FACULTE DES SCIENCES ECOLE POLYTECHNIQUE
ET TECHNIQUES D’ABOMEY-CALAVI
(FAST) (EPAC)
ECOLE DOCTORALE « SCIENCES POUR L’INGENIEUR » DE L’EPAC
MEMOIRE DE DEA/SPI
(Diplôme d’Etudes Approfondies/Sciences Pour l’Ingénieur)
OPTION : Energétique et Environnement
THEME
Présenté et soutenu le 01 Mars 2011 par : Ir. Stanislas Arthur Oladélé SANYA
Devant le Jury d’examen composé de
:Professeur Gérard DEGAN Président Docteur Naïmoulaï CHITOU Membre Docteur Eusèbe AGOUA Membre Docteur Elisabeth ALLOGNON Membre
Docteur Clément AHOUANNOU Maître de mémoire Professeur Emile Adjibadé SANYA Maître de mémoire
Année académique : 2009-2010
ANALYSE, PAR PLAN D’EXPERIENCES, DES PROPRIETES PHYSICO-MECANIQUES DE COSSETTES D’IGNAMES : CAS
DES VARIETES LABOKO ET ANAGO.
TABLE DES MATIERES
RESUME...15
INTRODUCTION GENERALE ...16
PROBLEMATIQUE ET CONTEXTE ...18
Chapitre 1 : REVUE BIBLIOGRAPHIQUE ...21
INTRODUCTION ...21
1.1 Méthode des plans d’expériences ...21
1.1.1 Principe de la méthode des plans d’expériences ...22
1.1.1.1 Terminologie...22
1.1.1.1.1 Réponses, facteurs, niveaux...22
1.1.1.1.2 Coordonnées centrées réduites ...23
1.1.1.2 Principe de la méthode...23
1.1.1.3 Les avantages de la méthode...24
1.1.1.4 Déroulement d’une optimisation par plans d’expériences ...24
1.1.1.5 Démarche méthodologique...25
1.1.2 Présentation des plans d’expériences ...26
1.1.2.1 Plans factoriels complets à deux niveaux 2k...26
1.1.2.1.1 Principe du plan...26
1.1.2.1.2 Matrice d’expériences...27
1.1.2.2 Matrice des effets ...27
1.1.2.2.1 Calcul de l’effet d’un facteur...28
1.1.2.2.2 Graphique d’un effet ...28
1.1.2.2.3 Matrice de calcul des effets ...28
1.1.2.3 Plans factoriels fractionnaires ...29
1.1.2.3.1 Contrastes et relation d’équivalence ...30
1.1.2.3.2 Générateurs d’aliases et notion de résolution ...30
1.1.2.3.3 Hypothèses d’interprétation ...31
1.1.2.3.4 Erreur expérimentale sur un effet et son estimation ...32
1.1.2.3.5 Comparaison Erreur - Effet ...32
1.1.3 Plans pour surfaces de réponses ...33
1.1.3.1 Définition du modèle...33
1.1.3.2 Plans composites centrés...34
1.1.4 Analyse statistique des résultats...35
1.1.4.1 Test de signification des effets du modèle ...35
1.1.4.1.1 Réalisation du test de signification des effets ...35
1.1.4.1.2 Intervalle de confiance des effets du modèle ...36
1.1.4.1.3 Analyse de la variance...37
1.1.5 Désirabilité ...39
Conclusion partielle...40
1.2 Variétés d’ignames rencontrées au Bénin...41
1.2.1 Importance de l’igname au Bénin et production de cossettes ...41
1.2.2 Choix des variétés précoces Laboko et Anago...43
Conclusion partielle...44
1.3 Séchage convectif à air chaud, par entraînement à l’étuve ...44
Conclusion partielle...45
Chapitre 2 : MATERIELS ET METHODES...46
INTRODUCTION ...46
2.1 MATIERE PREMIERE : IGNAMES ...46
2.2 MATERIELS D’ESSAIS ET APPAREILS DE MESURES ...47
2.2.1 EQUIPEMENT DE SECHAGE ...47
2.2.2 BALANCE DE LABORATOIRE SARTORIUS BP3100S...48
2.2.3 MULTIMETRES NUMERIQUES A THERMOCOUPLES ...49
2.2.4 DISPOSITIF DE TREMPAGE DES ECHANTILLONS D’IGNAMES ...49
2.2.5 CHRONOMETRE A AFFICHAGE NUMERIQUE ...51
2.2.6 APPAREIL DE CARACTERISATION MECANIQUE ...51
2.2.7 PETIT OUTILLAGE ...53
2.3 METHODOLOGIES EXPERIMENTALES ET MESURES ...56
2.3.1 CONFECTION DES ECHANTILLONS D’ESSAIS ...56
2.3.2 DETERMINATION DE LA TENEUR EN EAU (BASE SECHE)...56
Détermination de la teneur en eau initiale (base sèche)...56
Teneur en eau instantanée des produits en séchage ...56
Détermination de la teneur en eau résiduelle des cossettes d’ignames...57
2.3.3 DETERMINATION DU RETRAIT VOLUMIQUE...57
2.3.4 DETERMINATION DE LA MASSE VOLUMIQUE...57
2.4 UTILISATION DU PLAN D’EXPERIENCES ...58
2.5 PARAGE DES ECHANTILLONS...59
2.6 TREMPAGE DES ECHANTILLONS D’IGNAMES ...60
2.7 SECHAGE DES ECHANTILLONS TREMPES ...61
CONCLUSION...63
Chapitre 3 : RESULTATS ET DISCUSSIONS...64
INTRODUCTION ...64
3.1 RESULTATS DES MESURES DES TENEURS EN EAU...64
3.1.1 POUR LES IGNAMES FRAICHES ...64
3.1.2 POUR LES COSSETTES SECHEES A DIFFERENTES TEMPERATURES ....65
3.2 RESULTATS DES MESURES DE FONCTIONS REPONSES...66
3.2.1 VARIETE D’IGNAME LABOKO ...66
3.2.1.1 Matrice des effets...66
3.2.1.1.1 Résultats d’estimation des effets (contrastes) pour le retrait volumique...67
3.2.1.1.2 Résultats d’estimation des effets pour la masse volumique...68
3.2.1.1.3 Résultats d’estimation des effets pour l’effort de brisure...70
3.2.1.2 Analyses des modèles accompagnant les réponses...71
3.2.1.2.1 Modèle proposé pour le retrait volumique...71
3.2.1.2.2 Modèle proposé pour la masse volumique apparente...73
3.2.1.2.3 Modèle proposé pour l’effort de brisure...74
3.2.1.3 Résultats d’analyses par surface de réponses...75
3.2.2 VARIETE D’IGNAME ANAGO...77
3.2.2.1 Résultats d’estimation des effets pour le retrait volumique...78
3.2.2.2 Résultats d’estimation des effets pour la masse volumique...79
3.2.2.3 Résultats d’estimation des effets pour l’effort de brisure...81
3.2.2.4 Analyses des modèles accompagnant les réponses...82
3.2.2.4.1 Modèle proposé du retrait volumique...82
3.2.2.4.2 Modèle proposé pour la masse volumique apparente...83
3.2.2.4.3 Modèle proposé pour l’effort de brisure...84
3.2.2.4.4 Résultats d’analyse des données par surface de réponses...85
Conclusion partielle...86
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES...87
BIBLIOGRAPHIE...90
ANNEXES...93
LISTE DES FIGURES
Figure 1.1 : Déroulement d’une optimisation par plans d’expériences 25
Figure 1.2 : Représentation de la désirabilité 40
Figure 1.3 : Etapes de la transformation de l’igname en cossettes 43 Figure 2.1 : Photographie des tubercules utilisés pour l’étude: Laboko (à
gauche) et Anago (à droite)
46
Figure 2.2 : Photographie de l’étuve ventilée «MEMMERT» D06060 48 Figure 2.3 : Photographie de la balance SARTORIUS BP3100S 48 Figure 2.4 : Photographie du multimètre OXFORD M890C+ avec son
thermocouple
49
Figure 2.5 : Photographie du dispositif de trempage des échantillons d’ignames 50 Figure 2.6 : Photographie de l’appareil SATEC MKIII 60TVL utilisé pour la
caractérisation mécanique des cossettes d’ignames (L.E.R.G.C / EPAC).
