PT : DS de Physique-Chimie n°2

PT : DS de Physique-Chimie n°2

Durée : 4 heures

Vous êtes priés de faire attention à la présentation et à la rédaction.

Tout résultat non justifié ne sera pas pris en compte.

Faire chaque exercice sur une copie différente.

La calculatrice est interdite

Problème 1 :

Dans le vingt-et-unième album de la série Les Aventures de Tintin, intitulé Les Bijoux de la Castafiore, cette dernière est en mesure de faire exploser un verre par la simple utilisation de sa voix. Ce problème se penche sur les aspects physiques de ce phénomène. Nous tenterons ainsi de déterminer les circonstances dans lesquelles il est effectivement possible de réaliser une telle prouesse et nous nous pencherons sur les rôles joués par les différents paramètres physiques susceptibles d’influer sur ces circonstances.

Ce problème comporte un document réponse en fin de problème à rendre avec la copie.

Conseils généraux et remarques :

- Afin d’en faciliter la lecture et l’analyse, certaines courbes et images expérimentales ont été simplifiées.

- Les applications numériques seront faites avec un nombre adapté de chiffres significatifs.

- Les deux parties du problème sont largement indépendantes, mais les données numériques fournies ou calculées dans les différentes parties sont susceptibles d’être utilisées dans toutes les parties.

I Analyse expérimentale des vibrations du verre

Il est extrêmement facile, en frappant un verre à pied, d’entendre le son que celui-ci émet. On se propose dans cette partie de déterminer, à partir d’une modélisation simple, quelques propriétés des oscillations libres d’un verre mis ainsi en vibration.

Un verre à pied, d’un diamètre de 12 cm, est frappé, à l’instant 𝑡 = 0, au niveau du bord supérieur à l’aide d’un petit marteau. Le son émis est enregistré par ordinateur. Son analyse spectrale peut alors être réalisée à tout moment de l’enregistrement. Le microphone utilisé pour l’enregistrement présente une courbe de réponse en fonction de la fréquence donnée sur la figure 2.

La figure 3 représente le chronogramme de cet enregistrement et la figure 4 une analyse spectrale réalisée peu après le début de l’enregistrement. La figure 5 présente son analyse spectrale aux dates 𝑡 = 1,0 ; 2,0 ; 3,0 et 4,0 s.

I.A – Analyse qualitative de l’enregistrement

Les « pics » représentés dans les analyses spectrales correspondent à des modes propres de vibration du verre.

Q 1. Comment appeler les différents pics ? Qu’est-ce qui le justifie ? Q 2. Quelle est la fréquence du signal enregistré ?

Q 3. Donner les fréquences des différents modes propres. Elles sont liées par une relation simple

; laquelle ?

Q 4. Quelle caractéristique de la courbe de réponse du microphone est essentielle pour réaliser un enregistrement et une analyse spectrale représentant correctement le phénomène étudié ? Q 5. Quelle(s) autre(s) information(s) peut-on déduire des différentes analyses spectrales ? I.B – Estimation du facteur de qualité 𝑸

Quand le verre est en vibration, son bord supérieur oscille autour de sa position au repos. Afin d’estimer le facteur de qualité du verre, on le modélise par une masse 𝑚 mobile sur l’axe (𝑂𝑥) horizontal associée à un ressort de raideur 𝑘, de longueur à vide nulle (figure 6). Les frottements seront, quant à eux, modélisés par un frottement fluide de type 𝑓⃗ = −𝛼𝑣⃗ où 𝑣⃗ désigne le vecteur vitesse de la masse 𝑚.

Q 6. Montrer que l’équation différentielle traduisant l’évolution temporelle de 𝑥(𝑡) s’écrit de la façon suivante, avec 𝜔₀ et 𝑄 deux constantes que l’on exprimera en fonction de 𝛼, 𝑘 et 𝑚 :

𝑑²𝑥 𝑑𝑡² +𝜔₀

𝑄 𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝜔₀²𝑥 = 0

Q 7. Quelle est la signification physique de 𝜔0 et de 𝑄 ? Quelles sont les unités de ces deux grandeurs ?

