Les problèmes du Petit Vert

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Les problèmes du Petit Vert

- Ressources - Maths pour le prof - Problèmes -

Date de mise en ligne : samedi 8 août 2020

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Problème du trimestre du PV145

On considère un triangle 456, son cercle circonscrit “ et le cercle tangent intérieurement à “ et aux côtés [45] et [46].

Déterminer le rayon _ de en fonction des longueurs des côtés N, O, P des côtés [56], [46]et [45] du triangle 456.

Soit une suite (b[) définie pour les entiers [ e 0 et à termes positifs.

On considère la suite (c[) définie pour tout entier par : c[ = (b 0 + (b 1 + (... + (b [)))...).

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la suite (c[) converge.

Solution

Soit pourX entier donné, la suite (b[) définie pour les entiers [ e X par : « b[ est le chiffre des unités de X parmi [.

Montrer que le nombre AX = 0, bXbX+1bX+2 ... est un nombre rationnel Solution

On se donne 456 un triangle et ü un nombre strictement supérieur à 1. Soit Q un nombre strictement positif ; on trace, à l'extérieur du triangle 456, les parallèles à ses côtés à la distance Q de ceux-ci. Elles définissent un nouveau triangle 425262 . Peut-on tracer 425262 à la règle et au compas de telle manière que 4V_R(4 25 26 2 ) = ü

4V_R(456) ? Solution

Problème du trimestre du PV141 Des résolutions d'équations Solution

On note, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, un le nombre de suites de n chiffres telles que la différence entre deux chiffres consécutifs soit d'une unité, et utilisant uniquement les chiffres 1, 2, 3 ou 4. Par exemple pour les suites 1234323434 ou 4321232342.

Déterminer une relation de récurrence définissant la suite (un).

Solution

Extension de solution

Problème du trimestre du PV139 Record Solution

Problème du trimestre du PV138 Les lapins meurent aussi Solution

Problème du trimestre du PV137 Probabilité de gagner Solution

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Problème du trimestre du PV136 Diviseurs d'un polynôme Solution

Soient a et b deux nombres entiers tels que 1 d a d b. On choisit, indépendamment sur un segment, a points que l'on étiquette chacun par la lettre A, puis b points que l'on étiquette par la lettre B. Les points B délimitent ainsi b+1 segments. Quelle est la probabilité que, sur chacun de ces segments, figure au plus un point A ?

Solution

On se donne une suite de n entiers u1, u2, ... , un. J'affirme qu'on peut trouver k termes consécutifs de cette suite, dont la somme est divisible par n. Vrai ou faux ?

Solution

Problème du trimestre du PV133 C'est plié Solution

Problème du trimestre du PV132 Limite de suites Solution

Est-il vrai que la somme des carrés de deux nombres de Fibonacci consécutifs soit toujours un nombre de Fibonacci

? Solution

On considère un cercle C de rayon 1, un point A intérieur au cercle C, un point B extérieur à ce cercle ainsi qu'une longueur l donnée. Peut-on déterminer deux points M et N du cercle C tels que les droites (AM) et (BN) soient parallèles et MN = l ?

Solution

Problème du trimestre du PV129 Des matrices Solution

Problème du trimestre PV128 Sur l'algorithme d'Euclide étendu Solution

Problème du trimestre PV127

On effectue une suite de lancers d'une pièce équilibrée. Déterminer l'espérance du temps d'attente de la première fois où l'on obtient trois résultats consécutifs identiques (i.e. soit PPP, soit FFF).

Solution

Problème du trimestre PV126 Problème de devises Solution

Démontrer qu'il existe une unique suite (f(n)) croissante, de premier terme f(1)=1, et telle que, pour tout entier naturel

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non nul n , on a f(n)=cardm, f(m)=n. La condition de monotonie est-elle nécessaire ? Solution

Soit ABC un triangle. Déterminer le point M du plan de ce triangle tel que la somme des carrés des aires des triangles BCM, CAM et ABM soit minimum et préciser cette valeur minimum.

Solution

Problème du trimestre PV123 Pavage de rectangles par des "Petits L"

Solution

Problème du trimestre PV122 Au sujet du Petit Poucet

"Il était une fois un Bûcheron et une Bûcheronne qui avaient sept enfants tous Garçons. L'aîné n'avait que dix ans, et le plus jeune n'en avait que sept." Voici les deux premières phrases de l'histoire du Petit Poucet de Charles Perrault, conte plutôt bien connu. Le rapport avec le Petit Vert vient de la troisième phrase : "On s'étonnera que le Bûcheron ait eu tant d'enfants en si peu de temps ; mais c'est que sa femme allait vite en besogne, et n'en faisait pas moins que deux à la fois..."

Solution

Problème du trimestre PV121 Au sujet de 2048 Solution

Problème du trimestre PV120 Au sujet des tours de Hanoï Solution

Problème du trimestre PV119 Déplacement aléatoire de cavalier Solution

Problème du trimestre PV118 Problème de pesées Solution

Les cent passagers d'un vol en avion - toutes les places ont été réservées - s'apprêtent à embarquer. Le premier à monter dans l'avion, un brin étourdi, s'assied au hasard. Les suivants s'installent ensuite à la place prévue par leur billet, à moins que celle-ci ne soit déjà occupée, auquel cas ils choisissent une place au hasard. Quelle est la probabilité que le dernier passager à entrer trouve sa place libre ?

Solution

Problème du trimestre PV116 Concourance de droites

Soit n points sur un cercle (n e 4). A chacune des 3-parties de l'ensemble de ces points, on associe l'orthocentre Hk du triangle formé par ces 3 points et le centre de gravité Gk des n - 3 autres points. Montrer que les droites (HkGk) ainsi obtenues sont concourantes en un point que l'on précisera.

