularité qui est la représentation de la finesse de l’analyse, de la conception ou de la synthèse. Elle permet à un acteur d’avoir une approche descendante (Top-Down) ou ascen- dante (Bottom-Up) des tâches qu’il a à exécuter ;

— l’espace d’évolution qui est le domaine du suivi du projet de conception;

l’espace de conceptualisation qui permet une structuration des informations, compte tenu des contraintes informatiques en liaison avec le besoin d’une gestion optimale et efficace de la base de don- nées.

Nous examinons dans ce qui suit le contenu de l’information générée, utilisée et stockée selon les cinq espaces que nous venons de définir.

1.3.1 Description suivant l’axe d’abstraction L’approche de l’ingénierie simultanée postule que tout produit peut être représenté à différents niveaux d’abstraction donnant accès aux concepts de description fonctionnelle, structurelle et phy- sique (figure 7). On peut ainsi décrire un produit, par exemple, uni- quement par ses fonctions, laissant ainsi toute liberté au concepteur de choisir la structure réelle qui remplit la fonction demandée. Un niveau plus fin permet d’arriver à des paramètres directement mani- pulables par les différentes ressources de l’entreprise.

1.3.2 Description suivant l’axe de vue

Cette approche sous-tend le concept de vue utilisateur qui permet le regroupement des fonctions, leur spécialisation, la simplification pour différents usages. Elle recouvre les concepts de design for en donnant la possibilité à un intervenant d’obtenir une vue du produit adaptée à l’étape et au métier en question (figure 7).

Chaque vue peut utiliser des symboles associés à un langage graphique spécifique ou une interface informatique adaptée au métier en question.

C’est ainsi que l’on peut confiner dans un même environnement un outil de conception géométrique, un outil de calcul de résistance On désigne par architecture le schéma d’aménagement des

composants technologiques ou des sous-ensembles technolo- giques dans le cadre de la conception d’un produit complexe.

Exemple 1 : la représentation des informations relatives à la définition structurelle d’un guidage en rotation peut se faire en donnant directement la solution technologique adoptée (exemple : palier lisse), mais cette façon de faire ne permet pas d’une part, lors d’une phase ultérieure ou d’un nouveau projet, de bénéficier du savoir-faire généré précédemment et d’autre part, aux futurs acteurs, d’envisager l’ensemble des solutions technologiques possibles. Il s’ensuit un histo- rique de conception tronqué puisqu’il ne peut justifier le choix d’une solution. D’où la nécessité de hiérarchiser les informations selon l’axe d’abstraction.

Figure 6 – Les différents niveaux de représentation

Exemple 2 : pour comprendre la notion de vue d’un produit, il suffit d’imaginer un mécanicien devant le schéma de câblage électrique d’une automobile, ou un styliste devant une gamme d’usinage. Il est important, dans le cadre de l’intégration, que chaque acteur ait une vue spécialisée de l’objet qu’il manipule. Cela se traduit par un langage gra- phique adapté et des traducteurs (interfaces) entre métiers.

Exemple 3 : la conception de structures mécaniques complexes telles qu’un moteur thermique ne peut pas être faite directement sur chacun des composants. Il est indispensable d’avoir une appro- che Top-Down qui permet de concevoir l’architecture générale du moteur puis de définir les volumes de chaque organe. Chacun des organes est ensuite décomposé en sous-organes jusqu’au compo- sant élémentaire. Ce type d’approche n’est possible dans le cadre de la CISC que par une structuration granulaire des informations.

Une vue du produit est une restriction du modèle produit, définie par des contraintes sur l’information que l’on souhaite.

Conceptualisation (bases de données) Granularité

(hiérarchie de l’entreprise)

Vues (métier)

Représentation du produit

Abstraction (bureau d’études)

Évolution (cycle de vie)

ou un outil de simulation des trajectoires d’outils. Ainsi le maillage, pour une étude par éléments finis, passe par une étape de simplifi- cation des formes d’une pièce mécanique (figure 8). Le concepteur et l’analyste scientifique n’ont pas besoin des mêmes définitions et n’utilisent pas les mêmes informations.

