III Manipulations de lignes et colonnes, applications

(1)

BCPST2

95 2 10 Révisions sur les matrices

I Dénition et structure

A) Ensemble des matrices Soientn, p∈Ndes entiers xés.

On appelle matrice à n lignes et p colonnes et à coecients à K la donnée d'une famille d'éléments (a_i,j)1≤i≤n

1≤j≤p, souvent noté :





a_1,1 . . . a_1,p

... ...

a_n,1 . . . a_n,p





ai,j est le terme d'indice(i, j).

On noteM_n,p(K)l'ensemble de ces matrices.

Sin=p, on note plus simplementMn(K).

B) Structure d'espace vectoriel Dénition :

On dénit une addition : SoientA= (a_i,j)1≤i≤n

1≤j≤p etB = (b_i,j)1≤i≤n 1≤j≤p .

A+B = (ai,j+bi,j)1≤i≤n 1≤j≤p

On dénit une opération externe : SoientA= (a_i,j)1≤i≤n

1≤j≤p etλ∈K.

λA= (λai,j)1≤i≤n 1≤j≤p

Ainsi(Mn,p(K),+, .) est un Kespace vectoriel.

C) Produit Dénition :

SoientA∈Mn,p(K), B∈Mp,q(K).

Le produitAB=C est déni par :

∀1≤i≤n, ∀1≤j ≤q, c_i,j = Xp k=1

a_i,kb_k,j

En particulier :AB∈M_n,q(K).

(2)

Mise en pratique

Méthode

ai1 ai2 aip

b1j

b2j

bpj

a11 a12 a1p

an1 an2 anp

b11

b21

bp1

b1q

b2q

bpq

cij

A

n lignesp colonnes

B

p lignesq colonnes

C=A×B

n lignes q colonnes

cij= Xp

k=1

aikbkj

Proposition :

G ∀A∈Mn,p(K), ∀B, C ∈Mp,q(K), A(B+C) =AB+AC G ∀B, C ∈Mn,p(K), ∀A∈Mp,q(K), (B+C)A=BA+CA

G ∀A∈Mn,p(K), ∀B ∈Mp,q(K), ∀λ∈K, (λA)B =A(λB) =λ(AB) G ∀A∈Mn,p(K), ∀B ∈Mp,q(K), ∀C∈Mq,r(K), A(BC) = (AB)C=ABC Remarque: Cas des matrices carrées

Soit n∈N^∗

G ∀A, B ∈M_n(K), AB∈M_n(K)

G La matrice notée I_n=







1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 0 ... ... 0 0 . . . 0 1





 est appelée matrice identité deM_n(K).

Elle vérie : ∀M ∈Mn(K), InM =M In=M

Remarque: Formule du Binôme pour les matrices carrées Soit p∈N^∗ etn∈N.

SoientA, B ∈M_p(K). On a :

AB=BA=⇒(A+B)ⁿ= Xn i=0

n i

AⁱBⁿ⁻ⁱ où A⁰ =I_p par convention.

D) Inverse pour les matrices carrées Dénition :

Soit n∈N^∗. Soit A∈M_n(K).

On dit que A est inversible si et seulement si :∃B ∈M_n(K), AB =BA=I_n.

SiA est inversible, la matrice B est unique, est appelée inverse deA et est notée A⁻¹.

(3)

Recherche de l'inverse

Méthode

Soitn∈N^∗. SoitA∈M_n(K). Soit X, Y ∈M_n,1(K).

Aest inversible si et seulement si le systèmeAX =Y admet une unique solution.

Dans ce cas, la solution estX=A⁻¹Y. Mise en pratique

â Ecrire le systèmeY =AX en considérantX=



 x1

...

xn



comme les inconnues

â Résoudre ce système.

â Si ce système admet une unique solution alors celle-ci s'écrit sous la formeX =A⁻¹Y â Lire surX les coecients deA⁻¹.

Proposition : Cas des matrices de M2(K) Soit A=

a b c d

∈M₂(K). On note det(A) =ad−bc. A est inversible si et seulement sidet(A)6= 0.

SiA est inversible, alors A⁻¹= 1 det(A)

d −b

−c a

. Application à la résolution de système

Méthode

Soit

ax+by = e

cx+dy = f un système linéaire d'inconnues(x, y)∈R².

Dans le cas oùad−bc6= 0, le système est de cramer : il admet une unique solution :

x= e b

f d a b

c d

= ed−f b

ad−bc y=

a e

c f a b

c d

= af−ce ad−bc

E) Transposition Dénition :

Soit A= (ai,j)1≤i≤n

1≤j≤p ∈Mn,p(K).