Solution

Problème du trimestre PV115 Des forages dans un cube Solution

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Un triangle étant donné, est-il toujours possible de le positionner sous une source lumineuse ponctuelle donnée de sorte que son ombre au sol (plan) soit un triangle équilatéral ? Pire encore : est-il possible de trouver une surface sur laquelle l'ombre de ce triangle est un carré ??

Solution

Quel est le plus petit entier qui devient 4 fois plus grand quand on place son chiffre des unités en tête ? " Quelle est la plus petite base dans laquelle il existe un nombre à deux chiffres solution ?

Solution

Problème du trimestre PV112 Le chapeau de gendarme Solution

Problème du trimestre PV111 La Hulotte Solution

Une sultane avait l'habitude de partager ses servantes en deux groupes, l'un qui la suivait par rangs de cinq, l'autre par rangs de sept - chaque groupe en formation rectangulaire. De plus, ces deux groupes devaient être chaque jour constitués d'un nombre différent de servantes, et ce pendant neuf jours consécutifs. Quel est le plus petit nombre de servantes que la sultane pouvait avoir ?

Solution

Soit a, b, c les mesures des côtés d'un triangle ABC, s son demi-périmètre, R le rayon de son cercle circonscrit et r le rayon de son cercle inscrit. Démontrer que a(sa)+b(sb)+c(sc) <=9 Rr ; dans quel cas a-t-on l'égalité ?

Solution

Problème du trimestre PV108 Calcul d'angle Solution

Par combien de zéros se termine factorielle 2012 ? Solution

Problème tiré de la revue russe 20=B (Quant) de septembre 1988.

Solution

Problème du trimestre PV105 Les 50 gangsters Solution

« Je suis un nombre entier. Mon carré se termine par trois fois un même chiffre (différent de zéro). Qui suis-je ? » Solution

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Problème du trimestre PV103 Des ânes, des vitesses et des durées...

Solution

Problème du trimestre PV102 Des bijections Solution

ABCD est un parallélogramme. Les bissectrices des angles A et B se coupent en I. L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique permet de faire remarquer que le point I peut être extérieur ou intérieur au parallélogramme.

Comment caractériser les parallélogrammes ABCD pour lesquels le point I est un point du segment [DC] ? Solution

Pour le numéro 100 du « Petit Vert », l'APMEP de Lorraine a, comme vous le savez tous, décidé de sortir un album de 100 mathématiciens à collectionner. Les autocollants des mathématiciens sont vendus par pochettes de 5 (tous les autocollants d'une pochette étant différents). Ecrire un algorithme permettant d'estimer le nombre moyen de pochettes nécessaires pour compléter l'album.

Solution

Un joueur de football se dirige, balle au pied, vers le but adverse. Quelle est la trajectoire qui lui assure à tout instant le plus grand angle de tir possible ?

Solution

On considère un jeu de 52 cartes. On enlève les quatre rois, on mélange. On tire ensuite, successivement, les huit premières cartes du paquet, en énumérant « un, deux, trois, . . . ». On gagne si l'une des cartes tirées a la valeur annoncée (ex : si la 3 ème carte est un 3). Le jeu est-il équilibré ?

Solution

Tiré de « récréations arithmétiques », de E. Fourrey Solution

Tout le monde connaît une fonction f vérifiant 2 f '(x) = 1+ ( f (x))2 . Mais existe-t-il une fonction f vérifiant 3 f '(x) = 1+

( f (x))3 ? Solution

On lance un spaghetti de longueur d sur un sol carrelé, les carreaux étant des carrés de côté unité. Quelle est la probabilité que le spaghetti soit à l'intérieur d'un des carreaux ?

Solution

Pour tout nombre entier, définissons ñ comme étant l'entier obtenu en déplaçant à l'extrême gauche le chiffre des unités de n (dans l'écriture standard, en base 10). Par exemple : si n = 7834, alors ñ =4783 ; si n = 4500, alors ñ = 0450 = 450. Trouver un entier n (n e 1) tel que 7ñ = 2n.

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Solution

Ce problème fait référence aux graphes de Cayley (voir article). Le groupe des quaternions peut être défini par deux générateurs : a et b et les relations : a 4=1 , b 4=1 , a 2=b 2 et aba=b . Pouvez-vous déterminer son graphe de Cayley ? Est-il possible de le représenter dans le plan en évitant que deux arêtes quelconques ne se coupent ? Solution

Est-il possible de construire une suite infinie d'entiers (un) telle que :

" un s'écrit avec n chiffres (en base 10)

" un+1=un+10×k , avec k entier

" un est premier (par exemple, la suite 3 , 37 , 379, ... ) ? Solution

Au jeu du "Cochon qui rit ",, quel est le nombre moyen de coups à jouer pour terminer le cochon ? Solution

On considère le polynôme P(x)=x 212x+36 . Déterminer deux réels a et b distincts tels que P(a)=b et P(b)=a.

Solution

On dispose de trois sortes de boîtes (grosses, moyennes, petites). Chaque grosse boîte peut soit être vide, soit contenir 8 boîtes moyennes ; chaque boîte moyenne peut soit être vide, soit contenir 8 petites boîtes ; chaque petite boîte est nécessairement vide. On sait qu'il y a en tout 102 boîtes vides : quel est le nombre maximal de boîtes au total ?

