n=input('Donnez la valeur de n

ECE2 Informatique - Suites et séries - Corrigé Septembre 2021 - EXERCICE1 -

On considère une suite(u_n)définie par son premier termeu0=1et pour tout entiern, u_n+1=u_n+ 1 u_n. 1. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche la valeur deu_nlorsque l’utilisateur entre la valeur

denau clavier.Pourn=100, on trouveu100=14.284064.

n=input('Donnez la valeur de n : ')

u = 1 ; // u0=1

for i = [1:n] do // boucle pour calculer tous les termes de 1 à n

u = u+1/u ; // calcul du terme suivant (qui écrase l'ancienne valeur) enddisp(u)

2. Écrire une fonction en SciLab d’entête function u = suite_u(n) prenant comme paramètre un entiernet renvoyant la valeur deu_n.

function u = suite_u(n) : // le résultat devra être rangé dans la variable u

u = 1 ; //

for i = [1:n] do // même programme

u = u+1/u ; //

end //

endfunction

3. Écrire une fonction en SciLab d’entête function VectU = valeurs_u(n) prenant comme paramètre un en- tiernet renvoyant toutes les valeurs deu0àu_nrangées dans un vecteur.

Deux solutions :

• En remplissant le vecteur au fur et à mesure.

function VectU = valeurs_u(n) : le résultat devra être rangé dans la variable VectU

u=1 // u0=1

VectU = [u] // Initialisation de VectU avec la première valeur de u for i = [1:n] do //

u = (u+1/u) ; // Calcul de la nouvelle valeur de u

VectU = [VectU,u] // Recopie le contenu de VectU et ajout de la nouvelle valeur de u

end //

endfunction

• En construisant un vecteur rempli de 0 et en modifiant les valeurs au fur et à mesure.

function VectU = valeurs_u(n) : le résultat devra être rangé dans la variable VectU

u=1 // u0=1

VectU = zeros(1,n+1) // Initialisation de VectU avec des 0 : (0,0,0,0,0,0,0) VectU(1) = u // On change la première valeur de VectU par u0

for i = [2:n+1] do //

u = (u+1/u) ; // Calcul de la nouvelle valeur de u

VectU(i) = u // On change la i-ième valeur de VectU par la nouvelle valeur de u

end //

endfunction

4. Écrire un programme en Scilab permettant de déterminer et d’afficher le plus petit entier naturelnpour lequelu_n⩾^{100.On trouven}=4998.

n = 0 ; // On retient l'indice

u = 1 ; // u0=1

while u < 100 do // tant que la valeur de u ne dépasse par 100, on calcule la nouvelle u = u+1/u ; // Calcul de la nouvelle valeur de u

n = n+1 ; // On augmente l'indice enddisp(n)

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On considère le programme SciLab et le graphique associé ci-dessous.

u = 1 ; eq = [1] ; for i = 1:200

u = u + 1/u ;

eq = [eq,u/sqrt(2*i)]

endplot2d([0:200],eq);

5. (a)Les termes de quelle suite sont contenus dans la variableeqen fin de boucle ?

A chaque passage dans la boucle, on calcule la valeuru_ipuis on ajoute au vecteureqla valeur u_i p2i. Ainsi, en fin de boucle, le vecteureqcontiendra tous les termes u_i

p2ipourientre 1 et 200. En d’autres termes,eqcontient les termes de la suitew_n= u_n

p2n.

(b) A l’aide du graphique, conjecturer alors un équivalent de la suite(u_n)en+∞ainsi que la limite.

Le graphique représente le vecteureq, soit les premiers termes de la suitew_n= u_n

p2nd’après la ques- tion précédente.

Or, on remarque sur le graphique que : lim

n→+∞w_n=1 soit lim

n→+∞

u_n p2n=1.

Ainsi, on a : u_n ∼

+∞

p2n puis lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞

p2n= +∞.

(c)Prouver votre conjecture concernant la limite de la suite.

On montrera que la suite est croissante et non majorée.

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• On montre très facilement par récurrence que la suite est à termes positifs.

Ainsi, on a : u_n+1−u_n= 1

u_n>0 donc la suite est strictement croissante.

• Montrons par l’absurde que cette suite n’est pas majorée.

Supposons donc que cette suite soit majorée. On a alors : (u_n) est strictement croissante et ma- jorée donc elle converge versℓ. En passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient alors : ℓ=ℓ+1

ℓsoit1

ℓ=0 ce qui est absurde.

Donc l’hypothèse de départ est fausse et la suite n’est pas majorée.

Finalement, la suite (u_n) est strictement croissante et non majorée donc elle diverge vers+∞.