1.3.3 Description suivant l’axe d’évolution

Dans les phases de conception préliminaires et des avant-projets, plusieurs versions du produit et plusieurs variantes coexistent. De ce point de vue, la représentation du produit dans un environne- ment logiciel de conception se doit d’en fournir une gestion souple.

En considérant qu’un processus de conception est, en première approximation, une arborescence de tâches à exécuter (en fait, en réalité, c’est un graphe en raison des différents bouclages néces- saires pour optimiser la conception), on remarque qu’en conception innovante les différentes branches de cette arborescence consti- tuent les différentes variantes du produit ou d’une fonction du pro- duit, et les différentes étapes le long d’une branche constituent les évolutions d’une version (figure 7). Les nœuds de cette arbores- cence sont appelés des points de choix car ils sont caractérisés par des décisions à prendre.

Pour l’instant, les produits logiciels du marché ne proposent que des versions et variantes sous forme de fichiers différents. Leur ges- tion est laissée au concepteur. Bien qu’elle soit un des concepts clefs

de la CISC, la justification de l’existence des différents cas n’est pas encore gérée. En effet, la gestion des variantes permettrait d’identi- fier les points de choix dans le processus de conception, d’en étu- dier les justifications et de les confronter aux spécifications du cahier des charges. Les solutions logicielles offertes ne donnent aucun moyen de maintien de la cohérence globale d’un ensemble de solutions technologiques destiné à répondre à un besoin défini dans un cahier des charges fonctionnel.

La dynamique de conception exigée par la CISC se traduit par la capacité de formalisation d’un schéma d’évolution du produit, du processus mis en œuvre et du milieu dans lequel le produit est réa- lisé. En effet, il serait difficile de comprendre les raisons qui ont guidé un opérateur vers un choix technologique plutôt qu’un autre sans connaître le processus qui l’y a conduit.

Cet axe permet de faire apparaître les différentes étapes du cycle de vie du produit (figure 9) et son niveau de maturité (de ses variantes et de ses versions), permettant ainsi la mise en œuvre d’outils d’intelligence artificielle pour l’analyse ou la synthèse.

1.3.4 Description suivant l’axe de granularité Les différents acteurs intervenant sur tout le cycle de vie du pro- duit n’ont pas la même perception du produit du point de vue du détail. Par ailleurs, en conception innovante et en conception d’objets complexes (voitures, avions, bateaux, fusées, moteurs, réacteurs…), il n’est pas possible de définir l’ensemble des caracté- ristiques des composants élémentaires sans avoir au préalable défini l’architecture générale du produit, la disposition des fonctions principales, les volumes requis par chacune de ces fonctions. Ce processus est récursif jusqu’au composant le plus élémentaire. Pour permettre une telle description du produit, il est nécessaire que la représentation informatique du produit soit générique, c’est-à-dire indépendante de sa complexité (cf. figure 7).

Figure 7 – Organisation des espaces de représentation du produit Espaces de représentation

Produit

complexe ...

Calculs de structure

Composants technologiques

Granularité

Dynamique et études de vibrations

Calculs thermiques

Vues Métiers

Espaces de représentation

Abstraction

Composant élémentaire

Fonctionnel

Version

Maturité

Évolution

Base de données

Interne

Structurel

Variante

Conceptualisation

Conceptuel

Physique

Externe Mécanique

des fluides

Conception automatique/innovation Hiérarchie/métier

Points de choix dans les processeurs

Processus de conception

Une variante est un état du produit défini après le franchisse- ment d’un point de choix dans le processus de conception.

Une version du produit est son état après évolution au cours d’un processus de conception sans passage par un point de choix. Elle traduit l’évolution linéaire du modèle.

1.3.5 Description suivant l’axe de conceptualisation

Enfin, pour autoriser aussi bien la conception routinière que la conception innovante, la formalisation de l’acte de conception doit autoriser une description à différents niveaux conceptuels compa- tibles avec celle que préconise la norme ANSI X3 SPARC pour des objets en base de données. Ces niveaux de conceptualisation se décomposent en niveaux externe, conceptuel et interne (cf. figure 7). La norme retenue permet une description des objets en base de données qui autorise l’indépendance entre les applica- tions et les données. C’est le garant de la pérennité des informations et de leur réutilisation.