Solution

Problème du trimestre PV88 Construction à la règle et au compas Solution

Un roi offrit jadis tout son trésor à celui qui pourrait ouvrir sa salle au trésor : il fallait pour cela trouver la bonne clef parmi treize. Les douze autres clefs avaient une masse identique, mais différente de cette treizième. Pour déterminer la clef convoitée, les candidats n'avaient droit qu'à une balance à plateaux et à deux pesées ! Comment déterminer la clef ? Peut-on savoir avec certitude si elle est plus légère ou plus lourde que les autres ? Si non, quelle est la probabilité de le savoir à l'issue des deux pesées ?

Solution

Deux cercles tangents intérieurement et de rayons différents délimitent un « solide plat ». Que doit valoir le rapport des rayons si on veut que le centre de gravité de ce solide soit situé sur le petit cercle ? Même question en

dimension 3 avec des sphères, puis en dimension n. Ce rapport admet-il une limite quand n tend vers l'infini ? Solution

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Mais au fait, combien existe-t-il de grilles de Sudoku, à l'exemple de celle ci-dessous, remplies et différentes ? Solution

Problème du trimestre PV84 Une suite de triangles Solution

Une compagnie internationale possède 70 employés. Si X et Y sont deux quelconques d'entre eux, il y a au moins une langue parlée par X et non par Y et une au moins une langue parlée par Y et non par X. Quel est le nombre minimum de langues parlées par les employés ?

Solution

Un triangle inscrit dans un cercle de rayon r = 10 a ses hauteurs proportionnelles à 2, 3 et 4. Calculer les angles et un côté.

Solution

Problème du trimestre PV81 Chasse au lapin sur le tore !

On considère un tore muni d'un quadrillage de 15 cases (3 fois 5). Un lapin déguste une carotte sur l'une des cases.

Absorbé par son repas, il ne bouge pas de cette case. Un chasseur parcourt le tore de manière aléatoire : à chaque étape, il passe équiprobablement d'une case à l'une des quatre cases adjacentes. Lorsqu'il arrive sur la case où se trouve le lapin, il tue ce dernier. Quelle est l'espérance de vie (exprimée en étapes) du lapin ?

Solution

Soient A, B et C trois points deux à deux distincts de la courbe d'équation : y=x 3 . Montrer l'équivalence entre : A, B et C sont alignés ; L'isobarycentre de A, B et C est sur l'axe des ordonnées..

Solution

En troisième on présente deux algorithmes de recherche du PGCD : l'algorithme d'Euclide et l'algorithme des différences (utilisant le fait que PGCD (a , b) = PGCD(a , a-b)). La plupart du temps ce deuxième algorithme est nettement plus lent que le premier. Mais existe-t-il des paires de nombres pour lesquelles les deux algorithmes sont équivalents du point de vue de la rapidité et aboutissent après

Solution

Soit A1A2...An un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1. Que vaut le produit des distances A1A2×A1A3

×...×A1An ? Solution

Problème du trimestre PV77 Une suite de solutions Solution

Problème du trimestre PV76 On considère une pile de n étages.

On procède à l'expérience aléatoire suivante : on tire au hasard un nombre p1 entre 1 et n, et on supprime les cases p1 à n. La pile comporte donc désormais p1-1 étages. On recommence l'opération : on tire au hasard un nombre p2

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compris entre 1 et p1-1 et on retire les étages p2 à p1-1, et ainsi de suite... Soit X le nombre de tirages nécessaires pour faire disparaître la pile.

Solution

On considère une grille constituée par un tableau de 3x3 cases dont les cases sont occupées par les nombres 1, 2, 3, ..., , 9. Calculons ensuite les produits des trois nombres pour chaque ligne et chaque colonne. Nous obtenons six nombres. Considérons enfin la différence D entre le plus grand et le plus petit de ces six produits. Déterminer les grilles qui permettent d'obtenir une valeur minimale pour D.

Solution

La part du Lion Le capitaine Boone et ses joyeux pirates viennent de faire main basse sur le fameux trésor des îles Tangerines, un coffre empli de pièces d'or. Durant l'aventure, ils ont dû se résoudre à manger le mousse, et tous les membres de l'équipage - qui ont entre vingt et cinquante ans -ne rêvent plus à présent que de se ranger des galères.

Pour partager le trésor, ils utilisent la règle ancestrale de la "part du lion" : le tas d'or est partagé en dix parts égales, plus éventuellement un reliquat (de moins de dix pièces). La part du lion consiste à prendre un dixième plus le reliquat. Le reste est remélangé. Trois personnes dans l'équipage ont droit à ce privilège : le capitaine, bien sûr, ainsi que son second et le médecin de bord (spécialisé dans les prothèses avec ou sans crochet). Le capitaine s'octroie donc la part du lion, avec un reliquat de trois pièces d'or. Le second prend la part du lion (sur le reste), avec un reliquat de deux pièces. Le médecin prend la dernière part du lion, avec un reliquat d'une pièce. Les autres pirates se partagent le reste du trésor, et, par chance, cela tombe juste ; comme Il se doit, leur part est inférieure à celles des trois privilégiés. Le soir même, sur l'île de la Tortue, le capitaine donne une grande fête pour son anniversaire. Il a dépensé pour cela autant de pièces d'or qu'il y a de bougies sur son gâteau, et cette dépense ramène sa part à celle du médecin.

1. Quel est l'âge du capitaine ?

2. Sachant que si le mousse avait survécu à l'aventure, le partage final entre les marins aurait encore pu être équitable, combien d'hommes compte l'équipage ?

3. Sauriez-vous, en choisissant différemment les trois reliquats, donner au capitaine votre propre âge ? Ou n'importe quel autre ?

Solution

Problème du trimestre PV73 Un problème de généalogie Solution

Soit une parabole P d'axe z, de sommet O. On munit P de deux opérations (+ et *) définies ainsi :

Addition A+B : la parallèle à (AB) menée par O recoupe P en S ; S = A+B. Si A=B, on " remplace " (AB) par la tangente en A à P.

