Séminaire Équations aux dérivées partielles – École Polytechnique

Séminaire Équations aux dérivées partielles – École Polytechnique

J. C. N EDELEC

Homogénéisation du problème des courants de Foucault dans un transformateur

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (1987-1988), exp. n^o15, p. 1-10

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ÉQUATIONS ^{AUX DÉRIVÉES PARTIELLES}

HOMOGENEISATION DU PROBLEME DES COURANTS DE FOUCAULT

DANS UN TRANSFORMATEUR

J.C. NEDELEC

CENTRE DE

MATHEMATIQUES

Unité associée au C.N.R.S. n° 169

ECOLE POLYTECHNIQUE

F-91128 PALAISEAU Cedex

(France)

Tél.

(1)

69.41.82.00 Télex ECOLEX 691.596 F

Séminaire 1987-1988

Résumé

Nous considérons un transformateur constitué de deux feuilles minces. L’une est

métallique

^et l’autre isolante et ces deux feuilles sont enroulées ^en forme de

cylindre

creux. Le but de ^cet article est d’étudier sur ce cas, les

équations

^{de Maxwell}

qui

décrivent les courants de

Foucault,

^{dans le cas où les}

épaisseurs

^des

plaques

^{sont minces.}

Lorsque

^cette

épaisseur

^{tend vers}

zéro,

^{nous obtenons un}

problème

^limite par ^une

technique d’homogénéisation.

^Ce

^problème

^est inhabituel. Il fait intervenir la conductivité _moyenne et la limite des courants est radiale.

N.B. Ce travail est le fruit d’une collaboration avec S. Wolf.

1. La

géomètrie.

Nous utilisons les coordonnées et la base associée

(ep,eg,ez) ^qui

est orthonormée.

Figure

¹

Le transformateur est un

cylindre

^creux d’axe Oz constitué comme un

gâteau ^roulé,

de deux feuilles l’une

métallique

^{et l’autre}

diélectrique,

^{enroulées l’une sur l’autre.}

te est

l’épaisseur

^{du conducteur}

ei est

l’épaisseur

de l’isolant

e = si + êc est

l’épaisseur

élémentaire

des

^{deux feuilles.}

Nous notons

Q~

le milieu

diélectrique

^et

n’

^{le milieu} conducteur. La surface de

séparation conducteur-diélectrique

^{est noté}

Eg.

^{Soit S une section} radiale du transforma- teur.

La surface E~ est décrite _par sa section dans ^un

plan perpendiculaire

à l’axe Oz

qui

est une

spirale

d’Archimède notée C~.

L’ensemble du transformateur est le domaine

Mais la struture interne

depends

^du

paramètre

^e.

Les

champs électriques

^et

magnétiques

^{E et H sont} crées dans le transformateur

sous l’action d’un

champ magnétique

^extérieur

He

^{et d’une} différence de

potentiel appliquée

aux bornes intérieures et extérieures de la feuille de métal.

XV-2

Figure

²

2. Les

équations

de Maxwell.

Dans

l’hypothèse

^{où les courants de}

déplacements

^sont

négligés (hypothèse

^{des courants}

de

Foucault),

^les

équations

de Maxwell s’écrivent

dans le domaine ne et au sens des

distributions,

^{et aussi}

Mais la composante ^est discontinue à la traversée de la surface S’ de normale ne.

Ceci

correspond

^{à la}

présence

^de

charges électriques

à la surface du

diélectrique.

Nous

ajoutons

^{la loi d’Ohm}

qui

^s’écrit

La conductivité 0’ est une donnée.

L’équation (2)

^{est vraie au sens} des distributions et entraîne donc

(4)

^{= 0 sur} la surface S’ du côté conducteur.

Les conditions aux limites de ^ce

problème

^{sont d’une}

part

et d’autre

part

la condition sur la différence de

potentiel qui s’exprime

mal. Afin de nous ramener à un

problème

^avec conditions aux limites nulles

(ce ^{qui permettra}

d’introduire la formulation

variationnelle),

^nous introduisons le courant

JR

^{suivant :}

Le vecteur 0-’ est le vecteur

ta,ngent

^{à la}

spirale parallèle

^{à ce}

qui

passe par le

point

^courant.