53
Figure 2.7 : Photographie des instruments de mise en forme et de mesure des dimensions des échantillons d’ignames.
54
Figure 2.8 : Photographie des consommables pour supports, marquages et emballages d’échantillons.
55
Figure 2.9 : Photographie des échantillons obtenus après le parage. 60 Figure 2.10 Photographie montrant quelques échantillons d’ignames après
trempage.
61
Figure 2.11 Photographie de quelques échantillons secs d’ignames. 62 Figure 3.1 : Diagramme standardisé de PARETO pour les effets des facteurs
étudiés sur le retrait volumique (LABOKO).
67
Figure 3.2 : Graphe d’évolution des effets des facteurs étudiés sur le retrait volumique des cossettes d’igname (LABOKO).
68
Figure 3.3 : Diagramme standardisé de PARETO pour les effets des facteurs étudiés sur la masse volumique des cossettes (LABOKO).
69
Figure 3.4 : Graphe d’évolution des effets des facteurs étudiés sur la masse volumique des cossettes d’igname (LABOKO).
69
Figure 3.5 : Diagramme standardisé de PARETO pour les effets des facteurs étudiés sur l’effort de brisure (LABOKO).
70
Figure 3.6 : Graphe d’évolution des effets des facteurs étudiés sur l’effort de brisure des cossettes d’igname (LABOKO).
71
Figure 3.7 : Graphe de test d’adéquation du modèle de Retrait Volumique (LABOKO).
73
Figure 3.8 : Graphe de test d’adéquation du modèle de la Masse Volumique apparente (LABOKO).
74
Figure 3.9 : Graphe de test d’adéquation du modèle d’Effort de Brisure (LABOKO).
75
Figure 3.10 : Surface de réponses estimées pour la désirabilité construite sur les critères: 1- minimiser le retrait volumique, 2- minimiser la masse volumique, 3- minimiser l’effort de brisure (LABOKO).
77
Figure 3.11 : Diagramme standardisé de PARETO pour les effets des facteurs étudiés sur le retrait volumique (ANAGO).
78
Figure 3.12 : Graphe d’évolution des effets des facteurs étudiés sur le retrait volumique des cossettes d’igname (ANAGO).
79
Figure 3.13 : Diagramme standardisé de PARETO pour les effets des facteurs étudiés sur la masse volumique (ANAGO).
80
Figure 3.14 : Graphe d’évolution des effets des facteurs étudiés sur la masse volumique des cossettes d’igname (ANAGO).
80
Figure 3.15 : Diagramme standardisé de PARETO pour les effets des facteurs étudiés sur l’effort de brisure des cossettes (ANAGO).
81
Figure 3.16 : Graphe d’évolution des effets des facteurs étudiés sur l’effort de brisure des cossettes d’igname (ANAGO).
81
Figure 3.17 : Graphe de test d’adéquation du modèle de Retrait volumique (ANAGO).
83
Figure 3.18 : Graphe de test d’adéquation du modèle de la Masse volumique (ANAGO).
84
Figure 3.19 : Graphe de test d’adéquation du modèle obtenu pour l’Effort de brisuredes cossettes d’igname (ANAGO).
84
Figure 3.20 : Surface de réponse estimée (Température de séchage = 60°C, Ventilation = 1,35) pour la désirabilité construite sur les critères: 1- minimiser le retrait volumique, 2- minimiser la masse volumique, 3- minimiser l’effort de brisure (ANAGO).
86
Figure 3.21.A1: Evolution du retrait volumique des morceaux d’igname LABOKO en fonction de leur teneur en eau (Essai 2).
97
Figure 3.21.A2 : Evolution du retrait volumique des morceaux d’igname ANAGO en fonction de leur teneur en eau (Essai 3).
97
Figure 3.22.A1 : Evolution de la masse volumique apparente des morceaux d’igname LABOKO en fonction de leur teneur en eau (Essai 2).
98
Figure 3.22.A2 : Evolution de la masse volumique apparente des morceaux d’igname 98
ANAGO en fonction de leur teneur en eau (Essai 3).
Figure 3.23 A1 : Evolution de l’effort de brisure des morceaux d’igname LABOKO en fonction de leur teneur en eau (Essai 2).
99
Figure 3.23 A2 : Evolution de l’effort de brisure des morceaux d’igname ANAGO en fonction de leur teneur en eau (Essai 3).
99
Figure 3.24 A1 : Evolution du facteur de contraction des morceaux d’igname LABOKO en fonction de leur teneur en eau (Essai 2).
100
Figure 3.24 A2 : Evolution du facteur de contraction des morceaux d’igname ANAGO en fonction de leur teneur en eau (Essai 3).
100
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1.1 : Matrices d’expériences. 27
Tableau 1.2 : Matrice de calcul des effets. 29
Tableau 1.3 : Plan factoriel fractionnaire et nombre de facteurs étudiés 30 Tableau 1.4 : Conditions d’isovariance par rotation, de pseudo-orthogonalité et
de précision uniforme.
34
Tableau 1.5 : Table de Student t. 36
Tableau 1.6 : Trois sommes pour l’analyse de la variance. 37
Tableau 1.7 : Tableau ANOVA : analyse de régression. 38
Tableau 2 : Matrice d’expériences générée pour le plan des variétés Laboko et Anago.
59
Tableau 3.1 : Teneurs en eau des ignames fraîches: Laboko et Anago. 64 Tableau 3.2 : Résultats des mesures de teneurs en eau résiduelles des cossettes. 65 Tableau 3.3 : Matrice d’expériences et valeurs acquises par les réponses pour la
variété d’igname Laboko.
66
Tableau 3.4 : Résultats d’estimation des effets sur le retrait volumique. 67 Tableau 3.5 : Résultats d’estimation des effets et interactions sur la masse
volumique.
68
Tableau 3.6 : Résultats d’estimation des effets sur l’effort de brisure. 70 Tableau 3.7 : Résultats d’estimation des coefficients du modèle du retrait
volumique.
71
Tableau 3.8 : Analyse de la variance (ANOVA). 72
Tableau 3.9 : Résultats d’estimation des coefficients du modèle du retrait volumique.
74
Tableau 3.10 : Analyse de la variance (ANOVA). 74 Tableau 3.11 : Valeurs extrêmes de la fonction Désirabilité, but et poids . 76 Tableau 3.12 : Valeurs des fonctions réponses et désirabilités prédite et observée. 76 Tableau 3.13 : Matrice d’expériences et valeurs acquises par les réponses pour la
variété d’igname Anago.