■Le niveau externe est celui des utilisateurs, des programmes d’applications. Chaque classe d’applications ayant sa propre per- ception des données de la base, il y a autant de schémas externes que de classes d’applications. Un schéma externe (sous-schéma) définit l’ensemble des entités, des liaisons et des contraintes inté- ressant une classe d’applications.

■Le niveau conceptuel décrit la collection des entités et des liaisons présentes dans la base de données. Ce schéma exprime les propriétés sémantiques des informations mémorisées sans faire référence à leur représentation informatique.

■Le niveau interne est la description de l’implémentation physique des données. On peut y trouver les fichiers qui contiennent les don- nées, les articles de ces fichiers, les chemins d’accès, etc.

Cette formalisation des éléments entrant en jeu lors de la création d’un objet ou, tout simplement, lors de sa définition dans le contexte de l’ingénierie simultanée montre le produit comme un ensemble d’informations manipulables à différents niveaux. En effet, les besoins de trouver, d’une part, une représentation compatible avec les concepts développés en théorie du traitement de l’information

et, d’autre part, de construire des environnements de conception compatibles avec les logiques des concepteurs ont orienté les déve- loppeurs vers une structuration du type objet permettant ainsi l’introduction des concepts de granularité et de vue dans la repré- sentation d’une entité de description d’un produit mécanique.

1.3.6 Base de données unique

Au niveau physique, le noyau nécessaire pour la mise en place d’une structure de données homogène et commune à l’ensemble des domaines de connaissances transversaux sur tout le cycle de vie du produit est le concept de base de données unique (figure 10). Cette structuration permet l’accès direct aux paramètres intrinsèques par Figure 8 – Différentes vues d’une même pièce

Figure 9 – Différence entre variante et version de produit

Point de choix 4 Point de choix 1

Variante 1

Variante 2

Variante 3

Version 1 - 1

Version 2 - 1

Version 1 - 2

Version 2 - 2

Version 3 - 1

Version 1 - 3 Point de choix 2

Point de choix 3

Figure 10 – Concept de base de données unique Niveau fonctionnel

Niveau structurel Niveau physique Niveau fonctionnel

Niveau structurel Niveau physique Ordre croissant

de granularité

Niveau fonctionnel Niveau structurel Niveau physique

Vues partielles sur les entités

le biais de masques appelés vues utilisateurs, tout en gardant la cohé- rence de la base de données. Cette dernière est souvent distribuée sur plusieurs plates-formes. C’est aujourd’hui une nécessité sur tous les produits qui prétendent faire de l’ingénierie simultanée.

2. Modeleurs géométriques en CFAO

2.1 Modélisation géométrique

2.1.1 Modeleurs géométriques

Un modèle de données géométriques représente un ensemble de données mathématiques caractérisant une forme dans l’espace. De nos jours, les systèmes de CFAO sont encore construits autour d’un modeleur essentiellement géométrique bien que la tendance actuelle soit de proposer des modèles de produit à forte sémantique intégrant ces caractéristiques géométriques, mais aussi des caractéristiques technologiques (features définissant des surfaces fonctionnelles), de cotation, de fabrication et administratives. L’aspect modeleur géomé- trique n’est donc pas novateur, mais il reste le cœur d’un modèle pro- duit dont il est nécessaire de connaître ses spécificités.

De nombreux modèles mathématiques peuvent tenter de traduire la forme qu’on cherche à concevoir. Ils se caractérisent donc par :

— leur richesse sémantique ;

— le fait qu’ils modélisent la forme de façon exacte ou approchée ;

— le fait qu’ils soient facilement créés et modifiés (on parle d’opé- rateurs spécifiques à un modèle) ;

— le fait qu’ils soient plus ou moins bien adaptés à une applica- tion donnée (visualisation, usinage, cinématique, dynamique, calcul de structures…).

Cinq grandes familles de modeleurs existent ; ils sont cités dans un ordre croissant de richesse sémantique et dans l’ordre historique d’apparition :

— modeleurs 2D ;

— modeleurs filaires 3D ;

— modeleurs surfaciques ;

— modeleurs volumiques ;

— modeleurs sous contraintes.

Ces modeleurs comportent des caractéristiques communes.