6. A l’aide de la fonction cumsum et de la fonction valeurs_u, écrire un programme en SciLab permettant de calculer la somme

100

X

n=0

u_n.

La fonctioncumsumajoute les termes contenus dans un vecteur. Il faut donc utiliser la fonctionvaleurs_u qui renvoie tous les termes de la somme dans un vecteur puis utiliser la fonctioncumsumsur le résultat de cette fonction. Cela donne :

V = valeurs_u(100) \\ V contiendra les 101 premiers termes de la suite u S = cumsum(V) \\ S est un vecteur contenant les sommes cumulées de V disp(S(101))

7. (a) Écrire une fonction en SciLab d’entête function S = Som(n) prenant comme paramètre un entiern et permettant de calculer la somme

Xn k=0

1 u_n. function S = Som(n)

u = 1 ; S = 1/u ; for i = 1:n

u = (u+1/u) ; S = S+ 1/u ; endendfunction;

(b) On considère les instructions Scilab suivantes : --> Som(10)

ans = 3.9975327 --> Som(100)

ans = 13.354072 --> Som(1000)

ans = 43.801548

--> Som(10000) ans = 140.4508 --> Som(100000)

ans = 446.22419 --> Som(10000000) ans = 4471.1373 (c) Que peut-on conjecturer sur la série de terme général 1

u_n? On peut conjecturer que la série de terme général 1

u_ndiverge (lentement) vers+∞.

(d) Démonter ce résultat.

On tire de la relationu_n+1=u_n+ 1

u_nl’égalité suivante : 1

u_n=u_n+1−u_n puis une somme téléscopique.

Ainsi, on a pourN∈N^∗:

Xn k=0

1 u_n=

Xn k=0

u_k+1−u_k=u_n+1−u0

Or, on a vu queu_n∼p

2n donc lim

n→+∞

Xn k=0

1 u_n= lim

n→+∞u_n+1−u0= +∞ et la série de terme général 1 u_n diverge.

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- EXERCICE2 -

On considère une suite(v_n)_n∈N∗définie par :v1=1et pour tout entiernnon nul,v_n+1=v_n+ 1 n²v_n. 1. Écrire une fonction en SciLab d’entête function v = suite_v(n) prenant comme paramètre un entiernet

renvoyant la valeur dev_n.

Pour le calcul dans la boucle : On calculev_ià partir dev_i−1, la formule devenant alors : v_i=v_i−1+ 1 (i−1)²v_i. function v = suite_v(n) : // le résultat devra être rangé dans la variable v

v = 1 ; // v_1 = 1

for i = [2:n] do // boucle pour calculer tous les termes de 2 à n v = v + 1/((i-1)^2*v) ; // calcul du terme d'indice i

endendfunction

2. On admet que la suite(v_n)converge vers une limiteℓvérifiant : pour toutp⩾^{2, 0}⩽ℓ−v_p⩽ ¹ p−1. Écrire alors un programme SciLab qui renvoie une valeur approchée deℓà10⁻⁴près.

• La relation 0⩽ℓ−v_p⩽ ¹

p−1 montre que l’écart entrev_petℓest inférieur à 1

p−1. Ainsi, il suffit de déterminer une valeur deppour laquelle 1

p−1⩽¹⁰⁻⁴et de donner la valeur dev_pcorrespondante.

v = 1 ; // v_1 = 1

v = v + 1/v // calcul de v_2 car la relation n'est

p = 2 // valable que pour p>=2

while 1/(p-1) > 10^(-4) do // tant que l'approximation n'est pas assez précise // on calcule la nouvelle valeur de v

v = v + 1/(p^2*v) ; // Calculs de v_3, v_4, ...

p = p + 1 ; // On augmente l'indice enddisp(v)

• Autre méthode : On détermine à la main la valeur depqui convient, à savoir : 1

p−1⩽¹⁰⁻⁴⇐⇒p−1⩾¹⁰⁴⇐⇒p⩾¹⁰⁴+1 et on calcule avec la fonction de la question précédente :

p = 10^4 + 1 // indice calculé à la main

v = suite_v(p) // calcul du terme d'indice p de la suite v disp(v)

- EXERCICE3 -

On considère la suite à récurrence linéaire d’ordre 2(u_n)définie, pour toutn∈N, par : u0=0,u1=2, et u_n+2=7u_n+1−3u_n.

Compléter la fonction SciLab suivante afin qu’elle renvoie le terme généralu_nen fonction den.

function res = u(n) Uold = 0 Unew = 2 for i = [2:n]

Uaux = 7*Unew - 3*Uold // On calcule le nouveau terme à partir des deux précédents Uold = Unew // On met à jour les termes précédents (décalage)

Unew = Uaux // On met à jour les termes précédents (décalage) endres = Unew

endfunction

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