On appelle transposée de A et on note :

tA=





a_1,1 . . . a_n,1

... ...

a_1,p . . . a_n,p



∈Mp,n(K)

On a "échangé" les lignes et les colonnes.

Ainsi le coecient d'indice i, j (pour 1≤i≤p, 1≤j≤n) est aj,i

Proposition :

G ∀A∈Mn,p(K), ^t(^tA) =A

G ∀A, B∈Mn,p(K), ∀λ∈K, ^t(A+λB) = ^tA+λ^tB G ∀A∈Mn,p(K), ∀B ∈Mp,q(K), ^t(AB) = ^tB^tA

G Pour touteA∈Mn(K), siA est inversible alors^tA est^tA est inversible et(^tA)⁻¹= ^t(A⁻¹)

(4)

II Matrices particulières

A) Matrices diagonales Dénition :

Soit A∈Mn(K).

On dit que A est diagonale si et seulement si

∀1≤i, j≤n, i6=j=⇒ai,j = 0 On noteA=Diag(a1,1, . . . , an,n).

On noteD_n(K) l'ensemble des matrices diagonales deM_n(K). Proposition :

G ∀A, B∈Dn(K), ∀λ∈K, A+λB ∈Dn(K) AB∈D_n(K) I_n∈D_n(K) G Dn(K) est un sous-espace vectoriel de Mn(K). G ∀A, B∈Dn(K), AB ∈Dn(K)etAB=BA

G SoitA∈Dn(K),A est inversible si et seulement si ∀1≤i≤n, ai,i6= 0. Dans ce cas,A⁻¹ =Diag(a⁻¹_1,1, . . . , a⁻¹_n,n)

B) Matrices triangulaires Dénition :

Soit A∈Mn(K).

On dit que A est triangulaire supérieure si et seulement si

∀1≤i, j≤n, i > j =⇒ai,j = 0 On dit que A est triangulaire inférieure si et seulement si

∀1≤i, j≤n, i < j =⇒a_i,j = 0

On noteTn,s(K)etTn,i(K)l'ensemble des matrices triangulaires supérieures et triangulaires inférieures de M_n(K).

Proposition :

G ∀A, B∈Tn,s(K), ∀λ∈K, A+λB∈Tn,s(K) AB∈Tn,s(K) I_n∈T_n,s(K) G Tn,s(K)est un sous-espace vectoriel.

G ∀A, B∈Tn,s(K), AB∈Tn,s(K)

G SoitA∈Tn,s(K),Aest inversible si et seulement si ∀1≤i≤n, ai,i 6= 0. Dans ce cas,A⁻¹ ∈T_n,s(K)

G Propriétés similaires pourTn,i(K)

(5)

C) Matrices symétriques et antisymétriques Dénition :

Soit A∈Mn(K).

On dit que A est symétrique si et seulement si

A= ^tA ⇐⇒ ∀1≤i, j ≤n, a_i,j =a_j,i On noteS_n(K) l'ensemble des matrices symétriques deM_n(K). On dit que A est antisymétrique si et seulement si

A=−^tA ⇐⇒ ∀1≤i, j≤n, ai,j =−aj,i

On noteAn(K) l'ensemble des matrices antisymétriques de Mn(K).

Remarque:

G ∀A, B ∈S_n(K), AB ∈S_n(K) ⇐⇒ AB=BA

G Soit A∈Sn(K). SiAest inversible alors A⁻¹ ∈Sn(K)

(6)

III Manipulations de lignes et colonnes, applications

A) Dénition et codage des opérations élémentaires SoitA∈Mn,p(K).

Echange de 2 colonnes

Echanger 2 colonnes de la matrice A (notation Ci ←→ Cj) revient à multiplier A à droite par la matrice :

Pi,j=







1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0

0 ... ...

... 0 . . . . . . . . . 1 ...

... ... 1 ... ...

... ... ... ... ...

... ... 1 ... ...

... 1 . . . . . . . . . 0 ...

... ... 0

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1







→i

→j

∈Mp(K)

Multiplication d'une colonne par un scalaire non nul

On remplace la colonne Ci de la matrice A par αCi (notation : αCi → Ci) revient à multiplier A à droite par la matrice :

Di,α=







1 0 . . . . . . . . . 0

0 ... ...

... α ...

... 1 ...