■La définition de formes consiste en un certain nombre de mani- pulations interactives (utilisation de menus de fonctions par la souris ou la table à digitaliser, désignation d’entités du modèle à l’écran, entrée d’informations alphanumériques au clavier…). La définition des formes est réalisée progressivement par création d’éléments de construction intermédiaires. D’autre part, ces éléments vont pouvoir être modifiables et effaçables. On voit donc que le concepteur va devoir gérer une collection d’éléments, on dira base de données ou bibliothèque. L’utilisation de transformations géométriques (trans- lation, rotation, homothétie, symétrie) appliquées à un seul élément ou à un groupe permet de le déplacer avec ou sans duplication.

■Deux méthodes de construction des éléments géométriques existent :

— la saisie interactive des paramètres de définition de l’élément ;

— la définition de l’élément par contraintes (exemple : on contraint un cercle de rayon donné à être tangent à 2 droites et à être dans un quart de plan). Les opérateurs de contraintes sont : appartenant à, passant par, tangent à, parallèle à, faisant un angle de, distant de, centré sur…

■À la définition géométrique des éléments s’ajoutent des attributs (couleur, épaisseur du trait, type du trait : mixte, plein…, commen- taire…).

■Les systèmes de CAO intègrent tous la notion de travail par cal- ques ou couches (layers). À tout moment, on se positionne dans un

calque parmi n (exemple : n = 256). Tout élément est mis par défaut dans le calque courant à sa création. L’utilisateur définit ensuite des filtres de visualisation qui sont des séries de calques qu’il applique à un moment donné, faisant apparaître à l’écran les seuls éléments des calques de ce filtre.

2.1.2 Modèle 2D

Celui-ci apparut avec les débuts de la CAO dans les années 60 et a consisté essentiellement à être une planche à dessin électronique, c’est-à-dire à sortir des plans, en bénéficiant de l’informatisation au niveau des avantages de gestion et de temps de modification d’un plan.

Les éléments géométriques de base en sont : les points (tableaux de x,y ), les droites, les segments (2 pointeurs sur des points), les cercles (3 pointeurs sur des points ou un pointeur sur un point et un rayon), les arcs de cercles, les coniques en général, les courbes complexes (cf. § 2.1.4) du type polynôme, Bézier, B-Spline, NURBS… Ces courbes complexes sont généralement construites par contraintes : passage par des points, tangentes ou courbures imposées en certains points.

Tous les éléments filaires (unidimensionnels et représentés à l’écran sous la forme de fils de fer) cités peuvent former un nouvel élément : la section ou contour (figure 11). C’est un élément connexe formé par un contour extérieur et, éventuellement, des contours intérieurs. Une section intègre la notion d’intérieur et d’extérieur et permet la mise en jeu de routine de hachurage auto- matique et de calcul de surface. De plus, il est possible de disposer des opérateurs d’union, d’intersection et de soustraction de contours pour former un nouveau contour.

En conclusion, le modèle 2D est peu riche, par contre il est rapide à mettre en œuvre et à modifier ; il est assez standard dans le sens où il s’importe et s’exporte bien entre logiciels de CAO par des stan- dards d’échange sans beaucoup de pertes d’informations ; il se prête bien à un paramétrage de ses éléments et à la résolution auto- matique de chaînes de cotes.

Ce type de logiciel offre des fonctionnalités très limitées, il en reste peu qui n’offrent pas de fonctionnalités tridimensionnelles. La CAO 2D a permis, dans les années 70 et 80, aux entreprises d’enta- mer le processus d’informatisation de leurs méthodes de dessin (et non encore de conception). On parlait alors de DAO (dessin assisté par ordinateur) et non encore de CAO. Ces logiciels ont permis la phase d’intégration des plans papier par scannérisation et recon- naissance automatique de formes et/ou retouches manuelles.

Citons le très célèbre logiciel Autocad de la société Autodesk qui a commencé par être un simple logiciel 2D et qui intègre à l’heure actuelle la plupart des fonctionnalités avancées du 3D.

