Vous pouvez prendre une calculatrice (standard ou graphique), mais elle devra être placée visiblement sur la rangée devant vous pour les 90 premières minutes.

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Examen d’Admission

NOM : Prénom : Numéro : Algèbre

Juillet 2019 - Série 1

Instructions à lire attentivement avant de commencer.

La partie « Algèbre »de l’examen d’admission EPL Juillet 2019 comporte 3 questions et se déroule en 2h30. Toutes les questions sont fournies au lancement de l’examen.

Vous pouvez prendre une calculatrice (standard ou graphique), mais elle devra être placée visiblement sur la rangée devant vous pour les 90 pre- mières minutes.

La question 1 se trouve au verso de cette feuille et devra être résolue sans calculatrice. Au bout de 90 minutes d’examen, un assistant viendra prendre directement auprès de vous la question 1 complétée et ce quel qu’en soit l’état. En échange de cette feuille, vous pourrez en retour utiliser votre calculatrice pour les 60 minutes et les questions restantes.

La question 1 comporte 5 sous-questions pour lesquelles votre réponse doit tenir uniquement dans le cadre indiqué à la suite de la question. Ne fournissez aucune justification à vos réponses pour cette question 1 ! Pour les questions 2 et 3, par contre, expliquez soigneusement votre raisonnement.

N’oubliez pas d’indiquer vos nom, prénom et numéro sur chaque feuille.

Bon examen !

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1.1. Fournissez la forme trigonométrique (module et argument) du nombre complexe z = ¹+i

1−i oùiest l’unité imaginaire telle quei² =−1.

Module : Argument :

1.2. Déterminez les conditions d’existence de l’inéquation suivante : ln(x−₂)

px(7−x) ≤0.

Réponse :

1.3. La dernière interrogation de mathématique d’une classe de de 16 étudiants de 5e secondaire a donné, sur 20, les résultats suivants : 3, 14, 16, 5, 13, 15, 12, 10, 17, 10, 7, 6, 16, 5, 13, 14. Donnez la moyenne et la médiane de ces résultats.

Moyenne : Médiane :

1.4. Donnez la valeur numérique de log₅(0, 04), où log₅représente le logarithme en base 5.

Réponse :

1.5. Un aquarium comporte 20 poissons rouges et 8 poissons bleus. A l’aide d’une épuisette, on y prélève 4 poissons d’un coup. Quelle est la probabilité de pêcher 2 poissons de chaque couleur ?

Réponse :

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2. Soitm∈R. On considère l’équation suivante : 3mx³+3mx²+3x

x−m =0.

Déterminez les valeurs dempour lesquelles les solutions de l’équation sont plus petites ou égales à zéro.

(Expliquez soigneusement votre raisonnement.)

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3. Laurent vient d’achever ses études universitaires en marketing et lance son entreprise visant à réparer des appareils électroniques défectueux. Il engage pour cela ses trois amis d’université Bruno, Pierre et Yves, diplômes ingénieurs civils.

La facturation est basée sur les heures prestées par chacun des ingénieurs. Il constate que les heures facturées s’élèvent à 122 en tout la première semaine. Dix-neuf téléphones portables, onze tablettes et cinq ordinateurs ont été réparés.

La deuxième semaine, le nombre total d’heures prestées reste égal mais pour réparer seulement neuf tablettes, quatre ordinateurs et un certain nombre de téléphones (le relevé des prestations inscrit par les ingénieurs n’est pas clair et personne ne se souvient avec exactitude de la quantité de réparations faites. . .).

La troisième semaine l’entreprise poursuit ses activités en se tassant un peu. En tout, 96 heures sont facturées pour vingt téléphones, douze tablettes et un seul ordinateur.

La dernière semaine de leur premier mois d’activité se clôture sur une petite remontée avec cent heures d’activité tout pile. Ils ont réparé vingt-six téléphones, six tablettes et trois ordinateurs.

