4 Inverse d'une matrice carrée

1 Introduction

Introduction

Dans ce chapitre, on note K = R ou C, et on l'appelle l'ensemble des scalaires.

Motivation : Les matrices sont des tableaux de nombres, munis de règles de calcul qui facilitent la résolution opératoire d'un certain nombre de pro- blèmes :

Systèmes linéaires Applications linéaires

2 Dénitions et règles

Dénition

Dénition 1. Une matrice A de taillen×pest un tableau de scalaires à nlignes et p colonnes :

oùa_ij ∈K pour tous i, j.

On noteM_n,p(K) l'ensemble des matrices de taillen×p à coecients dansK.

Si n=p on noteM_n(K) =M_n,n(K). Exemple :

1. A=

1 √ 3 −2 5 1.1 4

∈ M_2,3(R)

2. B =

1 + 2i 3 4i √

2 +√ 2i

∈ M₂(C)

Opérations de base

Dénition 2. Soient A, B ∈ M_n,p(K). Leur somme C = A +B est la matrice de taille n×p dénie par

c_ij =a_ij +b_ij.

Soient A∈ M_n,p(K), λ∈K. On note λ·A la matrice de M_n,p(K) dont les coecients sont λaij, 1≤i≤n,1≤j ≤p.

Exemple :

A=

2 0 −1 1 −1 0

, B =

7 6 4 0 0 1

, A+B =

9 6 3 1 −1 1

A=

2 0 −1 1 −1 0

, λ= 4, 4A=

8 0 −4 4 −4 0

. Propriétés peu surprenantes

Notations : Soit A∈ M_n,p(K).

On note0_n,p la matrice de M_n,p(K) dont tous les coecients sont nuls.

On note−A la matrice (−1)·A et on l'appelle l'opposé deA. On noteA−B =A+ (−B).

Proposition 1. Soient A, B ∈ M_n,p(K), λ, µ∈K. On a : 1. Associativité : A+ (B+C) = (A+B) +C;

2. Commutativité : A+B =B+A; 3. A+ 0_n,p=A, A+ (−A) = 0_n,p;

4. Distributivité : (λ+µ)A=λA+µA, λ(A+B) = λA+λB.

3 Produit matriciel

Produit matriciel

L'opération de produit matriciel est un peu plus complexe : elle ne se borne pas à multiplier les coecients entre eux.

On verra toutefois que c'est en faisant comme cela qu'on peut appliquer les matrices à un grand nombre de problèmes.

Etape 1 : Produit ligne-colonne

Soit A= (a₁, . . . , a_p)∈ M_1,p(K) et B =





 b₁

...

bp





∈ M_p,1(K). On dénit le produit deA par B par

AB= (a₁b₁+. . .+a_pb_p) = (

p

X

k=1

a_kb_k)∈ M₁(K).

Exemple : A = (1,2,1,1), B =







 3

−1 2 1







 , C =

1 2

, alors

AB= (3−2 + 2 + 1) = (4) AC n'est pas déni.

Etape 2 : Produit matrice-colonne

Soit A ∈ M_np(K), B ∈ M_p,1(K). Alors le produit AB est la matrice colonne C ∈ M_n,1(K) dont le coecient sur la i-ème ligne est le produit de la i-ième ligne de A par B :

Exemple :

A=









1 −1 2

−2 3 0

0 1 1

−3 0 1









∈ M_4,3(R), B =



 1

−1 1



∈ M_3,1(R)

nous donne

AB=









1·1 + (−1)·(−1) + 2·1 (−2)·1 + 3·(−1) + 0·1

0·1 + 1·(−1) + 1·1

−3·1 + 0·(−1) + 1·1









=







 4

−5 0

−2









∈ M_4,1(R).

Question : NotonsX =



 x y z



, C =







 1 0 2 3









. Que donneAX? A quelle condi-

tion a-t-on AX =C?

Etape 3 : Produit matrice-matrice Soit A∈ M_n,p(K), B ∈ M_p,q(K).

Le produit C = AB est la matrice de taille n ×q telle que C_ij est le produit de la i-ième ligne de A avec la j-ième colonne deB :

Autrement dit, c_ij =

p

X

k=1

a_ikb_kj, 1≤i≤n,1≤j ≤q (1) Exemple

A=





1 2 3 2 3 4 0 0 1



∈ M_3,3(R), B =



 1 2

−1 1 1 2



∈ M_3,2(R).

