def factorielle ( n ) : i f n==0:

BCPST2

9 5

0 3 ^Récursion

Dénition :

Une fonction est dite récursive lorsqu'elle s'appelle elle-même (directement ou indirectement) dans sa dénition.

Très souvent, une fonction récursive est liée à une relation de récurrence permettant de calculer la valeur de cette fonction pour un argumentn à l'aide des valeurs pour des arguments inférieurs àn.

Exemple :n!

©

Utilisons les relations :

0! = 1, ∀n∈N^∗, n! =n×(n−1)!

Ceci suggère de dénir la fonction factorielle en fonction d'elle-même , c'est-à-dire récursivement. Ceci peut s'écrire de la façon suivante :

def factorielle ( n ) : i f n==0:

return ( 1 ) e l s e :

return ( n ∗ factorielle ( n − 1) )

©Exercice 1: Calcul de puissances

1^◦) Écrire une fonction récursive puissance(x,n) qui calcule la valeur dexⁿ, avecn∈N, en utilisant la formule suivante : x⁰= 1 et ∀n∈N^∗, xⁿ=x×xⁿ⁻¹.

Solution:

def puissance ( x , n ) : i f n == 0 :

return 1 e l s e :

return x∗ puissance ( x , n −1)

Cet algorithme naïf n'est toutefois pas très performant. Par exemple, pour calculer2²⁰, il nécessite 19 multiplications. La remarque qui suit donne l'idée d'une meilleure méthode :

2²⁰= (2¹⁰)²= (2⁵)²)²= (2×2⁴)²)²=

2×(2²)²22

L'évaluation de la dernière expression écrite ne requiert plus que 5 multiplications.

2^◦) Écrire une autre fonction récursive puissance2(x,n) qui calcule la valeur dexⁿ, avecn∈N, en utilisant la formule suivante : x⁰= 1 et ∀n∈N^∗, xⁿ=

(x^n/2)² sinest pair x×(x^(n−1)/2)² sinest impair .

Solution:

def puissance2 ( x , n ) : i f n ==0:

return 1 e l i f n%2 == 0 :

return ( puissance2 ( x , n //2) ) ∗∗2 e l s e :

return x ∗( puissance2 ( x , ( n−1) //2) ) ∗∗2

©Exercice 2: Maximum d'une liste

1^◦) Écrire une fonction récursive qui retourne le maximum des éléments d'une liste.

2014-2015 page 1 sur 4 TSVP

BCPST 951/952/953 Lycée du Parc TD 3

Solution:

def maxi ( L ) :

i f len ( L ) == 0 : return " e r r o r "

e l i f len ( L ) == 1 : return L [ 0 ] e l i f len ( L )== 2 :

i f L [ 0 ] > L [ 1 ] : return L [ 0 ] e l s e :

return L [ 1 ] e l s e :

p =len ( L ) //2

return maxi ( [ maxi ( L [ : p ] ) , maxi ( L [ p : ] ) ] )

©Exercice 3: Miroir

1^◦) Ecrire une fonction récursive qui renvoie le miroir d'une chaîne de caractères (par exemple, le miroir de "abcde" est "edcba").

Solution:

def miroir ( L ) : i f len ( L )<2 :

return L e l s e :

p = len ( L ) //2

return miroir ( L [ p : ] )+miroir ( L [ : p ] ) Remarque:

Ici, l'utilisation de la récursion est plutôt maladroit. En eet, il est bien plus ecace de faire :

def miroir2 ( L ) :

return ' ' . join ( [ L [ i ] f o r i in range ( len ( L ) −1,−1,−1) ] )

©Exercice 4: Recherche dans une liste triée

1^◦) Soit L une liste de réels triée par ordre croissant et soit x∈R. La recherche par dichotomie de x dans la liste L est assez simple. On procède comme suit :

â on compare x à l'élément du milieu de la liste L[med] : H si x est égal à L[med], alors on a terminé notre recherche

H si x<L[med], alors on cherche l'élément x dans la première moitié de la liste H si x>L[med], alors on cherche l'élément x dans la seconde moitié de la liste ; â puis on réitère ce procédé.

Écrire une fonction recherche_dicho(L,x) qui recherche l'élément x dans la liste L triée par ordre croissant selon la méthode de recherche par dichotomie.