Dans un modeleur 2D, on conçoit comme sur une planche à dessin : sur plusieurs vues. Les limitations essentielles du 2D tien- nent à l’absence de lien entre ces différentes vues 2D. Lors de la création d’un segment, le logiciel a une certaine connaissance de la nature tridimensionnelle de ce segment puisqu’il proposera une procédure raccourcie de définition de ce segment par deux cliqués dans une vue donnant un (x1,y1) et un (x2,y2) et un troisième cliqué dans une seconde vue donnant l’information z. Or, le modeleur ne va pas, dans un vrai 2D, enregistrer l’information sous la forme de Figure 11 – Contour 2D

deux points tridimensionnels [(x1,y1,z) et (x2,y2,z)], mais sous la forme d’autant de points 2D qu’il y a de vues : (x1,y1), (x2,y2), mais aussi [(z,x₁), (z,x₂)] et [(y₁,z), (y₂,z)]. Ainsi, par la suite, le lien entre les différentes représentations de ce segment est perdu et il sera possi- ble de détruire un segment dans une vue indépendamment des autres. On conçoit le peu d’abstraction du 2D.

C’est pourquoi, on ne pourra pas interpréter ce modèle 2D dans l’espace 3D de façon automatique. Par contre, les modèles 3D per- mettent, par des projections, coupes et sections de ce modèle, de générer automatiquement des vues 2D.

2.1.3 Modèle filaire 3D

Le modèle filaire 3D reprend les éléments vus précédemment.

Certaines personnes parlent plutôt de représentation filaire ou fil de fer ou wire-frame et y adjoignent aussi des éléments surfaciques non bornés (infinis) définis par leur seule expression analytique : le plan, le cylindre infini, le cône infini, la sphère. La construction par contraintes s’applique aussi à ces surfaces (droite passant par un point et orthogonale à un plan) et on peut déterminer des courbes par intersection de ces surfaces (conique résultat de l’intersection d’un plan et d’un cône). En somme, les formes sont définies par des surfaces infinies et des arêtes (segments ou courbes bornées).

On n’a toujours pas de notion de surface bornée appartenant à la forme (on dit alors face), on ne peut donc pas avoir une visualisation de la forme avec traitement des parties cachées. On peut simple- ment avoir un traitement d’arêtes cachées qui permet une percep- tion 3D à l’écran pour seulement des formes peu complexes. On ne peut bien sûr pas estimer la surface, le volume, le centre de gravité et la matrice d’inertie d’une pièce.

En CAO mécanique, le modèle filaire sert essentiellement à définir des points et lignes de construction (de brouillon), ainsi que des sur- faces élémentaires, points et lignes servant à la définition des sur- faces complexes et des volumes.

2.1.4 Modèle surfacique

La CAO, en tant que telle, a débuté à la fin des années soixante avec la modélisation des surfaces complexes ou formes libres. Tous les grands constructeurs automobiles et aérospaciaux ont déve- loppé, dans ces années-là, des logiciels internes de modélisation de surfaces dans trois buts importants :

— faire de la simulation d’usinage, c’est-à-dire, notamment, générer la trajectoire des outils d‘usinage de la surface (code commande numérique CN d’une machine-outil ou de ses matrices), d’estampage, de montage… ;

— effectuer des calculs d’aérodynamique ;

— juger de l’esthétique à partir d’images de synthèse.

La France s’est particulièrement illustrée avec Bézier (Renault) et de Casteljau (Peugeot). À la fin des années soixante-dix et au début des années quatre-vingt, ces logiciels « maison » devenant trop lourds à gérer et le marché de la CAO devenant adulte, des sociétés d’édition de logiciels de CAO se sont créées. En France, la société Matra Datavision crée le logiciel Euclid à partir du logiciel Unisurf de Renault, et Dassault-Aviation crée la filiale Dassault Systèmes qui commercialise, au travers du catalogue de logiciels IBM, le célèbre logiciel Catia.

Actuellement, tous les modeleurs géométriques utilisent en plus d’une représentation volumique (cf. § 2.1.5), un noyau surfacique destiné principalement à la définition géométrique des formes libres dont on ne connaît pas de formulation analytique. Le choix d’un modèle de représentation se pose dès qu’il s’agit d’utiliser, sur un ordinateur, un ensemble de données établies expérimentalement (scannérisation d’une surface à partir d’une maquette physique) ou par le calcul. Les logiciels développés pour répondre à ce problème sont divers et variés ; ils n’utilisent pas tous la même représentation mathématique et ne donnent pas les mêmes outils.