... ... 0

0 . . . . . . . . . 0 1







→i

∈Mp(K)

Combinaison linéaire de colonnes

On remplace la colonneCide la matriceAparCi+αCj (notation :Ci+αCj →Ci) revient à multiplier A à droite par la matrice :

Ti,j,α=

i

 ↓





1 0 . . . . 0

0 ... ...

... ... ...

... α ... 0

0 . . . . 0 1





 →j

∈Mp(K)

Remarque:

Les manipulations sur les lignes correspondent à des multiplications à gauche par des matrices de M_n(K).

Dénition :

On dit qu'une matrice A se déduit d'une matrice B par manipulations sur les lignes et les colonnes si on peut passer deB à Apar manipulations du type précédent, c'est-à-dire :

A=QBP

où QetP sont des produits de matrices du type précédent, et sont en particulier inversibles.

Remarque:

Les manipulations élémentaires sur les lignes et les colonnes s'écrivent comme des produits par certaines matrices élémentaires. Ces matrices élémentaires sont toutes inversibles.

Ceci permet d'obtenir les résultats théoriques.

En pratique, on ne fait pas de produit matriciel mais on eectue les manipulations de lignes et/ou colonnes.

(7)

B) Application au calcul du rang

Méthode

SoitA∈M_n,p(K). On pose r= rg(A).

On peut manipuler les lignes et les colonnes de Ajusqu'à se ramener à une matrice J_r=

I_r O O O

Le rang est inchangé tout au long du calcul.

On peut donc faire les manipulations et s'arrêter dès que le calcul du rang devient immédiat.

En pratique, on va "échelonner" la matrice, c'est-à-dire se ramener par manipulation des lignes ou des colonnes à une matrice dont les lignes commencent par un nombre strictement croissant de zéros (avec éventuellement plusieurs lignes nulles à la n).

On appelle alors pivots les premiers coecients non nuls des lignes deA.

Le rang d'une matrice est le nombre de pivots.

C) Application au calcul de l'inverse

Méthode

SoitA∈Mn(K).

â On manipule les colonnes uniquement jusqu'à obtenir la matriceI_n. â On réalise les mêmes opérations sur la matriceI_n en parallèle.

â A la n du calcul, on a obtenu la matriceA⁻¹ Remarque:

SiA n'est pas inversible, on s'en aperçoit en cours de route ! Remarque:

On peut aussi manipuler uniquement les lignes.

Ne jamais manipuler lignes ET colonnes.

D) Résolution d'un système linéaire

Méthode

Soit le système linéaire :AX =Y où A∈M_n,p(K), X∈M_n,1(K) etY ∈M_p,1(K). On manipule les lignes uniquement an de résoudre le système (pivot de Gauss) E) En résumé

â Pour le rang : on peut manipuler lignes et colonnes.

â Pour les systèmes : on manipule les lignes uniquement.

â Pour calculer l'inverse : On manipule lignes OU colonnes. (choix exclusif)

(8)

BCPST2

95 2 10 ^Matrices

Les mathématiques sont une sorte de jouet que la nature nous a lancé pour nous consoler et nous divertir dans cette vallée de larmes. - Jean-Baptiste le Rond d'Alembert

©Exercice 1: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Algebre/Matrices/Matrices14.tex

Soient A=

1 2 3 0 1 1

, B= 0 1

1 0

, C =



 0 1 0 0 1 2





Calculer, lorsque c'est possible, les produits matriciels suivant : AB, BA, AC, CA, BC, CB.

Soient a∈R, D =





a 0 0 0 a 0 0 0 a



, N =





0 1 1 0 0 1 0 0 0



, A=D+N. Vérier : N³ = 0, DN =N D. En déduireAⁿ pourn ∈N.

On choisit a6= 0. Montrer que A est inversible.

Calculer (D+N)(D²−DN +N²) et en déduire l'inverse deA.

Calculer l'inverse de la matrice A , quand il existe :

1^◦)A=





2 4 3 0 1 1 2 2 −1





2^◦)A=





2 1 −1 1 m 1 3 1 0





3^◦)A=





1−λ −3 2

1 −λ 1

2 1 1−λ





4^◦)A=





α−β−γ 2α 2α 2β β−α−γ 2β 2γ 2γ γ−α−β





Déterminer le rang des matrices suivantes :

1^◦)





1 1 1

b+c c+a a+b bc ca ab



 2^◦)







1 a 1 b a 1 b 1 1 b 1 a b 1 a 1







(9)

On considèreC l'ensemble des matrices M(a, b, c) =





a b c c a b b c a



avec (a, b, c)réels.