Multiplication A*B : soit I un point quelconque de P, différent de O, fixé une fois pour toutes. La droite (AB) coupe l'axe z en N, et la droite (IN) recoupe la parabole en P ; P=A*B. Si A=B, on " remplace " (AB) par la tangente en A à P.

Démontrer que (P ; + ; *) est un corps (commutatif) avec une solution purement géométrique.

Solution

Quel est l'ensemble des réels strictement positifs dont les parties entières de la racine carrée positive et de la racine cubique sont égales ?

Solution

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Une feuille de papier de largeur 21 cm est pliée de façon que le point A se retrouve sur le côté BC, en R. On appelle x la longueur QA, y la longueur PA et L la longueur PQ. Le but est de déterminer x pour que L soit minimum.

Solution

Un agneau A et un loup L sont placés à deux angles opposés d'un quadrillage. En commençant par l'agneau, ils avancent à tour de rôle d'une case en suivant les flèches (vers la droite et vers le haut pour l'agneau, vers la gauche et vers le bas pour le loup). Pour décider de la direction à prendre, on joue avec un dé : " L'agneau avance d'une case vers la droite si le dé indique un nombre pair, et d'une case vers le haut si le dé indique un nombre impair. " Le loup avance d'une case vers la gauche si le dé indique un nombre pair, et d'une case vers le haut si le dé indique un nombre impair. Si le loup et l'agneau arrivent dans la même case, le loup capture l'agneau... " Le jeu suisse est proposé sur un quadrillage de 3×3. Calculer la probabilité que le loup capture l'agneau sur un quadrillage de n×n cases. Donner un équivalent de cette probabilité quand n tend vers l'infini.

Solution

1) Existe-t-il un triangle dont les mesures des angles (en degrés) sont des entiers naturels en progression géométrique ?

2) Un triangle ABC est rectangle en A. a, b, c sont les longueurs de ses côtés opposés respectivement à A, B, C. Un carré C1 a son sommet en A et ses trois autres sommets sur chacun des 3 côtés du triangle ; un carré C2 a deux sommets sur l'hypoténuse et ses deux autres sommets sur les côtés de l'angle droit. Quelle relation relie a, b et c si les aires de C1 et C2 sont égales ?

3) les angles B et C d'un triangle mesurent respectivement 30° et 50°. Le point D de [AB] est tel que AD = AC.

Démontrer que AB = DC.

Soit ABC un triangle quelconque. On veut y " inscrire " un triangle MNP, équilatéral, tel que M[BC], N[CA] et P[AB].

Quel est l'ensemble des centres de gravité de tous les triangles MNP ? Solution

Considérons les dominos du commerce : il s'agit de rectangles partagés en deux avec de part et d'autre de la séparation deux nombres i et j de points vérifiant : 0 <= i <= j<= 6. Il y a 28 dominos différents. On trouve dans le commerce des triominos, triangles équilatéraux partagés en trois avec des nombres i, j, k vérifiant 0 <= i <= j <= k <=

n (n=5 pour le jeu du commerce). Combien y a-t-il de triominos différents pour n donné ? De même combien y a-t-il de tétraminos différents pour n donné (0 <= i <= j <= k <=l<= n) ? Que deviennent ces nombres si on invente de nouveaux triominos et tétraminos en considérant que deux pièces sont différentes si elles ne sont pas image l'une de l'autre par rotation ?

Solution

Combien existe-t-il de nombres entiers dont l'écriture décimale satisfait aux deux conditions suivantes : elle ne contient pas de zéro et la somme des chiffres vaut 54 ?

Solution

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Sur la planète Caoutchouc, deux escargots sont amoureux l'un de l'autre. Ils habitent à 100 mètres l'un de l'autre, de part et d'autre d'une prairie. Ils décident de se rejoindre. Chaque jour, chaque escargot avance de 10 m.

Malheureusement chaque nuit, pendant que les deux escargots sommeillent, la planète caoutchouc se dilate : la largeur de la prairie augmente de 100 mètres, uniformément répartis. Ainsi les escargots, distants de 100 m le premier matin, de 80 m le premier soir, se trouvent-ils distants de 160 m le second matin, car la prairie mesure maintenant 200 m de large, et car le chemin parcouru a aussi augmenté pendant la nuit. Les escargots se rejoindront-ils ? Si oui, au bout de combien de jours ?

Solution

Prenons un spaghetti de longueur L. Découpons le aléatoirement en quatre segments. Soit X la longueur du plus grand des quatre segments. Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X ?

Solution

Problème du trimestre PV62 Une attraction foraine Existe-t-il une stratégie gagnante pour le joueur ? Solution

Une boîte de sucres contient des sucres. Boîte comme sucres sont des parallélépipèdes rectangles. Les dimensions respectives de la boîte et d'un sucre sont telles que l'on peut placer exactement a sucres dans une longueur de la boîte, b sucres dans une largeur et c sucres dans une hauteur, (a,b,c) entiers naturels non nuls. Combien de sucres seraient traversés par un rayon laser qui transpercerait la boîte de sucres suivant sa plus grande diagonale ? Solution

Problème du trimestre PV60 Les six milliardièmes Solution

Somme minimale de 3 nombres obtenus à partir des opérations élémentaires et de combinaison de chiffres Solution

Un rectangle de 5x8 est dallé par des 'dominos (rectangles 2x1) ; il nadmet pas de ligne de fracture, cest à dire quaucune droite ne peut le partager en deux rectangles dallés de dominos. Quel est le plus petit rectangle possédant cette propriété (plus petit signifiant ici daire minimum) ? Y a-t-il des carrés possédant cette propriété ? Solution

Dans un triangle ABC du plan, les trois droites d1, d2 et d3 sont respectivement : la médiane relative à A, la hauteur relative à B, la bissectrice intérieure de l'angle C.

