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Ecole Nationale Polytechnique Année universitaire : 2017/2018
Cycle Préparatoire Matière : Informatique 3
2ème année
Examen Final Informatique 3
Date :16/01/2017 Durée : 2 heures Exercice 01 ( pt)
La Figure 1 est une carte géographique représentant les pays de l’Afrique du nord.
1. Proposer une modélisation graphique représentant les frontières entre les pays présents sur cette carte.
2. La coloration des cartes géographiques sert à mieux
visualiser les délimitations des frontières entre les pays. Figure 1
a. Quel est le nombre minimal de couleurs nécessaire à la coloration de cette carte ?
b. Quels sont les pays qui peuvent être colorés de la même couleur que celle de l’Algérie ? Pourquoi ? et combien sont-ils au maximum ?
3. En supposant toutes les frontières ouvertes à la libre circulation, prouver qu’un africain peut atteindre la Méditerranée quelque soit le pays frontalier par lequel il décide de quitter son pays.
4. Est-ce qu’un diplomate Sénégalais peut se rendre dans chaque pays représenté sur la carte une et une seule fois avant de revenir à son pays d’origine ? Justifier.
5. En supposant maintenant la frontière Chad-Soudan fermée, est-ce que ce diplomate peut traverser chaque frontière restante une seule fois avant de revenir à son pays d’origine ? Justifier.
Exercice 02 ( pt)
Un office de tourisme propose une visite touristique d’un site touristique d’une ville vers un autre. La visite se déroule en deux étapes. La première, se fait en bus par route ensuite, la deuxième, une remontée mécanique par câble disposant de véhicules aériens. Le plan de la visite est décrit en figure 2 . Deux points de départ B1,B2 , par bus
desservent deux stations de véhicules aériens S1et S2.
Au fil des ans l’office a su adapter les capacités de transporter les touristes des points de départ par bus aux capacités des véhicules aériens. Les bus de la station B1 transportent chaque jours 100 personnes en empruntant la route R1. Les cabines de la station S1 transportent chaque jour ce même nombre puis ils sont transportés via les cabines. Les bus de départ B2 transportent chaque jour 120 personnes. Les cabines de la station S2 transportent chaque jour ce même nombre via la R4.
Ils peuvent aussi emprunter R3, dans des cas extrêmes mais
avec un nombre maximum de 80 personnes. Figure 2
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Tout allait pour le mieux jusqu’au jour où des travaux ont débuté sur la route R1. L’office s’aperçoit qu’il n’arrivera plus à faire passer que 50 personne par jour entre les stations B1 et S1.
Son service de logistique fait une rapide étude, mais ne trouve pas d’autres solutions pratiques entre B1 et S1. Par contre il a calculé qu’il pouvait faire circuler jusqu’à 80 personne entre B1 et S2 par la route R2.
Grâce à ces nouvelles options l’office espère pouvoir à nouveau offrir un maximum de service. Il faut donc qu’il réorganise ses transports.
A/ 1. On cherche à trouver le modèle qui va permettre de résoudre cette recherche de retour à un service maximal.
1.1Quel est la nature du problème à modéliser ? Justifier.
1.2 Modéliser ce problème, tout en tenant compte des exigences du problème.
2. On désire modéliser la situation actuelle: 50 personnes qui transitent de la station B1 vers S1 par la route R1, et 120 personnes qui transitent de B2 vers S2 par la R4 ; Justifier que cette situation n’est pas optimale.
3. Partant toujours de cette situation, trouvez la solution optimale qui demandera le moins de changement possible dans les habitudes de transport. Justifier.
B/ Maintenant, La commune de la ville désire renouveler le réseau routier reliant les six sites touristiques de la ville à moindre coût.
Chaque tronçon a un coût proportionnel à la longueur de la route correspondante, donc à la durée de son parcours.
1. Quel est la nature du problème dans cette situation ? Justifier 2. Comment construire un tel réseau ?
3. Dessiner le réseau obtenu .Quel est le coût minimal de ce projet ? Exercice 03 ( pt)
A l’occasion d’une conférence, une chaine de restauration propose aux organisateurs trois types de menus M1 , M2, M3. Elle utilise à cet effet cinq ingrédients (A1), (A2), (A3), (A4) et (A5). Les quantités aij des éléments Ai intervenant dans l’élaboration du menu Mj sont données dans le tableau ci- contre.