78
Tableau 3.14 : Estimation des coefficients du modèle du retrait volumique. 82
Tableau 3.15 : Analyse de la variance (ANOVA). 82
Tableau 3.16 : Valeurs extrêmes de la fonction Désirabilité, but et poids . 85 Tableau 3.17 : Valeurs des fonctions réponses et désirabilités prédite et observée. 85
LISTE DES ANNEXES
ANNEXE 1 : Matrice de calcul des effets et interactions pour le retrait volumique : variété LABOKO.
93
ANNEXE 2 : Tableau résumant les intervalles de confiance des effets pour le retrait volumique : variété LABOKO
93
ANNEXE 3 : Matrice de calcul des effets et interactions pour la masse volumique apparente : variété LABOKO.
94
ANNEXE 4 : Tableau résumant les intervalles de confiance des effets pour la masse volumique apparente : variété LABOKO
94
ANNEXE 5 : Matrice de calcul des effets et interactions pour l’effort de brisure : variété ANAGO.
95
ANNEXE 6 : Tableau résumant les intervalles de confiance des effets pour l’effort de brisure : variété ANAGO.
95
ANNEXE 7 : Table FISHER-SNEDECOR de quelques valeurs de F(ν1,ν2 ) pour un risque de 5%.
96
ANNEXE 8 : Figure 3.21.A 97
ANNEXE 9 : Figure 3.22.A 98
ANNEXE 10 : Figure 3.23.A 99
ANNEXE 11 : Figure 3.24.A 100
NOMENCLATURE
X
Teneur en eau sur base sèche ou variable centrée réduite( ) t
X
Teneur en eau du produit à l’instant tX
o Teneur en eau initiale du produitW Teneur en eau du produit sur base humide.
ε
V ,R
V Retrait volumiqueV
Volume à l’instant t( )
tV Volume à la teneur en eau moyenne instantanée a
ρ
S Masse volumique apparente du produitm
e Masse d’eaum
S Masse de matière sèche( ) t
m
Masse à l’instant tm
o Masse initiale du produitm
SL Masse de la matière solide Variable d’origineValeur centrale en unité courante Nouvelle unité dans le repérage choisi
k Facteur ayant deux niveaux ou nombre de facteurs étudiés du plan complet de base
H Matrice d’Hadamard (matrice carrée) Nombre entier égal à 2 ou multiple de 4 Matrice identité de dimension .
Différence entre le nombre de facteurs étudiés et le nombre de facteurs du plan complet de base ou nombre de coefficients estimés à partir du modèle.
Nombre total de générateur d’aliases permettant de retrouver tous les termes de chaque contraste
NGAD Nombre total de générateur d’aliases indépendants Erreur expérimentale commise sur la réponse
Ecart-type expérimental sur les effets des facteurs Effet d’un facteur
Coefficients du modèle polynomial Réponse ou grandeur d’intérêt
Nombre total d’essais à mener ou nombre de répétitions au centre du domaine expérimental
Distance au centre du domaine d’un point du plan composite centré Ou risque
Variable de Student à degrés de liberté et ayant la probabilité d’être dépassée en valeur absolue.
Variance expérimentale
Variance commune des estimateurs des coefficients Effet du facteur
Réponses observées lors de la réalisation des expériences Réponse estimée à l'aide du modèle linéaire
Moyenne des réponses
SCEL Somme des carrés des écarts dus à la régression (liaison) ou variation expliquée.
SCER Somme des carrés des écarts des résidus ou variation inexpliquée par le modèle.
STCE Somme totale des carrés des écarts ou somme des carrés des écarts entre les mesures de la réponse et leur moyenne.
Valeur de Fisher calculée.
quantile d’une loi de Fisher avec et ( ) degrés de liberté : valeur de Fisher théorique lue sur la table.
Coefficient de détermination consistant en la définition du pourcentage de variation totale expliquée par le modèle
Coefficient de détermination ajusté permettant d’apprécier laqualité du modèle
A mes parents, à mes frères et sœurs et à toute ma famille,
En ce moment qui me fait grandir,
Je dédie ce travail.
REMERCIEMENTS
Ce travail est présenté dans le cadre de mon mémoire de fin de stage de DEA.
Je tiens à exprimer ma gratitude à tous ceux qui ont contribué, de près ou de loin, à la réalisation de ce mémoire.
J’adresse mes sincères remerciements au professeur Gérard DEGAN, pour avoir accepté de présider ce jury. Je tiens ensuite à remercier Monsieur Eusèbe AGOUA et Madame Elisabeth ALLOGNON, enseignants à l’Ecole Polytechnique d’Abomey- Calavi (EPAC), pour l’intérêt qu’ils ont bien voulu accorder à ce travail et pour leurs diverses contributions. Je suis très honoré que Monsieur Naïmoulaï CHITOU, chef du Département de Génie Mécanique et Energétique (GME) de l’EPAC, ait accepté d’examiner ce mémoire.
J’adresse ensuite mes vifs remerciements au Dr. Clément AHOUANNOU et au Pr.
Emile Adjibadé SANYA qui m’ont aidé dans la réalisation de ce travail en me donnant les conseils et orientations requis, tout en me laissant une grande autonomie dans l’accomplissement de ce travail.
Je tiens aussi à remercier Monsieur Adolphe TCHEHOUALI, chef du Département de Génie Civil de l’EPAC, et Monsieur Cyprien LAADE, pour toute l’aide apportée lors de la caractérisation mécanique des échantillons, ainsi que tous les membres du Laboratoire d’Essais et de Recherches en Génie Civil (LERGC).
Je remercie ensuite tous mes Professeurs à l’Ecole Polytechnique d’Abomey-Calavi (EPAC), et particulièrement ceux du Département de Génie Mécanique et Energétique (GME), pour leurs sens d’encadrement, leurs conseils et leur patience, ainsi que toute l’équipe du laboratoire de Métrologie, pour leur soutien. Qu’ils trouvent ici le témoignage de mon respect et ma grande affection.
Enfin, j’exprime toute ma reconnaissance à mes parents, ma famille et mes amis, pour leur soutien indéfectible, leur aide et leur patience.
RESUME
La conservation des ignames fraîches demeure une préoccupation majeure pour le développement de la culture en raison de la teneur en eau élevée des tubercules : 60 à 80% (base humide). La production industrielle des cossettes d’ignames passe par une maîtrise scientifique et technique ainsi qu’une optimisation du procédé de fabrication de ces cossettes.
Notre travail porte sur l’analyse de l’influence de quatre (04) facteurs (Ventilation, durée de trempage, températures de trempage et de séchage) étudiés sur le retrait volumique, la masse volumique apparente et l’effort de brisure des morceaux parallélépipédiques de deux variétés d’ignames Laboko et Anago (50mmx40mmx30mm) trempés et séchés à l’étuve, suivant la méthodologie des plans d’expériences, en vue de l’obtention à moindre coût des cossettes de bonne qualité. Les résultats obtenus, à partir du plan factoriel fractionnaire 24IV-1avec deux points centraux généré par le logiciel STATGRAPHICS CENTURION, écrit et distribué par la société SIGMA PLUS, sont assez édifiants pour montrer que le retrait volumique et l’effort de brisure des cossettes d’igname Anago, sont respectivement influencés par le réglage de la ventilation, la température de séchage et la température de trempage. Par contre pour la variété Laboko, l’influence des températures de trempage et de séchage n’a été significative que sur l’effort de brisure. Les effets de tous ces facteurs étudiés ne sont pas statistiquement significatifs, à un niveau de confiance de 95%, sur la masse volumique apparente des morceaux d’ignames des deux variétés. Les polynômes de modélisation obtenus sont moins prédictifs pour la variété Laboko que pour ceux de la variété Anago. Notons que le modèle du premier degré semble être satisfaisant pour l’effort de brisure des cossettes, tandis que l’analyse nous amène à envisager un modèle du second degré pour le retrait volumique et la masse volumique apparente des deux variétés étudiées, en vue d’une meilleure optimisation.