Retrouver le triangle ABC par la seule donnée de ces trois droites.

Solution

Quatre étudiants « planchent » dans uns salle triangulaire. Où doivent-ils se placer pour qu'ils soient le plus loin possible les uns des autres ? C'est à dire que la distance séparant les deux qui sont le plus proches soit la plus grande possible ? Et si on voulait y mettre cinq étudiants ? Et cinq étudiants dans uns salle quadrangulaire

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(quelconque) ? Solution

Par combien de zéros se termine 1998 ! (lire : factorielle 1998) ? et 1999 ! ? et 2000 ! ? Solution

Problème du trimestre PV54 Une tour est formée de cylindres.

Étage supérieur : un cylindre ; avant-dernier étage : un cylindre entouré par les cylindres accolés (soit 7 cylindres pour cet étage) ; étage juste en dessous : ceux de l'étage immédiatement au-dessus, entourés par les cylindres accolés ; et ainsi de suite... Combien de cylindres seront nécessaires pour construire une tour de ce type de 9 étages

? pour une tour de n étages ? Solution

Problème du trimestre PV54 Les grilles de loto

Déterminer le nombre de cartes différentes qu'il est possible d'imprimer..

Solution

Problème du trimestre PV53 Les réseaux

Quatre villes sont disposées aux quatre sommets d'un carré. On désire les relier entre elles par un réseau routier constitué de tronçons rectilignes, de façon que chaque ville puisse être reliée aux trois autres. En voici deux exemples : Il s'agit de chercher un tel réseau, dont la longueur totale soit aussi petite que possible. Que proposez vous ?

Solution

Problème du trimestre PV52 Calcul d'aires

« Pour trouver l'aire d'une parcelle ayant la forme d'un quadrilatère, ils multiplient la demi-somme des longueurs de deux côtés opposés par la demisomme des longueurs des deux autres côtés opposés. » Existe-t-il des quadrilatères autres que le rectangle pour lesquels cette méthode est exacte ?

Solution

Solution complémentaire

On dispose d'un disque de 21 cm de diamètre, découpé dans une feuille de papier format A4. Quelle est la dimension maximale d'un cube dont le patron (en un seul morceau) peut être réalisé dans ce disque ? N.B. On ne tiendra pas compte des « languettes » d'assemblage. Combien y a-t-il de patrons possibles (à une isométrie près) ? Solution

Problème du trimestre PV50 Convergence de suites Solution

Problème du trimestre PV49 Les tortues mathématiques de Macha

Macha a dressé ses quatre tortues de sorte qu'elle se suivent toujours l'une l'autre. Elle les place aux quatre

sommets d'un carré, comme le montre la figure, chaque tortue ayant en point de mire le flanc droit de sa voisine. Les quatre tortues progressent à la même vitesse v. Au bout de combien de temps les tortues se rejoignent-elles ? Quelle est leur trajectoire ?

Solution

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Construire un triangle connaissant la valeur ± de l'angle A, la hauteur h issue de A et le périmètre p.

Solution

Quels sont les entiers naturels qui sont sommes d'entiers naturels (au moins trois) en progression arithmétique ? Solution

Soit un triangle ABC. Extérieurement à ce triangle, on construit les 3 carrés ABED, BCGF et CAIH. Il est évident que si ABC est un triangle équilatéral, les six points DEFGHI sont cocycliques. Mais est-il possible que ces six points soient cocycliques sans que le triangle ABC ne soit équilatéral ?

Solution

Problème du trimestre PV45Mathématiques du citoyen

Payez en 10 fois tous vos achats à partir de 1 000 f pour un coût de crédit de 4 % de la valeur d'achat. CAMARA vous propose pour tous vos achats à partir de 1 000 F le paiement en 10 fois plus un apport personnel équivalent au coût du crédit (...). TEG 9 % ] hors assurances facultatives. Le montant du crédit est égal au prix de vente moins l'apport personnel (...).

Exemple : Montant de l'achat 3 000 F. Apport personnel 4% soit 120 F + 10 mensualités de 300 F. Montant du crédit : 2 880 F. Coût du crédit hors assurances facultatives : 120 F. Soit un coût total de l'achat à crédit de 3 120 F.

Question 1 : dans les conditions décrites ci-dessus (TEG de 9 %, apport initial égal au coût du crédit, paiement en 10 mensualités), le coût du crédit est-il bien égal à 4 % de la valeur de l'achat ?

Question 2 : Le problème peut-il se généraliser (apport initial quelconque, TEG quelconque, nombre de mensualités quelconque,...) ?

] N.B. le TEG (Taux Effectif Global) est, par définition, égal à 12 fois le taux mensuel du crédit. Ce n'est donc pas le taux annuel. Cette "entourloupe légale" est spécifique à la France.

Solution

A l'intérieur d'un billard circulaire, on place une bille en un point A distinct du centre O. Construire le trajet ABCA que doit suivre la bille, pour qu'après deux réflexions successives sur la bande elle repasse par A. Calculer la longueur de la trajectoire en fonction du rayon et de la distance AO = a.

Solution

On joint deux à deux n points d'un cercle : quel est le nombre maximal de régions du disque que définissent ces cordes ?