La constante I est donnée et il est

équivalent

^du

point

^{de vue}

physique

^{de se donner}

I où de se donner la différence de

potentiel.

^{Lors du} passage à la limite

quand e

^{tend vers}

zéro seule la donnée de I est commode. Le courant

JR

^est l’intensité _moyenne

qui

^traverse

une section de conducteur et donc si ^nous _posons

le

courant je

^sera d’intensité _moyenne nulle.

Un calcul _{montre que}

où _p est

l’angle polaire

^avec la détermination obtenue en suivant la

spirale

^C’

(p

⁼

8 +

27rp

^{sur le}

p’tour)

Nous _posons donc

Les

équations

deviennent alors

XV-4

Soit S ^une section radiale du

cylindre

^et

5~

la section du

pe

^{tour de} conducteur. Nous obtenons

(en

utilisant la formule de la

divergence)

Si bien _que

Cette ^relation aura un sens à la limite et elle

explique

^bien

qu’il

était nécessaire de soustraire le

courant jk

^{pour obtenir une} formulation variationnelle.

3. Formulation variationnelle.

Nous introduisons les _espaces de Hilbert suivant

On considère alors

l’espace

de Hilbert W’ suivant

En partant ^des

équations (14),

^une

multiplication

par

k,l’utilisation

de la formule de Stokes et l’élimination du

champ électrique E

à l’aide de la dernière

équation

conduisent à la formulation variationnelle suivante

r

Ce

problème

^a clairement une solution

unique.

L’utilisation de

l’inégalité

^{de Friedrich}

conduit aux estimations a

priori

suivantes :

Nous _pouvons extraire des sous suites telles _que

Il

s’agit

maintenant de caractériser les

champs

^{limites h}

^{et j,}

^{1.e de trouver}

l’équation

verifiée _par ces limites.

4. Le

problème

^limite.

La

première étape

pour déterminer ce

problème

^consiste à chercher

l’espace

^{de Hilbert}

qui

^{contient les courants limites}

j.

Nous utilisons

plusieurs

^lemmes

lemme 1. La limite

faible j

^du

courant i e

^{est telle} que

preuve Nous Introduisons

Nous avons

Soit alors

Nous avons

Soit _p ^une fonction de

l’espace D(5~~.

^{Nous avons}

et d’autre part

En

passant

^à la limite dans ces deux

égalités,

^{nous obtenons}

A

soit

l’égalité (24)

^dans

e(Q) .

lemme 2.- La limite

faible j

^{du courant}

Je

^{est telle que}

qui peut

^{s’écrire sous la forme}

0) régulières

^{et nulle au bord}

XV-6 Preuve Nous introduisons la fonction suivante

/ r . 1

Nous avons alors la convergence

La fonction

’ljJ( 15, B)

tend uniformément ^vers

quand 6

^{tend vers} zéro. Mais cette fonction est constante sur

chaque

tranche de conducteur

S’p

^{et donc} nous avons en utilisant

v JG I-

La limite

quand s

^{tend vers} zéro conduit à

l’égalité (27).

Nous savons maintenant

qu’il

faut chercher le

courant j

^dans

l’espace

deHilbert E

f 1 ~

Nous avons une

description précise

^{de cet} espace ^sous la forme Lemme 3.-

Un

vecteur J

^{est dans}

l’espace

^{li si et} seulement si Un

vecteur j es

ou encore

Remarque

Le vecteur h n’est _pas en

général égal

^à

çJép

^{car par}

^exemple

^div

(Vo - ëp)

