IN302 – Chapitre 3

(1)

Plus courts chemins

(2)

Existence

• De à :

1

3

4

5 2

6

7

8 9

6 2

-1 6

1

2 3

-6

1 8

pas de chemin

pas de plus court chemin

(3)

pas de chemin

pas de plus court chemin

1

3

4

5 2

6

7

8 9

6 2

-1 6

1

2 3

-6

7 1

• De à :

(4)

Existence

chemins : (1,4), (1,3,4), (1,2,3,4) plus court chemin : (1,2,3,4)

1

3

4

5 2

6

7

8 9

6 2

-1 6

1

2 3

-6

1 4

• De à :

(5)

chemin : (3,4,6,5) longueur : 5

1

3

4

5 2

6

7

8 9

6 2

-1 6

1

2 3

-6

3 5

• De à :

(6)

Existence

• De à :

chemin : (3,4,6,5,7,6,5) longueur : 4

1

3

4

5 2

6

7

8 9

6 2

-1 6

1

2 3

-6

3 5

(7)

• De à :

chemin : (3,4,6,5,7,6,5,7,6,5) longueur : 3

1

3

4

5 2

6

7

8 9

6 2

-1 6

1

2 3

-6

3 5

(8)

Existence

• De à :

PAS DE PLUS COURT CHEMIN

1

3

4

5 2

6

7

8 9

6 2

-1 6

1

2 3

-6

3 5

(9)

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

(10)

Graphe des plus courts chemins

En rouge : xest la longueur d’un plus

court chemin du sommet i=0 au sommet x

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(11)

Comment caractériser, grâce aux valeurs de  les arcs qui font partie de plus courts chemins dans (E, , l ) à partir de i ?

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(12)

Graphe des plus courts chemins

u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E, , l ) à partir de i si et seulement si :

yx l ^(u)

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(13)

u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E, , l ) à partir de i si et seulement si :

yx l ^(u)

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(14)

Graphe des plus courts chemins

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



c est un plus court chemin dans (E, , l ^{) à}

partir de i si et seulement si :

c est un chemin dans (E, ’)

(15)

chemins

(E’,A) est une arborescence des plus courts chemins pour (E, , l ^{) de}

racine i si :

• (E’,A) est une arborescence de racine i, et

• E’ = {x  E, x}

• (E’,A) est un sous-graphe du graphe des plus courts chemins pour (E, , l ⁾

0 1 4

3 5

6

(16)

Arborescence des plus courts chemins = APMin ?

1 4

3 2

1 1

1 2

(17)

chemins = APMin ?

1 4

3 2

1 1

1 2

APCC (relative au sommet 1)

(18)

Arborescence des plus courts chemins = APMin ?

1 4

3 2

1 1

1 2

APMin

(19)

de i=0 à d=6

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(20)

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



Partir de i ?

(21)

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



de i=0 à d=6

Partir de i ?

(22)

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



Partir de d !

(23)

de i=0 à d=6

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



Partir de d !

(24)

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



Partir de d !

(25)

de i=0 à d=6

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



Partir de d !

(26)

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

^

(x) tel que yx l ^((y,x))

x = y ; C = x + C

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(27)

de i à d

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

^

(x) tel que yx l ^((y,x))

x = y ; C = x + C

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(28)

Trouver un plus court chemin de i à d

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

^

(x) tel que yx l ^((y,x))

x = y ; C = x + C

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(29)

de i à d

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

^

(x) tel que yx l ^((y,x))

x = y ; C = x + C

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(30)

Trouver un plus court chemin de i à d

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

^

(x) tel que yx l ^((y,x))

x = y ; C = x + C

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(31)

de i à d

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

^

(x) tel que yx l ^((y,x))

x = y ; C = x + C

0 1 4

3

2 5

6 3

2 5 2

1 3

2 4

1 2

0 3 5 8

7 6



(32)

