SESSION 2003
BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE
SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES
GENIE DES MAT´ ERIAUX GENIE MECANIQUE B, C, D, E
MATHEMATIQUES
Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures Coefficient : 4 S´eries STI
- G´enie m´ecanique options :
Syst`emes Motoris´es (B), Structures M´etalliques (C), Bois et Mat´eriaux Associ´es (D), Mat´eriaux Souples (E), - G´enie des Mat´eriaux.
D`es que le sujet vous est remis assurez vous qu’il est complet, que toutes les pages sont imprim´ees.
L’usage des calculatrices est autoris´e pour cette ´epreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le probl`eme.
Il sera tenu compte de la clart´e des raisonnements et de la qualit´e de la r´edaction dans l’appr´eciation des copies.
Le formulaire officiel de math´ematiques est distribu´e en mˆeme temps que le sujet.
Le sujet n´ecessite UNE feuille de papier millim´etr´e.
Ce sujet comporte 3 pages (y compris celle-ci).
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Exercice I : (4 points)
1) a) R´esoudre dans l’ensemble des nombres complexes lC l’´equation : z2+ 2z+ 2 = 0.
b) R´esoudre dans lC − {1} l’´equation : z+ 1
z−1 = 2−i. On ´ecrira la solution sous forme alg´ebrique.
2) Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonormal (O;~u, ~v), on donne les points A,B et C d’affixes respectives zA=−1 + i, zB =−1−i et zC = 2 + i.
a) Repr´esenter les points A,B et C dans le rep`ere (O;~u, ~v).
b) Quelle est la nature du triangle ABC? Le justifier.
c) En d´eduire l’affixe du point Ω centre du cercle circonscrit au triangle ABC et le rayonr de ce cercle.
Exercice II : (5 points)
Soit l’´equation diff´erentielle : 4y00+π2y = 0.
1) R´esoudre cette ´equation diff´erentielle.
2) Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;~ı, ~). D´eterminer la fonctiong solution de cette ´equation diff´erentielle qui satisfait aux conditions suivantes :
• la courbe repr´esentative deg passe par le point N de coordonn´ees 1 2;
√2 2
! ,
• la tangente `a cette courbe en N est parall`ele `a l’axe des abscisses.
3) V´erifier que pour tout nombre r´eel x, g(x) =
√2
2 cosπ 2 x− π
4
.
4) R´esoudre sur l’intervalle [−2 ; 2 ] l’´equation g(x) =−1 2.
Probl`eme : (11 points)
Soit f la fonction num´erique d´efinie, pour tout nombre r´eel x, par f(x) = e2x+x.
Soit C la repr´esentation graphique de f dans un rep`ere orthogonal (O;~ı, ~). (Unit´es graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonn´ees).
1) Etude du comportement de´ f en−∞ : a) D´eterminer la limite de f en −∞.
b) Montrer que C admet pour asymptote la droite ∆ d’´equation : y=x.
c) Etudier les positions relatives de ∆ et de´ C.
2) Etude du comportement de´ f en +∞: D´eterminer la limite def en +∞.
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3) Etude des variations de´ f :
a) D´eterminer la fonction d´eriv´eef0 def. b) Etablir le tableau de variation de´ f.
4) D´eterminer une ´equation de la tangente T `aC au point d’abscisse 1.
V´erifier que le pointA (1 ; e2 + 1) appartient `aT. 5) Dans le rep`ere (O;~ı, ~) tracer ∆, T etC.
6) a) Justifier que l’´equationf(x) = 0 a une solution α et une seule sur [−1 ; 0].
b) Donner un encadrement de α `a 10−2 pr`es. Justifier le r´esultat.
7) Soit la partieD du plan limit´ee par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’´equation x=α et x= 1.
a) Hachurer la partie D.
b) Calculer, en unit´es d’aire et en fonction deα, la valeur exacte de l’aireA(α) de la partieD.
c) V´erifier, en utilisant l’´egalit´ef(α) = 0, queA(α) = 1
2(e2−α2 +α+ 1).
d) D´eterminer, au mm2pr`es, une valeur approch´ee deA(α) en prenant−0,43 comme valeur approch´ee de α.
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