Solution

Un hebdomadaire organise un concours selon le principe suivant : une question est posée aux lecteurs ; il s'agit pour les participants d'inscrire la réponse sur une carte postale, et de l'envoyer au siège de la revue. Le règlement précise que le gagnant au concours sera "la personne dont la carte aura été tirée au hasard parmi celles portant une bonne réponse". Cependant, afin de s'épargner la fastidieuse tâche de trier préalablement les bonnes réponses des mauvaises, les organisateurs décident d'utiliser la procédure suivante : on tire au hasard une carte parmi toutes les cartes reçues ; si cette carte indique la bonne réponse, son expéditeur est déclaré gagnant du concours ; sinon, on opère des tirages successifs (sans remise) d'une carte, jusqu'à obtention d'une bonne réponse. Blaise, qui a envoyé

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une carte portant la bonne réponse, se demande si cette procédure ne le désavantage pas par rapport à celle qui figure dans le règlement initial. Qu'en pensez-vous ?

Commentaires sur les solutions Solution (suite)

Solution

Soit un triangle ABC de centre de gravité G. La rotation de centre G et d'angle +2À/3 transforme B en B'. La rotation de centre G et d'angle -2À/3 transforme C en C'. Démontrer que le triangle AB'C' est équilatéral.

Solution

Problème du trimestre PV40 Circuit électrique et résistances Solution

La « tourniquette » Sur une conique (C) on choisit quatre points quelconques A0, A1, A2 et A3. On construit les points A4, A5 et A6 (C) de façon à avoir (A3A4)//(A0A1), (A4A5)//(A1A2) et (A5A6)//(A2A3). Montrer que A6 est alors confondu avec A0.

Solution

Problème du trimestre PV38 La résistance résiste

Un conducteur électrique AB est formé de quatre mailles carrées assemblées pour former une sorte d'échelle (voir schéma ci-dessous). Chacun des côtés du carré a une résistance de 1 ©. Quelle est la résistance équivalente de l'ensemble ? Peut-on généraliser à n mailles ?

Solution

Connaissant la longitude et la latitude de NANCY (6° est et 49° nord, à 1° près) et celles de LA MECQUE (40° est et 22° nord), comment doit-on construire une mosquée de façon à bien orienter le mihrab vers La Mecque (en d'autres termes, quel angle doit-il faire avec le méridien local) ?

Solution

Soit A, B, C des points deux à deux distincts d'un plan euclidien. La fonction f définie dans-ce plan par f (M) = MA + MB + MC admet-elle un minimum et en quel(s) point(s) ?

Solution

Problème du trimestre PV35 Dés réglementaires

Voici quatre dés « réglementaires » (au sens que la somme de deux faces opposées vaut toujours 7) et pourtant tous différents (c'est-à-dire non-isométriques quant à la disposition des points sur les faces).

COMBIEN de dés « réglementaires » différents existe-t-il ? Solution

Par tout point M du « petit » arc AB du cercle circonscrit au triangle équilatéral ABC, MA + MB = MC. Plus

généralement, démontrer que pour tout point M du « petit » arc A1A2 du cercle circonscrit à un polygone réguler A1A 2A3 ... A2n+1 on a : ...

Solution

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Problème du trimestre PV33 1) Ombres d'un cube

2) COMMENT PESER UN PORC AVEC UNE FICELLE Avec la ficelle, prendre d'une part le tour de la poitrine, et d'autre part la longueur entre la pointe de l'épaule et la pointe de la fesse. Multiplier le carré du tour de poitrine par la longueur entre l'épaule et la fesse. Multiplier ce résultat par 0,85 (identique pour tous les porcs quel que soit leur poids). Exemple : un porc qui aurait 1 m de tour de poitrine et 1,20 m de l'épaule à la fesse pèserait 105 kg. Le problème du trimestre est le suivant : donner une généralisation de cette formule valable pour l'espèce humaine.

Solution

Quel est le nombre minimum de grilles de Loto qu'il faut jouer pour être certain de gagner ?

Soit M0 un point quelconque du plan, extérieur au carré ABCD. On construit une suite de points Mn de la façon suivante : de Mn, en « regardant » le carré ABCD, on cherche le sommet qui est « vu » le plus à droite ; Mn+1 est le symétrique de Mn par rapport à ce sommet. Montrer qu'il existe un rang p tel que Mp = M0.

Solution

ABC est un triangle quelconque. On prend sur le segment [AB] m points Bi (1 <= i <= m) deux à deux distincts. De même, on prend sur le segment [AC] n points Cj (1 <= j <= n) deux à deux distincts. En joignant B à tous les points C j et C à tous les points Bi, on découpe le triangle ABC en (n+1)(m+1) régions. On demande le rapport de l'aire de chacune de ces régions à celle du triangle ABC.

Solution

Les sommets A, B et C d'un triangle sont en dehors de la feuille de papier. Comment, sans sortir de la feuille, construire le centre de gravité G de ce triangle, en n'utilisant qu'un « translateur » (instrument qui trace la parallèle, par un point donné, à une droite donnée). Même problème pour le centre I du cercle inscrit, le centre O du cercle circonscrit et l'orthocentre H.

Solution

Les n sommets d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1 déterminent C2n segments. Quel est le produit de leurs longueurs ?

Solution

Chaque livre qui paraît reçoit un numéro d'ISBN (International Standard Book Number). Par exemple, les deux publications de la Régionale Lorraine, portaient les numéros 2- -906476-00-5 et 2-906476-01-3. Les éventuelles suivantes porteront les numéros 2-906476-02-1, 2-906476-03-X, 2-906476-04-8, et ainsi de suite jusqu'à

2-906476-99-4. Le premier segment représente le groupe linguistique (ici 2 = langue française). Le second segment est le numéro attribué à l'éditeur (906476 pour la Régionale Lorraine APMEP). Le troisième segment est le numéro d'ordre de la publication (de 00 à ... 99 !). Le quatrième segment est une clé de contrôle qui permet une vérification automatisée de l'exactitude de la valeur et de l'ordre des neuf premiers chiffres. En vous aidant des numéros ISBN ci-dessus, et de tous ceux que vous pourrez trouver dans votre bibliothèque, déterminez comment on calcule cette clé.