Sachant que Bruno, Pierre et Yves ont travaillé au même rythme pendant le mois écoulé, Laurent voudrait savoir combien de téléphones ont été réparés la seconde semaine. Par ailleurs, pour amé- liorer les performances de la petite entreprise, il souhaiterait également déterminer le nombre d’heures nécessaires pour réparer un téléphone portable, une tablette et un ordinateur. Donnez un coup de main à Laurent et fournissez-lui ces valeurs.

Note: mettez ce problème en équation(s) et justifiez toutes vos réponses.

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La partie « Algèbre »de l’examen d’admission EPL Juillet 2019 comporte 3 questions et se déroule en 2h30. Toutes les questions sont fournies au lancement de l’examen.

Vous pouvez prendre une calculatrice (standard ou graphique), mais elle devra être placée visiblement sur la rangée devant vous pour les 90 pre- mières minutes.

La question 1 devra être résolue sans calculatrice. Au bout de 90 minutes d’examen, un assistant viendra prendre directement auprès de vous la question 1 complétée et ce quel qu’en soit l’état.

En échange de cette feuille, vous pourrez en retour utiliser votre calculatrice pour les 60 minutes et les questions restantes.

La question 1 comporte 5 sous-questions pour lesquelles votre réponse doit tenir uniquement dans le cadre indiqué à la suite de la question. Ne fournissez aucune justification à vos réponses pour cette question 1 ! Pour les questions 2 et 3, par contre, expliquez soigneusement votre raisonnement.

Bon examen !

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1.1. Lors d’un examen, un élève doit répondre à 10 questions sur 13. Combien de possibilités d’agencement de réponses a-t-il s’il doit d’office répondre soit à la première question, soit à la deuxième ?

Réponse :

1.2. Un sondage destiné à évaluer la pratique de la course à pied chez les étudiants a donné le résultat repris à la figure 1.

0 5 10 15

1 2 3 4 5 6

Distance [km]

Étudiants

FIGURE1. Distance moyenne parcourue par les étudiants par semaine.

Donnez la moyenne et l’écart-type de la distance parcourue par semaine par ce groupe d’étu- diants.

Moyenne : Écart-type :

1.3. Sur une guitare, les notes produites dépendent de la longueur de la corde pincée. L0 est la longueur de corde associée audo,L₁est celle associée au do#,L₂ au ré, et ainsi de suite. Ces lon- gueurs suivent une progression géométrique de raisonr. Il y a 12 notes dans une gamme. Sachant que l’octave est la treizième note et qu’elle est obtenue avec une corde moitié moins longue que la première (L₁₂ = ^L₂⁰), déterminezl’expression algébriqueder.

Réponse :

(Suite au verso)

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1.4. Déterminez les conditions d’existence de l’équation suivante : ln(x+π)

exp

√

4π²−x² =_0.

Réponse :

1.5. Déterminez le plus grand commun diviseur (PGCD) des polynômesx⁷+1 etx³+1.

Réponse :

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2. Soitp∈R. Discutez et résolvez dans les nombres complexes l’équation (z+2i)⁴+p(z²+4)² =0

oùiest l’unité imaginaire telle quei²= −1. Donnez les solutions sous la formea+bi.

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3. Une entreprise de plafonnage emploie trois ouvriers (Laurent, Pierre-Yves et Bruno) dont les horaires et les cadences de travail sont différents. Ainsi, Laurent a l’habitude de démarrer sa jour- née à 8h et s’y tient coûte que coûte. Bruno qui doit déposer ses enfants à l’école le matin n’arrive qu’à 9h.

Pierre-Yves travaille un peu plus lentement que Laurent mais de manière plus consciencieuse. Il ne fait que 3 m²de plafonnage sur le temps qu’il faut à Laurent pour faire 4 m². Bruno, qui est un peu moins perfectionniste, réalise quant à lui 4, 5 m²sur la même durée.

