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99.2000 Distribution et analyse de Fourier TD n°2 : Espaces de Hilbert

Corrigé

Exercices 1,2,6 , 8 et 5 : bien maîtriser Exercices 3,4 et 7 : comprendre

Exercice 1 : Montrer que la famille



1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...cosnx,sinnx,....



est orthogonale pour le produit scalaire usuel de L²([0,2]). Puis calculer les normes de ces fonctions.

Corrigé : Pour tous entiers n et m non nuls on a : 0

) sin(

)

cos( ²

0 2

0 







^{ nx dx  nx dx}

et :

 





^{ } 0^{2   }

2

0 sin(( ) ) sin(( ) )

2 ) 1 sin(

)

cos(nx mx dx m n x m n x dx

d’où si m et n sont distincts :

0 )

) cos((

) ( ) 1 ) cos((

) (

1 2 ) 1

sin(

) cos(

2

0 2

0  



 



 

 

 







 

x n n m

x m m n n

dx m mx nx

et si n=m



cos(2 )



0

4 ) 1

sin(

)

cos( ²₀

2

0  



^{ nx nx dx} _n ^{nx }

de même on obtient :

 





 

 0 ^{2  cos( nx ) cos( mx ) dx} _ ^{0 si} _si ⁿ _n ^m _m

et

 





 

 0 ^{2  sin( nx ) sin( mx ) dx} _ ^{0 si} _si ⁿ _n ^m _m

Comme le produit scalaire réel de L²([0,2]) est défini par (f g)^



0^2 f(x)g(x)dx Et la norme associée par ( ) ₀² ( )² ^1/2







 ^{f f}



^{ f x dx}

f , d’après les calculs précédents on a

pour tous entiers n et m non nuls :



cos(nx)1



0,



sin(nx)1



0



cos(nx)sin(mx)



0pour n et m distincts,



cos(nx)cos(mx)



0pour n et m distincts,



sin(nx)sin(mx)



0pour n et m distincts. La famille est don orthogonale ; de plus on a obtenu :





 sin( ) )

cos(nx nx et bien sûr on a : ^{1  2}

Exercice 2 : Soit E l’espace des fonctions de classe C1 de [0,1] dans R. Pour toutes fonctions f et g de E on pose : ( , ) ¹ '( ) '( ) (0) (0)

0 f t g t dt f g

g

f 





 .

a) Montrer que



définit un produit scalaire sur E.

b) Déterminer des polynômes P0,P1,P2,P3 de degré respectif 0,1,2 et 3, formant une famille orthonormée de E.

c) Cette famille est-elle orthonormée pour le produit scalaire usuel de L²([0,1]) ? Corrigé :

a) C’est le cas réel :

-  est définie sur ExE : les fonctions C1 sur [0,1] sont de dérivées intégrables sur [0,1].

-  est linéaire à droite : cela découle de la linéarité de l’intégrale, de l’opérateur de dérivation et de la somme de deux fonctions multipliées par des scalaires.

- La symétrie est évidente

- La positivité aussi : l’intégrale d’une fonction positive est positive.

-  est définie :



'( )



(0) 0



'( )



0 (0) 0

0 ) ,

( ¹

0 2 2

1 0

2     







^{f t dt f}



^{f t dt et f}

f

 f

0 ) 0 ( ] 1 , 0 [ 0 ) (

'  

 f t sur et f car f’ est continue)  f(t)0 sur [0, 1].

b) On pose Po=1 alors P0 ¹. Dans un premier temps, on cherche P1 sous la forme : )

( )

( ₀

1 x x P x

P   tel que :



P1P₀



⁰ ; soit :

 

¹x 

 

¹¹ ⁰ ; dans un deuxième temps on normalisera P1 en divisant par sa norme. On obtient : P₁(x) x.

On cherche P2 sous la forme : P₁(x) x² P₁(x)P₀(x)tel que :



P₂ P₀



0et



P₂ P₁



0

; soit :

 

1x 

 

11 0 ; on obtient  ^1et  ^0 soit P₂(x)x² x ; alors P₂ ² 1/6 Finalement, on pose ^P2(^x)^ 6



^{x2 x}



.

Etc….

Exercice 3 : On munit l’espace C⁰([1,1])du produit scalaire usuel de L²([1,1]). En considérant la suite de fonctions définies par :

 





 







 









 







x n si

x n si n nx

n x si x f

_n

1 1 1

1 1 1 1 1 ) (

montrer que C⁰([1,1]) n’est pas un espace de Hilbert.

Corrigé : Il s’agit de prouver que C⁰([1,1]) n’est pas complet¹ pour la norme définie par le produit scalaire de L²([1,1]) : 



¹

 

1

) 2

(t dt f

f ; pour cela nous allons utiliser la suite proposée et démontrer qu’elle est bien de Cauchy² pour la norme considérée mais qu’elle ne converge pas dans C⁰([1,1])pour cette norme.