Alors

AB=





1−2 + 3 2 + 2 + 6 2−3 + 4 4 + 3 + 8 0 + 0 + 1 0 + 0 + 2



=



 2 10 3 15 1 2



∈ M_3,2(R) Observation : En revanche, le produit BA n'est pas déni.

Pièges du produit matriciel

oEn général, le produit de matrices n'est pas commutatif : Il se peut que AB soit déni mais pas BA

Il se peut que AB et BA n'aient pas la même taille.

Par exemple, calculez AB et BA pour

A=

1 2 3 1 1 1

, B =



 1 0

−1 0 0 1



.

Il se peut que AB et BA aient la même taille maisAB 6=BA : Par exemple, calculez AB et BA pour

A=

5 −1 2 2

, B =

1 1 2 0

. Pièges du produit matriciel

oOn peut avoir A6= 0_n,p, B 6= 0_p,q mais AB= 0_nq : Par exemple, calculez AB etBA pour

A=

0 −1 0 1

, B =

2 1 0 0

. oOn peut avoir AB=AC mais B 6=C :

Par exemple, calculez AB etAC pour A=

0 −1 0 1

, B =

4 −1 5 4

, C =

2 5 5 4

. Ce qui se passe bien

SoitA∈ Mn,p(K), alors pour tout q∈N, 0qn·A= 0qp, A·0pq = 0nq. Associativité : Soient A ∈ M_n,p(K), B ∈ M_p,q(K), C ∈ M_q,r(K). Alors

(AB)C =A(BC).

Distributivité 1 : SoientA∈ Mn,p(K), B, C ∈ Mp,q(K). Alors A(B +C) = AB+AC . Distributivité 2 : SoientB, C ∈ M_n,p(K), A∈ M_p,q(K). Alors (B +C)A=BA+CA.

La matrice identité

Dénition 3. On appelle matrice identité de taillen, notée I_n, la matrice carrée

I_n=













1 0 · · · 0 0 1 ... ...

... ... ... 0 0 . . . 0 1













∈ M_n(K).

Ses coecients sont notés δij et sont donc donnés par :

δij =

(1 sii=j 0 sii6=j

Proposition 2. Soit A∈ M_n,p(K). Alors I_nA=A etAI_p =A.

Exercice : En utilisant la formule de δij et la formule (1), démontrez cette propo- sition.

Puissances d'une matrice carrée

Dénition 4. Soit A ∈ M_n(K). On dénit les puissances successives de A par

A⁰ =In, A^k+1 =A^k·A.

Ex : A=

6 4

−9 −6

, vériez que A^k = 0 pour toutk ≥2.

o On peut avoir A^p = 0 mais A 6= 0. On dit dans ce cas que A est nilpotente.

Formule du binôme

Proposition 3. Soient A, B ∈ M_n(K) telles que AB=BA. Alors

∀p∈N, (A+B)^p =

p

X

k=0

p k

A^kB^p−k oCette formule n'est pas vraie si AB6=BA : comparez (A+B)² et A²+ 2AB+B² pour

A=

6 4

−9 −6

, B = 0 0

1 0

4 Inverse d'une matrice carrée

Inverse de matrice

Dénition 5. Soit A ∈ M_n(K). On dit que A est inversible s'il existe B ∈ Mn(K) telle que AB=BA=In. On dit que B est un inverse de A.

Proposition 4. Si A est inversible, son inverse est unique. On le note A⁻¹.

Exemples

1. I_n est inversible, d'inverse I_n. 2. A=

1 2 0 3

est inversible, d'inverseA⁻¹ = 1 3

3 −2 0 1

o Toutes les matrices ne sont pas inversibles : par exemple, la matrice nulle ne l'est pas puisque pour toute matrice B ∈ M_n(K), 0·B = 06=I_n. Propriétés de l'inverse

1. SoitA∈ M_n(K)inversible, alors A⁻¹ est aussi inversible et (A⁻¹)⁻¹ =A. 2. SoientA, B ∈ M_n(K)inversibles, alorsABest inversible et (AB)⁻¹ =B⁻¹A⁻¹ . 3. Soit A ∈ Mn(K) inversible, alors pour tout p ≥ 0, A^p est inversible et

(A^p)⁻¹ = (A⁻¹)^p .