^{n’est pas} nul. Nous avons

où la fonction ^a est dans

Nous _pouvons introduire

l’espace

de Hilbert des vecteurs où varie le

champ magnétique

-

"-

Nous _pouvons donner le

problème

^limite

Théorème.2013 Le

cfiainp ma,,Ynétique h

^vérifie

l’équation

Esquisse

^de preuve. Nous clloississons un vecteur

k _régulier

^dans

_l’espace

^{W et w =}

Nous ^avons

- . 1 - 1

Nous introduisons alors le

courant le

associé _par

On vérifie alors _que

et que

Te

_converge ^vers

_{f ze}

dans

( L2 S~) )3

^{faible. Soit à le vecteur de}

^l’espace

^{W-’ tel que}

Nous avons alors les convergences

.~~ --~ f k

^dans

H 1 ( S~ ~~ 3

^{faible et}

( L~ ( S~ ~~ 3 ^fort,

^dans

( L2 ( S~ 3

^fort.

En utilisant la formulation variationnelle du

problème (19)

^{et les} convergences ci-

dessus,

^nous obtenons le

problème

^limite.

Interprètation

^Nous pouvons revenir aux variables initiales H et J. Le

problème qui apparait

^{est de retrouver le}

champ électrique

^{E. Il est} naturel de tenter de le définir tel que

Alors la formulation variatiolinelle

(35)

^{11’est autre que}

l’équation

XV-8 soit encore en utilisant le lemme 3

B 7

Le

système

limite s’écrit alors

et les conditions aux limites non

homogènes

^{associées sont}

Le

champ électrique

^E n’intervient _{que par} son rotationnel. Il est donc défini à un

champ

de

gradient près. Physiquement

^{ceci est} difficile à

interprêter.

^On

peut cependant

^remar-

quer que

lorsque e

^{tend vers}

^zéro,

^la

longueur

^du conducteur devient infini. Les

charges électriques peuvent

donc être arbitraires dans le

dispositif

^{dans une certaine mesure.}

5. Le ^cas d’un

dispositif

^{à couches}

concentriques.

La

description

^{de la}

géomètrie

^du transformateur est semblable à celle

précédemment

décrite sauf _que la _coupe du

cylindre

^est constituée de couches

concentriques

^{de métal et}

de

diélectrique

alternativement.

L’épaisseur

totale de deux couches est 6 et nous

gardons

les mêmes notations _que

précédemment.

^{La seule source de} courant est le

champ

^extérieur

He.

^{Si nous} posons

les

équations

^sont

et la condition limite

L’espace

^W’ ayant la même définition la formulation variationnelle est

inchangée,

^soit

La différence entre les deux cas

apparait

^{dans le}

problème

limite. La

géomètrie

^étant

différente,

^{nous n’avons}

plus

les relations

(18)

^{et donc}

l’espace qui

contient les courant

limites I1 est donné _par

1 -

Nous avons

l’équivalent

^{du lemme 3.}

Lemme 4.- Un

vecteur;

^{est dans}

^{l’espace f(}

^{si et} seulement si

1 n. ,

Le

champ magnétique

^h

prend

^{la forme}

où la fonction c~ est dans

(Hl (n))3

^{et est nulle sur les} surfaces intérieures et extérieures du

cylindre

^{et sur la face z = a.} La valeur de ^{a sur} la surface z ⁼ b est une fonction de _p seulement. Nous introduisons

l’espace

et la solution limite est donnée _par Théorème..

-

Le

champ

^{limite k vérifie}

l’équation

L’interprétation

^{de ce}

problème

^est

analogue

^{à celle du}

précédent

^{et conduit à}

l’équation

Il

En utilisant le lemme

4,

^cette

équation

^entraine

~ - "Irt. -’ 1 ~ _~, ~, ’" -

Il reste une autre information contenue dans

(52) qui

^est

Pour ^ce

problème

^mle

champ électrique

^{E est définie à un}

gradient près.

Conclusion Nous avons obtenu un

problème homogènéisé qui

^est

plus

facilement _ap-

proximable

^{par une}

technique

d’éléments finis. Ceci ^est

l’objet

de la suite du travail

qui

préoccupe

^{S. Wolf} actuellement.

XV-10

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Centre de

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Ecole

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91128 - Palaiseau cedex