La chaine dispose de 200 unités de A1, 100 de A2 , 200 de A3 , 200 de A4 et 100 de A5 . Les bénéfices unitaires valent respectivement 250 unités monétaire pour G1 , 500 pour G2 et 700 pour G3 . On désire déterminer le nombre de menu à préparer de façon à maximiser le bénéfice total.
a. Ecrire en terme de fonction le critère de sélection de la meilleur décision, en précisant les variables de décision.
b. Ecrire en terme d’équations linéaires les restrictions relatives aux variables de décisions.
c. Supposant qu’on veut trouver le nombre de menus à préparer en utilisant la méthode du simplexe, citer les changements nécessaires au niveau du programme linéaire proposé.
d. Traduire le programme en son dual.
Bon courage
M1 M2 M3 A1 1 1 2 A2 1 2 1 A3 2 1 1 A4 1 2 0 A5 1 2 2
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Ecole Nationale Polytechnique Année universitaire : 2017/2018
Cycle Préparatoire Matière : Informatique 3
2ème année
Corrigé type de l’Examen Final Informatique 3
Date :18/01/2017 Durée : 2 heures
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Ecole Nationale Polytechnique Année universitaire : 2017/2018
Cycle Préparatoire Matière : Informatique 3
2ème année
Corrigé type de l’Examen Final Informatique 3
Date :18/01/2017 Durée : 2 heures
Exercice 01
1. Représentation graphique :
Sommet : Nom du pays.
Arête : Existence d’une frontière entre deux pays.
Pour mettre en évidence les pays frontaliers, deux pays adjacents ne doivent pas avoir la même couleur dans le graphe.
a. Le nombre minimal de couleurs nécessaire à la coloration de cette carte correspond au nombre chromatique ou à l’ordre de la plus grande clique dans le graphe.
Pour trouver le nombre chromatique, on applique l’algorithme de Welsh-Powell.
Coloration :
Sommet Alg Lyb Mau Mal Nig Cha Sud Mar Tun Egy Sen
Degrés 6 6 4 4 4 3 3 2 2 2 2
Couleur R V V B J R B B B R R
Il faut alors 4 couleurs pour colorer cette carte.
Remarque : On remarque que sur le graphe, l’ordre de la plus grande clique est 3.
L’algorithme ne donne pas le plus petit nombre chromatique mais la valeur est acceptée car 3 ≤ c ≤ 7.
b. Les pays qui peuvent avoir la même couleur que l’Algérie sont ceux qui n’ont pas de frontières avec l’Algérie et qui n’ont pas non plus de frontières communes.
D’après la coloration précédente, les sommets ayant la même couleur de « Alg » sont
« Cha », « Egy » et « Sen ». Les pays sont donc : Chad, Egypte et Sénégal.
- Le nombre maximal de pays pouvant avoir la même couleur que l’Algérie correspond à l’ordre du plus grand stable comportant le sommet « Alg ».
Il existe deux plus grands stables :
2/4 {Alg, Sen, Cha, Egy} ou {Alg, Sen, Cha, Sud}.
L’ordre du plus grand stable est alors 4.
Donc, 3 pays au maximum peuvent avoir la même couleur que « Alg ».
2 – Pour prouver que n’importe quel africain peut atteindre la Méditerranée à partir de son pays, il faut d’abord ajouter la Méditerranée (Med) comme sommet au graphe, puis prouver que le graphe résultant est connexe, c’est à dire qu’il existe une chaîne reliant le sommet « Med » à n’importe quel autre sommet du graphe ou bien une chaîne qui passe par tous les sommets.
La chaîne est :
Sen-Mau-Mal-Nig-Cha-Syd-Egy-Lyb-Tun-Alg-Mar-Med.
Le graphe est donc connexe.
3 - On reprend le graphe d’origine (sans « Med »). Il s’agit de vérifier l’existence d’un cycle Hamiltonien démarrant de « Sen », passant par tous les sommets du graphe et revenir au sommet d’origine : Sen-Mau-Mar-Alg-Tun-Lyb-Egy-Sud-Cha-Nig-Mal-Sen.
Donc oui, le diplomate Sénégalais peut visiter tous les pays Africains une et une seule fois et revenir à son pays d’origine.
4 – Il s’agit de vérifier l’existence d’un cycle Eulérien. D’après le théorème d’Euler, un graphe admet un cycle Eulérien si les degrés de tous les sommets sont pairs.
Pour modéliser la fermeture de la frontière Chad-Sudan, nous supposons la suppression de l’arête entre les deux sommets « Cha » et « Sud ».
Les degrés de ces deux sommets (réponse 2.a) deviennent alors : d(Cha) = d(Sud) = 2.
Dans ce cas, les degrés sont tous pairs => il existe un cycle Eulérien.
Le diplomate peut alors traverser toutes les frontières une et une seule fois et revenir à son pays d’origine.
Exercice 02
A/ 1. Le problème est un problème de flot maximal.
Justification : on cherche à faire transiter le maximum de touristes.