Solution

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Problème du trimestre PV26 Le planteur

Monsieur RHUMIER peut donner la composition d'un punch planteur rien qu'en le goûtant. Marie-Titine lui a proposé un planteur qui, habituellement, est composé d'une mesure de sirop de canne, de deux mesures de rhum et de trois mesures de jus. Mais elle s'est trompée dans ses proportions. Après avoir bu un verre plein, il déclare que le mélange n'est pas assez sucré : il rajoute un verre plein de sirop. Il boit un verre plein du nouveau mélange et, trouvant qu'il n'est pas assez alcoolisé, rajoute un verre plein de rhum. Il boit à nouveau un verre plein de mélange et, pour augmenter le fruité, rajoute un verre plein de jus. Le nouveau mélange est alors parfait. Sachant que Marie-Titine avait préparé 60 cl de mélange, donnez (au dixième de cl près) la capacité du verre qui a servi à verser et à déguster.

Solution

Problème du trimestre PV24 et 25

La suite (tan n)/n admet-elle une limite lorsque n tend vers l'infini ? Solution

On considère un cercle sur lequel on prend n points (n >=2). On dessine toutes les cordes joignant deux de ces points. On suppose que trois quelconques de ces cordes ne sont pas concourantes. Notons Rn le nombre de régions intérieures au cercle ainsi délimitées. Déterminer R2 , R3, R4, R5. Qu'êtes-vous tenté de conjecturer pour Rn ? Déterminer R6 à l'aide d'un dessin ; confrontez votre conjecture à ce résultat.

Solution

Vous disposez de 27 petits cubes en bois blanc, et de trois pots de peinture : du rouge, du bleu et du vert. Comment devez-vous peindre les faces de ces 27 petits cubes de façon que :

si on les réunit d'une certaine façon, les 6 faces externes du grand cube ainsi reconstitué seront entièrement rouges ; si on les réunit d'une autre façon, les 6 faces externes seront entièrement vertes ;

si on les réunit d'une troisième façon, on n'y verra que du bleu ! Solution

Soit un parallélogramme ABCD, E le milieu de [DC] et F le milieu de [BC] ; (AE) et (DF) se coupent en I. Monter que l'aire du triangle AIF vaut 30 % de l'aire du parallélogramme.

Solution

Au zoo de Raon-l'Étape vit l'ami ELTON, un kangourou solitaire enfermé dans un enclos de 10 m sur 10 m pavé par 100 dalle de ciment. Pour tromper son ennui, l'ami Elton saute de case en case :

§ soit de 3 m vers le nord, l'est, le sud ou l'ouest,

§ soit de 2rac(2 )m vers le nord-est, le sud-est, le sud-ouest ou le nord-ouest. Inlassablement, en 100 sauts, il revient à la case départ en ayant piétiné toutes les cases. Sauriez-vous retrouver un des chemins de l'ami Elton ?

Solution

De combien de façons différentes peut-on faire la monnaie d'un billet de 10 F en utilisant les pièces de 5 ç, de 10 ç, de 20 ç, de 50 ç, de 1 F, de 2 F et de 5 F ?

Solution

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Prenez une classe de seconde bien ordinaire : 37 élèves, au bas mot. Rangez-les dans n'importe quel ordre : par taille, par date de naissance, par ordre alphabétique, voire même rangez-les dans le plus grand désordre (!). Alors il y a au moins 7 élèves (non nécessairement consécutifs) qui sont rangés dans l'ordre croissant (sinon décroissant) de leur moyenne annuelle de mathématiques ! Plus généralement : de toute liste de n² + 1 éléments, on peut extraire une sous-liste d'au moins n + 1 éléments tels que ceux-ci soient rangés soit dans l'ordre croissant, soit dans l'ordre décroissant, quelle que soit la relation d'ordre choisie.

Solution

Une feuille de papier rectangulaire est posée sur un plan horizontal. On la froisse, et on repose l'objet sur le plan, de telle manière qu'aucun point ne se projette verticalement en dehors de l'aire initialement occupée par la feuille. En général, un point ne se projette pas à l'emplacement qu'il occupait auparavant. Démontrer qu'il existe cependant AU MOINS UN POINT ayant cette propriété.

Solution

Soit un triangle ABC dont les angles B et C sont aigus. On trace le cercle © de centre B passant par A, qui coupe la droite (BC) en E et F, et le cercle de centre C passant par A, qui coupe la droite (BC) en G et H. les points E, F, G, H se succèdent dans cet ordre.

1°) Démonter que 2xEF x EH x FG x FH = 16x(aire ABC)2

2°) En déduire la formule de l'aire du triangle : s = rac(p (p - a )(p - b)( p - c)).

Solution

Problème du trimestre PV15 Le billard américain

Un billard américain, de forme rectangulaire (le rapport des deux côtés étant 3/2) comporte six trous A, B, C, D, E et F : quatre aux coins, et deux au milieu des grands côtés. Une boule se situe à l'emplacement situé sur la figure : au

¼ de la longueur et au 1/3 de la largeur par rapport à A. On veut, « en trois bandes », que la boule aille dans un des six trous.

Combien y a-t-il de solutions ?

N.B. « En trois bandes » signifie que la boule doit rebondir 3 fois (et seulement trois fois) sur les bords avant d'arriver au trou..