2014-2015 page 2 sur 4 TSVP

BCPST 951/952/953 Lycée du Parc TD 3

Solution:

def recherche ( L , x ) :

""" on suppose l a l i s t e t r i é e par ordre c r o i s s a n t """

i f len ( L ) == 0 :

return "non p r e s e n t "

e l i f len ( L ) == 1 and L [ 0 ] == x : return " p r e s e n t "

e l i f len ( L )== 1 and L [ 0 ] != x : return "non pr é sent "

e l s e :

p = len ( L ) //2 i f L [ p ] == x :

return " p r e s e n t "

e l i f L [ p ] < x :

return recherche ( L [ p + 1 :] , x ) e l s e :

return recherche ( L [ : p ] , x )

©Exercice 5: Coecients binomiaux

1^◦) Écrire une fonction récursive binomial(n,p) qui calcule la valeur de _n^p

, en utilisant la formule suivante :

∀(n, p)∈N²tel que1≤p≤n, pn p

=nn−1 p−1

Solution:

def binomial ( n , p ) : i f p<0 or p>n :

return 0 e l i f p == 0 : return 1 e l s e :

return n∗ binomial ( n −1, p−1)/p

2^◦) Écrire une fonction récursive binomial2(n,p) qui calcule la valeur de ^p_n

, en utilisant la formule de Pascal.

Solution:

def binomial2 ( n , p ) : i f p<0 or p>n :

return 0

e l i f p == 0 or n == p : return 1

e l s e :

return binomial2 ( n−1, p−1)+ binomial2 ( n−1,p ) Remarque:

Bien que séduisante, cette méthode est en fait mauvaise car la plupart des coecients binomiaux intermédiaires nécessaires au calcul sont calculés en double

©Exercice 6: Tours de Hanoï

1^◦) Récupérer sur http ://bcpst.parc.free.fr (rubrique 952, maths, info) le chier qui permettra de faire l'achage graphique du problème.

2014-2015 page 3 sur 4 TSVP

BCPST 951/952/953 Lycée du Parc TD 3

Le problème des tours de Hanoï est un jeu de réexion qui consiste à déplacer des disques de diamètres diérents d'une tour de départ à une tour d' arrivée en passant par une tour intermédiaire et ceci en un minimum de coups, tout en respectant les règles suivantes :

â On ne peut déplacer plus d'un disque à la fois.

â On ne peut placer un disque que sur un autre disque plus grand que lui ou sur un emplacement vide.

â On suppose que cette dernière règle est également respectée dans la conguration de départ.

On peut résoudre ce problème de façon récursive de la façon suivante :

¬ On suppose qu'on andisques sur la tour de départ.

­ On déplace la tour desn−1premiers disques sur la tour intermédiaire

® On déplace le dernier disque (le plus grand) sur la tour d'arrivée.

¯ On déplace les disques de la tour intermédiaire sur la tour d'arrivée.

2^◦) Écrire une fonction récursive resout_hanoi(n, D, I, A,N,T) où :

H Chaque disque est représenté par un numéro entre1etndonnant son diamètre.

H T est la liste contenant l'état : c'est une liste contenant 3 listes représentant les 3 tours. Chaque sous liste contient le numéro des disques qu'elle contient, ordonnée de bas en haut.

H N est le nombre total de disques (c'est juste pour l'achage) H D, I, A c'est le numéro des tours (numérotées 0,1,2) H n le nombre de disques à déplacer

3^◦) Compléter la fonction hanoi et vérier votre programme en lançant l'éxecution de hanoi(3) par exemple.

4^◦) Modier ce qui est nécessaire pour pouvoir compter le nombre de déplacements nécessaires.

Solution:

def resout_hanoi ( n , D , I , A , N , T ) :

#l a proc é dure r é c u r s i v e

#T e s t l a l i s t e contenant l ' é t a t

# N e s t l e nombre t o t a l de disque ( c ' e s t j u s t e pour l ' a f f i c h a g e )

# D, A, I c ' e s t l e numé ro des t o u r s

# n l e nombre de d i s q u e s à dé p l a c e r i f n != 0 :

nb1 = resout_hanoi ( n −1, D , A , I , N , T ) x = T [ D ] . pop ( )

T [ A ] . append ( x ) affiche_tour ( N ) affiche_hanoi ( T )

nb2 = resout_hanoi ( n −1, I , D , A , N , T )

return nb1+1+nb2 # C ' e s t l e nombre de dé placements e f f e c t u é s e l s e :

return 0

def hanoi ( n ) :

T=[list ( range ( n ,0 , −1) ) , [ ] , [ ] ] plt . ion ( )

affiche_tour ( n ) affiche_hanoi ( T )

nb = resout_hanoi ( n , 0 , 1 , 2 , n , T ) p r i n t ( nb )

plt . ioff ( ) plt . show ( )

5^◦) Proposer une formule pour ce nombre de déplacements et la démontrer.

Solution: Il semble que le nombre N b

de déplacements pour déplacer la tour de n étages soit 2

− 1 . Soit n ≥ 1 : L'algorithme nous conduit à : N b

= 2 ∗ N b

+ 1 . C'est une suite arithmético-géométrique.

Les solutions sont de la forme N b

= α2

− 1 . Comme N b

= 1 , on a N b

= 2

− 1 .

2014-2015 page 4 sur 4 FIN