2. Le flot démarre des stations de bus vers la station finale de la remontée mécanique.
-Les sommets : représentent les deux stations de bus B1, B2 , les deux stations des remontée mécanique et on ajoute aussi deux sommets source et puits pour obtenir le graphe.
- Les arcs : les différentes liaisons les routes R1, R2, R3, R4 les câbles des stations S1, S2.
- On reporte sur le graphe les contraintes de transport.
3/4 2. On désire modéliser la situation actuelle : 50 personnes qui transitent de la station B1 vers S1 par la route R1, et 120 personnes qui transitent de B2 vers S2 par la R4 ; Justifier que cette situation n’est pas optimale.
Utiliser l’algorithme de ford fulkurson. Lors de l’étape de marquage le puits est marqué. Il existe une chaine améliorante. Donc ce flot n’est pas optimal
3. Reprendre l’étape de marquage de l’algorithme de Ford-Fulkerson, on calcule le gain de la chaîne améliorante.
- La chaine améliorante : S B1S2B2 S1 P - Le minimum des différents maillons de cette chaîne est de 50.
-On ajoute 50 sur les arcs orientés dans le bon sens, et retrait 50 sur les arcs inverses.
-Le nouveau marquage ne permet pas d’atteindre le puits, donc la coupe est minimale et le flot est maximal.
Donc l’office devra faire transiter 50 personnes par la route R1 depuis B1 vers S1, 50 personnes par la route depuis B2 vers S1 depuis R 3 et enfin 70 personnes depuis B2 vers S2. Elle pourra ainsi toujours faire transiter 220 personnes.
B/
1. Construire un graphe partiel connexe à coût minimal => arbre couvrant minimal.
2. Comment construire un tel réseau ?
Algorithme de Kruskal, Prim. ( Détailler l’application de l’algo) 3. Dessiner le réseau obtenu .
Quel est le coût minimal de ce projet ? 1+5+3+4+2=15 Exercice 03 SUJET 1
1. Ecrire en terme de fonction le critère de sélection de la meilleur décision, en précisant les variables de décision.
Si on note xj le nombre de gâteaux de type Gj, j= 1,2,3.
La fonction objectif : Max z= 250x1 +500 x2 + 700 x3
2. Ecrire en terme d’équations linéaires les restrictions relatives aux variables de décisions.
Les contraintes: x1 + x2 +2x3 <= 200 x1+ 2x2+ x3 <= 100 2x1+ x2 + x3 <= 200 x1 + 2x2 <= 200 x1+2x2+2x3 <= 100
4/4 x1 ,x2, x3 >= 0
3. Supposant qu’on veut trouver le nombre de menus à préparer en utilisant la méthode du simplexe, citer les changements nécessaires au niveau du programme linéaire proposé.
Max z= 250x1 +500 x2 + 700 x3 x1 + x2 +2x3 <= 200 x1+ 2x2+ x3 <= 100 2x1+ x2 + x3 <= 200 x1 + 2x2 <= 200 x1+2x2+2x3 <= 100 x1 ,x2, x3 >= 0 4. Traduire le programme en son dual.
Min w=200 y1+100 y2+ 200 y3+ 200 y4+ 100 y5 SC :
y1+1y2+2y3+1y4+1y5 =>250 1y1+2y2+1y3+2y4+2y5=>500 2y1+1y2+1y3+0y4+2y5=> 700 y1 ,y2,y3,y4 ,y5=> 0
Exercice 03 SUJET 2
1. Ecrire en terme de fonction le critère de sélection de la meilleur décision, en précisant les variables de décision.
x1 = quantité de A produite x2 = quantité de B produite x3 = quantité de C produite
Toutes ces variables sont positives x1
2. Ecrire en terme d’équations linéaires les restrictions relatives aux variables de décisions.
Les contraintes :
- Contrainte portant sur les heures : x1 + 2 x2 + 3 x3 ≤ 40
- La production de B utilisant du A, il faut avoir suffisamment de A pour produire du B : Puisqu'il faut 2 unités de A pour une unité de B on doit imposer x1 ≥ 2 x2.
- De même entre B et C : x2 ≥ x3 Objectif
La quantité de A vendue est égale à la quantité produite x1 moins la quantité utilisée pour B : 2x2. De même pour B . D'où le chiffre d'affaires :
10 ( x1 – 2 x2) + 56 ( x2 – x3 ) + 100 x3 = 10 x1+ 36 x2 + 44 x3 PL
Max 10 x1+ 36 x2 + 44 x3 SC x1 + 2 x2 + 3 x3 ≤ 40
x1 - 2 x2 ≥ 0 x2 - x3 ≥ 0 x1 ,x2, x3 >= 0