Mots-clés : Plan d’expériences, séchage, cossettes d’ignames.
ABSTRACT
The conservation of fresh yams remains a major concern for the development of culture because of the high water content of tubers 60 to 80% (wet basis). The industrialization of yam chips requires a scientific and technical mastery as well as optimization of the manufacturing process of these chips. Our work focuses on analyzing the influence of four (04) factors (ventilation, duration of soaking in hot water, dipping and drying temperatures) studied the volume shrinkage, apparent density and breaking force of rectangular pieces two varieties of yams Laboko and Anago (50mmx40mmx30mm) soaked and dried in an oven, following the methodology of experimental design in order to obtain lower-cost chips of good quality. The results obtained from the fractional factorial design with two central points generated by the software STATGRAPHICS CENTURION, written and distributed by SIGMA PLUS, are quite instructive to show that the volume shrinkage and the effort to break the yam chips Anago, respectively, are influenced by the setting of ventilation, drying temperature and dipping temperature. As for the variety Laboko yams, the influence of dipping and drying temperatures was significant only on the effort of breaking. The effects of these factors studied are not statistically significant at a confidence level of 95% on the apparent density of the two pieces of yam varieties. Note that the model of first-degree seems to be satisfactory for the effort of breaking the chips, while the analysis leads us to consider a model of second-degree for the volume shrinkage and the apparent density of the two varieties studied, in order a better optimization.
Keywords: Design of experiments, drying, yam ships.
INTRODUCTION GENERALE
Les pertes post récoltes d’ignames sont très largement réduites avec le développement de la filière cossettes. La transformation des tubercules d’ignames en cossettes comprend trois grandes opérations : l’épluchage, la pré cuisson ou trempage et le séchage. La pré cuisson et le séchage sont deux étapes critiques pour l’obtention de cossettes de bonne qualité [23]. Le séchage assure la stabilisation du produit sous forme de cossettes qui, avec une teneur en eau de moins de 15%, se conservent pendant plusieurs mois dans des conditions favorables. Elles sont disponibles sur les marchés urbains tout au long de l’année et les coûts de transport, ramenés à une même quantité de produit frais, sont par conséquent réduits.
Cependant, la conservation traditionnelle de l’igname se fait par une pré cuisson suivie d'un séchage au soleil, qui entraîne de grosses pertes durant les périodes plus humides, se traduisant par la production et la mise sur le marché de lots de tubercules mal séchés et noircis du fait du développement des moisissures, qu'on pourrait réduire par une simple opération de séchage à l'étuve.
De plus, durant la phase de séchage, l’évacuation de l’eau entraîne inévitablement une variation des dimensions des morceaux d’ignames fraîches qualifiée de retrait.
Si ce retrait n’est pas homogène dans tout le volume du tubercule, il s’ensuit alors des déformations et même des fissurations. Si celles-ci dépassent un certain seuil, elles engendrent une altération de forme et de texture des cossettes. Toutes choses qui réduisent la valeur marchande du produit. De ce fait, il s’avère nécessaire de mettre en place une modélisation prédictive de cette déformation couplée au séchage.
Au regard de toutes ces considérations, nous avons opté, pour notre stage de DEA, pour le sujet intitulé : « Analyse, par plan d’expériences, des propriétés physico- mécaniques de petits morceaux d’ignames durant la production de cossettes : Application aux variétés LABOKO et ANAGO. », qui fait suite au sujet intitulé :
« Etude du séchage convectif sur le comportement des morceaux parallélépipèdes de quelques variétés locales d’ignames fraîches/prétraitées en eau chaude, cas de Laboko et d’Anago. » et qui constituent une contribution scientifique en vue d'améliorer les méthodes traditionnelles de conservation et de diminuer les pertes
post-récoltes afin de soulager les producteurs d’ignames. L’étude inclut essentiellement l’analyse du comportement de rétraction volumique subie, sous l’influence de quatre paramètres de trempage ou de séchage, par des morceaux parallélépipédiques d’ignames prétraitées en eau chaude, lors de la conduite du séchage convectif. Elle s’intéresse aussi à la détermination de la masse volumique apparente des cossettes produites et prend en compte une mesure mécanique consistant en la détermination de l’effort maximal de brisure des cossettes issues des traitements thermiques appliqués.
L'approche choisie pour cette recherche est celle expérimentale utilisant la méthode par plan d’expériences pour bien identifier les variables pertinentes de cette étude, afin de construire un modèle de bonne qualité statistique, avec un nombre minimal d’essais, contribuant ainsi à la réduction du coût de l’expérimentation, tout en offrant la possibilité de cerner tous les éléments inscrits dans la plage délimitée par les bornes fixées au départ pour cette étude.
La rédaction du mémoire est réalisée suivant trois (03) grands chapitres, hormis l’introduction générale et la conclusion générale qui intègre les difficultés rencontrées, les suggestions et les perspectives.
• Le premier chapitre oeuvre à la compréhension et à l’utilisation de quelques plans d’expériences couramment construits. Nous ferons également un bref aperçu des variétés d’ignames rencontrées au Bénin et des procédés de production de cossettes d’ignames, ainsi que le choix de deux variétés (02) accessibles à la conduite de nos travaux.
• Le deuxième chapitre présente les matériels et leur application dans cette étude, puis le plan d’expériences adopté pour l’expérimentation.
• Le troisième chapitre, qui est réservé à l’analyse des résultats obtenus et de leurs discussions, vient clôturer la rédaction de ce mémoire.
PROBLEMATIQUE ET CONTEXTE
La conservation des ignames fraîches reste une opération délicate en raison de l'importante teneur en eau des tubercules : 60 à 80% (base humide) [9]. Cette humidité élevée du produit entretient les fonctions de transpiration et de respiration, même au ralenti et explique que les diverses méthodes de stockage, rudimentaires, améliorées ou sophistiquées, ne puissent empêcher les pertes économiques annuellement enregistrées à environ 50% de la récolte [31].
Pour assurer l'avenir des ignames dans la production agricole et sa consommation pérenne, il convient de prendre certaines mesures afin de rendre ce produit mieux adapté aux besoins de contre saison.
Dans les rares systèmes traditionnels ou rudimentaires de transformation post récoltes, celui conduisant aux cossettes d'ignames occupe une place privilégiée. En raison du rôle de réserve alimentaire joué par les cossettes, surtout pendant la période de soudure, elles représentent un des produits de la transformation d’igname très utile, mieux connu, et constituent un aliment de base pour plusieurs groupes de populations en Afrique. L'urbanisation galopante et le développement des grandes villes en Afrique accroissent davantage l’importance des cossettes d'ignames durant cette période critique.
On dispose là en fait d’une culture saisonnière, avec un temps de conservation à l’état naturel relativement court. La conséquence flagrante est qu’il s’installe une période de soudure pendant laquelle les consommateurs retrouvent très difficilement l’igname préférée à l’état frais, parfois même pas, dans certaines zones.