Algorithme de Bellman

(33)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 i = 2

(34)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ π¹

k

i =

(35)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 0 2

i =

(36)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0     

k 1

0



 



i =

(37)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 0 2



 



i =

(38)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7    

k 1

0



 



i =

(39)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 0 2



 



i =

(40)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

k 1

0



 



i =

(41)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 0 2

7

8 



(42)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

k 1

0

7

8 



(43)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π²

0

7

8 



(44)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π²

k 2

0

7

8 



(45)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π²

0

7

8 



π²(6) =

(46)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π²

k 2

0

7

8 



π²(6) = min(,

(47)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π²

0

7

8 



π²(6) = min(, 7+2,

(48)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π²

k 2

0

7

8 



π²(6) = min(, 7+2, 8+2) =

(49)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 9

0

7

8 



π²(6) = min(, 7+2, 8+2) = 9

(50)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 9

k 2

0

7

8 



π²(5) =

(51)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 9

0

7

8 



π²(5) = min(,

(52)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 9

k 2

0

7

8 



π²(5) = min(, 7+1,

(53)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 9

0

7

8 



π²(5) = min(, 7+1, +3) =

(54)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 8 9

k 2

0

7

8 



π²(5) = min(, 7+1, +3) = 8

(55)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 8 9

0

7

8 



π²(3) =

(56)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 8 9

k 2

0

7

8 



π²(3) = min(8,

(57)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 8 9

0

7

8 



π²(3) = min(8, -2,

(58)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 8 9

k 2

0

7

8 



π²(3) = min(8, -2, 0+8) =

(59)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 8 8 9

0

7

8 



X²(3) = min(8, -2, 0+8) = 8

(60)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 8 11 8 9

k 2

0

7

8 



π²(4) = min(, +2, 7+4) = 11

(61)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 7 8 11 8 9

0

7

8 



π²(2) = min(7, 0+7, 8+2) = 7

(62)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

k 2

0

7

8 



π²(1) = min(0) = 0

(63)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

0

7

8 



(64)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

k 2

0

7

8 



(65)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³

0

7

8 9

8 11

(66)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³

k 3

0

7

8 9

8 11

(67)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0

0

7

8 9

8 11

(68)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0

k 3

0

7

8 9

8 11

(69)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7

0

7

8 9

8 11

(70)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7

k 3

0

7

8 9

8 11

(71)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6

0

7

8 9

8 11

(72)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6

k 3

0

7

8 9

8 11

(73)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10

0

7

8 9

8 11

(74)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10

k 3

0

7

8 9

8 11

(75)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8

0

7

8 9

8 11

(76)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8

k 3

0

7

8 9

8 11

(77)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

0

7

8 9

8 11

(78)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

k 3

0

7

8 9

8 11

(79)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴

0

7

6 9

8 10

(80)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴

k 4

0

7

6 9

8 10

(81)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴ 8

0

7

6 9

8 10

(82)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴ 0 7 6 10 8 8

k 4

0

7

6 9

8 10

(83)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴ 0 7 6 10 8 8

0

7

6 9

8 10

(84)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴ 0 7 6 10 8 8

π⁵

k 5

0

7

6 8

8 10

(85)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴ 0 7 6 10 8 8

π⁵ 0 7 6 10 8 8

0

7

6 8

8 10

(86)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

1 2 3 4 5 6

π⁰ 0     

π¹ 0 7 8   

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴ 0 7 6 10 8 8

π⁵ 0 7 6 10 8 8

k 5

0

7

6 8

8 10

(87)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 2

π² 0 7 8 11 8 9

π³ 0 7 6 10 8 9

π⁴ 0 7 6 10 8 8

π⁵ 0 7 6 10 8 8

0

7

6 8

8 10

(88)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 0 2

7

6 8

8 10

Résultat

(89)

3 1

2

5 8

7 1

2

6 4 4

2

-2 2

3 0 2

7

6 8

8 10

(90)

3 1

2

5 3

1 5

1

6 7 4

4

-3 3

3 1

Exécuter Bellman (i = 1)

7 -2

2 5

(91)

(92)

Algorithme Circuit-Niveaux

7 4

1

3

2

5

6

(93)

7 1

3

5

E₀ 6

(94)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

1

2

3

2

N 0 i

0 x

1234567

E₀

(95)