Solution

Soit un polygone d'un nombre impair de côtés et son cercle circonscrit (on pourra, par exemple, prendre un heptagone A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 ). On joint un point M du petit arc A1A7 aux sept sommets.

Démontrer que : MA1 +MA3 + MA5 +MA7 =MA2 +MA4 +MA6 . Solution

On considère 2n + 3 points du plan (n entier naturel non nul ) tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés, et que quatre quelconques d'entre eux ne soient pas cocycliques. Peut-on trouver un cercle passant par 3 de ces points, et séparant les 2n points restants en n points situés à l'intérieur du cercle et n points à l'extérieur ? Solution

Dans un cadre de 18 cm sur 24 cm on place les points A (10 ; 14), B (8,5 ; 13) et C (10,5 ; 13). On pose BC = a, CA

= b et AB = c.

On construit sur chacun des côtés du triangle ABC, vers l'extérieur, un carré. Les sommets nouveaux sont les

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sommets d'un hexagone H1. Sur les côtés de H1 qui n'appartiennent pas aux carrés précédents on construit des carrés vers l'extérieur. Les sommets nouveaux sont les sommets d'un hexagone H2. Et ainsi de suite...

Exprimer le périmètre de Hk en fonction du périmètre p du triangle ABC et de la somme m des longueurs de ses médianes.

Exprimer l'aire de Hk en fonction de l'aire s du triangle ABC et de la somme t des carrés de ses côtés.

Solution

Problème du trimestre PV11.1

Etant donné un cercle (C) et deux points A et B extérieurs à ce cercle, déterminer M sur (C) tel que MA + MB soit minimum.

Solution

Problème du trimestre PV11.2

Dans un quadrillage à mailles carrées, on met en évidence les deux segments AB et CD (voir fichier joint). Quel est lensemble des points dont le rapport des distances aux deux segments AB et CD est égal à 2 ?

Solution

Avec quatre points M, N, P et Q d'un cercle, on peut former quatre triangles MNP, NPQ, PQM et QMN. Montrer que I, J, K et L, centres des cercles inscrits dans ces quatre triangles, sont les sommets d'un rectangle.

Solution

Dans un plan fixe, on donne le demi-cercle (F) de diamètre [AB], avec AB = 10 cm ; (F) est au-dessus de [AB]. Dans un plan mobile, on donne le demi-cercle (M) de diamètre [CD], avec CD = 5 cm, et P milieu de [CD] ; (M) est à gauche de [CD]. On déplace par translation de plan mobile, de manière que (CD) reste toujours perpendiculaire à (AB). Quel est l'ensemble des points P tels que les deux demi-cercles aient : 1) un point commun (comme sur le fichier joint) ?

2) deux points communs ? Solution

1°) Sur un axe Ox de vecteur unitaire t, on place les points A et B tels que OA = 11 et OB = 17 (mesures

algébriques). On considère l'ensemble des points M du plan tels que, en posant AM = a et BM = b, on ait soit 2b + a

= 18, soit 2b - a = 18, ensemble appelé Ovale de Descartes. Montrer qu'il existe un point C de Ox tel que, en posant CM = c, c et b soient liés par des relations du premier degré, ainsi que c et a. Autrement dit, les Ovales de Descartes

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ont trois foyers.

2°) Un axe Ay, mené de A, de vecteur directeur u, coupe successivement la grande boucle en A'1, la petite boucle en A'2 puis en A1, et enfin la grande boucle en A2. Sachant que (Ox, Oy) = ¸ (mod. 2À), calculer AA1 = a1, AA'1 = a'1, AA2 = a2 et AA'2 = a'2 (mesures algébriques).

Montrer que la courbe (l'Ovale de Descartes) est anallagmatique dans l'inversion (A, -60).

On appelle A''1 le milieu de A1A'1, A''2 le milieu de A2A'2 et A' le milieu de A''1A''2. Montrer que l'ensemble des poins A' est un cercle et que l'ensemble des points A''1 et A''2 est un limaçon de Pascal.

Solution

Soient deux cercles (C) et (C'), (C') appartenant à l'intérieur de (C). On trace (C1), tangent intérieurement à (C) et extérieurement à (C'), puis un cercle (C2) répondant aux mêmes conditions mais en plus tangent à (C1), puis un cerc1e (C3) distinct de (C1) répondant aux mêmes conditions mais en plus tangent à (C2), etc. Il peut arriver que la chaîne se reforme : (Cn) tangent à (C1). Démontrer que, si cela est, cela se produit quelle que soit la position donnée initialement à (C1).

Solution

Soit une parabole quelconque de sommet O. On va munir de deux opérations, notées + et *. Il s'agit de démontrer que ( , +, *) est un corps commutatif. Addition : Soit AR et BR . La parallèle à la droite (AB), menée par O, recoupe la parabole en S. Si B = A, on "remplace" la droite (AB) par la tangente en A à AR . L'opération est définie par A + B

= S. Multiplication : Soit I un point quelconque de AR , différent de O, fixé une fois pour toutes. Soit AR et BR . La droite (AB) coupe l'axe de la parabole en M ; la droite (IN) recoupe la parabole en P. Si B=A, on "remplace" la droite (AB) par la tangente en A à . L'opération est définie par A * B = P. Après avoir démontré que ( , +, *) est un corps, donner la construction géométrique permettant de résoudre l'équation A-X + B = O sur (discuter suivant la position des points A et B).

Solution

Le tas de sable et la tondeuse à gazon Solution

Sur chacun des côtés d'un triangle quelconque (ABC) on construit un triangle équilatéral extérieur à (ABC). Que peut-on dire du triangle (±²³) défini par les centres de ces trois triangles ?

Solution