On note I =





1 0 0 0 1 0 0 0 1



et J =





0 1 0 0 0 1 1 0 0





1^◦) Calculer J² et J³. Justier que J est inversible et déterminer J⁻¹. 2^◦) Montrer que C est sous-espace vectoriel de M₃(R).

3^◦) Soita, b, c, a⁰, b⁰, c⁰ ∈R. CalculerM(a, b, c)M(a⁰, b,⁰c⁰)et montrer que C est stable par produit.

4^◦) Soit a, b, c∈Ret M =M(a, b, c).

a) A quelle condition, M est-elle inversible ?

b) On suppose cette condition remplie. SoitN =M(x, y, z)∈C.

Traduire la condition M N =I sous la forme d'un système linéaire en (x, y, z). c) Résoudre ce système .

On note M_p(R) l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordrep∈N^∗.

SoitA∈M_p(R). On dit queAune matrice nilpotente d'ordre3si et seulement si elle vérieA² 6= 0 et A³ = 0.

Pour tout réel t, on noteE(t)la matriceE(t) =I+tA+t²

2A² oùI est la matrice identité d'ordre p.

1^◦) Vérier la relation : ∀(s, t)∈R², E(s)E(t) = E(s+t). 2^◦) En déduire E(t)ⁿ pout toutn ∈N.

3^◦) Montrer que la matrice E(t)est inversible. Quel est son inverse ? 4^◦) Soit (λ₀, λ₁, λ₂)∈R³. Montrer :

λ0I+λ1A+λ2A² = 0 ⇐⇒ λ0 =λ1 =λ2 = 0

5^◦) En déduire que l'application E :t7→E(t) deR vers M_p(R) est injective.

6^◦) Dans cette question, p= 3 etA =





0 1 1 0 0 1 0 0 0



.

Vérier queA est nilpotente d'ordre 3 et expliciter E(t)pour tout réel t.

Résoudre le système suivant d'inconnuesx, y, z ∈R et de paramètre m∈R.







x−my+m²z = m mx−m²y+mz = 1 mx+y−m³z = 1

(10)

Résoudre le système suivant où m est un paramètre complexe.











x+my+m²z+m³t = m mx+m²y+m³z+t = m² m²x+m³y+z+mt = m³ m³x+y+m²z+m³t = m⁴ x−y+z−t = 2

On pose : A=





2 1 1 1 2 1 0 0 3



 etP =





1 0 −1 1 0 1 0 1 0



 1^◦) Montrer que P est inversible et déterminer P⁻¹.

2^◦) On pose : T =P⁻¹AP. Calculer T et T² puis Tⁿ pour n∈N.

3^◦) CalculerAⁿ pour toutn ∈N.

On poseA=





3 −1 −1

−1 3 1

0 0 2



 1^◦) Calculer(A−2I)(A−4I)

2^◦) En déduire que A est inversible et donner A⁻¹ .

3^◦) Montrer qu'il existe deux suites(an)n∈Net(bn)n∈Ntelles que, pour toutn∈N, Aⁿ =anA+bnI. 4^◦) DéterminerA_n.

Résoudre le système suivant où m est un paramètre réel.







x + my − z = 2m

(m+ 1)x − y + z = −2m (m+ 3)x + (m+ 1)y − z = 3m+ 2

(11)

Résoudre le système suivant en fonction du paramètre réel m :







x+ 2y+ 4z = 1 x+y+z = 0 x+my+m²z = 1

On dit que A est nilpotente s'il existe p∈N tel que A^p = 0. Soit n ∈N^∗. Pour A ∈ M_n(K) nilpotente, on note e(A) =

+∞

X

k=0

1

k!A^k, appelée exponentielle de A. (La somme est nie).

1^◦) Montrer que si A et B sont nilpotentes et commutent , alorsA+B est nilpotente et e(A+B) =e(A)e(B)

2^◦) En déduire que pour toute matrice A nilpotente , e(A)est inversible et calculer e(A)⁻¹.

3^◦) Calculer e(A) pourA=







0 1 0

... ...

... 1

0 0







III Manipulations de lignes et colonnes, applications

95 2 10 Révisions sur les matrices

I Dénition et structure

II Matrices particulières

III Manipulations de lignes et colonnes, applications

95 2 10 Matrices

Calculer l'inverse de la matrice A , quand il existe :

Déterminer le rang des matrices suivantes :

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