2.1.4.1 Expression du besoin général de conception de surface

Les contraintes posées par la conception de formes libres néces- sitent l’utilisation de courbes et de surfaces paramétriques dont la particularité est l’invariance sous des transformations élémentaires.

Qu’il s’agisse de la modélisation de données existantes sous forme de points ou de l’expression d’un sens esthétique pour une forme, on peut citer les contraintes suivantes:

— le modèle doit appartenir à une classe de fonctions continues, suffisamment dérivables pour autoriser une manipulation mathé- matique;

— le modèle doit être facile à manipuler et à stocker dans un ordi- nateur;

— l’évaluation d’un point courant par ce modèle doit se faire avec un nombre restreint d’opérations;

— le modèle doit permettre de mettre au point des algorithmes d’intersection à coût faible;

— la manipulation des paramètres du modèle par le biais d’une interface doit pouvoir se faire de façon intuitive;

— le modèle doit permettre de couvrir une grande variété de formes.

2.1.4.2 Modèle de Coons

La méthode de Steve Coons, développée en 1966, repose sur la définition paramétrique d’un carreau de surface par ses lignes de bord, soit :

P(u,0) P(u,1) P(0,v) et P(1,v)

et par l’introduction de deux fonctions de mélange ou d’interpola- tion qui s’expriment par les deux relations suivantes pour :

Un point du carreau de cette surface s’exprime par (figure 12) : P(u,v) = P(u,0)f1(v) + P(u,1)f2(v) + P(0,v)f1(u) + P(1,v)f2(u)

– P(0,0)f₁(u)f₁(v) – P(0,1)f₁(u)f₂(v) – P(1,0)f₂(u)f₁(v) – P(1,1)f₂(u)f₂(v)

On remarque que, dans la formulation de Coons, tout point de l’intérieur de la surface s’exprime à l’aide des fonctions du bord et des fonctions de mélange.

Figure 12 – Carreau de Coons

tÎ[0,1] f₁( )t = 2t³Ð3t²+1

f₂( )t = Ð2t³+3t² îí

ì

1 0,8 0,6

0,4 0,2 0 60

40 20

0 0

20

40

60

Le modèle de Steve Coons [1] est venu en réponse à la question de raccordement de carreaux jointifs avec des continuités de tan- gence. En ce sens, il répond au problème. Il permet de modéliser un carreau paramétrique de façon relativement simple. Lorsqu’on veut assurer la continuité des directions des tangentes entre des car- reaux, il suffit que le découpage permette d’obtenir des carreaux avec les mêmes lignes de bord et que les dérivées premières soient proportionnelles. Pour les besoins des raccordements par oscula- tion, Coons a introduit deux nouvelles fonctions remplaçant les pré- cédentes:

Mais l’expression de la contrainte de continuité C² s’écrit difficile- ment.

L’obligation de proportionnalité entre les dérivées premières entre deux carreaux jointifs est une caractéristique qui est devenue aujourd’hui une limitation structurelle et, de ce fait, rend ce modèle de moins en moins utilisé, notamment dans les domaines où les contraintes de continuité C² sont présentes.

2.1.4.3 Modèle de Bézier

Le travail le plus révolutionnaire dans la modélisation des courbes et des surfaces en CAO est sans nul doute celui mené par Pierre Bézier. L’introduction de son modèle a été l’ouverture d’une ère en CAO correspondant, aujourd’hui encore, à une utilisation générali- sée de ses courbes. Sans entrer dans le détail, on peut exprimer une courbe de Bézier par (figure 13) :

où les sont les polynômes de Bernstein qui s’écrivent sous la forme :

et dont la figure 14 nous donne une représentation graphique pour n = 6.

L’intérêt de cette représentation réside dans la fonction des coef- ficients de l’expression ; en effet, ils constituent des points de contrôle de la courbe. La littérature abonde dans la description de ce modèle, le lecteur intéressé peut se référer à l’ouvrage cité en biblio- graphie. Notons cependant que la base des polynômes de Bernstein possède un certain nombre de propriétés, notamment celle d’enve- loppe convexe, de diminution par variations et de stabilité numéri- que. La manipulation des points de contrôle est aisée et intuitive: les variations de position de la courbe sont pondérées relativement à celles des points de contrôle.