Le marché enregistre une fluctuation de prix, en cours d’année, avec souvent une amplitude haute durant la période de soudure, au cas où existerait une quantité rémanente d’ignames. La hausse des prix contraint souvent les populations les plus pauvres à s’abstenir d’en consommer. Celles nanties ne peuvent non plus acheter tout le stock disponible. Il en résulte d’importantes quantités d’ignames qui finissent non vendues, parce qu’elles sont pourries ou germées dans les magasins des revendeuses.
Ces raisons sont assez édifiantes sur le fait qu’il faille trouver des voies appropriées pour transformer une bonne partie des ignames produites. Les cossettes sont réduites en farine et on peut en faire, soit une pâte très prisée par une frange de populations (amala ou télibo), soit alors une sorte de couscous d’igname (le «wassa wassa) qui fait également son chemin, par ces temps de crise alimentaire.
Le principal inconvénient lié à ce produit (cossette) réside dans le reproche qui lui est toujours fait : «c’est en sorte l’igname du pauvre» dit-on. Sa qualité gustative est, à juste titre, moindre comparée à celle de l’igname fraîche préparée. Il en découle que son coût de vente soit faible et ne puisse rapporter de plus-value substantielle sur les marchés internationaux. En revanche, les cossettes d’ignames remplissent bien la fonction de pouvoir permettre l’alimentation des marchés intérieurs voire régionaux en un produit dérivé, quelle que soit la période de l’année, à un prix relativement stable et abordable pour toutes les populations.
La mise en place d’une modélisation prédictive de la déformation due au séchage dans la transformation des tubercules d’ignames en cossettes, constitue l’un des axes de recherche de l’Unité de Recherches en Energétique et Phénomènes de Transferts (UR-EPT) du Laboratoire d’Energétique et de Mécanique Appliquées (LEMA) de l’Ecole Polytechnique d’Abomey-Calavi (EPAC) où nous avons effectué nos travaux.
Le thème proposé pour ce mémoire vise essentiellement à l’analyse du retrait volumique, de la masse volumique apparente et de l’effort de brisure des morceaux parallélépipédiques de deux variétés d’ignames locales, Laboko et Anago, durant la production de cossettes, sous quelques conditions opératoires prédéfinies dans un plan d’expériences.
Les objectifs spécifiques assignés, à ce niveau d’investigations, peuvent se décliner globalement en cinq (05) grands points, à savoir :
• déterminer les teneurs en eau du produit frais et celles finales des cossettes issues du produit frais ;
• évaluer le retrait volumique et la masse volumique apparente du produit au cours du séchage (c’est-à-dire en fonction de sa teneur en eau) ;
• déterminer, par une caractérisation mécanique, l’effort maximal de brisure des cossettes ;
• estimer et comparer les effets des facteurs pertinents sélectionnés sur le retrait volumique, la masse volumique apparente et sur l’effort maximal de brisure des cossettes d’ignames obtenues en fin de séchage ;
• enfin, sortir les modèles obtenus des plans d’expériences construits qui permettent éventuellement d’expliquer les variations enregistrées au niveau des fonctions réponses étudiées.
Ce dernier objectif a pour finalité l’optimisation du procédé de production des cossettes d’ignames, à travers la maîtrise de l’influence des paramètres pertinents sur les différentes fonctions réponses étudiées, et pouvant ainsi conduire à l’obtention, à moindre coût, des cossettes de bonne qualité de conservation.
Chapitre 1 : REVUE BIBLIOGRAPHIQUE
INTRODUCTION
Dans cette première partie du mémoire, il est présenté au premier abord la méthode des plans d’expériences, sans avoir la prétention d’en explorer la totalité des vastes aspects qu’elle comporte. Les fondements de la méthode sont présentés pour mettre en évidence son intérêt et son utilisation dans le contexte de notre travail. Ensuite, un bref aperçu est fait sur les variétés d’ignames rencontrées et les procédés de production de cossettes, ainsi que sur le principe du séchage convectif à air chaud, par entraînement, adopté dans le protocole expérimental.
1.1 Méthode des plans d’expériences
La méthode intuitive n’est pas toujours la meilleure. Elle consiste généralement à fixer la valeur de toutes les variables sauf une et à mesurer la réponse pour plusieurs valeurs de la variable mobile. Cette technique est ensuite répétée pour chaque variable. Ainsi, par exemple, si nous avons 8 variables et si l'on décide de donner 5 valeurs expérimentales à chacune d'elles, nous sommes conduits à effectuer 58 = 390625 expériences. Ce nombre élevé d’expériences dépasse les limites de faisabilité tant en temps qu'en coût. Il faut donc, soit réduire le nombre de valeurs à attribuer aux variables ou soit réduire tout simplement le nombre de ces variables. Mais l’abandon de certaines variables pourrait laisser un goût d’amertume et surtout un doute sur la pertinence du résultat obtenu. C’est la raison pour laquelle, une méthode systématique et ordonnée est indispensable pour résoudre ce problème.
La méthode des plans d’expériences permet d'obtenir le maximum de renseignements avec le minimum d'expériences, et donc le minimum de coût, dans le but de modéliser ou d'optimiser les phénomènes étudiés.
Les plans d’expériences sont issus de méthodes mathématiques et statistiques appliquées à l’expérimentation. C’est Fisher ([16], [17]) qui, pour la première fois en 1925, proposa une méthode avec laquelle on étudiait plusieurs facteurs à la fois.
Cette méthode fut reprise puis développée par des statisticiens et des mathématiciens qui définirent des tables d’expériences permettant de réduire considérablement le nombre d’expériences à effectuer sans diminuer la pertinence
de la campagne d’essais. Récemment, les responsables de la qualité ont découvert ces techniques, suite aux travaux de Taguchi [29], et ils en font maintenant grand usage. Au cours de ces dernières années, cette méthodologie, du fait de la pertinence des informations apportées, s’est développée dans la plupart des secteurs d’activités. Les techniques et les notions développées sont si générales qu’elles peuvent être utilisées dans tous les domaines.
On peut cependant diviser les plans d’expériences en deux grandes catégories : – les plans pour étudier (estimer et comparer) les effets des paramètres,
– les plans pour régler les paramètres afin d’atteindre un optimum.
Le but de cette science est donc l’optimisation du choix des essais et de celui de leur enchaînement au cours de l’expérimentation. Cette méthode apporte à l’expérimentateur un puissant outil de réflexion et d’analyse qui lui permettra de conduire son expérimentation avec sûreté et précision.
Comment obtenir les bonnes informations dans les meilleurs délais et pour le moindre coût ? Telle est la question qui nous a aussi amenés à adopter la méthode des plans d’expériences dans ce présent sujet de DEA traitant de l’analyse des propriétés physico-mécaniques de petits morceaux d’ignames durant la production de cossettes.
1.1.1 Principe de la méthode des plans d’expériences 1.1.1.1 Terminologie
1.1.1.1.1 Réponses, facteurs, niveaux
Une fonction réponse ou grandeur d’intérêt définit l’objectif à atteindre et dépend d'un grand nombre de variables supposées influencer la réponse, que nous appellerons facteurs et sur lesquelles l’expérimentateur peut agir. Elles peuvent être continues ou discontinues. La modélisation mathématique consiste à trouver une fonction (modèle) qui explique le mieux les variations de la réponse selon les différentes valeurs données aux facteurs. Cette fonction est déterministe (la réponse dépend uniquement des facteurs sans aucune incertitude possible, ce qui revient à ignorer les bruits tels que les erreurs de mesure) et invariante (le comportement n'évolue pas au cours du temps). Dans le cas des plans d’expériences, cette fonction mathématique est souvent un polynôme. L'intérêt de modéliser la réponse par un
polynôme est de pouvoir calculer ensuite toutes les réponses du domaine d'étude sans être obligé de faire les expériences.