Q 8. Compte tenu du choc initial avec le marteau, déterminer, dans le cas d’un frottement « faible », l’expression approchée de la solution 𝑥(𝑡) avec les conditions initiales 𝑥(0) = 0 et

𝑑𝑥

𝑑𝑡(0) = 𝑉₀. Représenter son allure.

Q 9. En quoi, l’enregistrement de la figure 3 est-il en accord à la modélisation par un frottement fluide ?

Q 10. Proposer, à partir de l’évolution temporelle du mode 1 sur les analyses spectrales, un ordre de grandeur du facteur de qualité 𝑄. On rappelle que ln 2 ≃ 0,7.

Dans la suite de l’expérience, on va chercher à mettre en résonance le verre à l’aide d’une excitation sinusoïdale.

Q 11. Donner une estimation du temps nécessaire pour mettre le système en régime sinusoïdal forcé.

II Étude de la résonance en amplitude du verre en régime sinusoïdal forcé

On souhaite étudier plus finement la réponse en amplitude du verre au voisinage de la fréquence de résonance du mode 1 précédemment déterminée.

Un hautparleur relié à un générateur basse fréquence produit une onde sonore sinusoïdale de fréquence 𝑓. Le verre, placé à proximité du haut-parleur (figure 7), est ainsi placé en régime sinusoïdal forcé.

II.A – Approche théorique

L’équation différentielle traduisant l’évolution temporelle de 𝑥(𝑡) est alors de la forme suivante, avec 𝜔 = 2𝜋𝑓 la pulsation et Φ la phase du signal acoustique délivré par le générateur basse fréquence :

𝑑²𝑥 𝑑𝑡² +𝜔₀

𝑄 𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝜔₀²𝑥 = 𝐴₀cos(𝜔𝑡 + Φ)

En régime sinusoïdal forcé, la solution est de la forme 𝑥(𝑡) = 𝑋 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + Φ). Comme en électrocinétique, on introduit la grandeur complexe associée 𝑥(𝑡) = 𝑋 𝑒𝑥𝑝(𝑗𝜔𝑡) avec 𝑗² = −1.

Q 12. Comment nomme-t-on la grandeur 𝑋 ? Que représente son module, son argument ? Q 13. Établir l’expression du module de 𝑋 en fonction de 𝜔, 𝜔₀, 𝐴₀ et 𝑄.

Q 14. À partir d’une étude qualitative, justifier le numéro de graphe de la figure 8 compatible avec le tracé du module de 𝑋 en fonction de la pulsation 𝜔.

Q 15. À quelle condition sur le facteur de qualité peut-on envisager une résonance d’amplitude

?

On note 𝑄₀ cette condition.

Q 16. Dans le cas d’une résonance d’amplitude, exprimer la pulsation correspondante, notée 𝜔_𝑟 en fonction de 𝜔₀ et 𝑄.

Dans la suite, on suppose 𝑄 ≫ 𝑄₀.

Q 17. Quelle est alors l’expression de la pulsation de résonance 𝜔_𝑟 ?

Q 18. On note 𝑋_𝑟 le module de 𝑋 pour 𝜔 = 𝜔𝑟. Établir son expression en fonction de 𝜔₀, 𝐴₀ et 𝑄.

Q 19. Définir les pulsations de coupure 𝜔₁ et 𝜔₂ (𝜔₁ < 𝜔₂) du module de 𝑋.

II.B – Tracé expérimental

Le verre utilisé présente, en guise de décoration, une bande de dépôt métallique placée près du bord supérieur.

Son rôle de miroir va permettre la réflexion d’une source lumineuse. Le verre est ici localement considéré plat dans le cadre de cette réflexion. Le dispositif réalisé va permettre la mesure des amplitudes de vibration par interférométrie.

La fente source monochromatique 𝑆 (perpendiculaire au plan de la figure), de longueur d’

onde 𝜆 = 633 nm, est placée à la distance Δ du plan du miroir afin que celui-ci soit utilisé sous incidence rasante. La distance source – bord droit du miroir est notée ℓ = 20 cm et la distance entre le miroir et l’écran 𝑑 = 30 cm (figure 9).