Soient n et p deux entiers positifs ; posons I_np f_n f_p ¹ f_n t f_p t ²dt

1 2

,   



 ( ) ( )

On découpe cette intégrale en 5, comme le suggère la définition de f_n et f_(n+p) ( voir le graphe de f_2 et f_5 :

1 Un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy est convergente.

2 Une suite (f_n) est de Cauchy si f_n f_{n p} p N

n  _   



 0

lim

-1 -0.5 0.5 1

-1 -0.5 0.5 1

On a :

dt t f t f

dt t f t f dt

t f t f dt

t f t f dt

t f t f I

n n p

n p

n n p

p n

p

n n p

p n

n n p

n

p n

p n

1 2 / 1

/ 2 1

) /(

1 ) 2

/(

1 ) /(

1 ) 2

/(

1 / 1 / 2

1 , 1

) ( ) (

) ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (





























 

















et en tenant compte des définitions on obtient :

dt dt

nt dt

pt dt

nt dt

I n

n p n p

n p n p

n n n

p

n ^



^



^{ }



^



 ^{ }



















1 / 1 / 2

1 ) /(

1 ) 2

/(

1 ) /(

1 ) 2

/(

1 / 1 /

1

, 1 0 1 1 ) 0

Or :

 





 







 





 ⁰

) /(

1 2 2

/ 1

) /(

1 ) 2

/(

1 / 1

1 1

1 n n p

n p n p

n

n x dx

dt n nt dt

nt (à l’aide de changements de

variables triviaux).

D’où : ² ₃ ² ₂

3

, 3 ( )

2 )

( 3 1 2

3 2

p n n

p p

n p p

n n I_np n

 

 



 





 

 ; on a bien

lim

_,

 0



 np

n

I

Donc la suite (f_n) est bien de cauchy.

Nous allons maintenant montrer qu’elle ne converge pas dans C⁰([1,1]).

Raisonnons par l’absurde et supposons qu’elle converge vers une fonction f de C⁰([1,1])pour la norme de L2(-1,1) ; alors lim  0



 f_n f

n soit lim ^{1 2} 0

1  







 f_n f

n .

Or : 1 ^{1/ 2 1} 1² 1 2 3

/ 1 / 2

1 1 1 2

1 f f f ⁿ f nt f I I I

n n

n  



 



 



   



 







En utilisant le théorème de Lebesgue de la convergence dominée (voir chapitre intégration), on a :

1 2

1 [ 1, 1/ ] / 2

1

1 1 1 1

1



 



   



 f f

I ⁿ _n et ¹[_1,_1/_n] f ¹²  f ¹²L^1[^1,1], donc

0 2

1 1

1

limI 



 f 

n ; de même on a : ^{1 2}

0 1

3

limI ^



f ^

n ; pour I2, on obtient

lim 2  0





I

n

en remarquant que ^{1 2}

1 [ 1/ ,1/ ] / 2

1 /

1 1

2 f nt f nt

I ⁿ _{n n}

n   









  et



¹



^{[ 1,1]}

1[_1/n,1/n] f nt²  f  ²L¹  et que lim1_{[1/ ,1/ ]}  ² 0



 _{n n} f nt

n

Après tous ces calculs il vient que : lim 0 1 ¹ 1² 0

0 0 2

1 1 2

1   



 



 



 



 f_n f f f

n ;

d’où f(t)=-1 sur [-1,0 [ et f(t)=1 sur [0,1 [, mais alors f ne peut pas être continue sur [-1,1], ce qui est absurde.

Exercice 4 : Soient a0et R. On désigne par B(0,a)la boule centrée à l’origine et de rayon

a

, relative à la norme 2 de

R

ⁿ. Pour tout vecteur

x

de

R

ⁿ, on notera ^{r  x} ₂. On pose :



 

 



sinon 0

), 0(

1 si

)( x B a

x r

f

^

Déterminer les valeurs



pour que f L¹(Rⁿ), f L²(Rⁿ), f L^p(Rⁿ), p1. Calculer alors f p.

On rappelle le coordonnées polaires dans Rn ( voir chapitre intégration, changement de variables) :

1

2 1 1

2 3

1 3

2 1

2

2 1

1

sin

sin cos ...

sin cos

....

cos

sin cos

...

...

cos

cos cos

...

...

cos

























r x

r x

r x

r x

r x

n n

n n

n n





















alors

2 2

3 1 2

1cos cos ..cos

) , ( det

 







n n

n

rn

r J







 

et on a :



B

^    

^a _{ } ^{n n n}

drd d

^n

d

r dx r

x

f

0

2 0

2 2

2 2

2 1

2 1

1 2

..

cos ..

cos ...