7 1

3

5

6 0

1

3

2

2 E₀

(96)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

1

2

3

2

N 0 i

0 x

1

E₀

1

2

(97)

7 1

3

5

6 0

1

3

2 E₀

2

(98)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

1

2

3

2

N 1 i

0

E₀

E₁

2

(99)

7 1

3

5

6 0

1

3

2 E₀

E₁

2

(100)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

1

2

3

2

N 1 i

0

E₀

E₁

x 1 y

2

(101)

7 1

3

5

6 0

1

3

2 E₀

E₁

2

(102)

7 4

1

3

2

5

6 0

1

2

3

2

N 1 i

0

E₀

E₁

x 1 y

2 1

2

(103)

7 1

3

5

6 0

1

3

2 E₀

E₁

2

(104)

7 4

1

3

2

5

6 0

1

2

3

2

N 1 i

0

E₀

E₁

x 1 y

2 1

3

0

2

(105)

7 1

3

5

6

0 3

2 E₀

E₁

0

E₁

2

(106)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

3

2

N 0 i

0

E₀

x 1 y

2 1

3

0

E₁

2 1

2

(107)

7 1

3

5

6

0 3

2 E₀

0

E₁

2

(108)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

3

2

N 0 i

0

E₀

1

0

E₁

2 1

E₂

2

(109)

7 1

3

5

6

0 3

2 E₀

0

E₁ E₂

2

(110)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

3

2

N 0 i

0

E₀

1

0

E₁

2 1

E₂

x 3 y

2

(111)

7 1

3

5

6

0 3

2 E₀

0

E₁ E₂

2

(112)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

3

2

N 0 i

0

E₀

0

E₁

2 1

E₂

x 3 y

2 0

E₂ 3

2

(113)

7 1

3

5

6

0 3

2 E₀

0

E₁

2

(114)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

3

2

N 0 i

0

E₀

0

E₁

2 1

x 3 y

2 0

E₂ 5 3

2

(115)

7 1

3

5

6

0 2

2 E₀

0

E₁

2

(116)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

N 0 i

0

E₀

0

E₁

2 1

x 3 y

2 0

E₂ 56 3

1

2

(117)

7 1

3

5

6

0 2

1 E₀

0

E₁

2

(118)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

1

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

2

(119)

7 1

3

5

6

0 2

1 E₀

0

E₁ E₃

2

(120)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

1

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

x 2

2

(121)

7 1

3

5

6

0 2

1 E₀

0

E₁ E₃

2

(122)

7 4

1

3

2

5

6 0

2

1

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

x 2 y

4 1

2

(123)

7 1

3

5

6

0 2

1 E₀

0

E₁ E₃

2

(124)

7 4

1

3

2

5

6 0

1

2

1

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

x 2 y

45 1

2

(125)

7 1

3

5

6

0 1

1 E₀

0

E₁ E₃

2

(126)

7 4

1

3

2

5

6 0

1

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

x 2 y

456

0

2

(127)

7 1

3

5

6

0 1

0 E₀

0

E₁ E₃

2

(128)

7 4

1

3

2

5

6 0

1

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

x 2 y

456

E₃

4 3

2

(129)

7 1

3

5

6

0 1

0 E₀

0

E₁ E₃

2

(130)

7 4

1

3

2

5

6 0

1

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

4 3

E₄

2

(131)

7 1

3

5

6

0 1

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄

2

(132)

7 4

1

3

2

5

6 0

1

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

4 3

E₄

2 x 6 y

4

(133)

7 1

3

5

6

0 1

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄

2

(134)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

1

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 4

E₃

5 3

E₄

2 x 6 y

4 E₄

(135)

7 1

3

5

6

0 1

0 E₀

0

E₁ E₃

2

4

(136)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

1

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

5 3

2 x 6 y

4 E₄

5 0

(137)

7 1

3

5

6

0 0

0 E₀

0

E₁ E₃

2

4

E₄

(138)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

6 3

2 x 6 y

45

E₄

4

(139)

7 1

3

5

6

0 0

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄ 2

(140)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

6 3

E₄ 2

4

E₅

(141)