Lorsque l’on étudie un facteur, on ne le fait pas varier dans de larges proportions. On définit toujours, en fonction des besoins de l’étude, deux bornes : la borne inférieure (niveau bas) désignée par le signe moins (-) et la borne supérieure (niveau haut) désignée par le signe plus (+). On appellera domaine d’étude tous les points de la surface délimitée par les niveaux bas et haut de chaque facteur.
1.1.1.1.2 Coordonnées centrées réduites
La notation de Yates permet une représentation simple des combinaisons des niveaux et facilite le calcul des effets et des interactions. Celle-ci revient à utiliser des variables centrées réduites (v.c.r.) au moyen d’un changement d’unité de mesure et d’origine, en attribuant la valeur - 1 au niveau bas et la valeur + 1 au niveau haut.
Le passage des variables d’origine aux variables centrées réduites et inversement, est donné par la formule suivante ( étant la valeur centrale en unités courantes et la nouvelle unité) :
(1.1) L’intérêt des v.c.r. est de pouvoir présenter les plans d’expériences de la même manière quels que soient les domaines expérimentaux retenus et quels que soient les facteurs, ce qui donne une grande généralité de présentation à la théorie des plans d’expériences et permet de comparer des variables de grandeurs totalement différentes.
1.1.1.2 Principe de la méthode
Il consiste à faire varier simultanément les niveaux de un ou plusieurs facteurs à chaque essai. Ceci va permettre de diminuer fortement le nombre d’expériences à réaliser tout en augmentant le nombre de facteurs étudiés et en permettant de modéliser facilement les résultats sans sacrifier la précision sur ces résultats.
L’idée essentielle qui doit guider la démarche expérimentale de l’expérimentateur est que l’on met en œuvre un plan d’expériences afin de répondre à une problématique bien précise. Il faut donc choisir ou construire le plan qui donnera les informations
recherchées. On ne pourra donc pas utiliser le même plan pour étudier efficacement les effets des paramètres tout en cherchant un optimum [15].
1.1.1.3 Les avantages de la méthode
La méthode des plans d’expériences apporte une aide précieuse dans la résolution des problèmes d’optimisation tant au niveau de l’analyse que de la détermination de l’optimum.
Les avantages que fournit la méthode des plans d’expériences sont nombreux [19] : (1) La méthode fixe immédiatement le minimum d’essais à réaliser permettant
d’obtenir le maximum d’informations.
(2) Elle permet également d’étudier simultanément de nombreux paramètres et de sélectionner les plus influents.
(3) Plusieurs fonctions réponses peuvent être testées simultanément sur un plan.
(4) Des paramètres discrets comme continus peuvent être utilisés.
(5) La construction d’une surface de réponses sur la totalité du domaine permet d’obtenir une image du phénomène physique.
(6) La réalisation d’une surface de réponse autour de l’optimum informe sur sa sensibilité.
En fait, la méthode dirige et conseille le concepteur, lors de la résolution d’un problème d’optimisation.
1.1.1.4 Déroulement d’une optimisation par plans d’expériences
La figure 1.1 suivante illustre le déroulement d’une optimisation par plans d’expériences.
Tout d’abord, un plan fractionnaire permettra de distinguer les paramètres influents.
A partir de ces paramètres, une optimisation sera réalisée. Autour de l’optimum, un plan factoriel local permettra d’estimer les tolérances nécessaires lors de la réalisation du dispositif (en ce qui concerne les paramètres d’entrée). Cette démarche est applicable à tout problème d’optimisation [19].
Figure 1.1 : Déroulement d’une optimisation par plans d’expériences [19].
1.1.1.5 Démarche méthodologique
Afin d’obtenir des informations pertinentes, une démarche méthodologique doit être suivie [20] :
Préparation de l’expérimentation
Elle consiste en une réflexion préalable, effectuée soit seul, soit en groupe, qui facilitera le choix des plans qui conviennent le mieux au problème posé, et permettant :
• de préciser avec soin les réponses qui seront enregistrées à chaque essai ;
• de rechercher tous les facteurs pouvant influer sur le processus étudié ;
• de définir les domaines d’étude de chacun des facteurs ;
• d’envisager les erreurs systématiques possibles pour éventuellement s’en affranchir ;
• de prévoir les contraintes expérimentales possibles ;
• d’organiser des essais supplémentaires pour évaluer l’erreur expérimentale.
Analyse des résultats
Disposant des résultats des essais, il faut s’assurer, avant d’entreprendre les calculs:
qu’il n’y a pas de résultats aberrants ou faux ;
que les niveaux ont bien été respectés au cours de l’expérimentation ;
que le modèle mathématique retenu a priori représente bien les résultats d’expériences ;
que l’on a bien évalué les risques d’ambiguïté.
Etant maintenant sûr de la qualité de ses résultats, l’expérimentateur va pouvoir procéder aux calculs et à l’interprétation. En fonction des conclusions, il saura s’il a atteint pleinement son but ou s’il doit envisager une nouvelle série d’essais pour compléter son information.
Acquisition progressive des connaissances
Si les premiers résultats soulèvent de nouvelles inquiétudes, l’expérimentateur devra entreprendre des essais supplémentaires. Les conclusions du premier plan lui permettront d’orienter les nouvelles investigations.
A l’issue de cette procédure, on pourra conclure sur les résultats donnés par les plans. L’organisation des expériences au départ de l’étude est telle que les nouveaux essais viendront s’intégrer harmonieusement aux premiers, évitant ainsi toute perte de temps ou d’argent. Les premiers résultats, s’ils ne répondent pas entièrement aux questions posées, serviront à orienter le choix des nouvelles expériences.
1.1.2 Présentation des plans d’expériences
Cette partie est dédiée à la présentation des plans d’expériences dont l’objectif est d’estimer et comparer les effets des facteurs étudiés, pour enfin sortir le modèle mathématique. Il existe de nombreux plans permettant de réaliser une telle étude.
Chacun, par ses propriétés, permet de résoudre certains problèmes particuliers.
Nous présentons les plans d’expériences factoriels, les plus simples et plus utilisés.
1.1.2.1 Plans factoriels complets à deux niveaux 2
k1.1.2.1.1 Principe du plan
Le choix des meilleures expériences est le problème fondamental du plan d’expériences. Les plans factoriels complets à deux niveaux forment la base de tous les débuts d’étude et sont les plus rapides à mettre en œuvre.
Le principe consiste alors à répartir, de façon optimale, les essais dans le domaine d’étude. Les premiers résultats obtenus peuvent toujours être complétés par de nouvelles expériences en vue d’atteindre le degré de précision et d’information recherché avec un plan composite par exemple.
Dans un plan factoriel complet 2k, la totalité, soit 2k expériences pour k facteurs à 2 niveaux, doit être réalisée comme dans la méthodologie standard.
1.1.2.1.2 Matrice d’expériences
La matrice d’expériences est en réalité un tableau constitué de deux sous-tableaux, comme l’indique l’exemple du tableau 1.1 : la première partie du tableau définit les essais à réaliser, avec la façon de faire varier les facteurs et l’ordre dans lequel il faut effectuer les expériences, la seconde partie définit le domaine d’étude.