Q 20. Sur le schéma de la figure A du document réponse à rendre avec la copie (cf. fin du problème), 𝑆’ représente l’image de la source 𝑆 par le miroir. À l’aide d’une construction géométrique, montrer comment obtenir 𝑆’.

Q 21. On obtient des interférences sur une partie de l’écran car pour un point M de l’écran deux rayons interférent : un rayon issu directement de 𝑆 et un rayon issu de 𝑆 après réflexion sur le miroir (donc semblant venir de 𝑆’). On considère un point 𝑀 d’abscisse 𝑥 > 0, tracer sur la figure A les deux rayons interférant en M. De quel type d’interféromètre s’agit-il ? À l’aide d’une construction géométrique représenter sur la figure A le champ d’interférences.

Q 22. Dans un premier temps on suppose que la réflexion d’un rayon sur le miroir n’introduit pas de déphasage. En supposant que Δ ≪ ℓ + 𝑑 et 𝑥 ≪ ℓ + 𝑑, déterminer la différence de marche 𝛿𝑔 entre un rayon issu de 𝑆 après réflexion sur le miroir (donc semblant venir de 𝑆’) et un rayon issu directement de 𝑆, au point 𝑀. On pourra s’aider d’une analogie avec les trous d’Young.

Q 23. Décrire la figure d’interférences observée sur l’écran. Montrer que l’expression de l’interfrange 𝑖 est : 𝑖 =^{𝜆(ℓ + 𝑑)}

2𝛥 .

Q 24. Sachant que lors d’une réflexion air – miroir il y a un déphasage supplémentaire de 𝜋, exprimer la nouvelle différence de marche 𝛿 et en déduire comment est modifiée la figure d’interférences par rapport aux résultats de la question précédente.

Q 25. Le bord du verre, représenté par le miroir, est animé, en régime sinusoïdal forcé, d’un mouvement de translation dans la direction de l’axe (𝑂𝑥), d’équation 𝑥_𝑚(𝑡) = 𝑋 cos(𝜔𝑡+𝜑).

Déduire l’expression de l’évolution temporelle de l’interfrange en prenant en considération les paramètres de la vibration.

Q 26. Pour une valeur de 𝜔 donnée, l’interfrange peut prendre une infinité de valeurs comprises entre deux extrêmes notés 𝑖min et 𝑖max. Exprimer 𝑋, amplitude des oscillations, en fonction de 𝑑, ℓ, 𝜆, 𝑖_𝑚𝑖𝑛 et 𝑖_𝑚𝑎𝑥.

Q 27. Dans l’expérience menée avec le verre, peut-on envisager de suivre à l’œil nu l’évolution de l’interfrange sur l’écran ?

Afin de pouvoir réaliser des mesures dans de bonnes conditions d’observation, on met en œuvre une méthode de stroboscopie en utilisant le capteur d’image CMOS d’une caméra rapide dont la fréquence de prise des images 𝑓_𝑖 est réglable jusqu’à 100 images par seconde. Le capteur est placé directement dans le champ d’interférence à la place de l’écran. On précise que la résolution du capteur CMOS (taille du pixel) est de 1 μm × 1 μm.

Q 28. On cherche à observer une immobilité de la figure d’interférence sur l’image. Exprimer la(les) fréquence(s) de prise de vue 𝑓_𝑖 possible(s) en fonction de la pulsation 𝜔 du générateur basse fréquence.

Q 29. Une fois l’immobilité apparente réalisée sur l’image, expliquer pourquoi la mesure de l’interfrange nécessite de pouvoir régler la phase φ du générateur basse fréquence.

Les images données figure 10, représentant un carré de 100 pixels de côté, ont été réalisées pour une pulsation 𝜔 proche de la résonance. Seule la phase φ du générateur basse fréquence est différente pour chacune d’entre elle.

Q 30. À partir d’une exploitation des images de la figure 10, estimer l’amplitude des oscillations 𝑋 du verre pour la pulsation 𝜔.

Une série de mesure de l’amplitude 𝑋 au voisinage de la résonance permet de tracer le graphe représenté sur la figure 11.