2.1.4.4 Modèle B-spline uniforme

Bien qu’il soit possible de considérer les B-spline comme une généralisation des courbes de Bézier, leur apparition est due aux diverses études sur les courbes splines. Pour contourner le pro- blème des oscillations des polynômes d’interpolation, on peut construire l’espace des polynômes par morceaux de degré inférieur (k – 1). Cela autorise alors l’approximation et/ou l’interpolation d’un grand nombre de points en imposant un degré aux polynômes.

Sans décrire ici la méthodologie [1], notons qu’une base possible est celle dite B-spline (basis spline), que l’on calcule avec l’algo- rithme de De Boor suivant :

avec les conditions initiales suivantes :

On doit noter le caractère local de chaque fonction (elles s’étalent sur des domaines de longueur k) (figure 15). Un point courant d’une courbe définie dans cette base s’écrit :

avec k degré + 1,

P_i points de contrôle de la courbe,

indice du nœud immédiatement à gauche du paramètre u dans le vecteur nodal , le vecteur nodal étant une partition d’un domaine paramétrique quelconque parcouru par le para- mètre u de la courbe (figure 16).

Pour une surface de degré k –1 suivant u et de degré suivant v, on calcule le point courant S(u,v) à l’aide du produit tensoriel : f₃( )t = Ð6t⁵+15t⁴Ð10t³+1

f₄( )t = 6t⁵Ð15t⁴+10t³ îí

ì

C u( ) B_iⁿ( )Pu i i=0

n

å

= uÎ[0,1]

B_iⁿ( )u

B_iⁿ( )u uⁱ(1Ðu)^nÐi n è øi

= æ ö

N_i^k( )u uÐt_i t_i+kÐ1Ðt_i+k

---N_i^kÐ1( )u t_i+kÐu t_i+kÐt_i+1 ---N_i^k_Ð^Ð₁¹( )u +

=

Figure 13 – Courbe de Bézier à 6 points de contrôle

Figure 14 – Fonctions de Bernstein pour n = 6 P₁

P2

P₃

P4

P₆

P₅

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0 1

N_i¹( )u 1 î0

íì si t_i<u<ti+1

partout ailleurs

=

C u( ) N_<^k_Ðk+i( )Pu _<Ðk+i i=1

k

å

=

< t { }t_i i=1

n+k

=

<Ð1

S u,v( ) N_<

1Ðk+i k ( )u N_<

2Ð<+j

< ( )v P_<

1Ðk+i,<2Ð<+j j=1

å

i=1 k

å

=

2.1.5 Modèle volumique

Le modèle surfacique permet de définir une forme par un ensem- ble de surfaces, mais ces surfaces restent indépendantes les unes des autres comme des peaux infiniment fines dont on ne verrait pas qu’elles délimitent un volume. Ainsi, le modèle surfacique ne per- met pas de distinguer de notion d’intérieur et d’extérieur ; il n’y a donc, par conséquent, pas de matière et on ne peut pas encore :

— effectuer un calcul de masse ou de surface mouillée ;

— déterminer le centre et la matrice d’inertie nécessaires à une simulation de dynamique multicorps ;

— effectuer un calcul de structures nécessitant de passer par le maillage du volume ;

— bénéficier de la fonctionnalité si importante de détection d’interpénétration de pièces lors d’une simulation cinématique ;

— générer des plans 2D avec hachurages automatiques.

Nota : de nombreux mécanismes un peu complexes, comme un train d’atterrissage d’avion, sont dimensionnés après avoir vérifié qu’ils ne s’autobloquent pas (rencontre de biellettes) en cours de mouvement.

Pour ce faire, deux familles de modèles volumiques ont vu le jour successivement : le modèle CSG et le modèle B-Rep, qui collaborent souvent, à l’heure actuelle, au sein des logiciels de CAO, à cause de leur complémentarité.