Tableau 1.1- Matrices d’expériences [20]
Essais à réaliser
N° essai Facteur 1 Facteur 2
1(A) -1 -1
2(B) +1 -1
3(C) -1 +1
4(D) +1 +1
Domaine d'étude
Niveau - 60°C 1 bar
Niveau + 80°C 2 bar
Sa construction s’effectue suivant l’algorithme de Yates où :
•
toutes les colonnes commencent par -1.•
on alterne ensuite les -1 et les +1 toutes les 2 j-1 lignes pour la jème colonne.Les tableaux offrent l'avantage d’être utilisables quel que soit le nombre de facteurs, c'est-à-dire quel que soit le nombre de dimensions de l'espace expérimental.
Si les essais sont numérotés dans l’ordre normal des nombres entiers, on parle de numérotation classique. Il est possible de changer l’ordre des essais : pour le cas de randomisation, de dérive ou de blocking : le numéro est conservé à chaque essai quelle que soit sa place dans la présentation.
1.1.2.2 Matrice des effets
La matrice des effets sert au calcul des coefficients du modèle et s’obtient en ajoutant à gauche de la matrice d’expériences une colonne ne contenant que des +1.
Elle correspond à une représentation mathématique de l’organisation des effets.
Pour les plans factoriels, les matrices d’Hadamard sont les meilleures matrices du modèle en termes de précision sur les effets et sont également orthogonales : vecteur des effets combinaison linéaire des réponses [15].
Une matrice H est une matrice d’Hadamard, si : - H est une matrice carrée de dimension ,
-
,
- elle respecte la relation :
avec matrice identité de dimension .
La condition d’existence d’une matrice d’Hadamard est que soit égale à 2 ou multiple de 4. Il faudra donc mener un nombre d’essais multiple de 4, pour pouvoir utiliser une telle matrice [28].
1.1.2.2.1 Calcul de l’effet d’un facteur
Les effets (effets moyens) sont calculés en multipliant chaque réponse par le signe correspondant de la colonne du facteur dans la matrice des effets, en additionnant les produits, et en divisant la somme par le nombre d’expériences [20].
(1.2) A partir des effets calculés, il est alors possible d’interpréter les résultats donnés par les plans d’expériences.
De même, l’effet global d'un facteur (sous-entendu sur la réponse) est la variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1 et se calcule en prenant comme diviseur, dans la formule (1.2), au lieu de .
1.1.2.2.2 Graphique d’un effet
La représentation graphique des effets se fait simplement à partir du tableau des réponses moyennes aux différents niveaux des facteurs [20].
1.1.2.2.3 Matrice de calcul des effets
Tout plan factoriel complet est orthogonal et il est très facile d’estimer les coefficients du modèle (effets et interactions) à partir de la matrice d’expériences : il suffit de construire la matrice de calcul des effets en ajoutant à la matrice
d’expériences une colonne de signes (+) pour la moyenne, et en calculant la colonne de l’interaction par la règle des signes.
Les résultats peuvent être rassemblés dans un tableau de présentation dans lequel pourra figurer la valeur de l’erreur expérimentale (si disponible). Ce tableau et les graphiques illustrant les effets formeront la base de l’interprétation.
Tableau 1.2- Matrice de calcul des effets Numéro
de l'essai
Moyenne Facteur 1 Facteur 2 Interaction 12
Réponse (Y)
1 +1 -1 -1 +1 y1
2 +1 +1 -1 -1 y2
3 +1 -1 +1 -1 y3
4 +1 +1 +1 +1 y4
Diviseur 4 4 4 4
Effets et interaction
M E1 E2 E12
niveau - 60°C 1 bar
niveau + 80°C 2 bar
1.1.2.3 Plans factoriels fractionnaires
Les plans factoriels complets 2k deviennent difficiles à utiliser dès que k dépasse la valeur de 3 ou 4, mais ils posent les bases pour la création d’autres types de plans nécessitant un nombre considérablement plus faible d’essais [15]. C’est pour diminuer le nombre d’essais, sans toucher au nombre de facteurs étudiés, que les plans factoriels fractionnaires ont été mis au point. Ces derniers mettent en évidence l’intérêt primordial de la méthode : celui de diminuer considérablement le nombre d’expériences nécessaires à la construction d’un modèle.
Ils utilisent un plan complet d’ordre inférieur au nombre de facteurs à étudier et se servent des interactions entre les facteurs pour analyser les facteurs supplémentaires. Le principe consiste à accepter une certaine indétermination sur l’effet des facteurs pour diminuer le nombre d’expériences.
De tels plans factoriels fractionnaires à deux (2) niveaux sont notés où représente le nombre de facteurs étudiés et la différence entre le nombre de facteurs étudiés et le nombre de facteurs du plan complet de base. Ces plans factoriels fractionnaires sont aussi automatiquement orthogonaux [19].
1.1.2.3.1 Contrastes et relation d’équivalence
Plus un plan est fractionné plus les effets et les interactions sont mélangés. Le nombre de facteurs supplémentaires qu’il est possible d’étudier dépend donc du nombre d’interactions et de la taille du plan complet.
Le tableau 1.3 suivant fournit le nombre maximum de facteurs pouvant être étudiés en fonction du nombre de facteurs d’un plan complet de base.
Tableau 1.3 - Plan factoriel fractionnaire et nombre de facteurs étudiés [15]
Plan de base Nombre de facteurs principaux k
Nombre d’interaction
d’ordre q
Nombre maximum de facteurs pouvant
être aliasés
Nombre maximum de facteurs étudiés
22 2 1 3
23 3 4 7
24 4 11 15
2k K
Pour calculer les contrastes, on applique la même méthode que celle décrite pour estimer les effets des plans complets.
1.1.2.3.2 Générateurs d’aliases et notion de résolution
Pour que les résultats des plans soient correctement interprétés, il faut connaître la théorie des aliases. Retenons simplement qu’un plan factoriel fractionnaire à deux niveaux peut être défini à partir de son générateur d’aliases qui indique avec quelles interactions sont étudiés les facteurs supplémentaires.
L’hypothèse généralement admise, pour la prise en compte des contrastes, consiste à dire que les interactions d’ordre trois ou supérieur sont négligeables. Avec cette hypothèse et pour ces générateurs d’aliases, les effets des facteurs sont directement obtenus alors que ceux de leurs interactions d’ordre 2 sont aliasés entre eux. Cela introduit la notion de résolution qui indique l’ordre minimum des interactions aliasées avec les effets des facteurs principaux.
Un plan fractionnaire pour lequel les facteurs principaux sont aliasés avec des interactions d’ordre trois est appelé plan de résolution IV.
Pour un plan factoriel fractionnaire 2k−p, p générateurs d’aliases indépendants peuvent être dénombrés ([15], [19]):
Nombre de générateurs d’aliases dépendants :
(1.3) Nombre total de générateurs d’aliases :
(1.4) Ainsi, nous avons un groupe générateur d’aliases (GGA) composé de
générateurs d’aliases permettant de retrouver tous les termes de chaque contraste.
1.1.2.3.3 Hypothèses d’interprétation
Lorsque la définition des contrastes est connue et que la campagne d’essais a été menée, il est alors possible de calculer les effets des facteurs et interactions et de déterminer ceux qui sont influents. Les hypothèses de travail habituellement retenues sont les suivantes :
les interactions d’ordre trois ou supérieur sont négligées ;
si un contraste est nul, soit en général les effets aliasés sont tous nuls, soit ils se compensent, ce qui est rarement le cas.
si deux effets sont faibles, on supposera que leur interaction l’est aussi ;
si deux effets sont forts, on se méfiera de leur interaction qui peut également être forte.