Q 31. Déterminer, à partir de la figure 11, la fréquence de résonance 𝑓_𝑟 et le facteur de qualité 𝑄 du verre dans son mode 1 (on pourra supposer que le comportement est identique à celui d’un passe-bande). Comparer ces résultats à ceux du II.A.

Q 32. Un générateur basse fréquence disponible au laboratoire présente les caractéristiques données dans le tableau ci-dessous. Est-il réaliste de réaliser la courbe de la figure 11 en utilisant celui-ci ?

Problème 2 : Oscillateurs électroniques

Les systèmes étudiés dans cette partie utilisent des amplificateurs linéaires intégrés. Il est important de se rappeler des principales propriétés de ces circuits.

Q1. Quelles sont les principales caractéristiques d’un amplificateur linéaire intégré, en le supposant tout d’abord idéal.

Q2. Donner des ordres de grandeurs pour les caractéristiques d’un amplificateur réel standard.

I. Oscillateur de relaxation

Cet oscillateur est construit autour d’un amplificateur linéaire intégré idéal, noté U0, alimenté sous les tensions  15 V. On considère que la tension de saturation est Vsat = 14 V.

I.1. Comparateur à hystérésis

Dans un premier temps on considère le circuit suivant (Figure 1). On choisit des résistances parmi la série E12 à 10 % de précision : R1 = 1,8 k et R2 = 2,2 k.

Figure 1 : Comparateur à hystérésis.

Q3. Que peut-on dire du fonctionnement du circuit U0 ?

Q4. Exprimer la tension de l’entrée (+), notée V⁽⁺⁾, en fonction des éléments du schéma et de la tension Vs.

Q5. La tension Ve croit de – 15 V à + 15 V. Montrer qu’il existe une tension de basculement.

Tracer la courbe donnant Vs en fonction de Ve ; préciser quelques valeurs numériques permettant un tracé relativement satisfaisant de cette courbe.

Q6. Même question si maintenant la tension Ve décroit de + 15 V à – 15 V. Tracer la courbe donnant Vs en fonction de Ve sur le même graphe qu’à la question précédente, mais avec une couleur différente.

Q7. Pourquoi appelle-t-on ce circuit un comparateur à hystérésis ?

Pour tester le comparateur à hystérésis on impose à présent, à l’aide d’un générateur de fonctions, une tension Ve(t), triangulaire, symétrique, de période T et d’amplitude E = 15 V (voir Figure 2).

Figure 2 : Signal de test appliqué au comparateur.

Q8. Reproduire cette courbe sur la copie et y superposer le tracé de la courbe donnant Vs(t) en fonction du temps, à la même échelle.

I.2. Application du circuit comparateur : oscillateur de relaxation

Le comparateur étudié précédemment est maintenant associé à un circuit RC selon le schéma de la Figure 3.

Figure 3 : Schéma de l’oscillateur.

A la mise sous-tension on observe assez rapidement un régime périodique avec une succession de phases de croissance puis de décroissance de vc. La Figure 4 ci-dessous donne les enregistrements à l’oscilloscope de vs(t) (voie C1) et de vc(t) (voie C2) en fonction du temps.

Figure 4 : Enregistrement des signaux fournis par l’oscillateur de relaxation.

La base de temps est de 4 µs/div et l’amplification est de 3 V/div pour les deux voies de mesure.

 Etude de la phase de croissance

Q9. On suppose qu’à l’instant t = 0 le condensateur est déchargé et que la tension de sortie de l’amplificateur U0 vaut + Vsat. Etablir l’équation différentielle régissant la tension vc(t).

Q10. En déduire l’équation horaire de vc(t) et l’instant t1 de fin de cette phase.

 Etude de la phase de décroissance

Q11. Expliquer pourquoi vc se met à décroitre.

Q12. Etablir l’équation différentielle de vc dans cette phase.

Q13. En déduire l’équation horaire de vc(t), et l’instant t2 de fin de cette phase.

Q14. Déterminer, d’après la durée de la deuxième phase, l’expression littérale de la période de vc.

Q15. Déduire de l’enregistrement de la Figure 4 les valeurs numériques approchées des quantités suivantes : Vsat ; le rapport R2 / R1 et le produit RC. Pour le calcul numérique du logarithme népérien on pourra considérer les nombres entre 2,5 et 3 comme voisins de 2,72.