)

(

^







 

    

en posant

  

²    

2 2

2

2 1

2 1

2

.. cos ..

cos ...

2









   



ⁿ _{n n}

n

drd d

A

_{on a :}





B ^{ n a n} dr

A r dx x

f 0 1

) 1

( _ ; f est donc intégrable sur

R

ⁿ si et seulement si n11 soit si

  n

.

En raisonnant de la même façon on montre que f L²(Rⁿ) si et seulement si  n/2 et )

( ⁿ

p R L

f  si et seulement si  ^n/p. Dans ce cas on a :





 n p

A a r dr

A dx x f f

p n n a

n n p

B

p p

p 







0 _{ }1  ^

) 1 (

Exercice 5 : Soit ^p1. On pose

) ( )

1 ( )

(x x p ^1/ _[0,1] x

f   ^p 

et g(x) p^1/pe^1x_]1,[(x) a) Les fonctions f et g appartiennent-elles à L^p(R) ?

b) L’identité du parallélogramme est-elle vérifiée pour la norme L^p(R) ? c) Quelle conclusion peut-on tirer ?

Corrigé : a) On a : f 



f(x) dx(p1)



0¹x^pdx

R

p p

p et











g(x) dx pe



1^e^ dx

g ^{p px}

R

p p

p

c) On a :

 

¹

) 1 ( ) 1 1 ( )

( ^{2/ 2/} _2/

2 

 







R ^{p p p}

p

p f x dx p p

f _et



^{( )}



^2/

 

^{2/ 2/ 1}

2  



 



 





^

p p p p

p R

p

p p

pe e dx

x g g

D’autre part on a :



 





 

 _

[ ,1]

]1,0 [ )1 ) (

)(

( /1 1

/1

sur e p

sur p x x g

f p x

p

et



 







 

 _

[ ,1]

]1,0 [ )1 ) (

)(

( /1 1

/1

sur e p

sur p

x x g

f p x

p

D’où :



_R ^p



^p



^{p p px}



^{p p}

p f g x dx x p dx pe dx

g

f ^{2/ 2/}

] 1 , 0 [ ]

1 , 0 [ / 2 2

2 )

1 ( )

)(

(     





  

^{ et}



_R ^p



^p



^{p p px}



^{p p}

p f g x dx x p dx pe dx

g

f ^{2/ 2/}

] 1 , 0 [ ]

1 , 0 [ / 2 2

2 )

1 ( )

)(

(      





  

^

L’identité du parallélogramme est vérifiée SSi :



^{2 2}



2

2_p f g _p 2 f _p g _p

g

f      soit SSI

2

^12/p

 2

² soit SSI p=2.

d) Comme dans tout espace préhilbertien l’identité du parallélogramme est vérifiée, seul l’espace L2 en est un. C’est à dire que les normes p pour p différent de 2 ne sont pas issues d’un produit scalaire.

Exercice 6 : On considère la fonction définie sur [0,] _{par f(x)} _x².

a) Déterminer la série de Fourier trigonométrique de f , lorsqu’on la prolonge de façon



^-

périodique.

b) On prolonge maintenant f à [,]par parité. Déterminer la série de Fourier trigonométrique de f , lorsqu’on la prolonge de façon 2



-périodique.

c) Dans chacun des cas a) et b), représenter le spectre de f. Que remarque-t-on ?

d) La compression JPEG utilise la transformée en cosinus. ( On code le signal considéré par ses fréquences).

Pouvez- vous expliquez ce choix ? ( exploitez la réponse de la question c ).

Au a), les coefficients c_n sont en 1/n et au b) en 1/n^2.

Dans le deuxième, on a donc besoin de moins de coefficients pour avoir une assez bonne approximation du signal.

e) Préciser les différents types de convergence des séries obtenues en a) et b).

Exercice 7 : Dans L²([1,1])on définit les polynômes de Legendre par :

Rectifier le coefficient ^{P (x) n}₂¹ _n!¹_{2 dx}^d n

 

^{x2 1}



ⁿ



^n0

n n n

a) Montrer que la famille

 

P_{n nN} est orthonormée.

Faire n intégrations par partie.

b) Calculer la projection orthogonale de la fonction f :xx³ sur le sous-espace engendré par



P₀,P₁,P₂



La projection de f est : f*(x)=3x/5 ( Résoudre le système associé à f-f* orthogonal à P0, à P1 et àP2.

Exercice 8 : Calculer

_ 

^{ }



 1 0

2 2 )

,

( ²

dx b ax x Inf

R b a

ax+b représente la projection orthogonale de x^2 sur vect<1,x>.

comme précédemment on résout le système associé et on trouve : a=1 et b=-1/6.