Pour interpréter les résultats d’un plan fractionnaire, il est essentiel de savoir comment sont aliasés les effets et les interactions. Les hypothèses présentées ici sont valables dans la plupart des cas, mais il est toujours possible, et même parfois recommandé, d’en adopter d’autres, en fonction du problème à traiter et des risques encourus.
En général, les plans fortement fractionnés servent à dégrossir l’analyse. Des essais complémentaires sont ensuite réalisés afin de désaliaser les facteurs les plus intéressants [19].
Il est prudent de garder un esprit critique face aux résultats que fournissent les plans fractionnaires, car ils nécessitent une certaine maîtrise de leur construction et de l’interprétation des résultats. Nous en tiendrons compte, par la suite, dans la construction et l’utilisation de la matrice de calcul des effets du plan retenu dans le développement de notre sujet de stage de DEA.
Par ailleurs, la problématique est de savoir quand un résultat est influent ou non. Il va donc falloir estimer l’erreur que l’on commet sur le calcul des différents effets.
1.1.2.3.4 Erreur expérimentale sur un effet et son estimation
Comme il est difficile de détecter les erreurs systématiques, il arrive bien souvent que l’on ne retienne que l’erreur aléatoire comme valeur de l’erreur expérimentale. Le problème est de savoir comment les erreurs qui affectent chaque réponse d’un plan se répercutent sur la précision de l’effet calculé. La valeur de l’erreur expérimentale commise sur la réponse est supposée connue et sa distribution est normale (courbe de Gauss) d’écart type . La précision sur les effets, dépend du nombre n d’essais considérés :
(1.5) En fonction de ses besoins, l’expérimentateur va choisir l’intervalle de confiance correspondant à un pourcentage d’erreur. L’erreur expérimentale usuellement choisie correspond à plus ou moins une fois l’écart type [28].
Quand l’erreur expérimentale n’est pas connue, il faut l’estimer. Deux solutions sont empruntées pour y parvenir.
Une première solution consiste à effectuer plusieurs mesures au même point du domaine expérimental (souvent le centre) en supposant une iso-distribution sur celui- ci. La précision augmente avec le nombre d’essais et la courbe de Student converge vers celle de Gauss [15].
La deuxième solution consiste à répéter N fois chacun des n essais du plan d’expériences. La précision obtenue sur les effets va être améliorée. Cependant, une telle amélioration est tributaire d’un coût plus élevé en essais.
1.1.2.3.5 Comparaison Erreur - Effet
Quand peut-on dire d’un effet qu’il est significatif ou non? Sur quels critères peut-on baser son raisonnement ?
La méthode consiste à comparer l’erreur commise à l’effet lui-même. Trois cas sont possibles :
l’effet est bien plus grand que l’erreur : Dans ce cas, la conclusion est aisée, l’effet est influent.
l’effet est plus petit que l’erreur :
Dans ce cas, la conclusion est, dans la plupart des situations, que l’effet est sans influence.
l’effet et l’erreur sont du même ordre de grandeur :Dans ce dernier cas, la conclusion n’est pas toujours aisée à formuler : l’effet peut être sans influence ou légèrement influent. Il est alors nécessaire de faire appel à son bon sens, à ses connaissances du phénomène et aux tests statistiques pour donner un avis pertinent.
Les plans factoriels permettent d’étudier les effets des facteurs sur une ou plusieurs réponses et de définir un optimum pour la réponse. Néanmoins, ce point optimal dépend de la valeur des niveaux choisis pour chacun des facteurs lors de l’étude [15]. Pour modéliser l’évolution de la réponse entre ces niveaux et en obtenir un optimum indépendant, on adopte la méthode des surfaces de réponses.
1.1.3 Plans pour surfaces de réponses
Les plans du second degré ou plans pour surfaces de réponses permettent d'établir des modèles mathématiques du second degré [21]. Ils sont utilisés pour les variables continues.
Ces plans pour surfaces de réponses sont utiles à chaque fois que l'on se trouve près d'un maximum ou d'un minimum. Il en existe plusieurs types. Nous avons retenu de présenter le cas des plans composites centrés.
1.1.3.1 Définition du modèle
La première interrogation repose sur le type de modèle à exploiter pour estimer la surface expérimentale. Il faudra alors choisir le plan en conséquence et mener une analyse statistique du modèle obtenu afin de vérifier si la surface de régression donne une approximation utilisable du phénomène réel. Enfin, la surface obtenue sera analysée pour trouver le réglage optimal dans le cadre de la problématique choisie. Cette analyse sera d’autant plus facile que le choix du modèle sera judicieux.
Une forme quadratique est couramment adoptée. Ce choix repose sur le fait que ce modèle est bien connu et facile à exploiter, et que sa forme particulière, basée sur des polynômes du second degré, est applicable à de nombreux problèmes ([25], [27]). La forme générale du modèle pour facteurs est la suivante :
La forme générale du modèle pour facteurs est la suivante :
(1.6) Avec les coefficients du modèle, et la réponse dépendant des
facteurs ).
Pratiquement, les plans offrant l’analyse par surfaces de réponses viennent en complément d’une analyse des effets des facteurs qui permet de sélectionner les facteurs les plus influents servant à modéliser la surface expérimentale.
1.1.3.2 Plans composites centrés
Les plans composites prennent facilement la suite d'un premier plan factoriel dont les résultats sont insuffisamment expliqués par un modèle du premier degré, car ils sont construits en ajoutant des points de mesures à un plan factoriel complet.
Un plan composite centré est constitué de trois parties :
• un plan factoriel complet 2k,
• répétitions au centre du domaine expérimental, dédiées à l’analyse statistique,
• deux points axiaux pour chacun des facteurs, positionnés à une distance du centre du domaine.
Le nombre total d’essais devant être menés va dépendre du nombre de facteurs k étudiés et du nombre de répétitions au centre du domaine :
(1.7) Le tableau 1.4 donne les valeurs à donner à et à pour obtenir les différentes propriétés.
Tableau 1.4 – Conditions d’isovariance par rotation, de pseudo-orthogonalité et de précision uniforme [15]
Nombre de facteurs
K = 2 K = 3 K = 4 K = 5
2k 4 8 16 32
2k 4 6 8 10
(isovariance par rotation) 1,414 1,682 2 2,378
(pseudo-orthogonalité) 8 9 12 17
(précision uniforme) 5 6 7 10
16 13 23 20 36 31 59 52
Les plans composites sont parfaitement adaptés à une acquisition progressive des résultats mais assez gourmands en termes de nombre d’essais. Ce nombre reste raisonnable lorsque le nombre de facteurs étudiés est faible : entre 2 et 4 paramètres. Un autre inconvénient vient du fait qu’ils nécessitent 5 niveaux par facteur et qu’il peut être parfois difficile matériellement de les réaliser [26].
1.1.4 Analyse statistique des résultats
Dans tous les cas, avant d’exploiter un modèle obtenu, il faut mener l’étude statistique pour juger de la qualité de celui-ci. Cette étude peut être décomposée en deux étapes :
– test de signification des effets (coefficients du modèle), – l’analyse de la variance, en vue de la validation du modèle.
1.1.4.1 Test de signification des effets du modèle 1.1.4.1.1 Réalisation du test de signification des effets
Les calculs statistiques permettant, de savoir si les effets sont significatifs, de calculer les intervalles de confiance ou de valider la linéarité du modèle, font intervenir d'une part les résidus et, d'autre part un estimateur sans biais de la variance commune des résidus. Cet estimateur est donné par :