Laurent aime prendre une petite pause pour manger à midi, qu’il adapte selon le travail à faire.

Pierre-Yves, un peu moins flexible, prend d’office une demi-heure à midi pour téléphoner à sa mamy. Bruno mange en travaillant.

Aujourd’hui, Laurent, Pierre-Yves et Bruno vont jouer un match important avec leur équipe de mini-foot. Il est impératif qu’ils arrêtent leur travail à 16h pile.

Pour s’assurer qu’ils plafonnent tous une même surface, déterminez la durée de pause que peut s’octroyer Laurent et l’heure à laquelle Pierre-Yves doit arriver.

Note: mettez ce problème en équation(s), justifiez toutes vos réponses et arrondissez à l’unité la plus proche dans vos réponses finales.

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Septembre 2019

La partie « Algèbre »de l’examen d’admission EPL Septembre 2019 comporte 3 questions et se déroule en 2h30. Toutes les questions sont fournies au lancement de l’examen.

Vous pouvez prendre une calculatrice (standard ou graphique), mais elle devra être placée visiblement sur la rangée devant vous pour les 90 premières minutes.

La question 1 se trouve au verso de cette feuille et devra être résolue sans calculatrice. Au bout de 90 minutes d’examen, un assistant viendra prendre directement auprès de vous la question 1 complétée et ce quel qu’en soit l’état. En échange de cette feuille, vous pourrez en retour utiliser votre calculatrice pour les 60 minutes et les questions restantes.

La question 1 comporte 5 sous-questions pour lesquelles votre réponse doit tenir uniquement dans le cadre indiqué à la suite de la question. Ne fournissez aucune justification à vos réponses pour cette question 1 ! Pour les questions 2 et 3, par contre, expliquez soigneusement votre raisonnement.

Bon examen !

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Septembre 2019

1.1. Déterminez les conditions d’existence de l’équation suivante : exp(x²−3)

x+π =ln

−1

x−1

.

Réponse :

1.2. On jette une paire de dés équilibrés, l’un étant de couleur bleue et l’autre étant de couleur rouge. Avec quelle probabilité la valeur du résultat du dé de couleur rouge est-elle plus grande que celle du dé de couleur bleue ?

Réponse :

1.3. Soitz∈ C. Représentez dans le plan complexe les racines dez⁴+4.

Réponse :

−2 −1 1 2

−2

−1 1 2

Re Im

1.4. Calculez la somme des 7 premiers termes d’une progression géométrique de raison 2 ayant comme terme initial 42.

Réponse :

1.5. Calculez le quotient et le reste de la division dex⁴−2x²+1 parx+2.

Quotient : Reste :

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Septembre 2019

2. Résolvez dans les réels l’inéquation suivante 1− ^ln(x+1)

ln(2x+1) > ^ln(4−x) ln(2x+1)^. (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)

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Septembre 2019

3. Cette année, 200 étudiants ont présenté l’examen d’entrée d’algèbre à la première session de juillet. La tâche de correction s’annonce importante. Laurent et Bruno, vos chers interrogateurs, se partagent donc le paquet de copies sans faire attention à le séparer en deux parts égales.

Au bout de trois heures de corrections, Laurent pose son stylo et annonce à Bruno qu’il a ter- miné. Conscient qu’il a sans doute eu moins de copies à corriger, Laurent prend alors la moitié de celles restant à Bruno. Laurent met 50 minutes pour corriger ce second paquet, tandis qu’il en faut 75 à Bruno.

Une fois l’encodage des points terminé, Laurent et Bruno discutent du travail effectué et de leur efficacité à corriger les copies d’examen, mais ils n’arrivent pas à tomber d’accord.

Soyez l’arbitre de ce débat et déterminez combien de copies Laurent avait reçu en début de correction, ainsi que les cadences de correction de chacun.

Note: mettez ce problème en équation(s), justifiez toutes vos réponses et arrondissez à l’unité la plus proche dans vos réponses finales.