 Limite de fonctionnement de l’oscillateur

Q16. Quelles caractéristiques de l’amplificateur peuvent entraîner une possible limitation de la fréquence de cet oscillateur ? Donner un ordre de grandeur de ces limitations.

Q17. Ces limitations sont-elles visibles sur la Figure 4 ?

II. Oscillateur quasi sinusoïdal

Cet oscillateur sera construit autour d’un filtre et d’un montage amplificateur. Ces deux blocs fonctionnels sont tout d’abord étudiés séparément.

II.1. Etude du filtre

Sur la Figure 5 on donne le schéma d’un filtre. On note H_F

 

Figure 5 : Schéma du filtre.

Q18. Déterminer l’expression de H_F

 









x - 1 x Q j 1 H H

F F

0

avec ω0

x ω , ω₀ étant la pulsation propre du filtre. Expliciter littéralement QF, H0 et la

fréquence caractéristique f0.

Q19. Donner l’expression reliant le facteur de qualité, la fréquence propre et la bande passante à – 3 dB.

On choisit R0 = 470 , R = 120 , L = 50 µH et C = 50 nF de sorte que : H0  0,2, f0  100 kHz et QF  3.

Q20. Faire une représentation graphique approchée du gain en décibel GdB en fonction de log(x) ; préciser quelques valeurs sur ce graphe. Faire apparaitre sur ce graphe la « bande passante à – 3 dB ».

II.2. Etude de l’amplificateur

On considère deux structures possibles à placer en sortie du filtre pour amplifier le signal (Figures 6 et 7). Le circuit U1 est un amplificateur linéaire intégré supposé idéal.

Figure 6 : Structure amplificatrice n°1. Figure 7 : Structure amplificatrice n°2.

Q20. Déterminer, en précisant bien les hypothèses faites, les fonctions de transfert de ces deux structures, notées respectivement A₁ et A₂.

Q21. Déterminer les impédances d’entrée Ze1 et Ze2 de chaque montage et expliquer pourquoi la structure n°2 est a priori un meilleur choix pour l’application envisagée.

Q22. En déduire alors l’expression de la fonction de transfert globale du montage associant les deux blocs fonctionnels filtre puis amplificateur en la mettant sous la forme









x - 1 x Q j 1

H_FA H¹ ; expliciter H1 et Q.

II.3. Etude des oscillations

On associe maintenant les deux blocs en connectant la sortie du montage amplificateur à l’entrée du filtre, réalisant le système dont le schéma est donné Figure 8.

La sortie de l’amplificateur U1, toujours supposé dans un premier temps comme idéal, est connectée à l’entrée du filtre au travers d’un interrupteur K.

Figure 8 : Structure bouclée associant le filtre et l’étage amplificateur.

A l’instant t = 0 on ferme l’interrupteur K, le condensateur C étant déchargé.

Q23. Déterminer l’équation différentielle régissant l’évolution de la tension v3(t) ; on fera apparaître dans cette équation la pulsation propre, le facteur de qualité et le gain maximal.

On désire obtenir à la fermeture de l’interrupteur des oscillations pseudo-périodiques d’amplitude croissante.

Q24. A quelle condition sur H1 cela sera-t-il possible ?

Q25. Que vaut la fréquence d’oscillation pendant la phase de démarrage ?

Q26. A quelles conditions la fréquence des oscillations peut-elle être considérée comme égale à la fréquence propre du filtre ?

Q27. En considérant d’une part l’étude précédente, et d’autre part le fait que le circuit U1 n’est pas idéal, expliquer pourquoi il est préférable que le gain de l’étage amplificateur ne soit pas trop grand.

II.4. Oscillateur réel et modélisation de dipôle

II.4.1. Schéma réel de l’oscillateur

Le schéma réel de l’oscillateur est donné Figure 9, indiquant les composants réactifs réels à implémenter sur un circuit imprimé.

Figure 9 : Schéma réel de l’oscillateur.

Q28. Quelle différence voit-on entre les schémas des Figures 8 et 9 ?