7 1

3

5

6

0 0

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄ 2

E₅

(142)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

6 3

E₄ 2

4

E₅

x 4 y

7

(143)

7 1

3

5

6

0 0

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄ 2

E₅

1

(144)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

6 3

E₄ 1

4

E₅

x 5

(145)

7 1

3

5

6

0 0

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄ 1

E₅

(146)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

6 3

E₄ 1

4

E₅

x 45 y

7

0

(147)

7 1

3

5

6

0 0

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄ 0

E₅

(148)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

6 3

E₄ 0

4 x

45 y

7

E₅ 7

(149)

7 1

3

5

6

0 0

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄ 0

E₅

(150)

7 4

1

3

2

5

6 0

0

N i

E₀

0

E₁

1 0

E₂ 2 3

E₃

6 3

E₄ 0

4

E₅ 7 5

(151)

7 1

3

5

6

0 0

0 E₀

0

E₁ E₃

E₄ 0

E₅

(152)

7 4

1

3

2

5

6

E

₀

E

₁

E

₂

E

₃

E

₄

E

₅

IN302 – Chapitre 3

Plus courts chemins

Existence

• De à :

pas de chemin

pas de plus court chemin

pas de chemin

pas de plus court chemin

• De à :

Existence

chemins : (1,4), (1,3,4), (1,2,3,4) plus court chemin : (1,2,3,4)

• De à :

chemin : (3,4,6,5) longueur : 5

• De à :

Existence

• De à :

chemin : (3,4,6,5,7,6,5) longueur : 4

• De à :

chemin : (3,4,6,5,7,6,5,7,6,5) longueur : 3

Existence

• De à :

PAS DE PLUS COURT CHEMIN

Graphe des plus courts chemins

En rouge : xest la longueur d’un plus

court chemin du sommet i=0 au sommet x

Comment caractériser, grâce aux valeurs de  les arcs qui font partie de plus courts chemins dans (E, , l ) à partir de i ?

Graphe des plus courts chemins

u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E, , l ) à partir de i si et seulement si :

yx l (u)

u = (x,y) est dans un plus court chemin dans (E, , l ) à partir de i si et seulement si :

yx l (u)

Graphe des plus courts chemins

c est un plus court chemin dans (E, , l ) à

partir de i si et seulement si :

c est un chemin dans (E, ’)

chemins

(E’,A) est une arborescence des plus courts chemins pour (E, , l ) de

racine i si :

• (E’,A) est une arborescence de racine i, et

• E’ = {x  E, x}

• (E’,A) est un sous-graphe du graphe des plus courts chemins pour (E, , l )

Arborescence des plus courts chemins = APMin ?

chemins = APMin ?

APCC (relative au sommet 1)

Arborescence des plus courts chemins = APMin ?

APMin

de i=0 à d=6

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6

Partir de i ?

de i=0 à d=6

Partir de i ?

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6

Partir de d !

de i=0 à d=6

Partir de d !

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6

Partir de d !

de i=0 à d=6

Partir de d !

Trouver un plus court chemin de i=0 à d=6

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

(x) tel que yx l ((y,x))

x = y ; C = x + C

de i à d

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

(x) tel que yx l ((y,x))

x = y ; C = x + C

Trouver un plus court chemin de i à d

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

(x) tel que yx l ((y,x))

x = y ; C = x + C

de i à d

x = d ; C = (x) Tant que x != i

Soit y  

(x) tel que yx l ((y,x))

x = y ; C = x + C

Trouver un plus court chemin de i à d

yx l ^(u)

yx l ^(u)

c est un plus court chemin dans (E, , l ^{) à}

(E’,A) est une arborescence des plus courts chemins pour (E, , l ^{) de}

• (E’,A) est un sous-graphe du graphe des plus courts chemins pour (E, , l ⁾

(x) tel que yx l ^((y,x))

(x) tel que yx l ^((y,x))

(x) tel que yx l ^((y,x))

(x) tel que yx l ^((y,x))

(x) tel que yx l ^((y,x))

(x) tel que yx l ^((y,x))