2.1.5.1 Modèle solide CSG

C’est le premier modèle volumique, apparu vers 1970. Il consiste à construire un solide par opérations booléennes (union, intersec-

tion, soustraction) entre des solides élémentaires paramétrés dits solides primitifs en nombre limité : sphères, cônes, cylindres, paral- lélépipèdes, tores, prismes, pyramides, etc. La conception d’un solide complexe revient donc à créer un arbre binaire dit arbre CSG dont les nœuds sont des opérations booléennes et les feuilles des solides primitifs. Pratiquement, il est très intéressant (et c’est sou- vent le cas) de pouvoir éditer graphiquement cet arbre CSG avec toutes les fonctionnalités liées : coupure d’une branche, insertion d’un solide primitif ou d’un autre arbre CSG.

Une méthodologie d’utilisation de ces arbres peut être adoptée.

■La limitation de la profondeur de l’arbre diminue la répercussion des modifications, le temps de mise à jour étant proportionnel au nombre d’opérations rencontrées (en d’autres termes, il est préféra- ble d’avoir un baobab qu’un peuplier). Cette règle était respectée dans les années 70 et 80 où le temps de calcul était compté.

■En effectuant dans n’importe quel ordre des opérations d’union et de soustraction, on n’arrive pas à obtenir le solide désiré, car le résultat d’une soustraction (un creux) risque de se trouver rempli par une union ultérieure. Il faut donc nécessairement adopter la stra- tégie d’effectuer l’union de tous les solides contribuant à un apport de matière ainsi que l’union de tous les solides contribuant à un enlèvement de matière pour, en final, opérer une seule soustraction du premier solide agrégé par le second.

Ce modèle a indubitablement séduit les concepteurs car il pré- sente un formalisme simple et il est d’une grande ergonomie d’utili- sation (couper/coller dans l’arbre CSG). Il permet aussi un stockage compact des données dû aux définitions analytiques des solides pri- mitifs. De plus, il présente quelques facilités de modifications ; il est quelque peu paramétré (cf. § 2.2.4), dans le sens où il est possible de modifier les dimensions ou la position d’un solide primitif et de demander de reparcourir l’arbre CSG pour recalculer la géométrie.

On verra les grandes limitations de cette approche dans ce qui suit.

Le logiciel Euclid-IS a utilisé particulièrement ces possibilités d’auto- matisation des modifications des CSG en proposant une modélisa- tion adaptative.

Les avantages supplémentaires par rapport au modèle surfacique sont directement issus de la notion de matière. Diverses routines ont été développées au-dessus de ces assemblages de solides pri- mitifs pour donner des résultats volumiques. La plus simple consiste à tester si un point est à l’intérieur ou à l’extérieur d’un solide complexe.

Des routines plus évoluées calculeront des courbes intersection, effectueront des projections, sections et coupes automatiques d’un solide dans des vues 2D. On peut résoudre des problèmes d’interpé- nétration de matière lors de simulations cinématiques de mécanis- mes, en calculant, même à tout pas de temps, le solide intersecté.

Les résulats massiques (masse, centre et matrice d’inertie, surface mouillée) sont enfin calculables. On peut également citer une appro- che originale de maillage d’un solide CSG complexe [2] à partir du maillage de ses solides primitifs et d’opérateurs d’union, d’intersec- tion et de soustraction de maillages. Cette méthode présente le grand avantage de mailler en utilisant les symétries des solides pri- mitifs et donne au mécanicien un vocabulaire pour exprimer ses préférences heuristiques de maillage.

Pourtant, quatre grands types d’inconvénient existent :

— le mode de construction des solides CSG oblige le concepteur à se mettre dans un carcan réducteur de pensée. Il s’adapte au modèle et non l’inverse. En effet :

• un concepteur devant sa planche à dessin ne raisonne pas en termes d’opérations booléennes mais de formes tridimension- Figure 15 – Fonctions de base

Figure 16 – Courbe B-spline uniforme 1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0 1

P₁

P₂

P₃

P₄

P₆

P₅ On peut remarquer que les polygones des figures 13 et 16 sont les mêmes (cela est voulu), mais les deux courbes sont différentes, la courbe de Bézier étant plus éloignée du polygone que la courbe B-spline, ce qui est une caractéristique de ces modèles.

Exemple : prenons le solide complexe b de la figure 17, « un point P est à l’intérieur de ce solide » se traduit par une vérification de l’inté- riorité et de l’extériorité des solides primitifs de oula manière suivante :

[

(

È

^)]

[(

)

]