4. SoientM, N ∈ M_n,p(K). Alors

Soit C₁ ∈ M_n(K) inversible,C₁A=C₁B ⇒A=B. Soit C₂ ∈ M_p(K)inversible, AC₂ =BC₂ ⇒A=B. Calcul d'inverse

Proposition 5. Soit A =

a b c d

∈ M₂(K). Alors, si ad−bc 6= 0, A est inversible et

A⁻¹ = 1 ad−bc

d −b

−c a

Preuve : On calcule : a b

c d

d −b

−c a

=

ad−bc 0 0 ad−bc

= (ad−bc)I₂

Cas général : méthode de Gauss

Soit A une matrice carrée inversible. On va calculer son inverse comme suit :

On écrit la matrice identitéI_n à droite de A :







a₁₁ · · · a_1n 1 · · · 0 ... ... ... ... ...

a_n1 · · · a_nn 0 · · · 1







On applique des opérations élémentaires sur les lignes de cette matrice aug- mentée jusqu'à obtenir







1 · · · 0 b₁₁ · · · b_1n ... ... ... ... ...

0 · · · 1 bn1 · · · bnn







On a alors B =A⁻¹

Les opérations élémentaires sont les mêmes que pour les systèmes li- néaires :

Echange de lignesLi ↔Lj

Pour α6= 0, L_i ←αL_i

Pour λ∈K etj 6=i, L_i ←L_i+λL_j.

On les applique de façon à se ramener à une matrice triangulaire dans la moitié gauche de la matrice augmentée ( ⇐⇒ échelonnage de systèmes linéaires), puis pour "remonter".

Exemple : A=





1 2 1

4 0 −1

−1 2 2





Application à la résolution de systèmes

Un système linéaire àn équations et p inconnues :







a₁₁x₁+a₁₂x₂· · ·+a_1px_p =b₁ ...

a_n1x₁+a_n2x₂· · ·+a_npx_p =b_n peut se réécrire sous la forme AX =B avec

A=







a₁₁ · · · a_1p ... ...

a_n1 · · · a_np





, X =





 x₁

...

x_p





, B =





 b₁

...

b_n







Si n = p et si A est inversible, alors ceci équivaut à X = A⁻¹B : il y a alors une unique solution au système.

5 Vocabulaire

Matrices particulières

Dénition 6. Soit A∈ M_n(R).

On dit que A est triangulaire supérieure si tous les éléments au-dessous de la diagonale sont nuls : i > j ⇒a_ij = 0

On dit que A est triangulaire inférieure si tous les éléments au-dessus de la diagonale sont nuls : i < j ⇒a_ij = 0

On dit que A est diagonale si tous les éléments en dehors de la diagonale sont nuls : i6=j ⇒a_ij = 0











a11 a12 · · · a1n

0 a₂₂ ∗ ...

... ...

0 · · · 0 a_nn











Triangulaire sup











a11 0 · · · 0 a₂₁ a₂₂ ... ...

... ∗ ...

a_n1 · · · a_nn











Triangulaire inf











a11 0 · · · 0 0 a₂₂ ...

... ... 0

0 · · · 0 a_nn











Diagonale

Transposition

Dénition 7. Soit A ∈ M_n,p(K). La transposée de A, notée ^tA, est la matrice de taille p×n dont le (i, j)-ième coecient est aji. Ainsi,

A =









a11 · · · a1p

a₂₁ · · · a_2p ... ... ...

a_n1 · · · a_np









⇒^tA=





a₁₁ a₂₁ · · · a_n1

... ... ...

a1p · · · an−1,p anp





Exemple :

A=





0 3

1 −5

−1 2



, ^tA=

0 1 −1 3 −5 2

Propriétés

Proposition 6. ^t(A+B) =^tA+^tB,^t(λA) =λ^tA ^t(^tA) =A

^t(AB) =^tB^tA (vériez les tailles !)

Si A est inversible, ^tA aussi et (^tA)⁻¹ =^t(A⁻¹).

Dénition 8. Une matrice A est dite symétrique si^tA=A.

Une matriceA est dite antisymétrique si ^tA=−A

Exemple :





−1 0 5

0 2 −1

5 −1 2



est symétrique,





0 3 1

−3 0 2

−1 −2 0



est antisymétrique.

Trace

Dénition 9. Soit A ∈ Mn(K) une matrice carrée. La trace de A est la somme des coecients diagonaux de A

T r(A) = a₁₁+a₂₂+...+a_nn =

n

X

i=0

a_ii Proposition 7. Soient A, B ∈ M_n(K), λ∈K. On a : T r(A+B) = T r(A) +T r(B), T r(λA) = λT r(A) T r(^tA) =T r(A)

T r(AB) = T r(BA)