Eric GILLON Lycée Marlioz 2008/2009
Tour de Hanoï
On dispose de trois piquets sur socle et de n disques de tailles deux à deux différentes, troués en leur centre.
Les n disques sont empilés sur le socle n°A. Le but du jeu est de le faire passer tous sur le socle n° C en respectant les règles suivantes :
1. On ne déplace qu’un disque à la fois.
2. Un disque ne peut être mis que sur l’un des trois socles
3. Un disque ne peut jamais être mis sur un disque de taille plus petit.
Exemple : Tour de Hanoï avec 5 disques :
On notera Un le nombre de déplacements pour réussir.
Cas simples :
Déterminer U1, U2, U3.
Cas n = 4 :
Déterminer U4 en expliquant votre procédure.
Généralisation :
a. Expliciter cette proposition : « Pour déplacer les n disques, il faudra nécessairement être dans cette situation : tous les disques sont empilés sur le socle n° B sauf le plus grand qu’on va pouvoir passer du premier socle au dernier socle. »
b. En déduire que Un = 2 Un-1 +1.
c. Vérifier U4 et en déduire U5 puis U6 .
Détermination du terme général en fonction de n. On pose Vn = Un +1
d. Montrer que Vn est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme V0 = 2
Eric GILLON Lycée Marlioz 2008/2009
e. Exprimer Vn en fonction de n.
f. En déduire Un en fonction de n.
g. Calculer U20 et en déduire le temps nécessaire si un déplacement dure 5 secondes.
h. Créer un algorithme puis un programme permettant d’afficher toutes les étapes à effectuer pour réussir à ce jeu.