Q29. Quel composant du schéma Figure 9 peut expliquer, par une étude de son modèle physique, le fait que les deux schémas des Figures 8 et 9 puissent être bien équivalents ? II.4.2. Réalisation d’une inductance

On considère une bobine de longueur lB comportant Nsp spires jointives de section SB.

Cette inductance peut par exemple être fabriquée avec du fil de cuivre, enrobé d’un isolant. On pourrait choisir par exemple un fil de référence AWG-38, correspondant, selon la norme américaine ASTM-B258 très largement utilisée en Europe, à un diamètre dCu = 101 µm.

L’isolant a une épaisseur ti = 7,5 µm. La conductivité du cuivre est Cu = 5,8810⁷ ^-1.m^-1. Les valeurs numériques sont seulement données à titre d’exemple.

Le rôle de l’isolant est d’éviter que les spires jointives ne se court-circuitent entre elles.

Q30. Expliquer pourquoi on peut considérer que deux spires adjacentes forment un condensateur.

On considère trois spires successives, Sp1, Sp2 et Sp3 comme indiquées sur la Figure 10. On appelle Ci la capacité d’un condensateur formé par deux spires adjacentes.

Figure 10 : Trois spires adjacentes, Sp1, Sp2 et Sp3.

Q31. En considérant comment sont placés les condensateurs formés par {Sp1-Sp2} d’une part et {Sp2-Sp3} d’autre part, déterminer la capacité résultant de l’ensemble des spires.

Q32. Comment tenir compte de ce condensateur, que l’on peut qualifier de « parasite », dans un nouveau schéma équivalent complet de la bobine.

Q33. Quelles sont les conséquences de la présence de ce condensateur parasite ?

II.5. Stabilité de l’oscillateur

La stabilité d’un oscillateur est un critère fondamental de sa qualité, qu’il est indispensable de prendre en compte selon la précision nécessaire pour une application. On considère en général la stabilité à court-terme et la stabilité à long-terme.

II.5.1. Oscillateur quasi-sinusoïdal

On considère (Figure 11) le schéma théorique de l’oscillateur comme à la Figure 8. On suppose qu’il fonctionne en régime permanent et pour simplifier on fait l’hypothèse que l’oscillateur est de type quasi-sinusoïdal. Les signaux v1(t), v2(t) et v3(t) sont alors considérés comme sinusoïdaux, on peut donc raisonner dans l’espace des fréquences et noter les signaux V₁, V₂ et V₃ en représentation complexe.

Le filtre (entrée V₁, sortie V₂) a pour fonction de transfert H_F. L’amplificateur (entrée V₂, sortie V₃) a pour fonction de transfert A.

Figure 11 : Oscillateur considéré en fonctionnement sinusoïdal.

Q34. Exprimer V₂ en fonction de V₁, V₃ en fonction de V₂ et V₁ en fonction de V₃. En déduire une relation entre A et H_F valable s’il y a effectivement oscillation. Cette relation est appelée condition d’oscillation.

Q35. Montrer que la condition d’oscillation conduit à la relation ^Arg



 



II.5.2. Stabilité à court-terme

On suppose maintenant qu’en sortie de l’amplificateur il y a une petite fluctuation de phase, exprimée par le gain de l’amplificateur A'A₀ e^{j δΨ} où A₀ est un réel positif.

Q36. Quelle est la nouvelle condition d’oscillation relative à la phase de H_F

 

On considère que la fluctuation  induit une fluctuation  de la pulsation d’oscillation, petite par rapport à la pulsation propre. On pourra donc écrire que  = 0 +  dans l’expression de

HF sous forme canonique.

Q37. Déduire, à partir de la condition d’oscillation et de l’expression de H_F simplifiée grâce à l’hypothèse précédente, l’expression de la variation  de la pulsation. Calculer alors la fluctuation de fréquence pour  = 1°.

Q38. Que se passe-t-il si la fluctuation  varie au cours du temps mais avec une amplitude faible ? Quel serait alors l’aspect du spectre du signal de l’oscillateur ?

Q39. Conclure sur la façon d’améliorer la qualité de l’oscillateur.