Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math 314 Année 2008–2009 Fiche n

IS Math 314 Année 2008–2009

Fiche n^o1

Ex 1. Fonction Gamma Soit a >0. On rappelle queR+∞

0 t^a−1e^−tdt converge, et on note Γ(a)cette intégrale.

1) Pour b > 0, l’intégrale R+∞

0 t^a−1e^−btdt est-elle convergente ? Si oui, que vaut- elle ?

2) En déduire quef_a,b(x) = _Γ(a)^ba x^a−1e^−bx1_]0,+∞[(x) est une densité de probabilité sur R.

3) SoitU etV deux variables aléatoires réelles indépendantes, de densités respec- tives f_a,b et f_c,b. Déterminer la loi deU +V.

Soit maintenant X1, . . . , Xn n variables aléatoires indépendantes, de même loi normale centrée réduite (n >1).

4) Déterminer une densité deX_i², pour i∈ {1, . . . , n}. En déduire Γ(1/2).

5) Déterminer une densité deZ_n :=X₁²+· · ·+X_n². La loi de Z_n s’appelle loi du khi-deux à n degrés de liberté, et est notée χ²(n).

6) Que vautE(Z_n)?

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Ex 2. Dans cet exercice,X₁, . . . , X_nsont des variables aléatoires réelles indépendantes de même loi et on noteF la f.d.r. de X₁. On pose

M_n := max

1≤i≤nX_i. 1) Exprimer à l’aide de F la f.d.r. Hn deMn.

2) Montrer que si F estC¹, M_n a une densité que l’on peut exprimer en fonction deF.

3) On suppose dans toute la suite que les Xi sont positives et qu’il existe un réel b vérifiant

F(b) = 1 et ∀x < b, F(x)<1. (1) Montrer que

∀ε >0, P(b−ε < M_n≤b)−−−−→

n→+∞ 1. (2)

On suppose désormais que chaque X_i est à valeurs dans [0, b] (est-ce une grande restriction par rapport à la question précédente ?). Alors pour tout ω ∈ Ω, la suite (M_n(ω))n≥1 est croissante et majorée parb, donc converge dansR+vers un réelM(ω)≤ b. On définit ainsi une variable aléatoire positive M.

4) Montrer que P(M =b) = 1.

On dit que la suite (M_n)n∈N^∗ converge presque sûrement vers b.

5) Montrer que lim_n→+∞EM_n =b.

On dit que la suite (M_n)n∈N^∗ converge vers b dans L¹.

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Ex 3. Soit p∈]0,1[ et(X_i)i∈N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi de Bernoulli de paramètre p. On pose, pour n∈N^∗,

Y_n =X_nX_n+1 et U_n =Y₁+· · ·+Y_n. 1) Quelle est la loi de Yn (n ∈N^∗) ?

2) Pour quels couples(n, m) les variables Y_n et Y_m sont-elles indépendantes ? 3) Calculer l’espérance et la variance deU_n (n ∈N^∗).

4) Montrer que pour toutε >0,

n→+∞lim P

U_n n −p²

≥

= 0.

On dit que la suite ^U_nⁿ

n∈N^∗ converge en probabilité vers p².

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Ex 4. Soit (X_n)n∈N^∗ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi uniforme sur [0,1]. On définit la variable aléatoire Z_n par Z_n = nmin(X₁, . . . , X_n).

1) Calculer la fonction de répartition F_n de Z_n.

2) Montrer queF_n converge vers une fonctionF quandn tend vers+∞ et queF est la fonction de répartition d’une variable aléatoireZ.

On dit que la suite (Z_n)n∈N^∗ converge en loi vers Z.

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